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企业退休职工养老金制度的改革摘 要
本文针对该企业退休职工养老保险制度的改革，作出了一系列问题初步的探索。
问题一：通过对山东省职工历年平均工资数据的分析，基本上可以看出数据的变化趋势，得出山东省企业职工平均工资大概是指标增长函数，对于此建立出灰度预测的模型，按照山东省历年在职职工历年平均工资事的数据所得出的未来年限的预测数据，对所测数据的分析，可得我国在未来的几十年中经济增长速度很快，而且到2035年时人均工资约为九十万，增长幅度过大违背了经济增长的发展规律。考虑到我国在2040-2050年左右人均国民生产总值达到中等发达国家水平，因此我们采用阻滞增长模型较为合理的预测出我国人均职工工资的发展趋势。
问题二：基于附件2所给出的数据，分别求出该企业8个年龄段职工的工资以及该企业平均工资，并计算出该个年龄段的平均工资，取各个工资段金额取其平均数值作为该个年龄段的职工工资数值，计算出的职工缴费指数。
进一步计算出六种情形的替代率。
问题三：分析了该企业职工从30岁开始缴纳养老金保险金资金额一直到55岁、60岁、65岁退休，到规定年龄75岁死亡三种情况下养老金的缺口分别为7439，14008，21299万元。养老金是由基础老金和个人账户养老金组成，在个人账户养老金在缴纳和领取养老金时每年都会有3%的利息，基础养老金可以进行必要的投资从而获取利益，所以考虑同样的利息因素，为了计算领取养老金的年限,我们通过该企业职工在任职期间时候缴纳养老金总额减去退休后每年领取的养老金总额求出年限,此时可求出养老保险金收支平衡点，分别为退休后9，11，11年。
问题四：为了能够维持养老保险基金的收支平衡以及达到一定的目标替代率，考虑到一系列的相关因素，最终提出国家财政的补贴、提高我国职工法定退休年龄 ，做好经济发展调控等措施。
关键词： 养老金制度 灰度预测法 阻滞模型 替代率 收支平衡
一、问题重述
我国企业职工基本养老保险实行把企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户与职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户相结合的模式。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。如果企业职工由于意外死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，利率统一设定为3%。
养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。是要在 2050年使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。
养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。
问题一：基于我国未来经济发展和工资增长的形势，参考附件一当中的山东省企业职工历年平均工资金额，合理预测出2010之后的35年里山东省职工的年平均工资.
问题二：依据附加2 当中的数据解决2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。把这些比值的平均数值看作职工缴费指数，由于需要考虑到该企业职工分别从2000年度年龄段为30-55,30-60,30-65,40-55,40-60,40-65开始缴纳资金额，依据附件三当中的计算方法求出这六种情形的替代率。
问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休55岁、60岁、65岁，并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
问题四： 采取哪些必要的措施可以使得养老保险基金维持住收支平衡，同时也要达到未来基本养老保险的目标替代率58.5%，说明其缘由。
二、模型假设
1、假设运用灰度预测时经济增长不受任何因素的影响。
2、假设应国家经济建设计划，至21世纪中叶，我国经济发展和国民工资将处于持续增长状态。
3、假设同时将会促进企业退休职工养老金制度的改革与优化。
4、假设前几年企业职工工资额数据的得出的影响因素与后来预测数据的得出的影响因素一样。
5、假设基础养老金在存入银行时有利率。
6、假设该企业职工退休后一直拿取养老金。
7、假设企业职工单位年度的年平均工资增长与当年工资呈正比。
8、假设年平均工资增长率 是i年平均工资 的函数，且经济发展到一定程度时，其增长率会随年平均工资的增加而逐渐减少。
三、符号说明
1、 ：
2、 ：第 年的职工的人均工资
3、 ： （元）
4、 W: 基础养老金（元）
6、 ：个人账户养老金（元）
7、 ：记发月数
8、 ：缴费总年数（年）
9、 ：替代率（%）
10、 ：2009年各年龄段职工工资与该企业平均工资的比值的平均数值大小（元）
11、 ：个人缴纳到社会统筹基金账户的养老金的总额
四、模型的建立与求解
问题一
