| 我对于罗素悖论和哥德尔定理是这样理解的 |
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| 作者：数学 文章来源：强国论坛 点击数： 更新时间：2006-3-7 |
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我对于罗素悖论和哥德尔定理是这样理解的
我对于罗素悖论和哥德尔定理是这样理解的
2003-07-09 18:17:39
我对于罗素悖论和哥德尔定理是这样理解的
当然，如果理解得不对，也望各位海涵（什么时候我变得如此谦虚了？还文绉绉的）。
我以为，罗素悖论和哥德尔定理原本没有必要用那种引起哄动的宣传办法来进行，其实数学上也没有遇到过太大的危机，无非是知道了一些道理而已。
先说罗素悖论。以前说，数学是不喜欢讨论具体的东西的，因此数学的基础是集合论。而集合是一个范畴，是不可定义的最基本的母概念。当然，可以给人们解释集合是什么东西，比如说自然数的全体是一个集合，中国人民的全体是一个集合，强国论坛的网友是一个集合，强国论坛上所有的贴子是一个集合，等等。
也就是说，每一个集合，里面都有一些被称作为元素的东西。而元素几乎可以是任何东西。但这里面的麻烦在于，有这么一种集合，集合的元素，还是集合。比如说概率论里的事件集，其中的元素，又是来自另一个大的集合叫样本空间中的子集。讲老实话，大学生们在学习概率论的时候，最难懂的，就是这个集合的集合。当然，也就还有集合的集合的集合，这样套下去是非常麻烦的。
但是现代的数据库中就有这样的东西，一个数据库的每条记录，可以看作是这个数据库的元素，但一个数据库中的记录如果一打开，可能又是另一个数据库了。
原来人们以为，象这种集合里面套集合，是可以任意胡来的。但是罗素悖论无非是制定了一个新的规则，这个规则规定，凡集合里面套集合的那些种类的集合，必须满足，集合不能够是自身的元素，或者自身的子集的元素。有了这个规定，数学其实是不矛盾的。而为什么要有这个规定，是因为，如果没有这个规定，就会导致矛盾。
为了说明这一点，罗素举了一个浅显的例子，一个小镇里的理发师向全镇人规定：凡是不自己给自己刮胡子的人，由他负责给刮胡子。数学上讲，这个规定是允许的，是因为数学现在的规则，是将理发师本人除外的。如果不把理发师本人除外，就会导致矛盾，即理发师应当不应当给自己刮胡子？
实际上，如果要想避免罗素悖论，一个重要的规则就是不要评价自己，也不要互相循环评价。但是我有的时候也有这种恶习，就是有意地在强国论坛上故意地制造悖论，这当然是一种玩笑。比如我说“我现在说的这句话是胡说八道。”这句话注定是要在里面转着永远出不来了。还有什么“下面这句话是错误的。”“上面这句话是正确的。”这也构成逻辑上的转圈，让人无法得到结论。
再说哥德尔定理。在说明这个定理之前，先说说什么叫“命题”，也有叫“断言”的。
而要说明什么叫命题之前，先要说说两类“问题”的种类。我们知道语言中以问号结束的就是问题。而问题中专门有一类，叫“是-否”问题，用英语讲就是"Yes-No"问题。也就是说，这类问题的回答，只能够有两种，是，或者不是。比如说“你家住哪儿？”这就不是一个“是-否”问题，而“你家是在北京吗？”就构成一个“是-否”问题。
而一个命题是这样一句话，或者说一个判断性的话，这句话可以转化为一个“是-否”问题。如果这个命题是对的，则可回答“是”，这个命题就是真命题。而如果这个命题是错的，则可回答“否”，这个命题就是伪命题。
任何数学体系，或者数学分支，都由一些称作“公理”的命题构成一个基础，公理是不可被证明为真，也不可证明为伪的。
而还有一类命题在给定的公理化体系下被证明为真，这类命题就被称作定理，当然，也有叫“引理”，或者“推论”的。
而一个数学分支，通常由几条公理构成。为什么要几条公理而不是一条公理呢？是因为这几条公理，相互之间不能够证明对方是真还是伪，或者说它们之间不能够互相推导出来。
但是，数学上还有这样的事情，就是给一个公理化体系，能够新加进去一个公理，而产生新的数学分支。那么，新加进去的公理，当然肯定不能够被已经存在的公理所证明出来，或者证明它不真。也就是说新加进去的公理无法被已经存在的公理所推导出来是对的或者是不对的。
那么就有这样一个幻想，会不会一个公理化体系，不断地加进去新的公理，到一定程度之后，就再也加不进任何新的公理以构成新的数学分支了？这个被数学家所幻想的公理化体系，被数学家起了一个名字，当然就象是给未出生的小孩起了一个名字一样，被称作完备的公理化体系。
也就是说，如果有了一个完备化的公理化体系，比如说其中有一百条公理组成。那么，就再也加不进任何新的公理以产生新的数学分支了。或者说，任何的命题，在这个公理化体系中，都或者被证明为真，或者被证明为伪，再也找不到任何即无法证明为真，又无法证明为伪的命题了，当然也就无法扩充这个公理化体系了，新的数学分支也就不可能诞生了。
而哥德尔无非是证明了，这件事情是不可能的。他证明了无论一个数学分支的公理有多少条，总还是有机会再加入新的公理以产生新的数学分支。否则的话也会导致矛盾的结果。
也就是说，数学这门学科将是永远发展的，永无尽头的，永远有机会产生新的数学分支，每一个数学分支都有它的公理化体系。
但是在宣传上，长期以来用了一种耸人听闻的手法，就是“完备性与矛盾，你要哪一个？”，好象数学的大厦真的遇到了什么危机似的。那么，任何伪命题的证明，都可以给出问题“这个伪命题和形式逻辑矛盾，你要哪一个？”数学当然是要逻辑上的不矛盾。
此外，要真的想给一个数学的公理化体系加进去一个公理，也并不是那么容易的事情，是非常难找到的。也正因为如此，我曾经想试图找出一个例子，公理是怎样加进去的，也是很难找得出，这样我的这篇东西也就无法通俗了。唯一我能够想到的例子，就是欧几里得几何的第五公设。
因此，哥德尔这个人的麻烦在于，他是用反证法来证明这件事情的，因此对于一个给定的公理化体系，怎样找到一个新的公理并且加到这个公理化体系以形成新的数学分支，是毫无帮助的。打个比方，如果对于某个微分方程，如果只是通过反证法证明了这个方程一定有解，却不能够给出一个寻找解的办法，是让人恼火的事情。也正如，如果一个人向另一个人证明了他的爱情的对象肯定在中国的某一个角落里存在，却没有告诉他怎样找到这个爱情，也是令人恼火的。
也就是说，根据哥德尔的定理，我们已经知道对于一个给定的公理化体系，一定存在着一个命题可以作为公理加进去以构成新的数学分支。但是怎样找到这样的命题是千难万难的事情。通常能够想得到的办法就是，有人提出了一个命题，然后大家都努力地从原有的公理化体系中试图证明这个命题成立或者不成立，努力了许多年一点结果都没有，结果就怀疑这可以当作一个公理了。当然其逆命题也可以构成一个公理。这在历史上我所知道的例子也就是欧几里得几何学的第五公设了，
许多人对于哥德尔定理稀里糊涂，也是因为想要找一个例子来说明并不容易。没有许多例子，也就稀里糊涂。 |
