maple基础
第一章 Maple基础
1 初识计算机代数系统Maple
1.1 Maple简说
1980年9月, 加拿大Waterloo大学的符号计算机研究小组成立, 开始了符号计算在计算机上实现的研究项目, 数学软件Maple是这个项目的产品. 目前, 这仍是一个正在研究的项目.
Maple的第一个商业版本是1985年出版的. 随后几经更新, 到1992年, Windows系统下的Maple 2面世后, Maple被广泛地使用, 得到越来越多的用户. 特别是1994年, Maple 3出版后, 兴起了Maple热. 1996年初, Maple 4问世, 1998年初, Maple 5正式发行. 目前广泛流行的是Maple 7以及2002年5月面市的Maple 8.
Maple是一个具有强大符号运算能力、数值计算能力、图形处理能力的交互式计算机代数系统(Computer Algebra System). 它可以借助键盘和显示器代替原来的笔和纸进行各种科学计算、数学推理、猜想的证明以及智能化文字处理.
Maple这个超强数学工具不仅适合数学家、物理学家、工程师, 还适合化学家、生物学家和社会学家, 总之, 它适合于所有需要科学计算的人.
1.2 Maple结构
Maple软件主要由三个部分组成: 用户界面(Iris)、代数运算器(Kernel)、外部函数库(External library). 用户界面和代数运算器是用C语言写成的, 只占整个软件的一小部分, 当系统启动时, 即被装入, 主要负责输入命令和算式的初步处理、显示结果、函数图象的显示等. 代数运算器负责输入的编译、基本的代数运算(如有理数运算、初等代数运算等)以及内存的管理. Maple的大部分数学函数和过程是用Maple自身的语言写成的, 存于外部函数库中. 当一个函数被调用时, 在多数情况下, Maple会自动将该函数的过程调入内存, 一些不常用的函数才需要用户自己调入, 如线性代数包、统计包等, 这使得Maple在资源的利用上具有很大的优势, 只有最有用的东西才留驻内存, 这保证了Maple可以在较小内存的计算机上正常运行. 用户可以查看Maple的非内存函数的源程序, 也可以将自己编的函数、过程加到Maple的程序库中, 或建立自己的函数库.
1.3 Maple输入输出方式
为了满足不同用户的需要, Maple可以更换输入输出格式: 从菜单“Options | Input Display和Out Display下可以选择所需的输入输出格式.
Maple 7有2种输入方式: Maple语言(Maple Notation)和标准数学记法(Standard Math Notation). Maple语言是一种结构良好、方便实用的内建高级语言, 它的语法和Pascal或C有一定程度的相似, 但有很大差别. 它支持多种数据操作命令, 如函数、序列、集合、列表、数组、表, 还包含许多数据操作命令, 如类型检验、选择、组合等. 标准数学记法就是我们常用的数学语言.
启动Maple, 会出现新建文档中的“[>”提示符, 这是Maple中可执行块的标志, 在“>”后即可输入命令, 结束用“;”(显示输出结果)或者“:”(不显示输出结果). 但是, 值得注意的是, 并不是说Maple的每一行只能执行一句命令, 而是在一个完整的可执行块中健入回车之后, Maple会执行当前执行块中所有命令(可以是若干条命令或者是一段程序). 如果要输入的命令很长, 不能在一行输完, 可以换行输入, 此时换行命令用“shift+Enter”组合键, 而在最后一行加入结束标志“;”或“:”, 也可在非末行尾加符号“\”完成.
Maple 7有4种输出方式: Maple语言、格式化文本(Character Notation)、固定格式记法(Typeset Notation)、标准数学记法(Standard Math Notation). 通常采用标准数学记法.
Maple会认识一些输入的变量名称, 如希腊字母等. 为了使用方便, 现将希腊字母表罗列如下，输入时只需录入相应的英文，要输入大写希腊字母, 只需把英文首字母大写:
alpha beta gamma delta epsilon zeta eta theta iota kappa lambda mu
nu xi omicron pi rho sigma tau upsilon phi chi psi omega
有时候为了美观或特殊需要，可以采用Maple中的函数或程序设计方式控制其输出方式，如下例：
> for i to 10 do
printf("i=%+2d and i^(1/2)=%+6.3f", i, eval(sqrt(i)));
od;
i=+1 and i^(1/2)=+1.000i=+2 and i^(1/2)=+1.414i=+3 and i^(1/2)=+1.732i=+4 and i^(1/2)=+2.000i=+5 and i^(1/2)=+2.236i=+6 and i^(1/2)=+2.449i=+7 and i^(1/2)=+2.646i=+8 and i^(1/2)=+2.828i=+9 and i^(1/2)=+3.000i=+10 and i^(1/2)=+3.162
+2d的含义是带符号的十进位整数，域宽为2. 显然，这种输出方式不是我们想要的，为了得到更美观的输出效果，在语句中加入换行控制符“\n”即可：
> for i to 10 do
printf("i=%+2d and i^(1/2)=%+6.3f\n", i, eval(sqrt(i)));
od;
i=+1 and i^(1/2)=+1.000
i=+2 and i^(1/2)=+1.414
i=+3 and i^(1/2)=+1.732
i=+4 and i^(1/2)=+2.000
i=+5 and i^(1/2)=+2.236
i=+6 and i^(1/2)=+2.449
i=+7 and i^(1/2)=+2.646
i=+8 and i^(1/2)=+2.828
i=+9 and i^(1/2)=+3.000
i=+10 and i^(1/2)=+3.162
再看下例：将输入的两个数字用特殊形式打印：
> niceP:=proc(x,y)
printf("value of x=%6.4f, value of y=%6.4f",x,y);
end proc;
> niceP(2.4,2002.204);
value of x=2.4000, value of y=2002.2040
1.4 Maple联机帮助
学会寻求联机帮助是掌握一个软件的钥匙. Maple有一个非常好的联机帮助系统, 它包含了90%以上命令的使用说明. 要了解Maple的功能可用菜单帮助“Help”, 它给出Maple内容的浏览表, 这是一种树结构的目录表, 跟有…的词条说明其后还有子目录, 点击这样的词条后子目录就会出现(也可以用Tab键和up, down选定). 可以从底栏中看到函数命令全称, 例如, 我们选graphics…, 出现该条的子目录, 从中选2D…, 再选plot就可得到作函数图象的命令plot的完整帮助信息. 一般帮助信息都有实例, 我们可以将实例中的命令部分拷贝到作业面进行计算、演示, 由此可了解该命令的作用.
在使用过程中, 如果对一个命令把握不准, 可用键盘命令对某个命令进行查询. 例如, 在命令区输入命令“?plot”(或help(plot);), 然后回车将给出plot命令的帮助信息, 或者将鼠标放在选定的要查询的命令的任何位置再点击菜单中的“Help”即可.
