索洛经济增长模型概述：
索洛经济增长模型（Solow Growth Model）是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型，又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学框架内的经济增长模型。
正当1987年世界股票市场暴跌之时，瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调，主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛（Robert M·Solow）许多经济学界人士认为，纽约股票市场的这场大动荡，恰恰证实了索洛坚持的理论，使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。可是，他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型，早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。
索洛模型变量：
外生变量：储蓄率、人口增长率、技术进步率
内生变量：投资
-The 23th day
索洛经济增长模型的基本假定：
索洛在构建他的经济增长模型时，既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点，又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。
索洛认为，哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”，其中，储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。这些参数值若稍有偏离，其结果不是增加失业，就是导致长期通货彭胀。用哈罗德的话来说，这种“刀刃平衡”是以保证增长率（用Gw表示，它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯）和自然增长率（用Gn表示，在技术不变的情况下，它取决于劳动力的增加）的相等来支撑的。
索洛指出，Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡，关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本，生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。倘若放弃这种假设，Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。基于这一思路，索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。
该模型的假设条件包括：
1.只生产一种产品，此产品既可用于消费也可用于投资。
2.产出是一种资本折旧后的净产出，即该模型考虑资本折旧。
3.规模报酬不变，即生产函数是一阶齐次关系式。
4.两种生产要素（劳动力和资本）按其边际实物生产力付酬。
5.价格和工资是可变的。
6.劳动力永远是充分就业的。
7.劳动力与资本可相互替代。
8.存在技术进步。
在这些条件下，索洛建立的模型向人们显示出：在技术系数可变的情况下，人均资本量具有随时间推移而向均衡状态的人均资本量自行调整的倾向（图一，k1与k2逐渐趋向ko），即，当人均资本量大于其均衡状态时（k2），人均资本量会有逐渐减小的趋势，即资本的增加就会比劳动力的增加慢得多；反之，亦然。索洛是人均资本量入手集中分析均衡（即稳定状态）增长路径的。
-The 24th day
索洛经济增长模型的基本框架：
索洛把经济中的全部产出看成仅仅是一种产品的产出。其每年生产量用Y(t)表示，代表社会的实际收入，其中一部分被消费掉，其余部分用于储蓄和投资。用于储蓄的占总产品比例s固定不变，即储蓄量为sY(t)。K(t)是资本存量。这种资本存量的增加量就是净投资，即dk/dt或\dot{K}因此，索洛模型的基本方程式可以写成：
\dot{K}=sY （1）
因产出是用资本和劳动力生产的，技术能力可用生产函数来反应：
Y=F(K,L) （2）且该函数满足假设规模报酬不变。
把（2）式代入（1）式，有：
\dot{K}=sF(K,L) （3）
其中，L代表劳动力。
由于人口的增长是外生变量，劳动力以一个不变增长率n增加。因此：
L(t)=L^{nt}_{oe} （4）
索洛把n看成是在没有技术进步情况下的哈罗德的自然增长率(Gn)，把L(t)看成是在t时期可利用的劳动力供给。（4）式的右边表明劳动力从0期到t期的综合增长率。我们还可以把（4）式看作是劳动力的供给曲线，“它说的是以指数增长的劳动力完全无弹性地得到就业。劳动力供给曲线是一条纵向线，它随着劳动力按（4）式的增长而向右移动。于是，调整实际工资率以使全部可利用的劳动力得到雇佣，而边际生产力等式决定着这种实际上得到控制的工资率”。
把（4）式代入（3）式，索洛给出下列基本方程式：
K=sF(K,L^{nt}_{oe}) （5）
他把这个方程式作为在全部可利用的劳动力得到充分利用的情况下决定必须遵循的资本积累的时间轨迹方程式。资本存量和劳动力的时间轨迹一经确知，相应的实际产出的时间轨迹就可根据生产函数计算出来。实际工资率的时间轨迹可用边际生产力等式确定，即w=\frac{\partial F(K,L)}{\partial L} （6）
索洛把经济增长过程概括为：“在任何时候，可利用的劳动力供给都由等式（4）给定，而且可利用的资本存量也是一个已知数。既然生产要素的实际报酬可调整而使劳动力和资本得以充分利用，我们就能利用生产函数等式（2）求出当期产出量。于是，储蓄倾向告诉我们多少净产出将用于储蓄和投资，从而我们得知当期的资本净积累，再加之已积累的存货，这就为下一期提供了可利用的资本”。
-The 25th day
索洛增长模型表明的基本含义：
人均资本拥有量的变化率ḱ取决于人均收入储蓄率sf（k）和按照既定的资本劳动比配备每一新增长人口所需资本量nk之间的差额。
索洛增长模型sf（k）=ḱ+nk还表明另一个含义。一个社会中的人均储蓄率sf（k）有两个用途：
一是用于人均资本拥有量的增加量ḱ，即为每个人配备更多的资本装备，这被称作“资本的深化”；
二是用于为每一新增人口提供平均的资本装备nk，这被称作“资本的广化”。换句话说，经济中的全部储蓄转化为投资后，一部分用于提高人均资本拥有量（资本的深化），另一部分则用于为新增人口提供平均数量的资本装备（资本的广化）。
