1 欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家 1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝 （详细资料附后）

 2 多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．

3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．

4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等

二、讲解新课：

1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面 如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体

说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体

2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：

发现：它们的顶点数 、面数 及棱数 有共同的关系式： ．

上述关系式对简单多面体都成立

3.欧拉公式的探究

1．请查出图⑹的顶点数V、面数F、和棱数E，并计算V＋F－E＝6+6-10=2

2．查出图⑺中的顶点数V、面数F、和棱数E，并验证上面公式是否还成立？

3.　假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面。

可以验证：只有像⑸⑹这样，经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体才满足公式V＋F－E＝2。这个公式称为欧拉公式，这样的多面体称为简单多面体。

4．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数 、面数 及棱数 有关系式：

．

证明:(方法一)

⑴如图⑽：将多面体的底面ABCDE剪掉，抻成平面图形，其顶点、棱数，面数（剪掉面用右图中ABCDE表示）均没有变，故所有面的内角总和不变。

⑵设左图中共有F个面，分别是 边形，顶点数为V，棱数为E,则 .

左图中，所有面的内角总和为

＝

＝

⑶右图中，所有面的内角总和为

　　     ＝

　　⑷  ＝

整理得 .

（方法二）以四面体 为例来说明：

将它的一个面 去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数 、棱数 与剩下的面数 变形后都没有变   因此，要研究 、 和 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可

    对平面图形，我们来研究：

（1）去掉一条棱，就减少一个面 例如去掉 ，就减少一个面 ．

同理，去掉棱 、 ，也就各减少一个面 、 ．

所以 、 的值都不变，因此 的值也不变

（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点 例如去掉 ，就减少一个顶点 ．同理，去掉 就减少一个顶点 ，最后剩下

（如图）．

在此过程中 的值不变，但这时面数 是 ，

所以 的值也不变

由于最后只剩下 ，所以 ，

最后加上去掉的一个面，就得到 ．

4．欧拉示性数：

在欧拉公式中令 ， 叫欧拉示性数

说明：（1）简单多面体的欧拉示性数 ．

（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数 ．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体 ．