统计学悖论 - 第2页 - 概率论与数理统计 - 数学建模社区-数学中国

99dmg 发表于 2005-4-6 13:53

<DIV class=Section1 style="LAYOUT-GRID: 15.6pt none"><H3>10．罗尼哈特小姐找朋友</H3><TABLE collapse" cellSpacing=0 cellPadding=0 border=0><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0071.files/image001.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：罗尼哈特小姐——一位统计员——独自在家中坐腻了。罗：但愿我能认识一个未婚的男子。我想要加入一个为单身人组织的小组。</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0071.files/image002.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：罗尼哈特小姐加入了两个这种小组。一天晚上，两个小组都在“悖论俱乐部”举办联欢会。一个组在东厅集会，一个组在西厅集会。</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0071.files/image003.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>罗：有些人蓄着胡子，有些人没有蓄：有些人放荡不羁，有些人循规蹈矩。今晚，我想认识一个风流潇洒的小伙子。我是不是应该找留胡子的人呢？</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0071.files/image004.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：罗尼哈特对东厅的人作了一番统计研究：她发现，留胡子的人中风流人物的比例是5/11或35/77。不留胡子的人中，风流人物的比例小一些，是3/7或33/77。</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0071.files/image005.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>罗：所以，如果我参加东厅的联欢会，我就会结识留胡子的人。</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0071.files/image006.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：她对两厅组的人作的统计是类似的。留胡子放荡不羁的人占84/126。这要大于没有胡子的风流人物比例81/126。</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0071.files/image007.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>罗：多简单呀！不管我参加哪个组的联欢会，我只要找留胡子的，就比较容易结识风流潇洒的人物。</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0071.files/image008.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：当罗尼哈特小姐到达“逆论俱乐部”时，这两个组已经决定联合举行联欢了。所有人都到北厅去了。</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0071.files/image009.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>罗：现在我怎么办？如果两个组中都是留胡子的人多数使我满意，那么现在还应该是留胡子的人适合我要求的机会多些。不过，为保险起见我最好还是把联合集会的人核对一下。</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0071.files/image010.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：当她作完这个新的图表时，她大吃一惊。比例改变了。现在要对上她的心思最好是找不留胡子的人！</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0071.files/image011.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>罗：我得改变我的策略。可我还是不明白，怎么会成这样？</TD></TR></TABLE>这个异常的悖论很容易用扑克牌来模拟。红牌表示风流人物，黑牌表示刻板人物。牌的背面用x表示留胡子的人，没有x表示不留胡子的人。在五张红牌和六张黑牌背面标上x。在这些牌中加上三张红牌和四张黑牌，上面没有标x。总共是十八张牌。它们代表东厅的人。把这十八张牌洗过，使之背向上摊在桌上。如果你想使你拿到红牌的机会最大，你应该拿有x符号的还是没有x符号的？很容易算出各自的比数，为了拿到一张红牌，你最好拿有x符号的牌。在西厅的人用同样的方法模拟。在六张红牌和三张黑牌背面标上x。在这些牌中另加背面没有x的九张红牌和五张黑牌。总共是23张牌。洗牌后再摊放桌上。同样，很容易证明，如果你想拿到一张红牌，你拿有x符号成功的机会较大。现在把两套牌合成四十一张的一套。洗牌后摊开。使人很难相信，但你要是计算一下就会相信，如果你想拿到—张红牌，这时你选没有x符号的牌比较容易成功！当统计学家分析像药物试验结果这类数据时就会产生上述那样的悖论。比如，让牌表示参与两种研究试验的人。让x表示服用药物的人，没有x的牌表示服用安慰药（无实际药效）的人。红牌表示情况好转的人，黑牌表示情况没有变化的人。如果分开来分析，每一个试验均表明药物比安慰药有明显好的效果。可是当两个试验结果合到一起时，分析却表明安慰药有明显好的效果！这个逆论说明，要设计出一种试验，使其统计分析结果总是可信的有多么困难。</DIV> <DIV class=Section2 style="LAYOUT-GRID: 15.6pt none"> </DIV>