-The 26th day
索洛模型的意义与不足：
作为创立新古典经济增长模型的先躯，索洛教授在构造他的长期增长模型过程中，不仅保留了哈罗德—多马模型的主要特征（如齐次资本函数、比例储蓄函数以及既定的劳动力增长率），而且还在理论模型的现实性方面有新的突破。主要表现在以下几个方面：
1.他在分析经济增长的过程中采用了一种连续性生产函数，从此人们称其为新古典生产函数。
2.劳动力与资本之间可相互替代的假设使得经济增长过程具有调整能力，从而该理论模型更接近于现实。
3.长期增长率是由劳动力增加和技术进步决定的，前者不仅指劳动力数量的增加，而且还含有劳动力素质与技术能力的提高，所以，索洛的长期增长模型打破了一直为人们所奉行的“资本积累是经济增长的最主要的因素”的理论，向人们展示，长期经济增长除了要有资本以外，更重要的是靠技术的进步、教育和训练水平的提高。
在一定程度上说，技术进步、劳动力质量的提高比增加资本对经济增长的作用更大。这种观点在他30年后获奖前夕接受采访时又得到进一步阐述。他说，除了纯粹的农业国以外，这一理论对所有国家都适用。“发展中国家不能把本国经济的发展仅仅依赖于资本和劳动力的增长上。发展中国家，特别是起步较晚国家，要更多地研究如何在现有工业的基础上逐步提高劳动生产率、技术和教育进程。这样就能有效地跟上世界经济的发展”（顾耀铭，1987）许多国家都相继接受了他的理论，在中高等教育、研究与发展（R&D）等方面，政府不断增加投资和提供税收刺激措施，成效显著。
当然，作为一种理论模式，索洛的长期增长模型也并非尽善尽美。正如森（Sen，1970）教授指出的那样，索洛的模型也有其不足之处：
1.索洛的增长模型考虑的仅仅是哈罗德的Gw和Gn之间的均衡问题，而忽略了G和Gw之间的均衡。
2.索洛的模型没有投资函数，此函数一旦引入，哈罗德模型的不稳定性问题即会出现于索洛的模型中。森教授认为，劳动力和资本间的替代性假设似乎并不是新古典学派和新凯恩斯学派对增长研究之不同的关键所在，其主要差异在于索洛模型没有考虑投资函数以及由此产生的企业家对将来预期的重要性。
3.索洛假设要素价格是可变的，这也会给稳定增长的路径设置障碍。例如，利息率由于流动陷井问题而不会下降到低于一定的最低水平；反过来，这也许使资本—产出比率不能提高到实现均衡增长路径所必需的水平。
4.索洛模型是以提高劳动生产率的技术进步为假定前提构建的。然而，这一假定只是柯布一道格拉斯生产函数型哈罗德中性技术进步的一个特例，没有任何经济证据。
5.索洛增长模型的另一假设是“资本是同质的且易变的”，但事实上，资本品是高度异质的，因此而出现不能简单加总问题。结果，当存在多种多样的资本品时，稳定增长路径是很难实现的。
-The 27th day
对索洛模型的总结和评论：
1．主要结论
（1）无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数。
（2）在其他外生变量相似的条件下，人均资本低的经济有更快的人均资本的提高，人均收入低的经济有更高的增长率。
（3）人均产出（Y/L）的增长来源于人均资本存量和技术进步，但只有技术进步才能够导致人均产出的永久性增长。
（4）通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的“黄金律”增长。
（5）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响；储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响，且作用缓慢。
2．批评
（1）未能够解释长期经济增长的真正来源。把技术进步（劳动的有效性）看成为外生给定的，而这恰恰是长期经济增长的关键。因此，索洛模型是通过“假定的增长”来解释增长的。
（2）理论预测与实际数据不符。如果资本取得的市场收益大致体现了其对产出的贡献，那么实物资本积累的变化既不能很好地解释世界经济增长，也不能说明国家间的收入差距。
例如：根据C-D生产函数，y = f(k) = ka，一般的a=1/3，设穷国变量带*，若y/y*=10，则k / k * = 101 / a = 1000。（如此大的资本存量差异！）
资本的边际产品MPk = f'(k) = aka − 1 = ay(a − 1) / a，若y/y*=10，则MPk / MP * k = 1 / 100。（如此高的资本报酬率差异！）
-The 28th day
差分方程：
在数学上，递推关系（recurrence relation），也就是差分方程（difference equation），是一种递推地定义一个序列的方程式：序列的每一项目是定义为前一项的函数。某些简单定义的递推关系式可能会表现出非常复杂的（混沌的）性质，他们属于数学中的非线性分析领域。
所谓解一个递推关系式，也就是求其解析解，即关于n的非递归函数。
性质
性质1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn
性质2 Δk(cxn)=cΔkxn
性质3 Δkxn=∑（-1)jCjkXn+k-j
性质4 数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1，存在η，有 Δkxn=f(k）（η）
差分方程
定义8.1 方程关于数列的k阶差分方程：
xn-a1xn-1-a2xn-2-……akxn-k=b (n=k,k+1，……）
其中a1,a2,------ak 为常数， ak≠0. 若b=0，则该方程是齐次方程
关于λ 的代数方程
λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0
为对应的特征方程，根为特征值。
意义
差分方程是微分方程的离散化。一个微分方程不一定可以解出精确的解，把它变成差分方程，就可以求出近似的解来。
比如 dy+y*dx=0,y(0)=1 是一个微分方程， x取值
(注：解为y(x)=e^(-x));
要实现微分方程的离散化，可以把x的区间分割为许多小区间 ,,...[(n-1)/n,1]
这样上述微分方程可以离散化为：
差分方程
差分方程
y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0， k=0,1,2,...,n-1 （n 个离散方程组）
利用y(0)=1的条件，以及上面的差分方程，就可以计算出 y(k/n) 的近似值了。
§1 基本理论1. 差分
2. 任意数列{xn },定义差分算子Δ如下：
Δxn=xn+1-xn
对新数列再应用差分算子，有
Δ2xn=Δ（Δkxn).
