数学模型和数学建模

1. 系统与模型

系统的观点能让人们更好地认识和把握事物．人们所关心和研究的事物或系统总是存在着矛盾，矛盾就是问题，研究事物或系统就是去解决问题．事物或系统总是处于运动变化的过程之中，如何把握它们在运动变化过程中的规律性，是研究事物或系统的根本问题．

为了分析、研究、设计和实现一个系统，需要对系统进行研究，以抽取出系统的基本性能测度。对系统进行研究有三种方法：理论分析，科学试验，科学计算。科学试验方法又可分为两大类：一种是直接在真实系统上进行（即：科学实验），另一种是先构造模型，通过对模型的试验来代替或部分代替对真实系统的试验（即：模拟仿真）。传统上大多采用第一种方法，随着科学技术的发展，第二种方法日益成为人们更为常用的方法，建模技术也就随之发展起来。

1.1  系统：

（1）定义：按照某些规律结合起来，具有某些特定功能，互相作用、互相依存的若干实体的集合或总和。其实，现实世界中的一切事物都符合“系统”的含义。

在定义一个系统时，首先要确定系统的边界。尽管世界上的事物是相互联系的，但当我们研究某一对象时，总是要将该对象与其环境区别开来。边界确定了系统的范围，边界以外对系统的作用称为系统的输入，系统对边界以外的环境的作用称为系统的输出。

系统=原型，所谓原型(Prototype)就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物(或对象)．在科技领域常常把所考察的原型用“**系统”“**过程”等术语代之，如机械系统、电力系统、通信系统、生态系统、生命系统、经济系统、管理系统；化学反应过程，钢铁冶炼过程，生产销售过程，计划决策过程，污染扩散过程等等．

（2）特征：系统具有两个基本特征：整体性和相关性。整体性是指系统作为一个整体存个而表现出某项特定的功能，它是不可分割的。相关性是指系统的各个部分、元素之间是相互联系的，存在物质、能量与信息的交换。

（3）分类：略

（4）描述：尽管世界上的系统千差万别，但人们总结出描述系统“三要素”，即实体、属性、活动。实体确定了系统的构成，也就确定了系统的边界；属性也称为描述变量，描述每一实体的特征；活动定义了系统内部实体之间的相互作用，从而确定了系统内部发生变化的过程。

1.2  模型：

（1）定义：所谓模型(model)是指为了某个特定目的将原型所具有本质属性的某—部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物．首先，模型必须是现实系统的一种抽象，它是在一定假设条件下对系统的简化。其次，模型中必须包含系统中的主要因素，模型不可能与实际系统完全对应，而只应当包含那些决定系统本质同性的重要因素。第三，为了进行定量分析，模型中必须反映出各主要因素之间的逻辑关系和数学关系，使模型对系统具有代表性。

（2）特征：目的性、应用性、功能性、抽象性是一般模型所普遍具有的特征。

这里特别强调模型的目的性，模型的基本特征是由模型的目的决定的。一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型．例如，为了制定大型企业的生产管理计划，模型就不必反映各生产装置的动态特性，但必须反映产品的产量、销售量和库存原料丝等变化情况．也就是说，各装置的动态特性对这种模型来说是非本质的．相反，为了实现各生产装置的最佳运行，模型就必须详细地描述各装置内部状态变化的生产过程动态特性．这时，各装置的动态待性就变成了本质的．可见，模型所反映的内容将因其使用的目的的不同而不同。

（3）分类：模型一般分为具体模型（物质模型）和抽象模型（理想模型）两大类．具体模型有直观模型、物理模型等，抽象模型有思维模型、符号模型、数学模型等．

2. 数学模型

2.1   数学模型

定义  一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

特征  数学模型除具有一般模型所普遍具有的四个特征外，定义中的“运用适当的数学工具”得到“数学结构”表明数学模型还具有数量性特征，这是数学模型区别于其它模型的最显著特性。

“数学工具”不言而喻是我们已有的数学各分支的理论、方法。“数学结构”可以是数学公式、算法、表格、图示等。它们体现了数学模型不同于其它各种思维模型，是一种用数学语言表达的定量化的模型。用数学语言的描述往往比其它模型更概括、更精炼、更为准确，也更能抓住事物的本质。重要的是建立了数学模型以后，对对象的研究可以完全转化在数学演绎的范畴进行。

