高等教育的发展趋势更加强调素质教育，而强调学生学习活动的实践性是素质教育的内涵之一,从实践中获得的经验与知识，更容易产生沉淀而成为人的素质（高尔基：我的信仰是从皮肉中熬出来的，比哲学家的强）。科研活动是一种高层次的实践活动。数学建模活动是小型的科研活动，大学生参加科研项目的机会较少，通过参加这项活动，学生可以对科研活动的全过程有一个初步的了解，在科研的各个环节均可得到训练，这些环节包括：分析和理解问题背景，收集相关信息，明确主攻目标，方案比较与抉择，模型建立与求解，仿真检验与模型改进。这样一种“科研演练”的经历对学生将来从事科研工作无疑是大有益处的。另外，从这项活动中还可以强化学生的创新意识与创新精神，这是最重要的素质。同时，培养了他们团结协作的精神、克服困难的意志力、心理调节能力以及成功后的顶峰体验等，这些都是成就事业的宝贵心理素质。

 从书本知识到实际问题往往有一定距离，数学模型是联系两者的“桥

梁”。所以，数学建模首先培养的是实际问题与数学问题之间的双向“翻译”能力。一方面，要善于做去繁就简、由表及里的工作，抓住问题的主要矛盾，忽略次要因素，将一个实际问题抽象成一个数学问题。举个例子：MCM1999-A 题：Deep Impact（大碰撞）：一颗直径为一公里的小行星垂直地撞在南极上，会引起什么样的灾难性后果？国内学生一般长于分析，面对此问题首先想到的是对各个环节进行细致的分析，然后通过精确的计算给出后果估计。我们的学生借回了几大摞书，涉及天体物理学、地球物理学、爆炸物理学、地震学、海洋学、大气物理学、气象学、环保、农林等近十个学科专业，结果发现是狗咬刺猬，无从下手，要想给出能量传递的比较精确的估计几乎是不可能的，例如由碰撞引起的地震与海啸便无法估计。于是，同学们决定采取整体宏观考虑、舍弃微观细节的战略方针，根据能量守恒定律，将小行星在碰撞前的能量分解为热能（融冰）与动能（形变、冲击波、抛物），进而计算出各种灾害的后果。由于南极的地理位置的特殊性，灾害主要为融冰引起的海面上涨和空气中的大量尘埃所导致的暗无天日。该文获得了一等奖。见木又见林是建立模型者的一种理想状态，也是建模能力的重要体现。另一方面，要善于对模型结果作出解释，回到实际中检验，这实际上是一种工程素养，每一个工科学生都应具有。以99年赛题“自动化车床”为例，有一个队是这样做的：设刀具故障X与其它故障Y分别服从正态分布且相互独立，X~N(μ,σ), Y ~ N(ν,τ),则车床总体故障Z=X+Y~ N(μ+ν,σ+τ),由数据统计得μ=600，ν=0.95/0.05×μ=19×600=11400, μ+ν=12000, ¨¨¨。其实，只要回到这些参数的实际意义，很容易发觉错误所在，X、Y的实际意义应为寿命分布，因此，Z=X+Y是错误的，正确的关系应为Z=min(X,Y)。再举个例子，96年赛题“最优捕鱼策略”，在完成题目规定的内容后，对模型的检验发现，初始时刻只要有一条1龄鱼（不考虑两性繁殖），经过3-4年后，鱼群的数目便可达到稳定值，这说明鱼群数量是超级稳定的。这一结果似乎不可思议，但仔细研究可以看出，这一现象是由于该种鱼的繁殖能力极强所导致的。这是工科大学生必备的一种素养。

 数学建模活动为学生提供了一个“用数学”的机会，要求学生灵活运用

数学与计算机为工具，“书到用时方觉浅”，促进学生对数学有更深的理解。

在建模过程中，不乏需要建模者作出抉择的时候，如何审时度势，作出

正确的决策，也是一种能力。对学生从外界获取信息的能力、自学能力以及口头及书面表达能力也是一种锻炼。

 二、数学建模活动的组织

    1、开课

    数学建模选修课程是学生接触这项活动的第一步，因此，这门课程的

   首要任务是建立对数学建模的正确认识，或者说，解决“什么是数学建模”的问题。其次，才是“如何建模”的问题。该课程的特点是采用“案例教学”的方式，通过一个一个的建模实例，使学生反复体会“什么是数学建模”以及“如何建模”。在讲课中，要针对具体案例讲清楚解题方法与步骤，更重要的是要讲清楚解题思路，在对问题深入分析与透彻理解的基础上，探讨解题思路的形成过程，进一步，设法从该问题的解决中总结出一些规律性的东西，使认识更具有一般性。通俗地说，就是要“就事论理”，而不是“就事论事”。我们常说要培养“感觉”，意思是说面对问题要有想法，想法要切合实际，这非常重要。自信心与判断力来自于平时经验的积累,这就说到了此课程的第二个特点:实践性。我们常说:数学建模仅仅通过听课是“听”不会的,要通过“做”才能学会。一般在学习这门课程期间,学生要做3-5个小模型。为了进一步培养学生的动手能力,准备开设数学实验课程。