问题一要求对我国现阶段经济发展和工资增长状况进行分析，根据近期发展的目标并结合发达国家的发展历程，综合各方面因素考虑作出简化、合理的假设预期我国山东省工资增长状况。附件一给出的山东省历年职工工资的年平均工资是不稳定增长的，是我们预测工资增长重要资料，在这里，我们首先采用了灰度预测的方法对数据进行预测，再用结合阻滞增长模型的优点预测出山东省工资发展的趋势。
根据国家经济发展预计，至21世纪中叶，我国经济发展和国民工资将处于持续增长状态，同时将会促进企业退休职工养老金制度的改革与优化，由于经济的发展受到包括资源环境、科技发展等因素的影响，其发展速度不会长时间报时较快的速度，因此我们考虑在21世纪中叶以后我国的国民经济将有一段时间的低速发展期。
1、模型一
将本题所给的数据构成数据列，由于数据列的发展趋势是不确定的，为了获取未来某年的特征量，我们选择了灰色预测模型的。GM（1.1）模型来进行预测。GM（1.1）模型步骤如下：
根据原始数据序列 算相应一次累加序列
建立矩阵B、Y
求其逆矩阵
特征量预测
通过对附件一山东省职工年平均工资表的分析，可获知其职工的年平均工资随年份增加呈上升趋势，故绘制散点趋势图如下图：
图（1）山东省职工年平均工资趋势图
从该趋势图可以大体看出从2011年到2035年的职工年平均工资的增长成指增长数模式。在这个内部因素难以识别的系统中进行小样本预测，可以采用灰色预测法。采用如下步骤;
Step1.AGO过程。记职工年平均工资为
=(566 , 632 , 745 , 755 ……. 32074)
为了弱化原始时间序列的随机性，对 作累加生成灰色模块，即
其中
Step2. 对数列 ，建立职工工资影响周期预测模型的白化形式方程，
其中u，a 为待估计参数，分别称为发展灰数和内生控制灰数。
Step3. 估计参数。设 为待估计参数向量，按最小二乘法求解，有：
其中 ，
通过MATLAB软件编程（附件1）求得 ，利用MATLAB软件准确绘出人均职工工资的发展趋势如下图所表示：
人均工资
年份
图（2）山东省人均职工工资的发展趋势图
根据工资发展趋势图可预测得下表年平均工资预测：
年份 2011 2012 2013 2014 2015
职工工资 38932 44457 50767 57973 66201
年份 2016 2017 2018 2019 2020
职工工资 75597 86327 98580 112570 128550
年份 2021 2022 2023 2024 2025
职工工资 146790 167630 191420 218590 249620
年份 2026 2027 2028 2029 2030
职工工资 285040 325500 371700 424460 484700
年份 2031 2032 2033 2034 2035
职工工资 553500 632050 721760 824210 941190
表（1）2011年至2035年企业职工工资灰度预测数值表格
2、模型二
通过灰度预测对述数据分析可得我国在未来的几十年中经济增长速度很快，而且到2035年时人均工资约为九十万，增长幅度过大违背了经济增长的发展规律。所以为了实现在2050年左右人均国民生产总值达到中等发达国家水平，当人均工资达到中等发达国家水平时其工资增长速度将趋于平缓，为了更合理的预测年平均工资，在灰度预测的模型基础上组合了阻滞增长模型来进行预测。
这儿我们作出如下假设:
(1)单位年度的年平均工资增长与当年工资呈正比，比例常数为r(年平均工资增长率)。
(2)年度的年平均工资为 ，由于年平均工资波动不太大，所以将 近似的视为连续、可微函数，初始年平均工资为 。
(3)假设年平均工资增长率 是i年平均工资 的函数，且经济发展到一定程度时，其增长率会随年平均工资的增加而逐渐减少。
(4)简单的假设 为 的线性函数： = - ， >0。
(5)考虑中等发达国家的年平均工资 ：当 时年平均工资增长率为0，即 。
根据假设有：
解出：
这表明山东省年平均工资按指数规律无限增长（r>0）。
为此根据假设我们增加阻滞因子 ，可得：
其中 为年平均工资不超过 的前推n年的年平均增长率的均值。并据假设可将模型修正为：
求解阻滞增长模型方程组可得：
（1）
经过查询可知中等发达国家（以韩国为例）年平均工资约为18万元，即 ，比较灰度预测值表发现2011年到2022年的预测值处于标准范围内，最大值是2022年的，且很接近18万，又因为我国至2050年的发展目标为中等发达国家水平，其经济增长率仍保持一定值，只是相对于之前的快速发展有所减缓，但也不会太低，为了留有更成分的增长空间及更充分的反应该特征，我们选取了2016年作为转折点，因此只保留2016年之前的预测值，舍弃之后的预测值，并根据2016年之前五年的工资增长率均值作为拟定增长率，相应计算结果如下表：
年份 2012 2013 2014 2015 2016
当年工资增量 5525 6310 7206 8228 9396
上年度工资水平 38932 44457 50767 57973 66201
年工资增长率 0.1420 0.1420 0.1420 0.1420 0.1420
工资平均增长率
0.1420
表（2）年工资平均增长率
其中 年工资增长率=当年工资增量/上年平均工资。
计算得： =0.1420
将 =0.1420、 =180 000、 带入（1）式得：
其中i=1., 2，…，9，10.
