中国股票市场评价与预测

摘要

本文建立了股市评价和预测模型。首先是对近两年来的股市进行综合评价，我们采用了马尔可夫转移矩阵特征值的分析方法建立了该模型。将待评时段分成三个部分，得到2004，2005，2006年股市分别处于二，二，五状态，然后对整个期间进行考虑，得到近两年来股市维持在第二状态的概率最大，即处于下跌区间在 的概率最大。

针对股市的预测分析，本文建立了改进型的马尔可夫预测模型和对信息不完整的实际情况具有良好的适用性的灰色系统模型分别进行预测，并对结果进行了分析。对于未来五年深市综合指数预测结果如下：

马尔可夫模型：338.2456 368.5960 378.4291 351.8375 360.8333

灰色预测模型：458.3964 480.1925 500.5481 499.4520 476.4459

最后，我们还对模型进行了评价。

关键字：马尔可夫转移矩阵特征值   灰色模型  改进型马尔可夫预测模型

一．问题重述

风险是金融决策的基本因素,如果没有风险,作为有效分配资源的金融系统将会非常简单。在改革开放后，中国的金融系统发生了巨大的变化，最为突出的是资本市场的建立和发展，而其中最为核心的是证卷市场或股票市场的逐步建立。资本市场与一国的政治经济制度和发展时期有着紧密的关联和互动，对中国这个发展变化剧烈的国家更是如此。对资本市场有显著影响的因素非常多，一般可分从宏观和微观两个层面分析，而时间因素表现出的周期和时间点也是值得考虑的方面。中国的股票市场自上世纪90年代初建立以来经历很多的发展阶段和巨大的变动，从风险的角度看，也就意味着这个市场的风险水平高。测度风险的影响，是市场中的参与者建立盈利模式和控制风险的不利影响的基础，现代金融实践中基于计算机技术支持越来越多的采用数学模型进行金融风险的建模分析，所涉及的数学方法包括：概率、最优化和统计量等。现在要解决的问题：一是如何根据股票市场近两年的走势情况做出定量的综合评价并分析各个时期的发展状况。二是根据过去10年的主要统计数据，对中国股票市场的发展趋势做出预测分析，比较研究未来5年的情况。三，结合模型分析情况对2006年的走势作出定性分析。

二．问题分析

本文要求建立股票市场的评价和预测模型。首先对中国股票市场近两年多的走势情况做出定量的综合评价，就是根据股票市场的各项参数的变化对整个股票市场造成的影响来衡量其走势。影响股票市场的因素有很多，反映股市波动的指数也是比比皆是，但是单个因素对于股市的影响是不变的，单个的股指反映的股市行情同整个走势也是相同的，因此，我们可选取单个的综合性较强的一项指数来反映整个股市的走势。通过观察，我们选取了深市综合指数作为参考对象，统计了其近两年来的数据，考虑到只是对该时间段的股市分析，可采用马尔科夫过程理论对股票交易市场的股价综合指数进行状态分类，提出了股票综合指数的特征值分析法，对股票波动，稳态概率进行了分析。

对于股市发展趋势的预测问题，考虑到影响股市所谓宏观和微观因素很多，且很不确定，随着时间动态变化的，因此我们建立了两种模型，基于马尔可夫股价特征值分析法之上的预测和灰色理论预测模型，可以对股市未来5年进行预测，并通过比较分析，结合实际情况，得出两种模型的预测效果。

三．模型假设

（1）股票市场的波动性很大，可认为股市的变化是随机的。

（2）股市即时行情可由股票的综合指数反映出来。

（3）假设股价综合指数在某一日的涨或跌与上一日的收盘指数有关，而与过去的态势无关

（4）假定今后5年内，影响股市的外界宏观因素不变。

（5）股市始终正常运行

四．符号说明

   ：    第 日股价综合指数对于前一个交易日的收盘指数上涨或下跌的百分数

    ：    系统位于状态 的稳态概率

：    样本原始时间序列

    ：    由状态 转移到状态 的概率

五．模型建立与求解

问题一

1．转移概率矩阵

从股票综合指数的编制方法可知，指数变动是由于各股价格的变动综合影响造成的，反映的是当前股票价格的平均变化水平。在这正常的交易时间内，股价综合指数每时每刻随着各种股票价格的变动而波动，是随时间的变化而取各种实数值的随机过程。