       2、集训

       如果说听课是“粗加工”阶段的话，集训则是“精加工”阶段。这一阶段应成为学生数学建模能力提高的“主升段”。根据我校学生的特点，我们没有安排数学内容的补课，以“学生做，学生讲，老师评”的方式为主。分两个阶段。第一阶段从5月中旬到6月底，每周活动一次。经过这一阶段的培训，学生通常能够写出比较像样的论文了。第二阶段一般安排在暑假，时间为2周。安排两次模拟竞赛及讲评，这是这一阶段的中心任务。学生反映，集训最有收获的是听模拟竞赛讲评，事实上这一收获也是建立在学生“用心做”的基础上的。这样才能收到竞赛一次，提高一大步的效果。这里对老师的指导水平与能力提出了较高的要求，“铁打的营盘流水的兵”，历史的经验与教训、对数学建模的研究与心得要靠指导老师去传授给学生，老师的指导作用主要在这里体现。这一阶段还穿插了一些老师的讲课内容，如论文的评判标准，仿真技术讲座，优秀论文介绍等。

       3、选拔

       我们通常在4月底举行一次选拔竞赛。选拔的依据主要为选拔竞赛成绩、数模课程成绩以及学习成绩。有时还需考虑组队需要。

       4、组队

       5、参赛

       选题：一般来说，题目无所谓难易，是一个相对的概念，不必在选题上花费很多时间。

       四维空间思考法：问题、自身、对手、时间

             问题维：根据问题的不同类型，采取不同策略。

             自身维：了解自身短长，趋长避短。

             对手维：心中有对手，力求高出对手一筹。

             时间维：随着时间变化，动态地调整计划。

       分工：长期分工与短期分工相结合。得有一人为组织者，随时根据时间及进展情况安排临时分工，防止忙闲不均，充分发挥每一个人的作用。

       合作：勇于表达自己的想法，善于理解别人的想法。学会说服，学会理解；学会争辩，学会妥协。要学会冷静思考。

       T型思维：有宽度，有深度，有力度。

       心态：顺利时不断加码，困难时学会变通。

       三、论文的评判标准

1、假设的合理性

假设是建模的基础，具有导向性，容易被忽视。常犯错误有缺少假设或

假设不切实际。例如97年赛题“零件参数设计”，有的同学认为损失函数当然是阶梯函数，未作任何约定便在模型中使用阶梯函数。实际上按出题人的原意损失函数是抛物线函数，只是由于使用阶梯函数的队太多才没有影响成绩。对一些关键性的或对结果有重大影响的条件或参数应该在假设中明确约定。另外，假设要符合实际，由于假设的导向性作用，不同的假设可能导致截然不同的结果。

作假设掌握两个原则：

① 简化原则：抓住主要矛盾，舍弃次要因素，方便数学处理。

② 贴近原则：贴近实际。

以上两个原则是相互制约的，要掌握好“度”。通常是先建模后假设。

2、结果的正确性

模型的正确性。计算的正确性（方法、结果）。

例一：99年“自动化车床”，方法有新意，文章写得也不错，但在计算刀具发生故障后的损失时未考虑条件概率，导致计算错误。

例二：98年“投资组合策略”，使用均方风险函数，违背题义要求。

例三：98年“投资组合策略”，约束条件错。

例四：96年“最优捕鱼策略”，死亡率意义理解错。“自然死亡率为0.8（1/年）”被理解为每年平均死亡80%，事实上应理解为单位时间内死亡的鱼的数量与鱼的总量之比，是瞬时死亡率概念。

3、建模的创造性

创造性是灵魂，文章要有闪光点。追求卓越，“语不惊人死不休”。

好创意、好想法应当既在人意料之外，又在人意料之中。新颖性（独特

性）与合理性皆备。

误区之一：数学用得越高深，越有创造性。

解决问题是第一原则，最合适的方法是最好的方法。

误区之二：创造性主要体现在建模与求解上。

创造性可以体现在建模的各个环节上，并且可以有多种表现形式。

误区之三：好创意来自于灵感，可遇不可求。

好创意来自于对数学方法的掌握程度与对问题理解的透彻程度。

举几个例子。

例一：94年B题：锁具装箱。

① 将锁具按照槽高之和H为奇数与偶数分为两大类，每一类装49箱。

显然，同一类的锁具不能互开。销售部门只选同类的箱子售给团体顾客，则只要团体顾客购买量不超过49箱，不会发生抱怨。那么，49箱是否最大值呢？很多队认为答案是当然成立的。事实上结论是正确的，但需要证明。有的队意识到了这个问题，但未能证明。电子科大的同学用图论方法证明完美匹配的存在性，可惜证明有错误。第二年的杂志登出了北京联合大学的一篇文章，用计算机搜索的方法找出了一个完美匹配，证明了此猜想。