年份 2011 2012 2013 2014 2015
职工工资 38932 44457 50767 57973 66201
年份 2016 2017 2018 2019 2020
职工工资 75597 81884.2 88252.3 114167 119976
年份 2021 2022 2023 2024 2025
职工工资 125516 130756 135669 140241 144466
年份 2026 2027 2028 2029 2030
职工工资 148342 151878 155086 157980 160581
年份 2031 2032 2033 2034 2035
职工工资 162907 164981 166824 168456 169899
表（3）2011年至2035年企业职工工资预测值
根据资料查找可知发达国家的年工资水平为18万左右，并且其发展速度趋于缓慢。综合我国国情考虑为了实现在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平的经济发展的战略目标，我国约在2018年经济将趋于平缓中增长，到2035年左右约为17万左右，接近中等发达国家职工年平均工资水平。
问题二
问题二要求根据附件2给出的数据计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，并将这些比值看作职工缴费指数的参考值，计算该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）六种情况下的养老金替代率。
1．职工缴费指数
附件二中所给出了2009年度山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，通过观察分析发现各个年龄段职工的收入分布不均匀。为了能够合理、方便的计算该企业各个年龄段职工工资平均数值及该企业的平均工资，我们取每一个收入范围的中间数值作为该范围内各年龄段的收入的平均值，结合各范围内每一年龄段的职工数计算出各个年龄段职工工资的平均值及该企业的平均工资值，最后取前者与后者的比值作为职工缴费指数的参考数值。
计算出来的具体数值如下表：
年龄段 各年龄段平均工资额
（元/月） 企业平均工资（元/月） 比值
20-24岁职工数 1726.95 2580.23 0.669301
25-29岁职工数 2077.99 2580.23 0.805351
30-34岁职工数 2535.12 2580.23 0.982517
35-39岁职工数 2752.21 2580.23 1.066653
40-44岁职工数 3026.02 2580.23 1.172771
45-49岁职工数 3268.04 2580.23 1.266569
50-54岁职工数 3188.52 2580.23 1.23575
55-59岁职工数 2980.21 2580.23 1.155017
表（4）各个年龄段职工缴费指数的参考数值
2．养老金替代率
替代率 是影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素，它是指职工刚退休时的养老金与退休前工资的比值，即
职工退休时的养老金由基础养老金 和个人账户养老金 两部分相加而成，因此
另外由于
整理可得基础养老金计算公式为
其中 表示职工首次缴纳养老保险的年份， 表示职工缴纳养老保险年数。
个人账户储蓄额为职工每年缴纳到个人账户工资计利息的总和，其中利息统一设定为 ，这儿我们列出了从缴纳养老保险起每年的个人账户储蓄额。
第1年个人账户储蓄额:
第2年个人账户储蓄额:
第3年个人账户储蓄额:
第 年个人账户储蓄额:
于是可得个人账户储蓄额计算公式为
其中 ， 含义与上式相同。
最终，可得替代率 计算公式为
其中 含义与上式相同， 表示计发月数。
下面计算六种情况下的养老金替代率，取表（4）中各个年龄段职工缴费指数的平均值作为职工的 ，即 。
若该企业职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，直到55岁退休，此时 ， ， ，则 ，对于其他情况依次计算，结果见表（5）。
缴费年龄段 个人账户养老金
基础养老金
养老金 替代率
30-55 884.884 2986.32 3871.2 33.12%
30-60 1730.95 4036.86 5767.81 43.81%
30-65 3474.71 5021.98 8496.7 60.53%
40-55 221.501 740.692 962.194 19.92%
40-60 580.25 1944.87 2525.12 26.54%
40-65 1489.41 2986.32 4475.72 38.30%
表（5）替代率数值
问题三
问题三假设职工从2000年开始缴纳养老保险直到55,60,65岁退休时截止并在退休后一直领取养老金直到75岁死亡。计算三种情况下养老保险基金的缺口情况以及该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