为第 日股价综合指数对于前一个交易日的收盘指数上涨或下跌的百分数。由于沪、深交易所自1997年开始实行涨（跌）幅度为10%的停板制度，所以 ，即股价综合指数被严格限制在上一个交易日收盘指数的 的范围内。因为股价综合指数在某一日的涨或跌与上一日的收盘指数有关，而与过去的态势无关，既有“无后效性”，系统地状态转移在一定时期内不变。作出以下级别定义：

 状态一：大跌势  

     状态二：小跌势   

    状态三：微跌势   

   状态四：微涨势  

   状态五：小涨势  

    状态六：大涨势  

时间参数 以一个交易日为单位，按“时间序列：计算。因此， 成为具有6个状态的 过程，状态空间：

，

参数空间：

，

为初始状态。假设随机过程 具有马尔柯夫性 。本文取马尔柯夫性如下的定义:对于任意 个数值 , ,则对应任何非负整数 ,都有如下关系：

且对于 的任何一组值成立。记 ,

表示系统在n时刻位于状态i的条件而在下一时刻(即n+1)位于转移状态j的一步转移概率。特别地,记 。另记 为Xn的初始转移概率矩阵,则该矩阵有以下性质:

记 ,并称 的概率分布为初始分布

2．特征值分析法

设 为系统位于状态 的稳态概率,记  为稳态概率向量,建立如下的方程组:

当λ不是矩阵的特征值时,即 时,方程组(1)无解。以下只考虑λ是矩阵P的实特征值的情形。记 是矩阵P的6个实特征值。设 为矩阵 的最大特征值。在一个比较长的时间区间内(如400个交易日以上),系统具有各态遍历性,不会出现矩阵 某一行或某一列的所有 的情况。在此假设下,可以得到:

矩阵 其最大的特征根 ,且其对应的特征向量的所有分量均匀非负。

记特征方程为 。因为 ,另有一个特征值λ=0,故特征方程可表示为：

其中  记：

实际上a是特征多项式的所有根之和。则式 具有明显的金融学意义,它表明了股价综合指数在同一状态下持续发生的可能性的大小。具体说,对于较大的 ,譬如 ,对应有3种市场状态,即:

(1) ,综合指数单边上扬多于单边下跌,市场处于大牛市状态;

(2) ,综合指数单边上扬与单边下跌的次数相等,市场处于大起大落状态;

(3) ,综合指数单边上扬少于单边下跌,市场处于大熊市状态;

对于较小的 ,譬如 ,也对应有3种市场状态,即:

(1) ,综合指数单边上扬多于单边下跌,市场处于一般牛市状态;

(2) ,综合指数单边上扬与单边下跌的交易日的次数相等,市场处于弱市盘整状态;

(3) ,综合指数单边上扬小于单边下跌,市场趋缓,步入熊市状态。

3．问题求解

（1）统计近两年来的股市数据，对所有的交易日进行取样，取样原则：尽可能的保证时间上的连续性。我们选取的时间段2004-01——2006-07，样本数据见附录。

（2）进行时间段划分。考虑到每年经济政策的不同，股市的行情也大不相同，但是同一年中经济政策基本示为稳定，我们以一年作为分析单元，逐年进行分析，然后综合评价。

（3）对样本首先进行初始状态确定，求得转移矩阵及其概率转移矩阵并根据得到的矩阵求出稳态概率

2004年：

=

     0     6     2     8     1     1

     6    17    11    15    15     7

     3    15     5     8     4     2

     5    15     7     5    10     4

     3    14     8    12     8     4

     1     4     4     3     6     2

概率转移矩阵：

＝

   0         0.3333    0.1111    0.4444    0.0556    0.0556

   0.0845    0.2394    0.1549    0.2113    0.2113    0.0986

   0.0811    0.4054    0.1351    0.2162    0.1081    0.0541

   0.1087    0.3261    0.1522    0.1087    0.2174    0.0870

   0.0612    0.2857    0.1633    0.2449    0.1633    0.0816

   0.0500    0.2000    0.2000    0.1500    0.3000    0.1000

稳态概率：

0.0755    0.2953    0.1533    0.2093    0.1836    0.0831

p1+p2+p3=0.5261     p4+p5+p6=0.4760

trp=0.7465          trp-=0.3745         trp+=0.3720

综上分析，可得以下结论：

l        trp=0.7465<1，trp+〉trp-，深圳股市持续上升的状态近似等于持续下跌的状态，综合指数单边上扬与单边下跌的交易日的次数相等，市场处于弱市盘整状态；

