• Γ函数
• 勒让德函数
• 球谐函数
• 贝塞尔函数
• 厄米函数

Γ函数

Γ函数是常见的一种函数，常用的定义是             其中的积分变量t应该理解为argt=0.     为了将Γ函数在全平面上作解析延拓,得到             其中z≠0,-1,-2…….     取Γ函数中的自变量为实数,画出它的图像,可以从实数范围直观地看出, Γ函数在全平面无零点,还可以看出它的奇点分布为z≠0,-1,-2……. 这个图像如下所示.

勒让德函数

1.l阶勒让德多项式的定义是              其中-1≤x≤1，              当l为偶数时， 中的最低幂项为即，所以              当l为奇数时，中的最低幂项为即，所以          2.连带勒让德函数的定义是          其中l＝0,1,2,……， m=0,1,2,……,l，而是的m阶导数.     所得的图像如下： 3.同样可以画出所有3阶的连带勒让德函数的图形. 4.勒让德函数实际上是以为变量的函数,所以也可以在极坐标下作图.下面画出在极坐标下的图形:

球谐函数

1.实数形式的球函数     球谐函数在不同的文献中的定义可能有所不同,通常实数形式的定义为                      这里, l=0,1,2,…是l阶勒让德函数.线性独立的l阶球函数共有2l+1个.这是因为对应于m=0,有一个球函数,而对应于m=1,2,3,…,l,则各有两个球函数,即                  sin mφ和cos mφ. 2.复数形式的球函数     根据欧拉公式=cos mφ± i sin mφ ,可以将实数形式的球函数组合成如下的复数形式的球函数                    其中l=0,1,2,… ,  m=-l,-l+1,… -1,0,1,… ,l,所以线性独立的l阶球函数还是有2l+1个.     复球函数归一化的结果的是               3.球函数的图形     球函数是在球面上的二元函数,是一个空间的图形,为了画出它的图形,必须指定球的半径.还有,它是复数函数,须要将实部与虚部分别作图.还有一种画法是用角变量θ,φ作为平面上的x,y轴的变量,也可以画球函数的图形.下面就是用这些方法所画的球函数的图形.     当l=0时,m=0,是个常数,不必作图.     下图中取l＝3，m＝2 球函数的图形 球函数的图形 球函数的图形 球函数的图形

贝塞尔函数

1.贝塞尔函数的定义 ν 阶贝塞尔函数的定义是      其中ν≥0，而Γ(x)是Γ函数。 ν 阶诺伊曼函数的定义是     当ν取整数m时,得m阶诺伊曼函数 当m＝0时没有项 第一种和第二种汉克尔函数的定义是   虚宗量贝塞尔函数的定义是     它们是实变量函数。 定义虚宗量汉克尔函数为      当ν取整数m时,得m阶虚宗量贝塞尔函数为      注意,存在以下关系 半整数阶的贝塞尔函数 半整数阶的贝塞尔函数常用以下几种形式, 球贝塞尔函数 球诺伊曼函数 球汉克尔函数 2.实例： (1).的曲线如下 (2).诺伊曼函数的曲线如下 (3).虚宗量贝塞尔函数的曲线如下 (4).的曲线如下

厄米函数

二阶的厄米多项式的图形