正三角形的判定及问题的推广

向量习题课案例

朱　彤

（浙江瓯海中学，浙江　温州　325014）

1　引言

(１) 为什么学生总是将命题中条件的充分性与必要性相混淆，特别是进行问题的证明的时候，生活经验的影响吗？数学教师应负什么样的责任？

(２) 在问题情境的教学中，教师应怎样改变“专家”的角色，而从学习者的观点出发切身地体验问题的生成过程，并把握给学生指导的适当时机。

2　教学背景

这是一所规模较大、生源尚可的省一级重点中学，教学班为高一（１）班，有46人是经过两个实验班筛选后的一个普通班，大部分学生来自近郊，刚入校时，许多学生完全依赖教师的理解，上课时较被动，以听讲为主，经过一个多学期的教学，现在部分学生敢于提出自己关心的问题和想法，保守依赖的个性逐步向开放、自主的方向转变。

3　案例描述

3.1 问题的呈现

期中考试刚过，由于试卷命制得较难，全班平均分仅62分，大部分学生心情沮丧，情绪低落。在试卷讲评课上，教师按次序讲到一道答得不理想的选择题：

在 中，若 ，且

则 的形状是（　　）

（Ａ）等腰三角形　　（Ｂ）直角三角形　　（Ｃ）等边三角形　

（Ｄ）Ａ、Ｂ、Ｃ都不对

师：有做对的同学吗？请讲讲你的理由。

生１：选Ｃ，因为如果 是正三角形，设边长为１，则 的两两夹角均为 ，则 ，所以选Ｃ

生２：不对，怎么可以先假设 是正三角形呢？这正是你要推导的呀？

师：刚才这位同学的结论是对的，但他证明了 是 为正三角形的必要条件，而现在要解决的问题 是为正三角形的充分条件，他将两者混淆了，举个例子：凡是数学家，都一定很聪明，他很聪明，他一定是数学家吗？

3.2 问题的解决

师：判断三角形的形状，一般有两个途径，一为求边或角的大小，二为边之间或角之间的关系。边及角的大小可借助于向量的模及数量积的定义；如果寻求边之间或角之间的关系，则往往从寻求等量关系着手。大家讨论一下，应怎样解决问题？

经过讨论，仍没能完整解决问题，部分学生能写出：

（１）

（２）

对（１）教师鼓励学生画出示意图，进一步探究其图形特征。

对（２）教师点拨如何构造数量积，并将已知条件加以利用

Ａ

Ｄ

Ｂ

Ｃ

于是有：

生３：（解法一）

作 ，则 有　故 ,

为直角三角形，又BC为中线，

故AB=BC　同理可证AB=AC,故 为正三角形．

生４：（解法二）：

，两边点积 ，

则有 , , ,同理可证 ，故 为正三角形．

师：通过证明，可知：事实上 是 为正三角形的充要条件，想一想，是否还存在类似的判断 为正三角形的条件，当然除三边相等，三内角相等等平凡的条件外。

课堂一片沉默

师：对正三角形来说某些条件可能既是充分的又是必要的，我们不妨换个方向思考问题，找一找正三角形都有哪一些特殊性质？

生５：正三角形四心合一，四心指重心、垂心、内心、外心。

师：反之成立吗？四心太多了，能否取两心，课本里是否有现成的题目？

生６：我在课本第151页找到一题：

向量 ，满足条件 ，且 ，求证： 是正三角形．

师：条件 与条件 分别表示什么样的几何意义

生７：Ｏ是 的重心和外心

O

P3

P1

P2

P4

师：该题如何证明？是否也有两种方法？

生８：

两边与自身进行数量积运算， ……

生９：如图，作 ，则 为正三角形．．．．．．

4            反思与思考

　（１）　问题的拓广

师：将考试题的条件拓广至四边形，则有什么样的结论？也就是：

在四边形ABCD中，设

当 时，判断四边形ABCD的形状．

生10：是正方形．

师：为什么？

生10：因为三个顶点时是正三角形，我猜想四个顶点时为正方形，且若是正方形的话，

师：一定是正方形吗？在逻辑推理上你犯了与前一考试题回答时同样的错误。

生11：四边形ABCD为矩形时也满足 ，应该是矩形。

师：很好，我们要大胆地猜想，小心地求证。在证明方法上与三角形情形也应该有类似之处。

经过小组讨论、探究、教师的补充完善，得到以下两种有代表性的解法：

解法一： 同理: 同理: 四边形是平行四边形, 故 四边形ABCD为矩形.

解法二： 故 展开整理得： （1）同理可得： （2）

由（1）（2）可得： , 四边形是平行四边形，又

    故四边形ABCD为矩形.

师：正三角形与矩形的判定条件形式上十分相似，但是否存在实质的不同呢？如对 ?

生12：对正三角形 为正三角形的边长). 对矩形 与边长无关.

师：解法一、解法二事实上都是从直接来证明 等关系式成立.反过来想,若 ，则会有什么样的结果?

生13 ：用反证法:

设 ，若m>0则 均为钝角, 四边形ABCD的内角和大于360 ,类似地，若m<0，则四边形ABCD的内角和小于360 .都不可能, m=0

师：太好了!这是一个十分精彩而简洁的证明.

(２). 对于数学证明的学习，首先在学生正式接触到了证明之前，他们实际上已具有了一些关于证明的观念，如根据个人的经验、权威的认可、观察到的实例的验证，举出反例等等。这些观念在社会生活、政治活动甚至物理科学中随处可见。但由于数学的本质及其组织、构造方式所决定的，使得数学只能接受演绎证明。其次，数学的发展，数学定理的建立，最主要的创造性的工作不在于证明，而在于产生命题的猜想，而证明只是承认猜想的例行手段，这个过程要经历猜想、证明、怀疑、举出反例、改进多次的循环才能达到。再次，证明教学中如何利用几何直观性？简单的直观如何通过教学上升到一定程度的严密？

(３). 以“问题” 为“红线” 组织教学，在解决问题和数学知识应用的过程中又产生深一层次的问题，形成“情景——问题”链，以此驱动教学与学习的进程，这为探究式教学的一种有效教学模式，有利于培养学生的创新意识和实践能力。教学并不是把现成的知识教给学生，而是在学生学习知识的过程中，根据学生的需要向其提供帮助和搭建脚手架。本案例中围绕向量运算中的等量关系式及几何意义的两种取向，向学生提供了解决问题的钥匙。当学生在解决某一问题时，不知如何着手时，教师是否应该及时地参与教学，鼓励学生运用直觉、猜想、反推等接近问题，然后向学生提供获得进步所必需的帮助，这经常包括课本和其他信息源中发现的相关资料。随之带来的问题是，这样的帮助有时往往降低了学生的认知水平要求，达不到自主探究的效果。

(４). 教师在教学中要鼓励和提倡解决问题策略的多样化，尊重学生在解决问题过程中所表现出来的不同的认知水平和认知方式，尽可能地以学习者的观点出发体验问题的生成过程，鼓励每一个学生主动参与到教学活动中。任何一个问题都可能存在着多种可能的解决方案，多种解决方案的可能性往往产生于学生有趣的深入讨论。

参考文献

[1] 张奠宙. 数学教育学 [M]. 南昌: 江西教育出版社，1997.  110—111.

 [2] 徐斌艳. 数学教育展望[M]. 上海: 华东师范大学出版社,2001.251—253.