分类  数学模型可以分为原始系统数学模型（数学模型）和仿真系统数学模型（仿真模型）两大类。

原始系统数学模型是对系统的原始数学描述。…… …… ……  原始系统数学模型按照不同的分类标准有着多种分类（略，见《数学模型的类型》）．

仿真系统数学模型是一种适合在计算机上演算的模型，主要是指根据计算机的运算特点、仿真方式、计算方式、精度要求将原始系统模型转换为计算机程序。仿真系统数学模型的特点在于面向问题和面向过程的建模过程，并且适合于在仿真环境下，通过模仿系统的行为来求解问题。仿真系统数学模型基本上可分为离散系统仿真模型、连续系统仿真模型、混合型仿真模型三类，它们主要取决于所研究系统的性质。

2.2 好数学模型具备的特点

1．对所给问题有较全面的考虑

1)列举各种因素．2)选主因素计入模型．3)考虑其它因素的影响，对模型进行修正。

2．创造性地改造已有模型或自创新的模型

模型的优劣往往主要看模型的创造性，即是否能结合实际提出自己的独到见解，创造性的思路往往是解决问题的关键所在．

当然，在数学建模竞赛的短短三天之内，恐怕没有足够的时间去自创一种新的数学方法来解决问题，所以往往是在现有的模型上做出创造性的改进．

3．善于在简单与复杂、精确与普适等相反特征之间取得调和

数学模型应当是对实际问题的本质刻画．如果考虑问题过于简单模型固然明白易懂，但却没有抓住问题的本质．相反，如果将所有因素不分主次一概计入模型，不仅显得十分庞杂，而且事实上无法求解，反而掩盖了问题的本质．

4．注重结果分析，考虑其在实际中的合理性

数学建模是一个从实际到数学，再从数学到实际的过程．从模型得到的结果是否符合实际，是判断模型好坏的重要标志．

5．善于对模型进行检验

根据各种实际情况检验模型是判断其合理性的重要依据。

（1）一个好的模型所预见的结果不应该由于原始数据或参数的微小波动而有很大约变化，因此模型的敏感性与稳定性分析是至关重要的．

（2）对于运筹学模型，如排队系统的设计等，应该用实际数据或计算机模拟的办法，验证其实际可行性和有效性．

3.      数学建模

数学建模就是确定某个系统的模型形式、结构和参数，以得到正确描述系统表征和性状的最简数学表达式。

    数学建模——即数学的应用过程，是一个螺旋上升的复杂的演进过程，需要建模者进行多次的反复才能完成。

建模目的----用数学弄清未知的问题或用数学证实已有的事例。

3.1数学建模的过程

A问题分析：

在了解有关背景知识的基础上识别、剖析、阐述实际问题，分析所有可能的影响因素(快变量，慢变量，常数量以及它们之间的依赖关系）。

B合理假设：

通过合理的假设，可以将实际问题作理想化，近似化处理，得到便于用数学方法求解的理想问题。必须着重指出的是，对于一个假设，最重要的是它是否符合实际情况而不是为了解决问题的方便。

C模型建立：

最困难最关键的部分，一个不合适的模型会使数学失去作用。不同性质的问题需要采用不同的数学方法加以解决，建立什么样的模型是由问题的本质决定的．

D模型求解：

对有关计算提出算法和设计计算机程序，用设计出的算法求出数学模型的解。

E模型解释：

用解得的结论解释原问题：数学解-----理想解-----实际解。将数学模型的解答“翻译”回到现实对象，给出分析、预报、决策或控制的结果。

F模型检验：

完成模型的建立、求解及解释之后，我们还需要对模型的各种性能做出评价，这就是模型检验．它一船包括以下几个方面：（1）稳定性和敏感性分析（2）统计检验和误差分析（3）新旧模型的对比，可以判断新模型是否具有更大的合理性和优越性．（4）实际可行性检验。

3.2 数学建模一般方法：

A机理分析法——从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。

1.比例分析法---建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。

2.代数方法---求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。

4.常微分方程---解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。

5.偏微分方程---解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。

B数据分析法——从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。

1.回归分析法---用于对函数f(x)的一组观测值（xi, f(xi)），i =1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。

2.时序分析法---处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。

C其他方法

1.计算机仿真（模拟）---实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。

2.逻辑推理方法---是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。

3.因子试验法---在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。