养老金由基础养老金和个人账户养老金组成，个人账户养老金在缴纳或领取养老金后每年都会有3%的利息增长额，题中虽未明确说明基础养老金有利息，但基础养老金可以进行投资获取“利息”，因此我们在分析社会统筹基金账户养老金时仍然虑利息的因素，并取利息值为3%。
个人账户中养老金的发放按等额发放的方式一直发放至该职工死亡，若该职工由于某种原因提前死亡，则可由其子女继承，因此个人账户中养老金的发放不影响其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间的收支平衡问题，故而在分析职工养老保险基金的缺口情况和缴存的养老保险金与其领取的养老金之间的收支平衡问题时只要考虑其领取的基础养老金与缴纳到社会统筹基金账户的养老金之间的关系。
该职工个人缴纳到社会统筹基金账户的养老金的总额 为
其中 表示职工首次缴纳养老保险的年份， 表示职工缴费年数。
下面给出了三种情况下个人缴纳到社会统筹基金账户的养老金的总额 。
（1） 若该企业职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，直到55岁退休，此时 ， ，则 。
（2） 若该企业职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，直到60岁退休，此时 ， ，则 。
（3） 若该企业职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，直到65岁退休，此时 ， ，则 。
我们先考虑该职工退休后其社会统筹基金账户的养老金的余额情况，这儿我们列出了从缴纳养老保险起每年的社会统筹基金账户的养老金的余额。
第1年的余额:
第2年的余额:
第 年的余额:
其中 表示发放年数， 表示职工缴纳养老保险年数。
接下来计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
（1）若该企业职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，直到55岁退休，此时 ，令
求得 ，即职工在退休9年后其缴存的养老保险基金与其领取的养老金已经达到收支平衡。
（2）若该企业职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，直到60岁退休，此时 ，用同样的方法求得 ，即职工在退休11年后其缴存的养老保险基金与其领取的养老金已经达到收支平衡。
（3）若该企业职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，直到65岁退休，此时 ，用同样的方法求得 ，即职工在退休11年后其缴存的养老保险基金与其领取的养老金已经达到收支平衡。
再来计算养老保险基金的缺口情况。
（1）若该企业职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，直到55岁退休，此时 ， ，令
求得 ，此时养老保险基金的缺口 。
（2）若该企业职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，直到60岁退休，此时 ， ，用同样的方法求得 ，此时养老保险基金的缺口 。
（3）若该企业职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，直到65岁退休，此时 ， ，用同样的方法求得 ，此时养老保险基金的缺口 。
情况分类 缴纳养老金的金额 拿到养老金的金额 缺口情况
情况一（30-55）
347502 354941 7439
情况二（30-60）
601504 615512 14008
情况三（30-65）
877365 898664 21299
表（6）养老保险基金的缺口
问题四
替代率是职工退休后生活水平的一个重要指标，同时也是是养老保险基金收支平衡的一个重要因素，若替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持，若替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。因此能够既达到目标替代率，又维持了养老保险基金收支平衡是养老保险制度设计的理想目标。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%，即有
其中 表示职工首次缴纳养老保险的年份， 表示职工缴纳养老保险年数， 表示计发月数。
养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡则有下式成立
其中
通过对式子的分析，我们认为：
（1）职工工资保持稳定合理的增长率（ ）、调整职工缴纳养老保险年数 及计发月数可以基本养老保险的目标替代率。
要想达到替代率目标58,5%就必须以经济的发展作为支撑，大力发展全国的经济，而为了实现养老保险基金收支平衡就必须要有企业职工拥有稳定收入的社会背景才能达到所想的理想预期状态。同时有的时候也为了达到目标代替率58.5%，国家需要加强企业职工工资的控制，企业职工工资额不要落差太大，要保持相对平衡，不要出现两节分化，企业职工的工资需要双向加以控制，政府需要对其有一定的补助，使其能够老有所养，老有所住，老有所穿。
