1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面 如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体

说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体

2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：

3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数 、面数 及棱数 有关系式：

．

4．欧拉示性数：在欧拉公式中令 ， 叫欧拉示性数

说明：（1）简单多面体的欧拉示性数 ．

（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数 ．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体

二、讲解范例：

例1 由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种

证明：设正多面体的每个面的边数为 ，每个顶点连有 条棱，

令这个多面体的面数为 ，每个面有 条边，故共有 条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数    （1）

   令这个多面体有 个顶点，每一个顶点处有 条棱，故共有 条棱 由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数    （2）

由（1）（2）得： ， 代入欧拉公式： ．

∴        （3），

∵又 ， ，但 ， 不能同时大于 ，

（若 ， ，则有 ，即 这是不可能的）

∴ ， 中至少有一个等于 ．令 ，则 ，

∴ ，∴ ，∴ ．

同样若 可得 ．

例2．欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：

1996年诺贝尔化学奖授予对发现 有重大贡献的三位科学家 是由60个 原子构成的分子，它是形如足球的多面体 这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算 分子中五边形和六边形的数目

解：设 分子中有五边形 个，六边形 个

分子这个多面体的顶点数 ，面数 ，棱数 ，由欧拉定理得：   （1），

另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得    （2），由（1）（2）得： ，

∴ 分子中五边形有12个，六边形有20个

例3．一个正多面体各个面的内角和为 ，求它的面数、顶点数和棱数

解：由题意设每一个面的边数为 ,则 ，

∴ ，

∵ ，∴ ,

将其代入欧拉公式 ,得 ,设过每一个顶点的棱数为 ,

则 ， 得 ,即 （1）,

∵ ，∴ ,又 ，

∴ 的可能取值为 ， , ,

当 或 时（1）中 无整数解；

当 ,由（1）得 ,

∴ , ∴ ，

综上可知: ， ， .

三、小结 ：欧拉定理的应用；会用欧拉公式 解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题

四、课后作业：

⒈　一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－4

证明：∵ 　，V＋F－E＝2

∴V＋F－ ＝2　∴F＝2V－4

⒉　设一个凸多面体有V个顶点，

求证：它的各面多边形的内角和为（V-2）·360°

解：设此多面体的上底面有V上个顶点，下底面有V下个顶点

将其下底面剪掉，抻成平面图形则

V上·360°＋（V下－2）·180°＋（V下－2）·180°

＝（V上＋V下－2）·360°

＝（V－2）360°

⒊　有没有棱数是7的简单多面体？说明理由

证明：∵V＋F－E＝2　，　∴V＋F＝7＋2＝9

∵多面体的顶点数V≥4，面数F≥4

∴只有两种情况V＝4，F＝5或V＝5，F＝4

但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，

有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，

∴没有棱数是7的简单多面体

⒋　是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边

证明：设有一个多面体，有F（奇数）个面，并且每个面的边数

也都是奇数，则

但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的

∴不存在这样的多面体