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设正整数n，p为不大于√（n+6）的素数，相差6的两数m和(m+6)，若
m≠0modp 且 (m+6)≠0modp，则m, (m+6)为相差6的素数。如果不计这两素数间是否有素数，那么相差6的素数对个数比相差2的素数对个数还多。因为m≡(m+6)mod3,去掉模3的一个同余类,相差2时，去掉模3的两个同余类。下面分析相差6之间没有素数的素数对个数。
数组m,(m+2),(m+4),(m+6).如果m≠0modp, (m+2)≡0modP1, (m+4)≡0modP2 ,(m+6)≠0modp,那么m,(m+6)为相差6，之间没有素数的素数对。随着m的增大，能自然地满足(m+2)≡0modP1, (m+4)≡0modP2。因此，相差6，之间没有素数的素数对个数趋于不加条件(m+2)≡0modP1, (m+4)≡0modP2时的素数对个数。所以相差6，之间没有素数的素数对个数无穷多。
设正整数n，p为不大于√（n+2a）的素数，相差2a的两数m和(m+2a)，若
m≠0modp 且 (m+2a)≠0modp，则m, (m+2a)为相差2a的素数。如果不计这两素数间是否有素数，那么相差2a的素数对个数个数不少于相差2的素数对个数。因为当m≡(m+2a) modp时,去掉模p的一个同余类,相差2时，去掉模p的两个同余类。下面分析相差2a，之间没有素数的素数对个数。
数组m,(m+2),(m+4),…,(m+2x),…,(m+2a).如果m≠0modp, (m+2)≡0modP1, (m+4)≡0modP2 , …,(m+2x) ≡0modPx,…, (m+2a-2) ≡0modP(a-1), (m+2a)≠0modp（其中Px为不大于√（n+2a）的一素数），那么m,(m+2a)为相差2a，之间没有素数的素数对。随着m的增大，能自然地满足(m+2)≡0modP1, (m+4)≡0modP2 , …,(m+2x) ≡0modPx,…, (m+2a-2) ≡0modP(a-1).因此，相差2a，之间没有素数的素数对个数趋于不加条件(m+2)≡0modP1, (m+4)≡0modP2 , …,(m+2x) ≡0modPx,…, (m+2a-2) ≡0modP(a-1)时的个数。所以相差2a，之间没有素数的素数对个数无穷多。
设正整数n，p为不大于√（n+8）的素数，1≤m≤n,若m≠0modp , (m+2)≠0modp，(m+6)≠0modp , (m+8)≠0modp，则m,(m+2),(m+6)和(m+8)这四个数都是素数，称为四生素数，或四胞胎素数。
满足条件m≠0modp , (m+2)≠0modp，(m+6)≠0modp , (m+8)≠0modp，即是对不大于√（n+8）的素数，去掉模2余0的一个同余类，去掉模3余0和1的两个同余类，去掉模5余0、3、4和2四个同余类，大于5小于√（n+8）的其它素数都去四个同余类。当素数大于7小于或等于√（n+8）时，去掉的同余类小于余下的同余类，所以，随着n的增大，四生素数波动地增多。所以，四生素数无穷多。