99dmg 发表于 2005-4-6 13:54

<DIV class=Section1 style="LAYOUT-GRID: 15.6pt none"><H3>11．亨普尔关于乌鸦的悖论</H3><TABLE collapse" cellSpacing=0 cellPadding=0 border=0><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0072.files/image001.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：有一个关于黑乌鸦的著名悖论，它说明罗尼哈特小姐遇到的问题并不是罕见的。甚至有些专家也还在力求搞清它。</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0072.files/image002.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：如果看到有3—4只乌鸦是黑色的，那么说“所有乌鸦都是黑色的”，这条科学定律的证据是不充分的。如果看到上百万只乌鸦都是黑的，这条定律的证据就比较充分。</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0072.files/image003.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>甲：嘎！嘎！我不是一只黑乌鸦。只要他们发现了我，他们就会知道他们的定律是错的。</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0072.files/image004.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：一条黄色的毛毛虫起什么作用？它可不可以当作这条定律的一个例证呢？</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0072.files/image005.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：要回答这个问题，让我们首先把这条定律改成在逻辑上仍然等价的另一个形式吧，“凡是不黑的东西都不是乌鸦。”</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0072.files/image006.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>乙：嘿！我已经找到一个不黑的东西了，它肯定不是只乌鸦，所以它证实了这条定律：“凡是不黑的东西都不是乌鸦。”所以它必然也证实了等价的定律：“凡是乌鸦都是黑的。”</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0072.files/image007.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：很容易找到成千上万不黑的又不是乌鸦的东西。它们是否也证实了定律：“凡是乌鸦都是黑的。”？</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0072.files/image008.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：卡尔·亨普尔教授设计了这条著名的悖论，他确信一条酱紫色的奶牛实际上使“所有乌鸦都是黑色的”概率稍为增大了一点。其他哲学家不同意这一点。你的看法如何？</TD></TR></TABLE>这是近来发现的在证实理论方面的很多悖论中最惹人头痛的一个。尼尔森·古德曼（见下—条逆论的介绍）说道；“坐在屋里不用出去受风吹雨淋就可以研究飞禽学这一前景是这样吸引人，使得我们知道其中必然有值得探讨的地方。”问题是要把关键找出来。卡尔·亨普尔相信，一个不是乌鸦的客体不是黑的这件事实际上是证实了“所行乌鸦都是黑的”这个论断，不过只是在极微小的程度上得到证实。试想我们来做一个客体数量很小的假设检验，比如有10张扑克牌向下扑放在桌子上。我们假设所有黑牌都是黑桃。我们开始一张一张翻牌。显然，每当我们翻开一张黑桃时，我们就得到一个证实假设的例证。现在，我们把这个假设用不同形式改述为：“所有不是黑桃的牌都是红的。”两次我们翻出的牌不是黑桃时，它是红的，这肯定也像前面一样证实了我们的假设。确实，如果第一张牌是黑桃，其余9张都是红色的非黑桃牌，我们就知道我们的假设成立。亨普尔说，当我们把上述过程用到乌鸦上，从不是乌鸦的客体不是黑的来证实我们的假设时，使人觉得别扭，其原因就在于地球上不是乌鸦的客体比起乌鸦来实在太多了，因而我们用上述说法来证实假设是不足取的。再则，如果我们环顾室内来找寻乌鸦，我们本已知道室内根本没有乌鸦，那么在这里找不到任何不黑的乌鸦是毫不足怪的。要是我们还没有上述这种补充知识，那么当我们发现了一个不黑的不是乌鸦的东西时，从理论意义上讲，它就算作证明“所有乌鸦都是黑的”的一个例证了。亨普尔的反对者常要指出，按他这个理由，发现一条黄色的毛毛虫或一条酱紫色的奶牛肯定也是“所有乌鸦都是白的”这条“规律”的例证。那末，一个同样的事实怎么会同时证实“所有乌鸦那是黑的”和“所有乌鸦都是白的”的例证呢？关于亨普尔悖论的文章多不胜数；这个悖论在关于知识的证实方面的辩论中起着中心作用，而这正是后面的参考资料：韦斯利·萨尔蒙的论文所讨论的课题。</DIV>

99dmg 发表于 2005-4-6 13:54

<DIV class=Section1 style="LAYOUT-GRID: 15.6pt none"><H3>12．古德曼的“蓝绿”悖论</H3><TABLE collapse" cellSpacing=0 cellPadding=0 border=0><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0073.files/image001.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：关于证实理论的另一条著名的悖论所依据的事实是，很多客体在某一个时候会改变颜色。绿色的苹果成熟变红，头发在年老时变白，银子变得黯然无光。</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0073.files/image002.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：尼尔森·古德曼把一个满足两个条件的客体称为“蓝绿”。第一，它直到本世纪末都是绿色的；第二，在那以后就是蓝色的了。</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0073.files/image003.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：现在试想两种说法：“所有的绿宝石都是绿的”和“所有绿宝石都是蓝绿的。”哪一种说法最有依据？</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0073.files/image004.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：奇怪的是，两种说法都被证实了，上面的两个条件都是上面说法中的任何一种的例证，谁也不会看到有相反的例证！要想解释清楚只一种说法可以接受，另一种说法不能接受是很困难的。</TD></TR><TR><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284><img src="mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0073.files/image005.gif"></TD><TD 5.4pt; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; WIDTH: 213.05pt; PADDING-TOP: 0cm" vAlign=top width=284>M：亨普尔逆论和古德曼悖论向我们表明，我们对于将统计学纳入科学方法的准确途径了解得是多么少。我们确实知道，如果没有统计学这一不可估价的手段，科学将不能持续不断地探索那些支配看我们这个神秘宇宙的规律。</TD></TR></TABLE>尼尔森·古德曼的著名的“蓝绿”悖论也是很多哲学杂志文章讨论的课题。它就像亨普尔悖论一样，表明要以统计资料为依据来判定一个科学理论是多么“好”这是一件多么困难的事情。古德曼悖论证明，只有我们弄清楚了两个理论各有多少已观察到的证据之后，我们才可以比较二者的优劣。在古德曼悖论中，“所有绿宝石都是绿的”和“所有绿宝石都是蓝绿的”得到同等数量例证的支持。我们比较喜欢头一种说法，因为在某种意义上讲，它此第二种要“简单些”。可是，我们现在就得解释“简单些”是什么意思。迄今为止，当哲学家或科学家面临两个理论均有同等数量的例证时，还没有谁能在寻找一种好办法来测度某种简单性方面取得进展，以便使我们定出一条定律，从这两个理论中选取—个。这种关于证实理论的悖论看上去微不足道。但是正如逻辑悖论在发展现代演绎逻辑中起了重要作用一样，证实性悖论在力图为科学总结出“归纳”逻辑中也起了重要作用。在将来，这样一种逻辑兴许会成为科学家对支配我们宇宙的规律作永无止境的探索中的—个有价值的工具。</DIV>

jesonchang 发表于 2005-4-22 07:46

interesting

laflaflaf 发表于 2005-5-6 20:14

hao

saviolazhao 发表于 2005-5-14 10:37

比较逗

yuki_sue 发表于 2005-5-25 21:34

好多有趣的事例，慢慢看。

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