最短路问题
最短路问题及其算法一.实验目的：
1、了解与掌握图论的基本概念、相关MATLAB知识和最短路径算法；
2、学会使用MATLAB编写Dijkstra算法和Floyd算法程序求最短路径.
二.实验内容：
要铺设一条A1→A2→…→A15的输送天然气的主管道，如图所示.经筛选后可以生产这种主管道的钢厂有S1，S2,…,S7.图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道（假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路），圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程（单位：km）.
为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管.
一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500单位钢厂 在指定期限内能生产刚钢管的最大数量为 个单位.钢管出厂销价1单位钢管为 万元，如下表：
1 2 3 4 5 6 7
800 800 1000 2000 2000 2000 3000
160 155 155 160 155 150 160
1单位钢管的铁路运价如下表：
里程（km） 300
301-350 351-400 401-450 451-500
运价（万元） 20 23 26 29 32
里程（km） 501-600 601-700 701-800 801-900 901-1000
运价（万元） 37 44 50 55 60
1000km以上每增加1至100km运价增加5万元.
公路运输费用为1单位钢管0.1万元每千米（不足整千米部分按整千米计算）.
假设从钢厂 订购钢管运输到铺设地点 和 .钢厂 在指定期间内能生产该钢管的最大数量为 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为155万元.
试制定一个从钢厂 到铺设地点 和 的钢管的订购与运输计划，使总费用最小.
三. 模型建立
设 为 ,将上图按从上到下，从右到左的顺序依次命名如下.将上图改为如下赋权图形 ：
利用Dijkstra算法和Floyd算法：求 中从顶点 到其余顶点的最短路.而求钢厂 到铺设地点 和 的最短距离，即为 到 和 的最短距离
解：先写出带权邻接矩阵：
后分别用Dijkstra算法和Floyd算法步骤，求出 到 和 的最短路的权 以及 的父亲点标记 .
四. 模型求解（含经调试后正确的源程序）
(1) Dijkstra算法
road1.m文件源程序：
w=[0 1200 inf inf inf inf inf inf inf inf;
1200 0 12 202 inf inf inf inf inf inf;
inf 12 0 inf 201 inf inf inf inf inf;
inf 202 inf 0 31 20 inf inf inf inf;
inf inf 201 31 0 10 inf 205 inf inf;
inf inf inf 20 10 0 195 inf inf inf;
inf inf inf inf inf 195 0 5 306 inf;
inf inf inf inf 205 inf 5 0 inf 194;
inf inf inf inf inf inf 306 inf 0 10;
inf inf inf inf inf inf inf 194 10 0];
n=size(w,1);
w1=w(1,:);
for i=1:n
l(i)=w1(i);
z(i)=1;
end
s=[];
s(1)=1;
u=s(1);
k=1;
l;
z;
while k<n
for i=1:n
for j=1:k
if i~=s(j)
if l(i)>l(u)+w(u,i);
l(i)=l(u)+w(u,i);
z(i)=u;
end
end
end
end
l;
z;
ll=l;
for i=1:n
for j=1:k
if i~=s(j)
ll(i)=ll(i);
else
ll(i)=inf;
end
end
end
lv=inf;
for i=1:n
if ll(i)<lv
lv=ll(i);
v=i;
end
end
lv;
v;
s(k+1)=v;
k=k+1;
u=s(k);
end
l
z
(2) Floyd算法
road2.m文件源程序：
a=[0 1200 inf inf inf inf inf inf inf inf;
1200 0 12 202 inf inf inf inf inf inf;
inf 12 0 inf 201 inf inf inf inf inf;
inf 202 inf 0 31 20 inf inf inf inf;
inf inf 201 31 0 10 inf 205 inf inf;
inf inf inf 20 10 0 195 inf inf inf;
inf inf inf inf inf 195 0 5 306 inf;
inf inf inf inf 205 inf 5 0 inf 194;
inf inf inf inf inf inf 306 inf 0 10;
inf inf inf inf inf inf inf 194 10 0];
=floyd(a)
floyd.m文件源程序：
function=floyd(a)
n=size(a,1);
D=a
for i=1:n
for j=1:n
R(i,j)=j;
end
end
R
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
R(i,j)=R(i,k);
end
end
end
k
D
R
end
五．结果分析
(1)Dijkstra算法
运行结果：
l = 0 1200 1212 1402 1413 1422 1617 1618 1822 1812
z =1 1 2 2 3 4 6 5 10 8
结果分析：
通过运行结果： 到其他顶点的最短路的权 ，可看出，
到 (即 到 )的最短距离为1812(km)；
到 (即 到 )的最短距离为1618(km)；
到 的最短路径为：V1→V2→V3→V5→V8→V10；
到 的最短路径为：V1→V2→V3→V5→V8。
(2) Floyd算法
运行结果：
D =
0 1200 1212 1402 1413 1422 1617 1618 1822 1812
1200 0 12 202 213 222 417 418 622 612
1212 12 0 214 201 211 406 406 610 600
1402 202 214 0 30 20 215 220 424 414
1413 213 201 30 0 10 205 205 409 399
1422 222 211 20 10 0 195 200 404 394
1617 417 406 215 205 195 0 5 209 199
1618 418 406 220 205 200 5 0 204 194
1822 622 610 424 409 404 209 204 0 10
1812 612 600 414 399 394 199 194 10 0
R =
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 3 4 4 3 3 3
2 2 3 2 5 5 5 5 5 5
2 2 2 4 6 6 6 6 6 6
3 3 3 6 5 6 6 8 8 8
4 4 5 4 5 6 7 7 7 7
6 6 6 6 6 6 7 8 8 8
5 5 5 7 5 7 7 8 10 10
10 10 10 10 10 10 10 10 9 10
8 8 8 8 8 8 8 8 9 10
结果分析：
通过运行结果：可看出，
到 (即 到 )的最短距离为1812(km)；
到 的最短路径为：V1→V2→V3→V5→V8→V10；
到 (即 到 )的最短距离为1618(km)；
到 的最短路径为：V1→V2→V3→V5→V8。
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