导数和微分专题

导数和微分的概念及运算

一、         考实要求与分析

理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，熟记求导公式和求导法则（两个函数的四则运算法则和复合函数的求导法则）会求简单的初等函数的导数。

例1：已知曲线y= 求：

①在点（9.7）处的切线方程。

②曲线上哪一点处切线与直线2x+y-3=0垂直

讲解：①y′=（ ）′

y′|_x=9 利用点斜式得

因此曲线y= 在点（9、7）处的切线方程是

②令y′= = 解得x=4

∴y=

所以曲线在点（4、5）处切线与直线2x+y-3=0垂直

评析：求切线的斜率便对曲线的函数式求导，已知切点可求切线方程，已知切线方程（或其斜率）也可求相应的切点坐标。

例2：求下列函数的导数

①y=3x⁴-x³+2x²-4     ②y=

讲解：①y′=12x³-3x²+4x

②解法Ⅰ：y′=

=

解法Ⅱ：y′=

评析：①运算法则（u±v）′= u′±v′可以推广到多个函数相加减时。

②求导运算时，对一些常用公式，基本技能要求掌握，有时注意适当改变函数的形式，可以使方法简捷。

例3：求y= 的导数

 讲解：解法Ⅰ：设u=2+x²，则y=

∴y′= u′=   ，  u′_x=2x

解法Ⅱ：

评析：①中间变量u是为求导数而设，这样可以降低难度，但最后结果不能保留u，必须换回原来的自变量x，用此解法Ⅰ中到 不能以为做完？

②解法Ⅱ中不写出中间变量直接对x求导，对于多项复合函数要由外向里逐次求导，如下例

例4：求下列函数的导数

①               ②

讲解：①

②

评析：复合函数求导中要仔细分清步骤弄清几层求导，准确应用公式：

例5：求下列函数的微分

①        ②     

讲解：

①

②

评析：（1）注意微分概念与导数的联系和区别利用 即（ ）可知求微分关键是求函数的导数。①②两题先求导数，再写出所求的微分。

求二阶导数和二阶微分和一阶和情况一样，二阶导数就是一阶导函数的导数。

二、         解题方法，技巧总结

①     深刻理解导数的概念，特别要利用导数的几何意义和实际背景理解。

②     要熟悉求导数的方法有两种，利用导数的定义按照要

求△y、 、   以及三步求解，利用基本函数的导数公式四则运算法则，复合函数的求导法则求导数，前一种方法用于推导公式，实际是常用后一种方法。

③导数计算的关键是准确应用公式，法则、特别是复合函数法则的应用是难关，引用中间变量可以降低难度。

④函数的可导性和可微性是等价的,注重其联系和区别,特别是计算方法的联系,微分是后一章不定积分的逆运算。导数和微分的应用

一、         考点要求与分析

1、             能从几何直观了解可微函数的单调性与其导数符号的关系。设f(x)在某个区间可导，f′(x)＞0 f(x)为增函数，f′(x)<0 f(x)为减函数。

2、             熟悉求可导函数单调区间的一般方法和步骤。

3、             掌握函数极值的定义，弄清极值与最值概念的区别和联系。

4、             理解可微函数f(x)有极值的必要条件是f′（x）=0。

5、             可微函数f(x)在〔a，b〕上一定有最大值和最小值，但在（a ，b）不一定有，要熟练掌握这类最值的求法步骤，特别是实际问题（指单峰函数）中的最值问题。

二、         例题：

例1  判定函数f(x)=x³－3x² －5的单调区间。

讲解：f′（x）=3x²－６x=3x(x－２)

令f′（x）＞0得x＜0或 x＞2

因此x∈(-∞，0)或x∈(2，+∞)时f(x)是增函数。

令f′(x) ＜0  得0＜x＜2

因此当x∈(0，2)时f(x)为减函数

评析：求可导函数的单调区间一般的方法和步骤是：

①     确定函数的定义域；②求方程f′(x)=0的解；③把函数的间断点的横坐标和上面的各实根由小到大排列起来。用这些点把定义域分成若干个区间④确定f′(x)在各个区间的符号，据f′(x)来判定f(x)在各个区间的增减性。

例2  求函数y=x²(1-x)³的极值

讲解：（1）y=x²(1-x)³

y′=x(1-x)²(2-5x)

令y′=0得x=0、1、

当x变化时，y′、y的变化情况如下表

因此当x=0时,y有极小值0

当x= 时，y有极大值

评析：求函数极值点时，如果定义域内有导数不存在的点，应注意考察其是否为极值点，不可忽略，可能出现极值的点是使

f′(x)=0或f′(x)不存在的点，然而f(x)在x₀处可导且 时，x₀肯定不是极值点，特别注意f′(x)=0不是有极值的充分条件。

例3：求 y =x－  ,x∈〔0，4〕的最大值和最小值。

讲解：y′=１－

令y′=0得x=1

当x=1时，y=－1

当x=0时，y=０

当x=4时，y=0

∴函数在x=1时有最小值-1，在x=0或x=4时有最大值0

评析：连续函数在闭区间必有最值，求最值时，要注意不漏掉区间的端点函数值与极值的大小比较。

例4、用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器框架，如要所制作的容器的底面的一边比一另一边长0.5 m那么高为多少时容器的容积最大，并求出它的最大容积。

  讲解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为(x+0.5)m，高为

由3.2－２x＞0和x＞0   得    0＜x＜1.6

设容器的容积为ym³，则有

y =-2x³+2.2x²+1.6x

令y′= －6x²+4.4x+1.6=0  得

x =1或   x = (舍去)

∵在定义域（0、1.6）内只有一个极值

∴当x =1时，y取得最大值为-2+2.2+1.6= 1.8

这时高为3.2 －2.1=1.2

答：容器高为1.2m时容积最大，最大容积为18m³。

评析：用导数求实际问题中最值题目，关键是审题时对各个量的认真分析。另外可以据实际意义来确定取得最值时变量的取值。

三、        解题方法、技巧总结

1、欲证函数f(x)在（a，b）内单调增或单调减，可以用函数的单调性定义，也可用导数来进行判别，前者较繁，后者较易，要熟练掌握用导数进行判别的解题步骤，但要注意若f(x)在

（a，b）内个别点上，满足f′(x)=0（或不存在但连续）其余点满足f′(x) ＞0（或f′(x) ＜0＝ 函数f(x)仍然在(a，b)内单调递增（或递减），即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点。

2、函数的极值表示函数f(x) 在一点附近情况即极值是局部对函数值的比较，函数在区间上的极大值（或极小值）又有若干个。而且有时极小值大于它的极大植。f′(x)=0是可导函数f(x)在x=x₀处取极值的必要但不充分条件，对于连续函数（不一定处处可导）时，可以是不必要条件，要弄清怎样判别f(x)在x₀处有否极值。

3、函数的最大值、最小值表示函数f(x)在一个区间的情况，即是在整体区间上对函数值的比较，连续函数f(x) 在闭区间〔a，b〕上必有一个最大值和最小值，但f(x)在 ( a，b)上就不一定有最值。

4、应用题中利用导数求 f(x)在（a，b）上最值时，f′(x)=0在（a，b）的解只有一个，由题意最值和确实存在就是使f′(x)=0的解是最值点。