抽象代数不抽象

（2003．6．2）

说起代数，大家并不陌生。当年念中学时就见过，也不抽象，不就是用字母代替数字来做事情嘛！ 开始时, 那些英文字母a,b,c 和x,y,z,  看起来有点别扭，可用习惯了，还挺亲切的呢。到了大学，学了高等代数和近世代数，才知道，天还很大，地也很阔。原来在中学里可以运算的东西，在很多对象上也能进行；挺有趣的。在代数学中, 常常是将这些共同的性质，抽象出来，作为公理和定律的。比如， 2乘3等于3乘2，用字母来写就是 ab = ba, 在近世代数里叫它为“交换律”。满足交换律的代数对象，身边的就有不少；不过，还有好多其他的规律呢, 挺好玩的。想要知道更多、更有趣的东西,  那就得再学点《抽象代数》、 等等。

 《抽象代数》不抽象，这是为何？首先，“抽象”的意思并不是通常人们所理解的抽象，即“具体” 的反义词。其实这里的抽象代表的是将研究对象的本质抽炼出来，加以高度概括，来描述其形象。举个例子来说吧，整数有很多性质，其中这整数的带余除法大家都知道： 两个整数a和b， 如果b不为零，一定有一个整数q和一个非负整数r使得 a= qb + r, 其中0≤r < |b| . 可当你学了实数域上的多项式后，你会发现，这个规则，对于多项式也是对的。于是，人们为了将这样一大类的研究对象来统一处理，就引入了“欧氏环”这个概念，并将上面的这一条作为它的公理。这样一来，你就可以象在整数环上一样，做欧氏环的除法、因子分解, 等等。许多的定理和结论，你也不必分别对整数、多项式等来一一验证，只要能知道它是欧氏环，那么相应的结论都对，真是省力又省时。再如，你知道，怎样从整数来做分数，这个办法在抽象代数里，通过提取最核心的东西，可以在任意的交换环上来做，即也有“分数”这个概念。这两个简单的例子说明，抽象代数也是具体的，并非不可琢磨。相反，这“抽象”概括的能力却是人人应该具备的。

可不是嘛?! 当你求职面试或做其它事务时, 可能要面对一大堆的信息和资料, 你无法全都记住它们。也许, 你会用现代的掌上电子设备将所有信息保存下来, 但你总不能当着老板的面, 拿出微型电子笔记本, 边看边谈话吧!  所以, 你就得抽象概括这些信息的要害, 总结出几条。只要掌握住这几条, 其它的就可以临场发挥了。从抽象代数的角度来看, 就是说，你得抽象出“公理”，以此为基点，进行运作。这就是通常人们所说的，你得有会抓住主要问题的能力。

如果你上研究生, 读更深的抽象代数, 你会发现, 许多的概念都来自现实生活, 一个典型的例子就是“路代数”, 它极其形象地表示出了一类代数的“象”。关于这个例子的细节，大家可以查看有关表示论的普通书籍。而且抽象代数，它把许多问题都纳入一个大的框架，进行统筹安排、统一处理；不是一个问题，一个方案，而是一类问题一个方案。这种思维方式，也许，对于今后要做企业的高层管理者来说，更为需要，因为在有限的时间里，你是无法对每一个具体的事情都来设计一个方案的。

但是，要学好抽象代数，你别以为就象读报看杂志一样，它毕竟是一门数学课程，你得花点力气！首先，要概念清楚，其次，要掌握一些典型的具体例子，第三，也是最重要的，就是要多思考，多联想，达到理解。更深的一步是，你得学着用它来做点事情。（在这里，解说一下，为什么要学习一些例子，一般说来，你是无法一下子完全理解所学的东西的。通过学习一个典型的例子，来帮助你了解、体会和理解所学的东西的含义和它的实质。这就象一个高层管理者“无法对每一个具体的事情都来设计一个方案” 一样， 而是通过处理一、两个个案来推动整个企业在这一方向上的发展。）

相信你自己，学习《抽象代数》没商量！