最小曼哈顿网路算法
觉得是个有意思的问题，希望有兴趣的朋友一起探讨，当然这个世界级猜想早几个月才被复旦大学大三学生郭泽宇破解，很牛！也给我们大学本科阶段追求创新一些启示，这几天正在做中南大学的培训题《城市生活垃圾管理问题》，设计到垃圾收运路线的设计，而城市垃圾收运路线正是一个曼哈顿网络问题，当然是最小时间，还是最短路径，看个人理解，要解决这个问题看似方法很多，大多数是当做一个TSP图论问题来求解，或者建立规划模型，用的方法也大多是模拟退火、遗传算法、蚁群算法等等，比较有新意是分析曼哈顿的特殊结构，运用基于约束的网格聚类方法从类的角度考虑，就降低了数百个收集点的运算复杂度。当然更好的方法就是破解这个世界级难题，从而一劳永逸。到知网等网站搜了下，相关的学术文献很少， 有点意思。最小Manhattan网络问题是近年来受到广泛关注的计算几何和组合最优化问题。在大规模集成电路（VLSI）设计、分布式算
法、计算生物学、网络设计、城市规划等领域发挥着越来越大的作用。
给定平面上一个点集T，其Manhattan网络由水平和垂直线段组成，并满足T中任意两点间在网络中存在Manhattan路径。可知
Manhattan网络即为L1-范数下给定点集的一个1-spanner。更一般的概念称作geometric spanner或k-spanner，由于具有良
好的性质，其应用十分广泛，包括邻近问题（proximity problems）的求解、机器人的运动规划、通信网络的可靠性等等。
在本问题中，要求Manhattan网络中线段总长度最短，即以最小的代价构造给定点集的Manhattan网络。此外，F. Lam
等人在生物序列比对问题中应用了Manhattan网络的近似算法，显著减小了搜索空间。这显示了最小Manhattan网络问题在计
算生物学中的应用。
由此可见，这一问题的研究无论在理论还是实际中都有十分重要的意义。
最小Manhattan网络问题由J. Gudmundsson, C. Levcopoulos和G. Narasimhan 于1999年最早提出。之后，许多学者研
究并给出了这一问题多项式时间近似算法。之前通过组合方法设计的最佳近似算法（3-近似）由M. Benkert 等人在
2004年给出。2005年，V. Chepoi 等人提出了基于线性规划的2-近似算法，这是目前所知关于这一问题的最好近似度。
在过去半年的研究中，我在朱洪教授的指导下得到了该问题的2-近似算法。这一结果被国际学术会议AAIM接受，同时获得了
审稿人的好评。在此之前，同一近似度的算法（V. Chepoi , 2005）的时间复杂度高达Ω(n^8)，而我们的算法时间复杂
度仅为O(n^2)。此外，我们在这一问题的算法的设计和证明中首次应用了由D. E. Knuth和F. F. Yao 提出的动态规划
加速方法，将动态规划过程的时间复杂度由O(n^3)降低到O(n^2)。
迄今为止，最小 Manhattan 网络问题的是否NP-难问题仍属未知，其不可近似性亦不清楚。因此，研究这一问题所属的复杂
性类将具有极大的理论意义和实际价值。
我们预期要解决的问题和解决途径包括：
(1)设计出具有更优近似度的近似算法。近似算法的设计方法主要包括：局部搜索，线性规划方法，原始对偶（primal-dual
）方法等。本问题已知的近似算法可以分为两类：一类方法是将全局最优网络问题规约为局部最优网络问题，再通过局部网
络的组合达到全局的较优解，如M. Benkert 等人在文献提出的3-近似算法。在这一方法的使用中，我们已取得了国际领
先的成果。另一类则基于线性规划方法，如V. Chepoi等人在文献提出的2-近似算法。
在第一阶段的研究中，一方面在我们已知的最好近似算法基础上，对问题的性质进行更细致地分析以尝试改进；另一方面对
近似算法的设计进行系统的学习，探索其他的算法设计思路。
预计研究时间：2008/5-2008/11
(2)研究该问题所属的复杂性类。尽管在过去的近十年里，最小Mahattan网络问题受到许多西方计算机科学家的重视，但是
到目前为止，人们还不清楚这一问题是否存在多项式时间算法。人们猜想这一问题是NP-完全的，但到目前为止还没有人给
出有效的证明。
一般来讲，证明一个问题是NP-完全的基本方式是将一已知的NP完全问题归约到所研究的问题上。这方面，已知的NP-完全的
计算几何和组合最优化问题的归约过程将具有很大参考价值。例如V. Chepoi 在论文中提到的与最小Manhattan网络问
题相当类似的RSA问题，已经由W.Shi 和C. Su 给出了从Planar-3-SAT问题到该问题的归约，从而证明了该问题为NP-完
全的。因此，我将在这一方面深入研究，通过阅读更多的计算几何学NP-完全问题规约的文章，掌握各种复杂的技巧。试图
给出最小Manhattan网络问题的类似的归约方式，从而证明这一问题是NP-完全的。
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