2 Maple的基本运算
2.1 数值计算问题
算术是数学中最古老、最基础和最初等的一个分支, 它研究数的性质及其运算, 主要包括自然数、分数、小数的性质以及他们的加、减、乘、除四则运算. 在应用Maple做算术运算时, 只需将Maple当作一个“计算器”使用, 所不同的是命令结束时需加“;”或“:”.
在Maple中, 主要的算术运算符有“+”(加)、“–”(减)、“*”(乘)、“/”(除)以及“^”(乘方或幂，或记为**), 算术运算符与数字或字母一起组成任意表达式, 但其中“+”、“*”是最基本的运算, 其余运算均可归诸于求和或乘积形式. 算述表达式运算的次序为: 从左到右, 圆括号最先, 幂运算优先, 其次是乘除，最后是加减. 值得注意的是, “^”的表达式只能有两个操作数, 换言之, 是错误的, 而“+”或“*”的任意表达式可以有两个或者两个以上的操作数.
Maple有能力精确计算任意位的整数、有理数或者实数、复数的四则运算, 以及模算术、硬件浮点数和任意精度的浮点数甚至于矩阵的计算等等. 总之, Maple可以进行任意数值计算.
但是, 任何软件或程序毕竟只是人们进行科学研究的一种必要的辅助, 即便它有很多优点, 但也有它的局限性, 为了客观地认识数学软件、认识Maple, 下面通过两个简单例子予以说明.
第一个简单的数值计算实例想说明Maple数值计算的答案的正确性:
> 3!!!;
2601218943565795100204903227081043611191521875016945785727541837850835631156947382240678577958130457082619920575892247259536641565162052015873791984587740832529105244690388811884123764341191951045505346658616243271940197113909845536727278537099345629855586719369774070003700430783758997420676784016967207846280629229032107161669867260548988445514257193985499448939594496064045132362140265986193073249369770477606067680670176491669403034819961881455625195592566918830825514942947596537274845624628824234526597789737740896466553992435928786212515967483220976029505696699927284670563747137533019248313587076125412683415860129447566011455420749589952563543068288634631084965650682771552996256790845235702552186222358130016700834523443236821935793184701956510729781804354173890560727428048583995919729021726612291298420516067579036232337699453964191475175567557695392233803056825308599977441675784352815913461340394604901269542028838347101363733824484506660093348484440711931292537694657354337375724772230181534032647177531984537341478674327048457983786618703257405938924215709695994630557521063203263493209220738320923356309923267504401701760572026010829288042335606643089888710297380797578013056049576342838683057190662205291174822510536697756603029574043387983471518552602805333866357139101046336419769097397432285994219837046979109956303389604675889865795711176566670039156748153115943980043625399399731203066490601325311304719028898491856203766669164468791125249193754425845895000311561682974304641142538074897281723375955380661719801404677935614793635266265683339509760000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
上述运算结果在IBM PC机(1G, 128M)上计算只需要0.01秒, 得到如此复杂的结果(1747位), 一个自然的问题是: 答案正确吗？
为了回答这个问题, 我们借助于数值分析方法, 由Stiring公式
可得: , 前三位数字与Maple输出结果相同, 且两者结果均为1747位. 另外, 在720!的计算中, 5的因子的个数为:
这些5与足够多的2相乘将得到178个0, 而Maple的输出结果中最后178位数为零. 由此, 可以相信Maple结果的正确性.
另一个例子则想说明Maple计算的局限性:
Maple在处理问题时, 为了避免失根, 从不求算术式的近似值, 分数则化简为既约分数. 因此, 在Maple中很容易得到:
显然这是错误的. 这一点可以从代数的角度予以分析.
不妨设 , 则 , 即 , 显然 有3个结果, -2是其实数结果.
另一方面, 设 , 则 , 即:
显然 有6个结果, -2、2是其实数结果.
这个简单的例子说明了Maple在数值计算方面绝对不是万能的, 其计算结果也不是完全正确的, 但是, 通过更多的实验可以发现: Maple只可能丢失部分结果, 而不会增加或很少给出完全错误的结果(如上例中Maple的浮点数结果皆为 ). 这一点提醒我们, 在利用Maple或其他任何数学软件或应用程序进行科学计算时, 必须运用相关数学基础知识校验结果的正确性.
尽管Maple存在缺陷(实际上, 任何一个数学软件或程序都存在缺陷), 但无数的事实说明Maple仍然不失为一个具有强大科学计算功能的计算机代数系统. 事实上, Maple同其他数学软件或程序一样只是科学计算的一个辅助工具, 数学基础才是数学科学中最重要的.
2.1.1 有理数运算
作为一个符号代数系统, Maple可以绝对避免算术运算的舍入误差. 与计算器不同, Maple从来不自作主张把算术式近似成浮点数, 而只是把两个有公因数的整数的商作化简处理. 如果要求出两个整数运算的近似值时, 只需在任意一个整数后加“.”(或“.0”), 或者利用“evalf”命令把表达式转换成浮点形式, 默认浮点数位是10 (即: Digits:=10, 据此可任意改变浮点数位, 如Digits:=20).
> 12!+(7*8^2)-12345/125;
> 123456789/987654321;
> evalf(%);
> 10!; 100*100+1000+10+1; (100+100)*100-9;
> big_number:=3^(3^3);
> length(%);
上述实验中使用了一个变量“big_number”并用“:=”对其赋值, 与Pascal语言一样为一个变量赋值用的是“:=”. 而另一个函数“length”作用在整数上时是整数的十进制位数即数字的长度. “%”是一个非常有用的简写形式, 表示最后一次执行结果, 在本例中是上一行输出结果. 再看下面数值计算例子:
1)整数的余(irem)/商(iquo)
命令格式:
irem(m,n); ＃求m除以n的余数
irem(m,n,'q'); ＃求m除以n的余数, 并将商赋给q
iquo(m,n); ＃求m除以n的商数
iquo(m,n,'r'); ＃求m除以n的商数, 并将余数赋给r
其中, m, n是整数或整数函数, 也可以是代数值, 此时, irem保留为未求值.
> irem(2002,101,'q'); # 求2002除以101的余数, 将商赋给q
> q; #显示q
> iquo(2002,101,'r'); # 求2002除以101的商, 将余数赋给r
> r; ＃显示r
> irem(x,3);
2)素数判别(isprime)
素数判别一直是初等数论的一个难点, 也是整数分解问题的基础. Maple提供的isprime命令可以判定一个整数n是否为素数. 命令格式: isprime(n);
如果判定n可分解, 则返回false, 如果返回true, 则n“很可能”是素数.
> isprime(2^(2^4)+1);
> isprime(2^(2^5)+1);
上述两个例子是一个有趣的数论难题。形如 的数称为Fermat数, 其中的素数称为Fermat素数, 显然, F0=3、F1=5、F2=17、F3=257、F4=65537都是素数. Fermat曾经猜想所有的Fn都是素数, 但是Euler在1732年证明了F5=641•6700417不是素数. 目前, 这仍是一个未解决的问题, 人们不知道还有没有Fermat素数, 更不知道这样的素数是否有无穷多.
