08年NBA赛程安排的分析与评价
NBA赛程安排的分析与评价摘 要
本文综合考虑了NBA上个赛季的各球队赛绩和本赛季的赛程，确定出赛程对球队不利的四个主要影响因素，运用层次分析法对其进行定量分析，引入一个不利因素指数来描述赛程安排对球队的影响大小，利用MATLAB计算出赛程对各个队的不利因素指数值。从不利因素指数排名得出赛程对于对姚明加盟的火箭队来说是影响不是很大，赛程对球队最有利的是活塞队，最不利的是步行者队。
对于问题（3），用MATLAB对2008—2009年赛程的1230场比赛的方式进行分类统计，并对3类方式再进行筛选出结果并对其进行分析总结。为了保证比赛的公平性和观赏性，在同部不同区的比赛中，尽量安排实力相差不大的球队赛4场，实力悬殊的球队安排赛3场，于是我们建立0—1规划模型，应用lingo求解出最合适的方案。
关键词：层次分析法；连续比赛；不利指数；赛程公平性；0—1规划
一 问题的重述
NBA是全世界篮球球迷们最钟爱的赛事之一。对于NBA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响。本题主要是要求用数学建模方法对NBA2008-2009赛季赛程进行定量的分析与评价：
1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。
2）按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。
3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。
二 问题的分析
问题（1）需要分析赛程对某一支球队的利弊影响，我们确定赛程对球队造成不利影响的4个因素，即连续与强队连续比赛、连续异地对阵实力一般的球队或连续主场对阵强队、主场连续对阵水平相当的球队和主场连续对阵水平相当的球队。由于区分了强弱队，我们需要对球队实力进行排名，依据是2007——2008年赛季的赛季中各队胜利的场数，取前6名定义为强队。主客场的区分可以用SPSS实现。我们引入了不利因素指数来描述赛程对球队的不利影响，用层次分析法将30支球队的不利因素指数进行排序。
问题（2）根据问题（1）所得的不利因素指数排名结果分析赛程对球队的不利影响。
问题（3）我们先从赛程中同部不同区的赛3场的球队进行分析总结，发现2008——2009年赛程中，同部同区的某一支球队需要与另外两个区的两支球队赛3场（一支是2客1主，另一支是2主1客），每支球队的主客场数量相同，而安排赛3场的两支球队选取是随机的。考虑到比赛的公平性和观赏性，本文选取的准则是尽量安排实力相差不大的球队赛4场，实力悬殊的球队安排赛3场，转化为数学语言：所有比赛中球队实力差的总和最小，于是我们考虑到应用0—1规划模型进行求解，0表示赛4场，1表示赛3场,目标函数是所有比赛的实力差值的总和达到最小，使用lingo进行求解，得出一种最合适的方案。
三 模型假设
（1） 假设2008—2009年赛季各个队的实力不发生改变，即上个赛季的排名情况反映了本赛季的实力情况，假设排名前6为强队，这个实力排名情况是绝对的，不考虑相对实力差距。
（2） 假设各球队经过一天休息即可恢复体力。
（3） 假设所有客场对球队的不利影响都一样，不考虑距离远近。
四 符号说明
Si 表示四个不利影响因素，i=1,2, 3 ,4
L 表示不利因素指数，值越大，表示对球队的越不利
Ak 表示成对比较矩阵
Bk 对象层对准则层的权向量矩阵
CK 组合权向量值
五 模型的建立与求解
5.1 问题（1）
5.1.1 主要影响因素的确定
对于问题（1），需要分析赛程安排对某一球队的利弊的影响因素，我们综合考虑了上个赛季的球队赛绩和本赛季的赛程情况，只考虑不利因素，这样便于对问题的分析和数据的处理。我们考虑到以下几个因素对球赛会造成影响：①球员的劳累程度，劳累主要是由球队连续作战（即背靠背作战）和主客场之间的旅途造成的劳累两方面引起，这对球队实力发挥水平有重要影响。②球队之间的实力差距，我们只考虑连续比赛情况，若某一球队连续和比该球队实力强的球队比赛，将会影响到球队状态。
