用LINDO、LINGO解运筹学问题（数学规划方面）

一、             软件简介

    LINDO是一种专门用于求解数学规划问题的软件包。由于LINDO执行速度很快、易于方便输入、求解和分析数学规划问题。因此在数学、科研和工业界得到广泛应用。LINDO主要用于解线性规划、非线性规划、二次规划和整数规划等问题。也可以用于一些非线性和线性方程组的求解以及代数方程求根等。LINDO中包含了一种建模语言和许多常用的数学函数（包括大量概论函数），可供使用者建立规划问题时调用。

  一般用LINDO（Linear Interactive and Discrete Optimizer）解决线性规划（LP—Linear Programming）。整数规划（IP—Integer Programming）问题。其中LINDO 6 .1 学生版至多可求解多达300个变量和150个约束的规划问题。其正式版（标准版）则可求解的变量和约束在1量级以上。

LINDO则用于求解非线性规划（NLP—NON—LINEAR PROGRAMMING）和二次规则（QP—QUARATIC PROGRAMING）其中LINGO ６.0学生版最多可版最多达300个变量和150个约束的规则问题，其标准版的求解能力亦再10^4量级以上。虽然LINDO和LINGO不能直接求解目标规划问题,但用序贯式算法可分解成一个个LINDO和LINGO能解决的规划问题。

要学好用这两个软件最好的办法就是学习他们自带的HELP文件。

下面拟举数例以说明这两个软件的最基本用法。（例子均选自张莹《运筹学基础》）

例１.（选自《运筹学基础》Ｐ５４.汽油混合问题，线性规划问题）

一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数”描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述。某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为１，２，３，４，其特性及库存量列于下表１中，将上述标准汽油适量混合，可得两种飞机汽油，某标号为１，２，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求列于表２中。

问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。

表１

(1 g/cm^2=98Pa)

表２

建模过程　略（详见《运筹学基础》Ｐ５４—５５）

目标函数：max z=x1+x2+x3+x4　　

约束条件：x5+x6+x7+x8>=250000

x1+x5<=380000

x2+x6<=265200

x3+x7<=408100

x4+x8<=130100

2.85x1-1.42x2+4.27x3-18.49x4>=0

2.85x5-1.42x6+4.27x7-18.49x8>=0

16.5x1+2.0x2-4.0x3+17x4>=0

7.5x5-7.0x6-13.0x7+8.0x8>=0

xj>=0(j=1,2...,8)

下面我们就用LINDO来解这一优化问题。

输入语句：

max(不区分大小写) x1+x2+x3+x4

ST(大写或写subject to)

