利用微元法建立常微分方程模型
利用微元法建立常微分方程模型这种方法主要是通过寻求微元之间的关系式,直接对函数运用有关定律建立模型。一般的,如果某一实际问题中所求的变量I符合下列条件:I是与一个自变量X的变化区间(A,B)有关的量:对于区间(a,b)具有可加性;部分量i=f(x),。那么就可以考虑利用微元法来建立常微分方程模型,其步骤是根据问题的具体情况,选取一个自变量,并确定其变化区间为,在区间(a,b),中任意选取一个任意小的区间记作(X,X+dx),求出相应于这个区间的部分量盯的近似值。将盯近似的表示为一个连续函数在处的值与去的乘积,即盯二去,记击,称为量的微元。等式两边同时积分就可以求出要求的量了。这种方法经常被应用于各种领域。例如在空间解析几何上可以用微元法求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积代数方面求近似值以及流体混合问题物理上求变力做功、压力、静力矩与重心。模拟近似对于规律或现象不很清楚,比较复杂的实际问题,常用模拟近似法来建立常微分方程模型。这类模型一般要做一些合理假设,将要研究的问题突出出来。这个过程往往是近似的,因此用此法建立常微分方程模型后,要分析其解的有关性质,在此基础上同实际情况对比,看所建立的模型是否符合实际必要时要对假设或模型进行修改。应用常微分方程建模的注意事项1.当实际问题中出现“变化”、“增加”、“改变”、“逃跑”、“减少”等问题时,这可能与导数有关,这时可以考虑根据问题特征用相应的方法列出常微分方程模型。2. 实际问题中往往还给出某一特定时刻或特定位置等信息,根据此信息可拟出定解条件,以便确定解中所含待定系数。3. 在用常微分方程理论求出方程解以后,还应对解作分析,检验结果是否与实际结果相符。由于在建立常微分方程模型的过程中是从简易的角度考虑的,往往略去了一些问题有关的次要因素,因此所得模型是近似的,如果所得的结果与事实不符应修改数学模型,直至满足要求为止。
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