我们再把问题细化，分类分析讨论，最后确定赛程对某一球队的不利影响因素有4个：
（1）球队连续与强队比赛，我们把它称为S1影响因素。
客场是指球队在其他球队的场地进行比赛，这样就要考虑到旅途使队员的休息受到一些影响，同时连续比赛也会使体力下降，影响到球队的水平发挥。
（2）连续异地对阵实力一般的球队或连续主场对阵强队，在异地比赛中，需要考虑到旅途对球队的休息有影响，同时我们还需要考虑连续作战对球队的实力发挥有影响，我们把它们的影响归为一类称为S¬2 影响因素。
（3）主场连续对阵水平相当的球队，在主场虽然有主场优势，但是连续作战时体力尚未恢复，对第二场比赛不利，我们把它称为S¬3影响因素。
（1） 与强队之间的非连续进行地比赛, 与强队比赛后，不论中间休息多少天，对球队都有不利影响，我们把它称为S4影响因素。
5.1.2球队实力排名的确定
依据2007—2008年赛季的各球队在比赛中胜利的场数，我们对NBA 30个球队根据胜的场数进行实力排名，各球队排名结果如表1所示。我们规定30支球队中的前6名为强队。本文讨论的是赛程中连续比赛对球队的影响。
表1 2007—2008年赛季球队实力排名
球队 胜 负 胜率 排名 球队 胜 负 胜率 排名
凯尔特人 66 16 80.500% 1 开拓者 41 41 50.000% 16
活塞 59 23 72.000% 2 76人 40 42 48.800% 17
湖人 57 25 69.500% 3 国王 38 44 46.300% 18
马刺 56 26 68.300% 4 老鹰 37 45 45.100% 19
黄蜂 56 26 68.300% 5 步行者 36 46 43.900% 20
太阳 55 27 67.100% 6 篮网 34 48 41.500% 21
火箭 55 27 67.100% 7 公牛 33 49 40.200% 22
爵士 54 28 65.900% 8 山猫 32 50 39.000% 23
魔术 52 30 63.400% 9 雄鹿 26 56 31.700% 24
小牛 51 31 62.200% 10 尼克斯 23 59 28.000% 25
掘金 50 32 61.000% 11 快船 23 59 28.000% 26
勇士 48 34 58.500% 12 森林狼 22 60 26.800% 27
骑士 45 37 54.900% 13 灰熊 22 60 26.800% 28
奇才 43 39 52.400% 14 超音速 20 62 24.400% 29
猛龙 41 41 50.000% 15 热火 15 67 18.300% 30
5.1.3 将赛程转换为便于数据处理的格式
为了便于对NBA 2008—2009年赛季的赛程进行分析，我们得做些数据处理。首先将30个球队逐个编号，并利用MATLAB编程实现对Si因素逐个进行次数统计，球队编号及其统计结果如表2所示。
表2 球队编号和连续参加比赛的次数统计
编号 球队 S1因素 S2因素 S3因素 S4因素
1 凯尔特人 0 11 6 1
2 活塞 0 11 5 1
3 湖人 0 16 3 2
4 马刺 0 11 7 1
5 黄蜂 0 13 6 0
6 太阳 0 17 2 0
7 76人 1 11 9 1
8 步行者 2 12 7 3
9 公牛 0 9 13 1
10 超音速 1 15 2 4
11 国王 0 19 3 4
12 灰熊 1 15 6 3
13 火箭 0 16 4 5
14 掘金 0 13 8 2
15 爵士 0 17 4 3
16 开拓者 1 11 4 6
17 快船 1 12 8 2
18 老鹰 0 15 7 4
19 猛龙 1 11 5 1
20 魔术 1 11 4 1
21 尼克斯 1 13 4 0
22 奇才 0 12 6 2
23 骑士 0 14 5 1
24 热火 1 10 8 1
25 森林狼 1 14 7 5
26 山猫 1 9 11 0
27 网队 0 15 7 4
28 小牛 1 9 6 3
29 雄鹿 0 13 9 3
30 勇士 0 12 3 5
5.1.4 层次分析法