-The 29th day
层次分析法：
所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。
层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。
应用实例
1、建立递阶层次结构；
2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）
对各指标之间进行两两对比之后，然后按9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的判断矩阵。
3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重；
关于判断矩阵权重计算的方法有两种，即几何平均法（根法）和规范列平均法（和法）。
（1）几何平均法（根法）
计算矩阵A各行各个元素的乘积，得到一个n行一列的矩阵B；
计算矩阵每个元素的n次方根得到矩阵C；
对矩阵C进行归一化处理得到矩阵D；
该矩阵D即为所求权重向量。
（2）规范列平均法（和法）
矩阵A每一列归一化得到矩阵B；
将矩阵B每一行元素的平均值得到一个一列n行的矩阵C；
矩阵C即为所求权重向量。
The 30th day~
(Hqppy new year):)
概率模型：
给定一个用户的查询串，相对于该串存在一个包含所有相关文档的集合。我们把这样的集合看作是一个理想的结果文档集，在给出理想结果集后，我们能很容易得到结果文档。这样我们可以把查询处理看作是对理想结果文档集属性的处理。问题是我们并不能确切地知道这些属性，我们所知道的是存在索引术语来表示这些属性。由于在查询期间这些属性都是不可见的，这就需要在初始阶段来估计这些属性。这种初始阶段的估计允许我们对首次检索的文档集合返回理想的结果集，并产生一个初步的概率描述。
概率模型的处理过程：
为了提高理想结果集的描述概率，系统需要与用户进行交互式（feedback）操作。具体处理过程如下：用户大致浏览一下结果文档，决定哪些是相关的，哪些是不相关的；然后系统利用该信息重新定义理想结果集的概率描述；重复以上操作，就会越来越接近真正的结果文档集。
-The 31th day
概率模型：
是基于以下理论：给定一个用户的查询串 和集合中的文档 概率模型来估计用户查询串与文档 相关的概率。概率模型假设这种概率只决定于查询串和文档。更进一步说，该模型假定存在一个所有文档的集合，即相对于查询串 的结果文档子集，这种理想的集合用R表示，集合中的文档是被预料与查询串相关的。这种假设存在着缺点，因为他没有明确定义计算相关度的概率，下面将给出这种概率的定义。
在概率模型中索引术语的权重都是二元的，例如： 。查询串 是索引术语集合的子集。设R是相关文档集合（初始的猜测集合）， 是R的补集（非相关文档的集合）。 表示文档 与查询串 相关的概率， 表示文档 与查询串 不相关的概率。文档 对于查询串 的相关度值定义为： ，根据Bayesian定律
代表从相关文档集合R中随机选取文档 的概率。 表示从整个集合中随机选取一篇文档作为相关文档的概率。类似定义 ， 。因为对于集合中所有的文档 和 是相同的，所以，
假设索引术语是相互独立的则：
表示集合R中随机选取的文档中出现索引术语 的概率， 表示集合R中随机选取的文档中不出现索引术语 的概率，类似定义了 ， 。取对数，根据 ，我们最后可以得到：
这是在概率模型中计算相关度的一个关键的表达式。
由于我们在开始时并不知道集合R，因此必须设计一个初始化计算 和 的算法。有许多方法可以计算它们的值。
算法：
在查询的开始间段只定义了查询串，还没有得到结果文档集。我们不得不作一些简单的假设，例如：（a）假定 对所有的索引术语 来说是常数（一般等于0.5）；（b）假定索引术语在非相关文档中的分布可以由索引术语在集合中所有文档中的分布来近似表示。这两种假设用公式表示如下：
表示出现索引术语 的文档的数目，N是集合中总的文档的数目。在上面的假设下，我们可以得到部分包含查询串的文档，并为他们提供一个初始的相关概率。
优点：
概率模型的优点在于，文档可以按照他们相关概率递减的顺序来计算秩（rank）。他的缺点在于：开始时需要猜想把文档分为相关和不相关的两个集合，实际上这种模型没有考虑索引术语在文档中的频率（因为所有的权重都是二元的），而索引术语都是相互独立的。
-The 32th day