3) 确定第i个素数(ithprime)
若记第1个素数为2，判断第i个素数的命令格式: ithprime(i);
> ithprime(2002);
> ithprime(10000);
4) 确定下一个较大(nextprime)/较小(prevprime)素数
当n为整数时，判断比n稍大或稍小的素数的命令格式为:
nextprime(n);
prevprime(n);
> nextprime(2002);
> prevprime(2002);
5) 一组数的最大值(max)/最小值(min)
命令格式: max(x1,x2,…,xn); #求x1,x2,…,xn中的最大值
min(x1,x2,…,xn); #求x1,x2,…,xn中的最小值
> max(1/5,ln(3),9/17,-infinity);
> min(x+1,x+2,y);
6)模运算(mod/modp/mods)
命令格式: e mod m; # 表达式e对m的整数的模运算
modp(e,m); ＃ e对正数m的模运算
mods(e,m); ＃ e对m负对称数(即 -m)的模运算
`mod`(e,m); # 表达式e对m的整数的模运算, 与e mod m等价
值得注意的是, 要计算i^n mod m(其中i是一整数), 使用这种“明显的”语法是不必要的, 因为在计算模m之前, 指数要先在整数(可能导致一个非常大的整数)上计算. 更适合的是使用惰性运算符“&^”即: i &^n mod m, 此时, 指数运算将由mod运算符智能地处理. 另一方面, mod运算符的左面优先比其他运算符低, 而右面优先高于+和-, 但低于*和/.
> 2002 mod 101;
> modp(2002,101);
> mods(49,100);
> mods(51,100);
> 2^101 mod 2002; # 同 2 &^101 mod 2002;
7)随机数生成器(rand)
命令格式:
rand( ); ＃随机返回一个12位数字的非负整数
rand(a..b); ＃调用rand(a..b)返回一个程序, 它在调用时生成一个在范围内的随机数
> rand();
> myproc:=rand(1..2002):
> myproc();
> myproc();
注意, rand(n)是rand(0..n-1)的简写形式.
2.1.2 复数运算
复数是Maple中的基本数据类型. 虚数单位i在Maple中用I表示. 在运算中, 数值类型转化成复数类型是自动的, 所有的算术运算符对复数类型均适用. 另外还可以用Re( )、Im( )、conjugate( )和argument( )等函数分别计算实数的实部、虚部、共轭复数和幅角主值等运算. 试作如下实验:
> complex_number:=(1+2*I)*(3+4*I);
> Re(%);Im(%%);conjugate(%%%);argument(complex_number);
值得注意的是上行命令中均以“;”结束, 因此不能将命令中的2个%或3个%(最多只能用3个%)改为1个%, 因为%表示上一次输出结果, 若上行命令改为“,”结束, 则均可用1个%.
为了在符号表达式中进行复数运算, 可以用函数evalc( ), 函数evalc把表达式中所有的符号变量都当成实数, 也就是认为所有的复变量都写成 的形式, 其中a、b都是实变量. 另外还有一些实用命令, 分述如下:
1) 绝对值函数
命令格式: abs(expr);
当expr为实数时，返回其绝对值，当expr为复数时，返回复数的模.
> abs(-2002); #常数的绝对值
> abs(1+2*I); ＃复数的模
> abs(sqrt(3)*I*u^2*v); ＃复数表达式的绝对值
> abs(2*x-5); ＃函数表达式的绝对值
2)复数的幅角函数
命令格式: argument(x); ＃返回复数x的幅角的主值
> argument(6+11*I);
> argument(exp(4*Pi/3*I));
3)共轭复数
命令格式: conjugate(x); ＃返回x的共轭复数
> conjugate(6+8*I);
> conjugate(exp(4*Pi/3*I));
2.1.3 数的进制转换
数的进制是数值运算中的一个重要问题. 而在Maple中数的进制转换非常容易, 使用convert命令即可.
命令格式: convert(expr, form, arg3, ...);
其中, expr为任意表达式, form为一名称, arg3, ... 可选项.
下面对其中常用数的转换予以概述. 而convert的其它功能将在后叙章节详述.
1)基数之间的转换
命令格式:
convert(n, base, beta); #将基数为10的数n转换为基数为beta的数
convert(n, base, alpha, beta);＃将基数为alpha的数字n转换为基数为beta的数
> convert(2003,base,7); #将10进制数2002转换为7进制数, 结果为: (5561)7
> convert(,base,7,10); ＃将7进制数5561转换为10进制数
> convert(2002,base,60); ＃将十进制数2002转换为60进制数, 得33(分钟)22(秒)
2)转换为二进制形式
命令格式: convert(n, binary);
其功能是将十进制数n转换为2进制数. 值得注意的是, 数可以是正的, 也可以是负的, 或者是整数, 或者是浮点数, 是浮点数时情况较为复杂.
> convert(2002,binary);
> convert(-1999,binary);
> convert(1999.7,binary);
3)转换为十进制形式
其它数值转换为十进制的命令格式为:
convert(n, decimal, binary); #将一个2进制数n转换为10进制数
convert(n, decimal, octal); #将一个8进制数n转换为10进制数
convert(string, decimal, hex); #将一个16进制字符串string转换为10进制数
> convert(11111010010, decimal, binary);
> convert(-1234, decimal, octal);
> convert("2A.C", decimal, hex);
4) 转换为16进制数
将自然数n转换为16进制数的命令格式为: convert(n, hex);
> convert(2002,hex); convert(1999,hex);
5)转换为浮点数
命令格式: convert(expr, float);
注意, convert/float命令将任意表达式转换为精度为全局变量Digits的浮点数, 且仅是对evalf的调用.
> convert(1999/2002,float);
> convert(Pi,float);
2.2 初等数学
初等数学是数学的基础之一, 也是数学中最有魅力的一部分内容. 通过下面的内容我们可以领略Maple对初等数学的驾驭能力, 也可以通过这些实验对Maple产生一些感性认识.
2.2.1 常用函数
作为一个数学工具, 基本的数学函数是必不可少的, Maple中的数学函数很多, 现例举一二如下:
指数函数: exp
一般对数: log
自然函数: ln
常用对数: log10
平方根: sqrt
绝对值: abs
三角函数: sin、cos、tan、sec、csc、cot
反三角函数: arcsin、arccos、arctan、arcsec、arccsc、arccot
双曲函数: sinh、cosh、tanh、sech、csch、coth
反双曲函数: arcsinh、arccosh、arctanh、arcsech、arccsch、arccoth
贝赛尔函数: BesselI、BesselJ、BesselK、BesselY
Gamma函数: GAMMA
误差函数: erf
函数是数学研究与应用的基础之一, 现通过一些实验说明Maple中的函数的用法及功能.
1) 确定乘积和不确定乘积
命令格式: product(f,k);
product(f,k=m..n);
product(f,k=alpha);
product(f,k=expr);
其中, f—任意表达式, k—乘积指数名称, m,n—整数或任意表达式, alpha—代数数RootOf, expr—包含k的任意表达式.