题（1）要求给出评价赛程利弊的数量指标，这样就确定了可以选用层次分析法来解决这个问题。我们将4个影响因素作为准则层，对象层为NBA东西部的30个球队，建立如图3所示的层次结构模型。
图3 层次结构模型
（1）确定准则层对目标层的权向量
我们对四个影响因素进行重要程度比较构造出准则层对目标层成对比较矩阵 。
（2）计算权向量和一致性检验
使用和法用MATLAB编程计算得： ，对应的特征向量为：,矩阵A进行一致性检验的计算公式是 ， ，用MATLAB编程计算得： ，所以A通过了一致性检验，说明其构造是相对合理的，其对应的特征向量可以作为权向量。即 ，通过了一致性检验。
（3）确定对象层对准则层的权向量矩阵
我们设定对象层对准则层的权向量矩阵为 ,通过MATLAB编程实现对Bk的求解，如表4所示。
表4 对象层对准则层的权向量矩阵
凯尔特人 0 0.028424 0.03352 0.014493
活塞 0 0.028424 0.027933 0.014493
湖人 0 0.041344 0.01676 0.028986
马刺 0 0.028424 0.039106 0.014493
黄蜂 0 0.033592 0.03352 0
太阳 0 0.043928 0.011173 0
76人 0.071429 0.028424 0.050279 0.014493
步行者 0.142857 0.031008 0.039106 0.043478
公牛 0 0.023256 0.072626 0.014493
超音速 0.071429 0.03876 0.011173 0.057971
国王 0 0.049096 0.01676 0.057971
灰熊 0.071429 0.03876 0.03352 0.043478
火箭 0 0.041344 0.022346 0.072464
掘金 0 0.033592 0.044693 0.028986
爵士 0 0.043928 0.022346 0.043478
开拓者 0.071429 0.028424 0.022346 0.086957
快船 0.071429 0.031008 0.044693 0.028986
老鹰 0 0.03876 0.039106 0.057971
猛龙 0.071429 0.028424 0.027933 0.014493
魔术 0.071429 0.028424 0.022346 0.014493
尼克斯 0.071429 0.033592 0.022346 0
奇才 0 0.031008 0.03352 0.028986
骑士 0 0.036176 0.027933 0.014493
热火 0.071429 0.02584 0.044693 0.014493
森林狼 0.071429 0.036176 0.039106 0.072464
山猫 0.071429 0.023256 0.061453 0
网队 0 0.03876 0.039106 0.057971
小牛 0.071429 0.023256 0.03352 0.043478
雄鹿 0 0.033592 0.050279 0.043478
勇士 0 0.031008 0.01676 0.072464
（4）组合权向量
组合权向量表示的是方案层对目标层的权向量，我们用Ck表示，根据层次分析法的原理，我们知道 j=1,2,3,…29,30。
5.1.5不利因素指标
综合考虑以上计算结果，我们确定不利因素影响数量指标——不利指数，标记为L
L= =
其中 为某个球队第 个影响因素值， 为第 个影响因素权重，L的值越大表示编排的赛程对球队越不利，反之则越有利。
利用Matlab软件计算，将计算的结果进行从小到大排列，如表5所示；
表5 不利因素指数结果排名
球队 不利指数 排名 球队 不利指数 排名
活塞 0.011384 1 网队 0.018278 16
凯尔特人 0.011995 2 国王 0.018494 17
黄蜂 0.012324 3 魔术 0.051036 18
太阳 0.012539 4 尼克斯 0.051364 19
马刺 0.012607 5 猛龙 0.051648 20