x5+x6+x7+x8>=250000

x1+x5<=380000

x2+x6<=265200

x3+x7<=408100

x4+x8<=130100

2.85x1-1.42x2+4.27x3-18.49x4>=0

2.85x5-1.42x6+4.27x7-18.49x8>=0

16.5x1+2.0x2-4.0x3+17x4>=0

7.5x5-7.0x6-13.0x7+8.0x8>=0

end

然后再按运算符键即可得结果。

LINDO是规定Ｘj非负的，我们可发现输入方式与我们的数学书写的形式基本一致，运算后，计算机会问您是否需要灵敏度分析，我们选择是，结果如下：

LP OPTIMUM FOUND AT STEP      6

        OBJECTIVE FUNCTION VALUE

        1)      933400.0

  VARIABLE        VALUE          REDUCED COST

        X1    161351.734375          0.000000

        X2    265200.000000          0.000000

        X3    408100.000000          0.000000

        X4     98748.265625          0.000000

        X5    218648.265625          0.000000

        X6         0.000000          0.000000

        X7         0.000000          0.000000

        X8     31351.734375          0.000000

       ROW   SLACK OR SURPLUS     DUAL PRICES

        2)         0.000000         -1.000000

        3)         0.000000          1.000000

        4)         0.000000          1.000000

        5)         0.000000          1.000000

        6)         0.000000          1.000000

        7)         0.000000          0.000000

        8)     43454.000000          0.000000

        9)   3239024.250000          0.000000

       10)   1890675.875000          0.000000

 NO. ITERATIONS=       6

 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

                           OBJ COEFFICIENT RANGES

 VARIABLE         CURRENT        ALLOWABLE        ALLOWABLE

                   COEF          INCREASE         DECREASE

       X1        1.000000         0.000000         1.154137

       X2        1.000000         INFINITY         0.000000

       X3        1.000000         INFINITY         0.000000

       X4        1.000000         0.000000         0.000000

       X5        0.000000         1.154137         0.000000

       X6        0.000000         0.000000         INFINITY

       X7        0.000000         0.000000         INFINITY

       X8        0.000000         0.000000         0.000000

                           RIGHTHAND SIDE RANGES

      ROW         CURRENT        ALLOWABLE        ALLOWABLE

                    RHS          INCREASE         DECREASE

        2   250000.000000    186222.062500    234752.984375

        3   380000.000000    234752.984375     15247.017578

        4   265200.000000     30601.410156    265200.000000

        5   408100.000000    156685.250000     10176.581055

        6   130100.000000      2350.135254     36184.207031

        7        0.000000     43454.000000    669046.000000

        8        0.000000     43454.000000         INFINITY

        9        0.000000   3239024.250000         INFINITY

       10        0.000000   1890675.875000         INFINITY

下面给出其结果的一般解释：

“LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6”表示LINDO在（用单纯形法）６次迭代或旋转后得到最优解。

“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)933400.0”表示最优目标值为933400。

“VALUE”给出最优解中各变量的值。

“SLACK OR SURPLUS”给出松弛变量的值。上例中SLK 2= 第二行松弛变量＝０（模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束）

“REDUCE COST”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时，目标函数的变化率，其中基变量的reduce cost 值应为０，对于非基变量Ｘj相应的reduce cost值表示Ｘj增加一个单位（此时假定其他非基变量保持不变）时目标函数减小的量（max 型问题）。上例中：X1 对应的 reduce cost 值为０，表示当X1=1 时，目标函数值不变。

“DUAL PRICE”（对偶价格）列出最优单纯形表中判别数所在行的松弛变量的系数，表示当对应约束有微小变动时，目标函数的变化率，输出结果中对应每一个约束有一个对偶价格。若其数值为Ｘ，表示对应约束中不等式右端项若增加一个单位，目标函数将增加Ｘ个单位（max 型问题）。上例中：第二行对应的对偶价格值应为-１表示当约束　２）X5 + X6 + X7 + X8>250000变为　２）X5 + X6 + X7 + X8>250001时，

目标函数值＝933400-1＝933399

当REDUCE COST 或DUAL PRICE  的值为０。表示当微小扰动不影响目标函数。有时，通过分析DUAL PRICE，也可对产生不可行问题的原因有所了解。

灵敏度分析：如果做敏感性分析，则系统报告当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围变化（此时假定其他系数保持不变）时，最优基保持不变。报告中INFINITY表示正无穷，如上例：目标函数中Ｘ１的变量系数为１，当它在［1-1.154137,1-0］=

   [-0.154137,1] 变化时，最优基保持不变 。

第一个约束右端项为250000，当它在［250000-234752.984375,250000+186222.0625］=[15247.015625,436222.0625] 范围变化时，最优基保持不变 。

