买房还贷问题
摘要
  根据题目条件和要求，首先对题目中的条件进行合理的分析，再通过合理的假设和数学推理及银行利率、按揭的计算，建立数学模型，运用MATLAB软件求解得出条件隐含的关系量，从而得出不同条件下的本息之间的差值和合理的借贷关系。
关键词：借贷关系、MATLAB软件、金融数学、银行利率
 
一、问题重述
某地银行对个人住房25年贷款期限的条件通常为：年利率0。12而且是月均等额还款小叶夫妇要买房还缺少6万元，正在考虑到银行去贷款6万元，正在这时，小叶夫妇看到一个借贷公司的针对银行贷款条件的广告，说他们可以帮助你在年利率为0。12的前提下帮你提前3年还清借款，但是：（1）每半个月还一次款。（2）由于每半个月就要开一张收据等文书工作多了要求顾客预付三个月的还款。
小叶夫妇为这则广告吸引，因为提前三年可节省2万多元。而预付三个月的还款只不过1896元，多合算。但他们是有点疑惑，难道这家还贷公司是一个慈善机构，他们不想赚钱？他们去请教他们的朋友，学金融数学的小金，小金说我们一起来分析一下该借贷公司的两个“但书”，分别能提前多少时间还清借款。
请你们告诉我，这时已知的什么，要求的是什么，小叶夫妇不太明白，但小金坚持他们必须弄明白，才能提高分析辨别能力，在小金的耐心帮助下，小叶夫妇终于明白了，试问小叶夫妇明白了什么？

2、 模型假设
1． 不2． 考虑经济不3． 稳定因素等的影响。
2、月还款额相同，包括利息。
3、借贷双方的活动符合规定。
3、 符号说明
w0: 借款总额
r: 月利率（年利率/12）
R：半个月的利率
x: 月还款额
x2: 半个月还款额
k: 月数
k1: 半个月数
4、 问题的分析
借贷公司声称能将还款期限缩短，但是受借款期限和预付等条件的影响，我们在考虑此问题时，通过已知条件算出在相同的借款和利率下，从银行借款和从借贷公司借款，它们的还贷期限不同，比较得出从借贷公司借贷不划算。
5、 模型的建立与求解
通过分析，我们可知
                w1=w0*(1+r)-x     [表示第一个月还贷后的余款额]
                w2=w1*(1+r)-x=w0*(1+r)^2-x*(1+r)-x   [第二个还贷后的余款额]
                wk=w(k-1)-x
                   =(w0-x/r)*(1+r)^k+x/r      [第K 个月还贷后的余款额]
         那么，x=w0*r*(1+r)^k/((1+r)^k-1)
其中 w0=60000; r=0.01; k=300;
 用MATLAB求解得：
                   x=631.9345（元）  [每月还款额]
那么，25年还款总额为300*x= 1.8958e+005（元）
若半个月支付一次，
则R=0.005;k1=600 ；代入得x2=315.8429
由于借贷公司要求预付三个月还款额，且半个月支付一次：
即实际所贷款为w=60000-1896=58104（元）；R=0.005; x2=315.8429
建立关系式：x2=(w*(1+R)^k)*R/((1+R)^k-1)
代入得：k= 505.9679（月）    即21.0820年
借贷公司要求22年还清贷款，
则还款总额为315.8429*22*12*2=  1.6677e+005（元）
而实际只用 21.0820年就可还清贷款，
所以，
借贷公司多收315.8429*（22-21.0820）*12*2=  6.9587e+003（元）
由上述模型可知：
借贷公司作为盈利性机构其经营活动是为了赚取利润，如果小叶夫妇与其达成借贷关系，并没有从中受益，同样贷款58104元，从银行贷款只需21.0820年了即可还清贷款 ; 而借贷公司则要22年的时间，多收了6958.7元。
所以，
从借贷公司借款不划算。

附录：
w0=60000; r=0.01; k=300 ;
 x=w0*r*(1+r).^k/((1+r).^k-1)
x =631.9345；
w0=58104; r=0.01; x= 631.9345;
k=(log10(x/(x-w0*r)))/(log10(1+r))
k =253.1605
k/12=21.0967
(22-21.0967)*12*631.9345=6.8499e+003