（2）国家政府财政的补贴。
众所周知我国经济的发展非常的迅速，国家财政虽然仍有非常大的困难，但相比过去国家财政已较为大大改善，国家财力还是有一定能力为养老保险提供一定的补贴，实际上，目前国家每年对各困难地区养老金还是有补贴的。
（3）提高我国职工法定退休的年龄。
使得劳动力充分使用，由于在职期间的时间比较短，缴纳工资金额也相对应的减少，以此看来我国迅速提高职工法定退休年龄尤为必要，作为世界上一个人口大国，每人多拿国家养老金一点，全国加起来将是一个庞大的数字，国家财政将会变得非常困难。不利于国家的迅速发展，同时也不能够履行政府的职能，不有利于国家的稳定。从侧面就不利于人们的生活水平的提高，也就没有更多的工资去缴纳以后自己年老时拿养老金的资本。
五、模型评价
1、模型的优点
（1）灰度模型可以在数据不多的情况之下找出某个时期内起作用的规律，建立负荷预测模型。
（2）灰度模型使用的不是原始数据序列，二是生成的数据数列。
（3）模型的建立均在一些假设之下，对其影响可以忽略不计，减少了实际问题的考虑，将一些现实实际的问题简单化,化复杂为简单。
（4）问题一的两个模型进行有效的互补，其预测的效果数值更据有可信度，符合大众化的心理。
（5）只需要近几年来的数据的变化的处理就可以相对预测出未来的数据之间的变化情况。
（6）将复杂的问题简单化，假设出了一系列的理想状态。模型较为广泛。
2、模型的缺点：
（1）我们的模型只针对山东省的经济发展趋势作出分析，并不从全国作出一个综合的判断。
（2）本灰度模型只适用于中长期的预测，只适合指数的增长，对于本题第一问中山东省年平均工资预测结果估测较差。
（3）模型的建立均在某一个或者是多个约束条件之下进行，在现实生活中使用较为困难，对其模型的推广存在不利因素。
（4）模型是在理想的状态下建立起来的，没有考虑一系列的因素对本文数据的影响。所得到的结果较为片面。不够准确，只能够大概预测出未来几天或是几天的所需数据。
（5）模型在建立的过程中没有考虑到基金投资的多样化，只是将其缴纳到银行当中去，考虑到存入到银行当中的年利率情形。
（6）灰度预测模型的建立就像一个指数函数模型一样，数据越来越大，经济发展是个无底洞，违背了社会经济的发展规律。
（7）题中基础养老金的投资法案有多种且都存在不同的风险，光存入银行假设片面。
六、模型的检验
经相关的实验表明以及网络对于本问题养老金的诠释，证明我们所建立的一系列相关模型是成立的，为证明其正确性，我们通过各种数学实验和实际经济发展趋势的考察，说明我们模型具有很高实际应用价值。结果表明，其模型具有广泛的应用性与实际推广性。由此，可以说明我们所建立的模型具有一定的正确性与推广性。
七、模型应用与推广
灰度预测模型的推广
大气环境的预测，矿区铁路运输货物量的发展趋势，锚杆承载力的数据预测，某个国家或是某个地区人口增长趋势的分析，某个国家啊或是某个地区经济发展趋势，烧结技术指标及其影响因素一系列的分析等
阻滞增长模型的推广
昆虫增长问题，患病人数受到人口数量、医疗手段控制的增长问题、某个国家或是某个地区人口数量的增长，各类生物体种群数量的增长，传染病的传播速度，耐用消费品在有限市场上的销售发展趋势，研究某些生物体的增长发展规律。火箭升空的时候速度之间的变化情况，
总之本文章适节到的模型，大多数可以推广至其他领域的一系列数据增长或是削减性质的事物类型的制定。只要给出近几年来事物数量变化之间一系列的变化趋势，我们就均可以根据我们所建立的优化模型进行对未来几年所相对应数据的预算。在实际运用和对实际问题之间的处理方面，具有很强的实用性和借鉴性。在实际运用和对实际问题的处理方面，有很强的实用性和借鉴性。实际意义很大。
参考文献：
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韩中庚，数学建模方法及其应用，第二版，2009年6月。
刘来福，杨淳，黄海洋，数学建模方法与分析，第二版，2005年6月。
陈木添，中国论文下载。
国家统计局统计官方网
附件1：
clear
A=;
syms a b;
c=';
B=cumsum(A);
n=length(A);
for i=1:(n-1);
C(i)=(B(i)+B(i+1))/2;
end
D=A;D(1)=[];
D=D';
E=[-C;ones(1,n-1)];
c=inv(E*E')*E*D;
c=c';
a=c(1);b=c(2);
F=[];F(1)=A(1);
for i=2:(n+25)
F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a;
end
G=[];G(1)=A(1);
for i=2:(n+25)
G(i)=F(i)-F(i-1);
end
t1=1978:2010;
t2=1978:2035;
plot(t1,A,'o',t2,G)
好的，谢谢啊 支持一下楼主！！{:soso_e163:}{:soso_e163:}{:soso_e163:}
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