当您要判断表达式输入是否有错误时，也可以使用菜单“Reports“的”Picture“选项。

若想获得灵敏度分析，可用“Reports“的”Rang“选项。

若需显示单纯形表，可执行“Reports“的”Tab lean“选项。

注意事项：

１） 目标函数及各约束条件之间一定要有“Subject to (ST) ”分开。

２） 变量名不能超过８个字符。

３） 变量与其系数间可以有空格，单不能有任何运算符号（如乘号“＊”等）。

４） 要输入<=或>=约束，相应以<或>代替即可。

５） 一般LINDO中不能接受括号“（）“和逗号“，“，例：400(X1+X2) 需写成400X1+400X2；10,000需写成10000。

６） 表达式应当已经过简化。不能出现 2 X1+3 X2-4 X1，而应写成-２X1+3 X2。

例2．（选自《运》P94习题2.4；整数规则）

有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每个人做各项工作所消耗的时间如表。问应该如何指派，才能使总的消耗时间为最小？

这是一道典型的整数规则问题。

我们记派第I去做工作记为Xij

注意到每人只能做一项工作。每项工作一人做。我们得到目标函数为约束条件：

 min 15x11+19x21+26x31+19x41+18x12+23x22+17x32+21x42+24x13+22x23+16x33+23x43+24x14+18x24+19x34+17x44

ST

x11+x12+x13+x14=1

x21+x22+x23+x24=1

x31+x32+x33+x34=1

x41+x42+x43+x44=1

x11+x21+x31+x41=1

x12+x22+x32+x42=1

x13+x23+x33+x43=1

x14+x24+x34+x44=1

end

int 16

运行后我们可得到最优目标值为70

当    ，其余为0时。（具体的Reports 我们略去）

在用LINDO解整数规划（IP）问题时，只要在END后加上标识即可，其中解0/1规划的用命令。

INT name 或 INT n (n 指前n 个变量标识为0/1型)解混合型整数规划则用GIN来标识。

LINDO解整数规划对变量的限制为50个。（指LINDO 6.1学生版）。所以说，尽管LINDO对整数规划问题是很有威力。要有效地使用还是需要一定技术的。这是因为，人们很容易将一个本质上很简单的问题列成一个输入模型。从而有可能会导致一个冗长的分支定界计算。

例3          用LINDO解目标规划

由于LINDO不能直接求解目标规划问题，这是否就意味着LINDO失去了效力呢？不是的。

由求解目标规划问题的有效算法——序贯式算法可知其实目标规划我们常采取分解成前面二种办法而已。

例如算：min a=((d1_+d1),(2d2+d3))

G1:x1-10x2+d1_-d1=50

G2:3x1+5x2+d2_-d2=20

G3:8x1+6x2+d3_-d3=100

xi(i=1,2),dj_,dj(j=1,2,3)>=0

先求目标函数的最优值

min d1_+d1

ST

x1-10x2+d1_-d1=50

3x1+5x2+d2_-d2=20

end

求得D1_+D1 的最优值为0

然后再求

min 2d2+d3

ST

x1-10x2+d1_-d1=50

3x1+5x2+d2_-d2=20

8x1+6x2+d3_-d3=100

d1_+d1=0

end

即可算得第二级最优值2d2+d3

例4          LINDO虽亦可求解二次规划问题。（但我认为它在输入对不如用LINGO方便，用LINDO输入时要先作偏导数计算不如LINGO哪样可直接输入。（选自《运筹学基础》Ｐ190.习题4.10

min f(x)=(x1-1)^2+(x2-2)^2

x2-x1=1

x1+x2<=2

x1>=0,x2>=0

先来说一说如何使用LINGO

一般来说LINGO多用于解决大规模数学规划。

用时要注意以下几点：

（1） 每条语句后必须使用分号“；”结束。问题模型必须由MODEL命令开始，END结束。

（2） 用MODEL命令来作为输入问题模型的开始，格式为MODEL：statement （语句）。

（3） 目标函数必须由“min =”或“max =”开头。

则上面的例子的输入就为

modul:

min=(x1-1)^2+(x2-2)^2;

x2-1=1;

x1+x2<=2;

end

我们即可得到最优值0.5。当X1=0.5，X2=1.5，及灵敏度分析。我们还可得作图分析。

对于大规模规划求解请参见LINGO的HELP文件。