骑士 0.01338 6 热火 0.052817 21
奇才 0.013664 7 小牛 0.052934 22
湖人 0.014491 8 山猫 0.052984 23
勇士 0.014837 9 76人 0.054095 24
公牛 0.014946 10 快船 0.055152 25
掘金 0.015553 11 超音速 0.055484 26
爵士 0.016771 12 开拓者 0.056051 27
雄鹿 0.017168 13 灰熊 0.056928 28
火箭 0.018112 14 森林狼 0.05888 29
老鹰 0.018278 15 步行者 0.095807 30
5.2 问题（2）
编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，而且不太容易实现。在编制的过程中，为保证赛程尽量公平，只能先考虑主要因素，忽略次要因素，不利指标正是反映这样的结果，从4的结果我们可以得出以下结论：
（1）各个队的不利因素指标数值之间的波动不大，所以这个赛程对每个队来说还是比较公平的。
（2）火箭队的不利指标值排在了第16位，所以对火箭队而言，这个赛程安排，对火箭队影响不大。因为表1的球队排名情况中火箭队排在第7位，在本模型中我们将这个名次定义为实力一般，而在表2中的不利因素统计次数中我们可以看到2008——2009赛季中火箭队S1、S2、S3、S4的统计次数分别为0、16、4、5，连续异地对阵一般队、连续主场对阵强队、连续主场对阵实力一般的球队非连续对阵强队的次数较多。
同时从表四的结果我们可以看出，30支球队中，2008——2009年赛季赛程安排对活塞队最有利，对步行者队最不利。
5.3 问题（3）
从赛程我们可以看出，30支球队中的任一球队与其他球队的比赛只有赛2、3、4场3种可能。题目要求同部不同区球队比赛中，选取赛3场或4场的球队的方法，我们首先计算每个队赛3场的次数N,
N=82-（4*4）-(2*5*3)=36
设赛4场的球队数为 ,赛3场的球队数为 ，根据题意得
可以解得 =6， =4，即任何一个队与其他队赛3场的有4个球队，与其他队赛4场的有6个球队。
由于总的比赛场数为1230场，我们需要筛选出每个队赛3场的总数，即4*3*15=180场。
我们用MATLAB程序实现筛选这180场比赛，并将所得出的结果导入EXCEL中，东西部各队赛3场的赛程安排见附录一。以东部的东南区和大西洋区比赛为例，结果在表6中，我们将2客1主情况赋值为-1，2主1客为1，这样便于对数据进行处理。我们可以找出如下规律：
（1）任一区中的一队与同部的另外两个区的两个球队进行比赛，其中一支球队为2客1主，另一支球队为2主1客，主客场数保持均衡。以表6中的魔术队为例，东部东南区的魔术队与同部大西洋区中的76人的比赛为2客1主，与网队的比赛为2主1客，与同部的中部区的活塞队和骑士队的比赛分别为2客1主和2主1客，客场和主场数量相同。
（2）任意一行（列）的客场数和主场数相等，即横向或列向相加为0。
表6 东部东南区和大西洋赛3场统计情况
凯尔特人 猛龙 76人 网 尼克斯
魔术 0 0 -1 1 0
奇才 -1 1 0
老鹰 0 0 1 0 -1
山猫 1 0 0 -1
热火 0 -1 0 0 1
注：0表示赛4场，-1表示2客1主，1表示2主1客
为了保证比赛的公平性和观赏性，我们制定的准则是安排实力相差不大的球队进行4场比赛。由于每一支球队与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。所以我们就制定这样一个准则：
（1）强队尽量多地与强队进行比赛，所以同部中某一区的一支强队与同部不同区的两个强队各赛4场（两主两客），为了使弱队有主场优势，强队若与实力
较弱的队比赛，则他们之间安排赛3场，即弱队2主1客，强队2客一主。
（2）弱队尽量多地与弱队进行比赛，同部中某区的一支弱队与同部不同区的两个弱队各赛4场（两主两客），以保证公平性。为了使强队有客场劣势，弱队与实力较强的球队比赛时赛3场，强队2客1主，弱队2主1客。