> product(k^2,k=1..10); #计算 关于1..10的连乘
> product(k^2,k); ＃计算 的不确定乘积
> product(a,k=0..5); ＃计算ai(i=0..5)的连乘
> product(a,k=0..n); ＃计算ai(i=0..n)的连乘
> Product(n+k,k=0..m)=product(n+k,k=0..m); #计算(n+k)的连乘, 并写出其惰性表达式
> product(k,k=RootOf(x^3-2)); #计算 的三个根的乘积
product命令计算符号乘积, 常常用来计算一个公式的确实或不确实的乘积. 如果这个公式不能求值计算, Maple返回 函数. 典型的例子是:
> product(x+k,k=0..n-1);
如果求一个有限序列值的乘积而不是计算一个公式, 则用mul命令. 如:
> mul(x+k,k=0..3);
2)指数函数
计算指数函数exp关于x的表达式的命令格式为: exp(x);
> exp(1);
> evalf(%);
> exp(1.29+2*I);
> evalc(exp(x+I*y));
3)确定求和与不确定求和sum
命令格式: sum(f,k);
sum(f,k=m..n);
sum(f,k=alpha);
sum(f,k=expr);
其中, f—任意表达式, k—乘积指数名称, m,n—整数或任意表达式, alpha—代数数RootOf, expr—不含k的表达式.
> Sum(k^2,k=1..n)=sum(k^2,k=1..n);
> Sum(k^3,k=1..n)=sum(k^3,k=1..n);
> Sum(k^4,k=1..n)=sum(k^4,k=1..n);
> Sum(1/k!,k=0..infinity)=sum(1/k!,k=0..infinity);
> sum(a*x,k=0..n);
> Sum(k/(k+1),k)=sum(k/(k+1),k);
> sum(k/(k+1),k=RootOf(x^2-3));
sum函数可计算一个公式的确定和与不确定和, 如果Maple无法计算封闭形式, 则返回未求值的结果. 值得注意的是, 在sum命令中将f和k用单引号括起来, 可避免过早求值. 这一点在某些情况下是必需的.
> Sum('k','k'=0..n)=sum('k','k'=0..n);
如果计算一个有限序列的值, 而不是计算一个公式, 可用add命令. 如:
> add(k,k=1..100);
尽管sum命令常常用于计算显式求和, 但在程序设计中计算一个显式和应该使用add命令.
另外, sum知道各种求和方法, 并会对各类发散的求和给出正确的结果, 如果要将求和限制为收敛求和, 就必须检查显式的收敛性.
3)三角函数/双曲函数
命令格式: sin(x); cos(x); tan(x); cot(x); sec(x); csc(x);
sinh(x); cosh(x); tanh(x); coth(x); sech(x); csch(x);
其中, x为任意表达式.
值得注意的是三角函数/双曲函数的参数以弧度为单位. Maple提供了利用常见三角函数/双曲函数恒等式进行化简和展开的程序, 也有将其转化为其它函数的命令convert.
> Sin(Pi)=sin(Pi);
> coth(1.9+2.1*I);
> expand(sin(x+y)); #展开表达式
> combine(%); ＃合并表达式
> convert(sin(7*Pi/60),'radical');
> evalf(%);
但有趣的是, combine只对sin, cos有效, 对tan, cot竟无能为力.
4)反三角函数/反双曲函数
命令格式: arcsin(x); arccos(x); arctan(x); arccot(x); arcsec(x); arccsc(x);
arcsinh(x); arccosh(x); arctanh(x); arccoth(x); arcsech(x); arccsch(x);
arctan(y,x);
其中, x, y为表达式. 反三角函数/反双曲函数的参数必须按弧度计算.
算子记法可用于对于反三角函数和反双曲函数. 例如, sin@@(-1)求值为arcsin.
> arcsinh(1);
> cos(arcsin(x));
> arcsin(1.9+2.1*I);
5)对数函数
命令格式: ln(x); #自然对数
log(x); #一般对数
log10(x); #常用对数
一般地, 在ln(x)中要求x>0. 但对于复数型表达式x, 有:
(其中, )
> ln(2002.0);
> ln(3+4*I);
> evalc(%); # 求出上式的实部、虚部
> log10(1000000);
> simplify(%); ＃化简上式
2.2.2 函数的定义
Maple是一个计算机代数系统, 带未知或者已知字母变量的表达式是它的基本数据形式. 一个简单的问题是, 既然表达式中可以包含未知变量, 那么它是不是函数呢？试看下面一个例子:
> f(x):=a*x^2+b*x+c;
可以看出, Maple接受了这样的赋值语句, 但f(x)是不是一个函数呢？要回答这个问题，一个简单的方法是求函数值:
> f(x),f(0),f(1/a);
由上述结果可以看出, 用赋值方法定义的f(x)是一个表达式而不是一个函数, 因为f(x)不能把所定义的“自变量”或者“参数”转换成别的变量或表达式. 但从赋值“过程”可以看出, f(x)虽然也算是一个“函数”, 但却是一个没有具体定义的函数:
> print(f);
事实上, 我们所做的赋值运算, 只不过是在函数f的记忆表(remember table)中加入了f(x)在x上的值, 当我们把自变量换作0或1/a时, f(x)的记忆表中没有对应的表项, 所以输出结果就是抽象的表达式.
在Maple中, 要真正完成一个函数的定义, 需要用算子(也称箭头操作符):
> f:=x->a*x^2+b*x+c;
> f(x),f(0),f(1/a);
多变量的函数也可以用同样的方法予以定义, 只不过要把所有的自变量定成一个序列, 并用一个括号“()”将它们括起来(这个括号是必须的, 因为括号运算优先于分隔符“,”).
> f:=(x,y)->x^2+y^2;
> f(1,2);
> f:=(x,y)->a*x*y*exp(x^2+y^2);
综上所述, 箭头操作符定义函数的方式一般为:
一元函数: 参数->函数表达式
多多函数: (参数序列)->函数表达式
无参数函数也许不好理解, 但可以用来定义常函数:
> E:=()->exp(1);
> E();
> E(x);
另一个定义函数的命令是unapply,其作用是从一个表达式建立一个算子或函数.
定义一个表达式为expr的关于x的函数f的命令格式为: f:=unapply(expr, x);
定义一个表达式为expr的关于x,y,…的多元函数f的命令格式为: f:=unapply(expr, x, y, …);
> f:=unapply(x^4+x^3+x^2+x+1,x);
> f(4);
> f:=unapply(x*y/(x^2+y^2),x,y);
> f(1,1);
借助函数piecewise可以生成简单分段函数：
> abs(x)=piecewise(x>0,x,x=0,0,x<0,-x);
清除函数的定义用命令unassign.
> unassign(f);
> f(1,1);
除此之外, 还可以通过程序设计方式定义函数(参见第6章).
