[CUMCM] 2008年CUMCM全国一等奖论文：关于数码相机定位问题的数学模型
摘要本文是关于系统标定中的双目定位问题，对靶标上面的特征点在像平面内进行标定 。 我们首先对像图进行了灰度处理 ， 然后通过 sobel 算子进行边缘检测 ， 将像平面转化为边界处理，计算区域由二维降低为一维，显著的降低了计算量。
对于问题一 ， 我们根据成像原理 ， 得到像图中某些特征点和特征关系用以确定圆心 ，并由此建立了割线逼近模型 ， 并且利用遍历搜索的算法进行求解 。 同时 ， 我们根据图像的边界点特征，建立了霍夫变换模型和基于 K- 平均算法的数学模型。
割线逼近模型主要依据物与像之间的不变的几何关系 ， 通过寻找靶标的像图中的切线和切点来确定圆心 ， 在求解过程中使用了灭点理论 。 这种算法虽然在边界识别以及切线确定中存在误差，但它可以有效的避免对像平面上点集形状的认定。
霍夫变换以及 K- 平均算法都对像图中的像进行了假设 ， 并认为物的圆心的像在像图中是具有几何特征的点（分别是圆的圆心和椭圆的中心 ） ，从而将问题转化为求像图的几何特征点 。 霍夫变换把图形从坐标空间映射到参数空间 ， 在参数空间搜索极值点来确定图形的实际参数 ， 只要图形可以通过较少的参数来描述 ， 该方法就可以在可接受的时间里获得较为精确的结果 ； 而 K- 平均算法是模式识别中常用的聚类算法 ， 利用该算法我们把图像中五个圆的点分为五类，对每一类求取重心点来获得其圆心所在位置。 K 平均算法可以在极短时间内获得精确的圆心坐标 ， 有着良好的性能 ， 但对图像质量要求较高 ，需要对较为严格的预处理过程 。 而霍夫变换抗干扰能力相对要强一些 ， 但是运算时间较长，且只能用于图形近似为圆的场合，对椭圆的场合运算速度则会过慢。
我们用问题一中的三个模型和算法对问题二进行了求解计算。结果显示，基于 K-平均算法的数学模型最合适本题的求解，此时，我们到靶标在像平面内的圆心坐标为 ：（ -187 ， 193 ） 、 （ -86 ， 187 ） 、 （ 130 ， 171 ） 、 （ -225 ， -119 ） 、 （ 72 ， -119 ） 。
问题三中 ， 我们通过三维空间中的不同的摄像角度 ， 给出了不同的像图 。 通过靶标圆心标定求得靶标圆心在像平面内的实际坐标 ； 同时利用问题一中基于 K- 平均算法的数学模型给出计算坐标。我们将其做距离差比较，得到两者圆心的像素坐标距离误差为[ 4.4721 ; 4.1231 ; 0 ; 1.0000 ; 0 ] 像素 。 这说明我们的模型准确度比较高 ； 在不同角度都能给出相应的结果，说明模型具有一定的稳定性。
问题四中 ， 我们建立了一个确定两相机相对位置的数学模型 。 利用像平面中像点的坐标 ， 通过坐标变换逆过程处理 ， 通过确定物坐标系与像坐标系关系向量 ， 间接确定两个像坐标系的空间位置关系。
论文在最后给出了模型的评价 。 本文的特色是将数学模型与计算机算法 ， 计算机图形学相结合 ， 并较灵活的对切线等有关概念在离散的点空间中进行了重新定义 ， 使问题得到较好的解决。
关键词：双目定位 系统标定 霍夫变换 K- 平均算法
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