由于同区不同部的比赛中，只有赛3场和赛4场这两种情况，于是我们采用0—1规划模型，我们把赛3场的定义为0—1规划模型中的1，赛4场的定义为0—1规划模型中0。考虑到建立0-1规划模型，我们先给符号约定如下：
i,j 同部不同区赛3场和赛4场比赛的第i,j支球队；，i,j=1,2,3,4,5；
第i支球队的实力；
第j支球队的实力；
同部不同区的第i支球队和第j支球队的实力差值。
目标函数是比赛中所有球队实力差的总和最小，
于是我们建立的数学模型如下：
Min C=
表明同部不同区的每支球队需要进行4场比赛， 表示同部不同的第i和j支球队的实力差距。C= 表示总的实力差值总和，我们的目标是这个值达到最小，即我们寻找的最佳组合。
我们采用LINGO编程计算，采用全局求解器，我们任意选取两个区的赛程作为例子，这种选取方式对各区都适用。把得出的结果导入EXCEL中，如表7所示。横向1，2，3，4，5表示任一分区的5个球队，列向1，2，3，4，5表示同部不同区的五个球队，他们的实力情况均为球队1>球队2>球队3>球队4>球队5。
表7 同部不同区赛3场和赛4场合适方案矩阵
（i,j） 球队1 球队2 球队3 球队4 球队5
球队1 0 1 1 0
球队2 0 0 1 1
球队3 1 0 0 1
球队4 1 1 0 0
球队5 0 1 1 0
注：0表示赛4场，1表示赛3场
由于我们在lingo程序中没有区分赛3场中的2主1客和2客1主情况，根据比赛中所有球队实力差的总和最小原则，我们将表7中再细化，得到表8。
表8 同部不同区赛3场和赛4场合适方案矩阵
（i,j） 球队1 球队2 球队3 球队4 球队5
球队1 0 -1 1 0
球队2 0 0 -1 1
球队3 1 0 0 -1
球队4 -1 1 0 0
球队5 0 -1 1 0
注：0表示赛4场，1表示赛2主1客，-1表示2客1主
表8表示的就是我们设定的实力差距最小准则的最优方案，举例来说，第1列中的球队2与同部不同区的球队1之间是赛4场，由于球队1的实力与球队2实力差不是很大，这样安排比较公平的。同理，列向的球队2与横向的球队5是赛3场，即他们的实力差距较大，我们安排他们赛3场，同时由于球队2实力比球队5实力差，安排球队2主1客，也是考虑到公平性原则的。因此，该矩阵表示在这种准则下的合适的比赛方式。
六 模型的评价
优点：本文讨论了赛程对球队的不利影响因素并进行了定量分析，使用层次分析法，通过MATLAB编程计算出不利因素指数，能够较好的反映赛程对球队影响的实际情况，是一种实际可行的方法，值得推广应用。
缺点：在讨论确定赛程对球队的不利因素时有一定的局限性的主观性，同时实力排名的波动性不太确定，我们采用的排名是上个赛季的赛绩，这也存在一定的局限性。
附 录
（注：1表示两主一客，-1表示两客一主）
东部赛场统计情况
魔术 奇才 老鹰 山猫 热火 凯尔特人 猛龙 76人 网 尼克斯 活塞 骑士 步行者 公牛 雄鹿
魔术 -1 1 -1 1
奇才 -1 1 1 -1
老鹰 1 -1 1 -1
山猫 1 -1 -1 1
热火 -1 1 -1 1
凯尔特人 1 -1 1 -1
猛龙 -1 1 1 -1
76人 1 -1 -1 1
网 -1 1 1 -1
尼克斯 1 -1 1 -1
活塞 1 -1 -1 1
骑士 -1 1 1 -1
步行者 -1 1 1 -1
公牛 1 -1 -1 1
雄鹿 1 -1 1 -1
西部各队赛3场统计情况
黄蜂 马刺 火箭 小牛 灰熊 爵士 掘金 开拓者 森林狼 超音速 湖人 太阳 勇士 国王 快船
黄蜂 -1 1 1 -1
马刺 1 -1 1 -1
火箭 1 -1 -1 1
小牛 -1 1 -1 1
灰熊 1 -1 -1 1
爵士 1 -1 -1 1
掘金 1 -1 -1 1
开拓者 -1 1 -1 1
森林狼 -1 1 1 -1
超音速 1 -1 1 -1
湖人 -1 1 1 -1
太阳 -1 1 1 -1
勇士 -1 1 -1 1
国王 1 -1 -1 1
快船 1 -1 -1 1
好东西~ 是我感兴趣的
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