定义了一个函数后, 就可以使用op或nops指令查看有关函数中操作数的信息. nops(expr)返回操作数的个数, 函数op的主要功能是获取表达式的操作数，其命令格式为：
op(expr);
op(i, expr);
op(i .. j, expr);
nops(expr);
如果函数op中的参数i是正整数，则op取出expr里第i个操作数, 如果i是负整数, 则其结果为op(nops(expr)+i+1, expr); 而i=0的情形较为复杂, 当expr为函数时, op(0, expr)返回函数名, 当expr为级数时, 返回级数的展开点(x-x0), 其它数据类型, op(0, expr)返回expr的类型.
命令op(i .. j, expr); 执行的结果是expr的第i到第j个操作数, i..j中含负整数时的情形同上.
命令op(expr); 等价于op(1..nops(expr), expr);
特别地, 当op函数中i为列表, 则op(, expr); 等价于op(an, op(..., op(a2, op(a1, e))...));
而当expr为一般表达式时，nops(expr)命令返回的是表达式的项数, 当expr是级数时返回级数每一项的系数和指数的总和.
> expr:=6+cos(x)+sin(x)*cos(x)^2;
> op(expr);
> nops(expr);
> p:=x^2*y+3*x^3*z+2;
> op(1,p);
> op(1..nops(p),p);
> op(op(2,p));
> u:=;
> op(0,u);
> s:=series(sin(x),x=1,3);
> op(0,s);
> nops(s);
下面一个有趣的例子说明了Maple在处理算术运算时的“个性”：
> op(x*y*z);
> op(x*y*z+1);
2.2.3 Maple中的常量与变量名
为了解决数学问题, 一些常用的数学常数是必要的. Maple系统中已经存储了一些数学常数在表达式序列constants中:
> constants;
为了方便使用, 现将上述常数的具体含义列示如下:
常 数 名 称 近似值
圆周率
Pi 3.1415926535
Catalan常数
Catalan 0.9159655942
Euler-Mascheroni常数
gamma 0.5772156649
infinity
需要注意的是, 自然对数的底数e未作为一个常数出现, 但这个常数是存在的, 可以通过exp(1)来获取.
在Maple中, 最简单的变量名是字符串, 变量名是由字母、数码或下划线组成的序列, 其中第一个字符必须是字母或是下划线. 名字的长度限制是499个字符. 在定义变量名时常用连接符“.”将两个字符串连接成一个名. 主要有三种形式: “名.自然数”、“名.字符串”、“名.表达式”.
值得注意的是, 在Maple中是区分字母大小写的. 在使用变量、常量和函数时应记住这一点. 数学常量 用Pi表示, 而pi则仅为符号 无任何意义. 如g, G, new_term, New_Team, x13a, x13A都是不同的变量名.
在Maple中有一些保留字不可以被用作变量名:
by do done elif else end fi for
from if in local od option options proc
quit read save stop then to while D
Maple中的内部函数如sin, cos, exp, sqrt, ……等也不可以作变量名.
另外一个值得注意的是在Maple中三种类型引号的不同作用:
` `: 界定一个包含特殊字符的符号, 是为了输入特殊字符串用的;
' ': 界定一个暂时不求值的表达式;
" ": 界定一个字符串, 它不能被赋值.
2.2.4 函数类型转换
函数类型转换是数学应用中一个重要问题, 譬如, 将三角函数转换成指数函数, 双曲函数转换成指数函数, 等等. 在Maple中, 实现函数类型转换的命令是convert. 命令格式:
convert(expr, form); ＃把数学式expr转换成form的形式
convert(expr, form, x); ＃指定变量x, 此时form只适于exp、sin、cos
convert指令所提供的三角函数、指数与函数的转换共有exp等7种:
(1) exp: 将三角函数转换成指数
(2) expln: 把数学式转换成指数与对数
(3) expsincos: 分别把三角函数与双曲函数转换成sin、cos与指数的形式
(4) ln: 将反三角函数转换成对数
(5) sincos: 将三角函数转换成sin与cos的形式, 而把双曲函数转换成sinh与cosh的形式
(6) tan: 将三角函数转换成tan的形式
(7) trig: 将指数函数转换成三角函数与对数函数
> convert(sinh(x),exp); #将sinh(x)转换成exp类型
> convert(cos(x)*sinh(y),exp);
> convert(cos(x)*sinh(y),exp,y);
> convert(exp(x)*exp(x^(-2)),trig);
> convert(arcsinh(x)*cos(x),expln);
> convert(cot(x)+sinh(x),expsincos);
> convert(arctanh(x),ln);
convert在有理式的转换中也起着重要的作用. 在有关多项式运算的过程中, 利用秦九韶算法可以减少多项式求值的计算量. 在Maple中, 可以用函数convert将多项式转换为这种形式, 而cost则可以获取求值所需的计算量. 注意: cost命令是一个库函数, 第一次调用时需要使用with(codegen)加载. 例举如下:
> with(codegen):
> p:=4*x^4+3*x^3+2*x^2-x;
> cost(p);
> convert(p,'horner'); ＃将展开的表达式转换成嵌套形式
> cost(%);
同样, 把分式化成连分式(continued fraction)形式也可以降低求值所需的计算量.
> (1+x+x^2+x^3)/p;
> cost(%);
> convert(%%,'confrac',x);
> cost(%);
在某些场合下(比如求微分、积分时), 把分式化成部分分式(partial fraction)也就是几个最简分式的和式的形式也可以简化运算, 但简化程度不及连分数形式.
> convert(%%, 'parfrac',x);
> cost(%);
而把分数转换成连分数的方法为：
> with(numtheory):
> cfrac(339/284);
2.2.5 函数的映射—map指令
在符号运算的世界里, 映射指令map可以说是相当重要的一个指令, 它可以把函数或指令映射到这些结构里的元素, 而不破坏整个结构的完整性. 命令格式为:
map(f, expr); ＃将函数f映射到expr的每个操作数
map(f, expr, a); ＃将函数f映射到expr的每个操作数, 并取出a为f的第2个自变量
map(f, expr, a1, a2,…, an); ＃将函数f映射到expr的每个操作数, 并取a1~an为f的第2~n+1个自变量
map2(f, a1, expr, a2, …, an); ＃以a1为第1个自变量, expr的操作数为第2个自变量, a2为
第3个自变量…, an为第n+1个自变量来映射函数f
> map(f,x1+x2+x3+x4,a1,a2,a3,a4);
> f:=x->sqrt(x)+x^2;
> map(f,);
> map(h, ,x,y);
> map(convert,,ln);
> map(x->convert(x,exp),);
上式的映射关系可通过下式理解：
> ;
> restart:
map2(f,a1,x1+x2+x3+x4,a2,a3,a4);
> map2(max,k,);
再看下面示例:
> L:=;
> nops(L);
> sqr:=(x)->x^2;
> map(sqr,L);
> map((x)->x+1,L);
> map(f,L);
> map(f,{a,b,c});
> map(sqr,x+y*z);
> M:=linalg(3,3,(i,j)->i+j);
> map((x)->1/x,M);
3 求 值
3.1 赋值
在Maple中, 不需要申明变量的类型, 甚至在使用变量前不需要将它赋值, 这是Maple与其它高级程序设计语言不同的一点, 也正是Maple符号演算的魅力所在, 这个特性是由Maple与众不同的赋值方法决定的. 为了理解其赋值机制, 先看下面的例子.