    ② 大部分参赛队均分奇偶装箱，只选同类的箱子售给团体顾客。但这种销售方式不大符合实际。有的队采取了更符合实际的序贯销售方式，体现了创造性。他们在装箱时，除了分奇偶装箱外，还按照H从小到大的顺序装箱，H相同时，按字典序装箱。1-49箱为奇数，H从小到大；50-98箱为偶数，H也从小到大。销售时，按序号销售。经计算，团体顾客购买量不超过42箱时，可以保证没有互开现象。

    ③ 抱怨程度的度量。大多以可互开锁具的平均值来度量抱怨程度的大小，这样必然是买得越多，抱怨程度越大。于是，有了各种抱怨函数的定义。

评委认为，一等奖论文至少要在上述某个问题上有创见或特色。

例二：95年MCM  A题：螺旋线交点问题。

关键是计算速度与计算精度的平衡问题。牛顿迭代法有很高的精度，但速度较慢；线性近似法速度很快，可以满足实时要求，但精度稍差。

“Rabbit , Turtle and Hunter” 抓住了问题的主要方面——速度。创造性体现在对问题的理解程度上，进而体现在建模思路上。

例三：96年MCM  B题：评委阅卷问题。

复旦大学——气势恢弘      中国科大——小巧玲珑

闪光点在哪里？

4、表达的清晰性

好的内容+好的表达=好的文章

（1）替读者着想。该交代的要交代，如对题目的理解，关键指标或参

数的引入，建模的思路，结果的分析等。

（2）写好摘要。建模主要方法、主要结果，模型主要优点。

（3）专人负责写作，及早动手。考虑写作的过程也是构思框架、理清

思路的过程，有利于从总体上把握建模的思路，反过来促进建模。

（4）适当采用图表，增加可读性。

附：94年B题：锁具装箱

某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从1，2，3，4，

5，6这6个数中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度还有两个限制：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为5。满足以上条件的所有互不相同的锁具称为一批。

从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中“一把钥匙开一把锁”。但是在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其他情况下，不可能互开。

原来，销售部门在一批锁具中随意地取每60个装一箱出售。团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们抱怨购得的锁具会出现互开的情形。现聘你为顾问，回答并解决以下的问题：

1） 每一批锁具有多少个，装多少箱。

2） 为销售部门提出一种方案，包括如何装箱，如何给箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再或减少抱怨。

3） 采取你的方案，团体顾客的购买量不超过多少箱，就可以保证一定不会出现互开的情形。

4） 按照原来的装箱办法，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果。

第十六届MCM问题B：无线电信道分配

我们寻找无线电信道配置模型。在一个大的平面区域上设置一个发射机的均衡网络，以避免干扰。一个基本的方法是将此区域分成正六边形的格子（蜂窝状），如图1。发射机安置在每个正六边形的中心点。

容许频率波谱的一个区间作为各发射机的频率。将这一区间规则地分割成一些空间信道，用整数1，2，3，……来表示。每一个发射机将被配置一正整数信道。同一信道可以在许多局部地区使用，前提是相邻近的发射机不互相干扰。根据某些限制设定的信道需要一定的频率波谱，我们的目标是极小化频率波谱的这个区间宽度。这可以用跨度这一概念。跨度是某一个局部区域上使用的最大信道在一切满足限制的配置中的最小值。在一个获得一定跨度的配置中不要求小于跨度的每一信道都被使用。

令s为一个正六边形的一边的长度。我们集中考虑存在两种干扰水平的情况。

问题A：频率配置有几个限制：第一，相邻的两个发射机不能配置同一信道。第二，由于波谱的传播，距离在2s内的发射机不能配置相同或相邻的信道，即它们至少相差2。在这些限制下，关于跨度有什么结论。

问题B：假定前述图1中的格子在各方向延伸到任意远，回答问题A。

问题C：在下述假定下，再回答问题A和B。一般地假定距离在2s内的发射机的信道至少相差某给定的整数k，而相距少于4s的两个发射机不能分配同样的信道。作为k的一个函数，关于跨度和配置的有效策略有什么结论。

问题D：考虑问题的一般化。比如更多的干扰水平，或发射机位置的不规则等。还有什么因素可能也是重要的？

问题E：写一篇短文（不超过两页）给地方报纸，阐述你们的发现。