l        p1+p2+p3=0.5261，p4+p5+p6=0.4760说明股市处于下跌状态的交易日大于上扬的状态的交易日，市场有下跌的趋势。

l        稳态概率中，第二状态持续的概率最大，进一步表明股市下跌的态势。

2005年：

=

     1     4     3     3     7     0

     8     22    5     10    17    8

     5     6     4     3     10    4

     2     14    6     4     7     2

     3     15    12    13    17    4

     0     8     2     3     5     1

概率转移矩阵：

=

    0.0556    0.2222    0.1667    0.1667    0.3889         0

    0.1143    0.3143    0.0714    0.1429    0.2429    0.1143

    0.1563    0.1875    0.1250    0.0938    0.3125    0.1250

    0.0571    0.4000    0.1714    0.1143    0.2000    0.0571

    0.0469    0.2344    0.1875    0.2031    0.2656    0.0625

         0    0.4211    0.1053    0.1579    0.2632    0.0526

稳态概率：

0.0798    0.2903    0.1349    0.1511    0.2652    0.0794

p1+p2+p3=0.5050     p4+p5+p6=0.0957

trp=0.9274          trp-=0.4949         trp+=0.4325

结论：

l          trp=0.9274<1，trp- >trp+,表明综合指数单边上扬小于单边下跌，市场趋缓，步入熊市状态。

l          p1+p2+p3=0.5050 ，p4+p5+p6=0.0957说明股市处于下跌状态的交易日大大多于处于上扬状态的交易日。 表明有大幅度的下跌，整个市场是一个持续的强劲的下跌趋势。

l          稳态概率中第二状态的概率最大，股市是持续下跌的。

2006年至今：

=

     1     3     0     2     3     1

     2     2     2     5     5     3

     3     2     2     2     8     1

     2     4     5     8     7     4

     1     7     7    11    14     3

     1     1     2     3     5     3

概率转移矩阵：

=

    0.1000    0.3000         0    0.2000    0.3000    0.1000

    0.1053    0.1053    0.1053    0.2632    0.2632    0.1579

    0.1667    0.1111    0.1111    0.1111    0.4444    0.0556

    0.0667    0.1333    0.1667    0.2667    0.2333    0.1333

    0.0233    0.1628    0.1628    0.2558    0.3256    0.0698

0.0667    0.0667    0.1333    0.2000    0.3333    0.2000

稳态概率：

0.0745    0.1406    0.1334    0.2297    0.3105    0.1117

p1+p2+p3=0.3485     p4+p5+p6=0.6519

trp=1.1087          trp-= 0.3164        trp+=0.7923

结论：

l          trp=1.1087>1，trp-< trp+,表明2006年股市持续上升的状态明显多于下跌的状态，股市呈现大牛市状态。

l          p4+p5+p6> p1+p2+p3，处于上升状态的交易日明显大于处于下跌状态的交易日，其过程中没有大升大降的特殊情况，所以股市是持续平稳的的增长。

l          稳态改率中保持在第五状态的的概率最大，所以，整个股票市场整体是呈大牛市的。

2004—2006：

 =

5     10    1     11    8     1

     14    40    16    24    33    15

     8     21    9     11    14    6

     7     29    13    9     17    6

     6     29    20    21    29    8

     1     12    6     6     11    3

转移概率矩阵：

=

    0.1389    0.2778    0.0278    0.3056    0.2222    0.0278

    0.0986    0.2817    0.1127    0.1690    0.2324    0.1056

    0.1159    0.3043    0.1304    0.1594    0.2029    0.0870

    0.0864    0.3580    0.1605    0.1111    0.2099    0.0741

    0.0531    0.2566    0.1770    0.1858    0.2566    0.0708

0.0256    0.3077    0.1538    0.1538    0.2821    0.0769

稳态改率：

0.0770    0.2939    0.1437    0.1709    0.2332    0.0811

p1+p2+p3=0.5146     p4+p5+p6=0.4851

trp=0.9965          trp-=0.5520         trp+=0.4446

结论：股票近两年来总体呈小熊市其保持在第二状态的概率最大，符合整体熊市的态势。其保持在第五状态的概率略小于第二状态，表明股市会出现交替变化，通过单独分析各个阶段可以看出，股市在2006年开始扭转，熊市得到缓解，牛市开始出现。

问题二

1．马尔可夫预测模型 ：

l          状态划分

取样本时间数据序列： ，作出平面曲线，划分为 )个区间(根据实际情况选取)，记为一、二、三、区间，则把样本区分在各个区间。从 到 时刻由区间 进入区间 内总样本数之比，为状态 到 的转移概率 。

状态划分如下：