> p:=9*x^3-37*x^2+47*x-19;
> roots(p);
> subs(x=19/9,p);
在这个例子中, 第一条语句是一个赋值语句, 它的作用是把变量p和多项式9x3-37x2+47x-19相关联, 在此之后, 每当Maple遇到变量p时就取与之唯一关联的“值”, 比如随后的语句roots(p)就被理解为roots(9x3-37x2+47x-19)了, 而变量x还没被赋值, 只有符号“x”, 通过subs语句得到将p所关联的多项式中的所有x都替换成19/9后的结果, 这正是我们在数学中常用的方法—变量替换, 但此时无论x还是p的值仍未改变, 通过“> x; p;”这样的简单语句即可验证.
3.2 变量代换
在表达式化简中, 变量代换是一个得力工具. 我们可以利用函数subs根据自己的意愿进行变量代换, 最简单的调用这个函数的形式是这样的:
subs ( var = repacedment, expression);
调用的结果是将表达式expression中所有变量var出现的地方替换成 replacement.
> f:=x^2+exp(x^3)-8;
> subs(x=1,f);
> subs(x=0,cos(x)*(sin(x)+x^2+5));
由此可见, 变量替换只得到替换后的结果, 而不改变表达式的内容, 而且Maple只对替换的结果进行化简而不求值计算, 如果需要计算, 必须调用求值函数evalf. 如:
> evalf(%);
变量替换函数subs也可以进行多重的变量替换, 以两重代换为例:
subs (var1 = repacedment1, var2 = repacedment2, expression)
调用的结果和按从左到右的顺序连续两次调用是一样的, 也就是先将expression中的var1替换成replacement1, 再将其结果中的var2替换成replacement2, 把这种替换称作顺序替换; 与此相对, 还可以进行同步替换, 即同时将expression中的var1替换成replacement1, 而var2替换成replacement2. 同步替换的调用形式为:
subs ( {var1 = repacedment1, var2 = repacedment2 }, expression)
下面通过例子说明这几种形式的替换.
> subs(x=y,y=z,x^2*y); (顺序替换)
> subs({x=y,y=z},x^2*y); (同步替换)
> subs((a=b,b=c,c=a),a+2*b+3*c); (顺序替换)
> subs({a=b,b=c,c=a},a+2*b+3*c); (轮 换)
> subs({p=q,q=p},f(p,q)); (互 换)
3.3 假设机制
Maple是一种计算机代数语言, 显然, 很多人会尝试用Maple(或其他计算机代数语言)解决分析问题. 但由于分析问题与处理问题的考虑方法不同, 使得问题的解决存在某些困难. 例如考虑方程 的解. 如果k是实数, 结果显然是x=1, 但如果k是 的复根, 为了保证解x=1的正确性, 必需添加附带条件: 也就是当 时x=1. 这是一个对结果进行正确分析的例子. 然而从代数的角度考虑这个问题时就会把k当作不定元, 此时k没有值, 从方程两端去除k的多项式是合法的, 只要这个多项式不是零多项式即可(这一点是可以保证的, 因为其所有系数不全为0). 在此情况下x=1就不需要任何附加条件. 计算机代数系统经常采用这种分析的观点.
在Maple中, 采用分析观点解决这类带有一定附加条件的实用工具是函数assume, 其命令格式为: assume(x, prop);
函数assume界定了变量与变量之间的关系式属性. assume最普遍的用法是assume(a>0), 该语句假设符号a为一个正实常数; 若假定某一符号c为常数，使用命令assume(c,constant); 另一方面, assume可以带多对参数或多个关系式. 当给定多个参数时, 所有假定均同时生效. 例如, 要定义a<b<c, 可以用assume(a<b, b<c); 同样地, 要定义0<x<1, 可以用assume(0<x,x<1). 当assume对x作出假定时, 以前所有对x的假定都将被删除. 这就允许在Maple中先写“assume(x>0);”后再写“assume(x<0);”也不会产生矛盾.
> Int(exp(-s*t),t=0..infinity);
> value(%);
Definite integration: Can't determine if the integral is convergent.
Need to know the sign of --> s
Will now try indefinite integration and then take limits.
> assume(s>0);
> Int(exp(-s*t),t=0..infinity);
> value(%);
3.4 求值规则
在多数情况下, Maple的求值规则设计为做用户期望的事情, 但要做到这一点很困难，因为不同的人在相同的情形下会有不同的期望. 在大多数情况下, 全局变量被完全求值, 局部变量被一层求值. 而由符号' '界定一个暂时不求值的表达式, 单步求值仅去掉引号, 不作计算, 这也是允许取消指定名字或清除变量的原因. 如下例:
> x:=y;
> y:=z;
> z:=3;
> x;
> y;
> x:='x';
> x;
> y;
对于不同的问题, Maple设计了不同的求值命令. 现分述如下:
1) 对表达式求值
命令格式: eval(e, x=a); ＃求表达式e在x=a处的值
eval(e, eqns); ＃对方程或方程组eqns求值
eval(e); ＃表达式e求值到上面两层
eval(x,n); ＃给出求值名称的第n层求值
> p:=x^5+x^4+x^3+x^2+x+73;
> eval(p,x=7);
> P:=exp(y)+x*y+exp(x);
> eval(P,);
当表达式在异常点处求值时, eval会给一个错误消息. 如下:
> eval(sin(x)/x,x=0);
Error, numeric exception: division by zero
下面再看使用eval进行全层求值或者对名称几层求值的示例:
> a:=b: b:=c: c:=x+1:
> a; #默认的全层递归求值
> eval(a); ＃强制全层递归求值
> eval(a,1); ＃对a一层求值
> eval(a,2); ＃对a二层求值
> eval(a,3); ＃对a三层求值
> eval(a,4); ＃对a四层求值
2) 在代数数(或者函数)域求值
命令格式: evala(expr); # 对表达式或者未求值函数求值
evala(expr,opts); ＃求值时可加选项(opts)
所谓代数数(Algebraic number)就是整系数单变量多项式的根, 其范围比有理数大, 真包含于实数域, 也就是说任意实数都是整系数多项式的根(如 就不是任何整系数多项式的根). 另一方面, 代数数也不是都可以表示成为根式的, 如多项式 的根就不能表示成为根式的形式.
代数数的计算, 算法复杂, 而且相当费时. 在Maple中, 代数数用函数RootOf()来表示. 如 作为一个代数数, 可以表示为:
> alpha:=RootOf(x^2-3,x);
> simplify(alpha^2);
在Maple内部, 代数数 不再表示为根式, 而在化简时, 仅仅利用到 这样的事实. 这里, Maple用到一个内部变量_Z. 再看下面一个例子，其中alias是缩写的定义函数，而参数lenstra指lenstra椭圆曲线方法：
> alias(alpha=RootOf(x^2-2)):
> evala(factor(x^2-2,alpha),lenstra);
> evala(quo(x^2-x+3,x-alpha,x,'r'));
> r;
> simplify(%);
3) 在复数域上符号求值
操纵复数型表达式并将其分离给出expr的实部和虚部的函数为evalc, 命令格式为:
evalc(expr);
evalc假定所有变量表示数值, 且实数变量的函数是实数类型. 其输出规范形式为: expr1+I*expr2.
> evalc(sin(6+8*I));
> evalc(f(exp(alpha+x*I)));
> evalc(abs(x+y*I)=cos(u(x)+I*v(y)));
4) 使用浮点算法求值
浮点算法是数值计算的一种基本方法，在任何情况下均可以对表达式expr使用evalf命令计算精度为n的浮点数(n=Digits), 如果n缺省, 则取系统默认值, 命令格式为: evalf(expr, n);
> evalf(Pi,50);
> evalf(sin(3+4*I));
> evalf(int(sin(x)/x,x=0..1),20);
5) 对惰性函数求值
把只用表达式表示而暂不求值的函数称为惰性函数, 除了第一个字母大写外, Maple中的惰性函数和活性函数的名字是相同的. 惰性函数调用的典型用法是预防对问题的符号求值, 这样可以节省对输入进行符号处理的时间, 而value函数强制对其求值. 对任意代数表达式f求值的命令格式为: value(f);
> F:=Int(exp(x),x);
> value(%);
> f:=Limit(sin(x)/x,x=0);
> value(%);
另外, 将惰性函数的大写字母改为小写字母亦即可求值. 如下例:
> Limit(sin(x)/x,x=0)=limit(sin(x)/x,x=0);
4 数据结构
Maple中有许多内建的与FORTRAN、C或Pascal不同的数据结构. 主要的数据结构有序列(sequence)、列表(list)、集合(set)、代数数( algebraic number)、未求值或惰性函数调用、表(table)、级数(series)、串(string)、索引名(index)、关系(relation)、过程体(process)以及整数(integer)、分数(fraction)、浮点数(float)、复数(complex number)等数据结构, 而矩阵(matrix)在Maple中表示为阵列, 是一种特殊的表.
4.1 数据类型查询
在Maple中, 用whattype指令来查询某个变量的数据类型或特定类型, 命令格式为:
whattype(expr) # 查询expr的数据类型
type(expr, t) # 查询expr是否为t类型, 若是则返回true, 否则返回false
> whattype(12);
> whattype(Pi);
> type(1.1,fraction);
> whattype(1.1);
4.2 序列, 列表和集合
4.2.1 序列
所谓序列(Sequence), 就是一组用逗号隔开的表达式列. 如:
> s:=1,4,9,16,25;
> t:=sin,com,tan,cot;
一个序列也可以由若干个序列复合而成, 如:
> s:=1,(4,9,16),25;
> s,s;
而符号NULL表示一个空序列. 序列有很多用途, 如构成列表、集合等. 事实上, 有些函数命令也是由序列构成. 例如:
> max(s);
> min(s,0,s);
值得注意的是, op和nops函数命令不适用于序列, 如op(s)或nops(s)都是错误的, 如果要使用op(s)或nops(s)前应先把序列s置于列表中.
> s:=1, 2, abc, x^2+1, `hi world`, Pi, x -> x^2, 1/2, 1;
> op(s);
Error, wrong number (or type) of parameters in function op
> nops(s);
Error, wrong number (or type) of parameters in function nops
> op();
> nops();
函数seq是最有用的生成序列的命令, 通常用于写出具有一定规律的序列的通项, 命令格式为:
seq(f(i), i=m..n); # 生成序列f(m), f(m+1), …, f(n) (m,n为任意有理数)
seq(f(i), i=expr); # 生成一个f映射expr操作数的序列
seq(f(op(i,expr)), i=1..nops(expr)); # 生成nops(expr)个元素组成的序列
> seq(i^2,i=1..10);
> seq(ithprime(i),i=1..20);
> seq(i^3,i=x+y+z);
> seq(D(f),f=);
> seq(f(op(i,x1+x2+x3+x4)),i=1..nops(x1+x2+x3+x4));
获得一个序列中的特定元素选用操作符[ ], 如:
> seq(ithprime(i),i=1..20);
> %,%;
4.2.2 列表
列表(list), 就是把对象(元素)放在一起的一种数据结构, 一般地, 用方括号[ ]表示列表. 如下例:
> l:=;
> whattype(%);
空列表定义为[ ].
但下述两个列表是不一样的, 因为对于列表而言, 次序是重要的:
> L:=;
> M:=;
4.2.3 集合
集合(set)也是把对象(元素)放在一起的数据结构, 与列表不同的是集合中不可以有相同的元素(如果有, Maple也会自动将其当作同一个元素), 另外, 集合中的元素不管次序. 一般地, 用花括号表示集合.
> s:={x,1,1-z,x};
> whattype(%);
空集定义为{ }.
函数nop返回列表或集合的元素数, 而op则可返回其第I个元素.
> op(1,s);
> s;
> op(1..3,s);
> s;
函数member可以判定元素是否属于一个列表或集合, 如果属于, 返回true, 否则返回false.
> member(1+x,s);
可以通过下述方法在列表中增减元素:
> t:=;
> u:=,s];
Maple中集合的基本运算有交(intersect)、并(union)、差(minus):
> A:={seq(i^3,i=1..10)};B:={seq(i^2,i=1..10)};
> A intersect B;
> A union B;
> A minus B;
4.3 数组和表
在Maple中, 数组(array)由命令array产生, 其下标变量(index)可以自由指定. 下标由1开始的一维数组称为向量(vector), 二维以上的数组称为矩阵(matrix). 数组的元素按顺序排列, 任意存取一数组的元素要比列表或序列快的多. 区分一个数据结构是数组还是列表要用“type”命令.
表(table)在建立时使用圆括号, 变量能对一个表赋值, 但一个在存取在算子中的未赋值变量会被自动地假定是表, 表的索引可以成为任意Maple表达式. 表中元素的次序不是固定的.
> A:=array(1..4);
> for i from 1 to 4 do A:=i: od:
> eval(A);
> type(A,array);
> type(A,list);
> T:=table();
> T:= 1;
> T:= 5;
> T:= 3;
> T:=sally;
> T:=exp(1);
> x:='x';
> T[(1+x+x^3)*sin(x)] := 0;
> eval(T);
> T:='T';
> eval(T);
4.4 其他数据结构
串在Maple中是很重要的, 他们主要用于取名字和显示信息. 一个Maple的串可以作为变量名, 它们中的大多数是简单的、不需要加引号的串, 但是如果变量名中包含/. 例如“diff/T”则必须把变量名用引号括起来.
索引名是像Database或A这样的对象, 在使用索引前不需要直接建立表, 如果不得不做, Maple会自动建立表. 索引名通常被用于矩阵和向量. 为了保证Maple建立表的正确次序, 建议在赋值前直接建立.
> x:=T;
> eval(T);
> T:=y;
> eval(T);
由此可见, Maple并不直接建立T的表, 直到给T赋了值.
数值数据结构(整数、分数、有理数、浮点数、硬件浮点数和复数等)在它们的使用中是大量透明的. 浮点数是有传染性的, 这意味着如果数值结构中有一个是浮点数, 则整个结构自动转换为浮点数.
4.5 数据类型转换和合并
convert是一个功能强大的类型转换函数, 它可以实现列表和数组的类型转换:
> L:=;
> type(L,list);
> A:=convert(L,array);
> type(A,list);
> type(A,array);
另一个有用的函数zip则可把两个列表或向量合并:
>L:=;
> Sqr:=(x)->x^2;
> M:=map(sqr,L);
> LM:=zip((x,y)->,L,M);
> map(op,LM);
5 Maple高级输入与输出操作
Maple提供了良好的接口来编辑与计算数学式. 许多时候, 我们可能需要把Maple的运算结果输出到一个文件中, 或者在一个文本编辑器里先编好一个较大的Maple程序, 再将它加载到Maple的环境里.
5.1 写入文件
5.1.1 将数值数据写入到一个文件
如果Maple的计算结果是一长串的数值串行或数组, 而想把它写到一个文件时, 用writedata命令.
若Maple的计算结果data为集合、矩阵、列表、向量等形式时, 将其写入名为filename的文件时命令格式为: writedata("filename", data);
> with(linalg):
> M:=matrix(3,3,);
> writedata("e:\\filename.txt",M);
而将结果附加在一个已存在的文件后时，使用命令: writedata("filename", data);
> W:=matrix(2,2,);
> writedata("e:\\filename.txt",W);
需要注意的是, 这里的APPEND是必需的, 否则W结果将会覆盖M结果.
另外, 若想将结果显示在屏幕上时, 用命令: writedata('terminal', data);
> writedata("e:\\filename.txt",W);
> writedata('terminal',M);
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5.1.2 将Maple语句写入一个文件
如果所要写入文件的是表达式、函数的定义或者是一个完整的程序, 则使用命令save, 写入一个或多个语句的命令格式分别如下:
save name, "filename";
save name1, name2, …, "filename";
若filename的扩展名为.m, 则Maple会以内定的格式储存, 若扩展名为.txt, 则以纯文本文件储存. 以内定的格式储存的文件作纯文本编辑器无法读取, 但在大多数情况下, 它会比纯文本文件的加载速度更快, 且文件容量小.
> myfunc:=(k,n)->sum(x^k/k!,x=1..n);
> myresult:=myfunc(6,8);
> save myfunc,myresult,"e:\\test.m";
调用已存m文件用命令read. 试看下述实验:
> restart:
> myfunc(6,8);
> read "e:\\test.m";
> myfunc(6,8);
> myresult;
而存为txt文件时则将整个语句存为一个文件:
> save myfunc,myresult,"e:\\test.txt";
> restart: read"e:\\test.txt";
5.2 读取文件
在Maple里最常用的两个读取文件的命令, 一个是读取数值数据, 另一个是是读取Maple的指令.
5.2.1 读取数值数据
如果想把大量的数据导入Maple里进行进一步的运算或者要运用大量的实验数据在Maple环境绘图时, 可以用readdata( )命令完成.
从filename文件里读取n行数据时使用命令: readdata("filename",n);
以指定的格式读取数据时使用命令: readdata("filename",);
> readdata("e:\\filename.txt",3);
读取filename的前三列, 第一列为整数形式, 第二、三列为浮点数形式:
> readdata("e:\\filename.txt",);
下面再看一个运用大量的实验数据在Maple环境绘图的实验:
> mypts:=,x=1..1000)]:
> writedata("e:\\data.txt",evalf(mypts));
> dots:=readdata("e:\\data.txt",100):
> nops(dots);
> dots;
> plot(dots,style=line);
5.2.2 读取Maple的指令
在编写程序时, 在普通软件中先编好程序再将其读入Maple环境中常常比直接在Maple中编写更为方便. 如果要将程序代码或Maple指令加载用read命令:
read "filename";
如下例:
> reatart:
> myfunc:=(a::list)->add(i,i=a);
> avg:=(a::list)->myfunc(a)/nops(a);
> save myfunc,avg,"e:\\function.m";
> restart:
> read "e:\\function.m";
> myfunc();
> avg();
5.3 与其它程序语言的连接
5.3.1 转换成FORTRAN或C语言
调用codegen程序包中的fortran命令可以把Maple的结果转换成FORTRAN语言:
> with(codegen,fortran):
f:= 1-2*x+3*x^2-2*x^3+x^4;
> fortran(%);
t0 = 1-2*x+3*x**2-2*x**3+x**4
> fortran(f,optimized);
t2 = x**2
t6 = t2**2
t7 = 1-2*x+3*t2-2*t2*x+t6
> fortran(convert(f,horner,x));
t0 = 1+(-2+(3+(-2+x)*x)*x)*x
而codegen程序包中的C命令可以把Maple结果转换成C语言格式:
> with(codegen,C):
f:=1-x/2+3*x^2-x^3+x^4;
> C(f);
t0 = 1.0-x/2.0+3.0*x*x-x*x*x+x*x*x*x;
> C(f,optimized);
t2 = x*x;
t5 = t2*t2;
t6 = 1.0-x/2.0+3.0*t2-t2*x+t5;
optimized命令表示要对转换的表达式进行优化, 如果不加此可选参数, 则直接对表达式进行一一对应的转换.
5.3.2 生成LATEX
Maple可以把它的表达式转换成LATEX, 使用latex命令即可:
> latex(x^2+y^2=z^2);
{x}^{2}+{y}^{2}={z}^{2}
还可以将转换结果存为一个文件(LatexFile):
> latex(x^2 + y^2 = z^2, LatexFile);
再如下例:
> latex(Int(1/(x^2+1),x)=int(1/(x^2+1),x));
\int \! \left( {x}^{2}+1 \right) ^{-1}{dx}=\arctan\left( x \right)
lz这样看很累人的啊。建议换成一个文档形式的。 {:soso_e100:}{:soso_e100:}{:soso_e100:} {:3_42:}{:3_42:}{:3_42:} 听说女人如衣服，兄弟如手足。回想起来，我竟然七手八脚的裸奔了20年！
正如2楼所言，弄成一个word文档阅读起来也好些，不是吗？{:3_41:} 顶一下~~~~~~~~~~ lz这样看很累人的啊。建议换成一个文档形式的。
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