新手建模（5）利用类比法建模
类比是某种类型的相似性, 相似是人们对两个事物表面的、外在的表现进行比较的结果 . 如设计飞机时, 要考虑使乘客在飞机出事时不易折伤颅骨, 用蛋壳在各种情况下被敲碎的情形进行研究, 即把颅骨问题类比为蛋壳问题, 因从机械结构方面, 人脑与鸡蛋大致类似, 两者都有硬脆的外壳和浆液的内含物 . 而数学建模的过程就是把实际问题通过抽象分析用数学语言、数学概念和数学符号表述成数学问题, 表述成什么样的数学问题, 取决于思考者解决问题的意图, 一般在具体分析实际问题的各个因素的基础上, 通过联想、归纳对各因素进行比较, 与已知 模型比较, 把未知关系化为已知关系, 在不同的对象或完全不相关的对象中认出同样的或相似 的关系, 寻找解决问题的关键和与之类比的数学方法, 建立起解决问题的模型 . 在这一过程中, 由于建模的复杂性, 使建模中的类比是含糊的和不确定的, 同时带有创造性 .当我们在拿到题目后不要急着就去找变量建立方程，我们找变量建立方程一定是一个从简单模型到复杂模型的过程，如果我们先从一个简单模型类比题目中的模型，将题目先粗糙化为我们已知的简单模型，然后套用简单模型中的变量和方程，这样第一步便完成。接下来就是考虑题目的具体要求，一步一步细化条件。拿89 年美国数学建模竞赛题为例分析：
题目大概为：机场用“先到先服务”的原则分配飞机起飞的跑道, 在一定的信息下, 开发和分析一种能使乘客和航空公司双方满意的数学模型
1.找类比：从分配原则看应该是一个排队论问题, 可以建立统计模拟模型 .
给出如下的假设
设变量 data:image/gif;base64,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
1:第 i 驾飞机被指定在第 j 个小时段窗口上起飞,
0: 否则 .
安排方案矩阵
data:image/gif;base64,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
data:image/gif;base64,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
C ij表示第 i 驾飞机从第 j 个小时间段上起飞时所需一切费用之和, 以全部飞机安排的总费用 为目标函数
data:image/gif;base64,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
然后建立一个整数规化数学模型, 使一个似乎与规化无关的问题转化为大家熟悉的规化问题来求解 .
现实生活中, 人们对所研究的对象愈陌生就愈想拿熟悉的东西作类比 . 如麦克斯韦把电磁 现象与不可压缩的液体对比, 因为二者在数量规则上相似 . 许多在质上虽不同的现象, 只要它们服从相似的数量规律, 可以运用类比方法来研究 . 随着数学在自然科学、社会科学等领域的 广泛应用, 前人建立了一些日趋完善的经典模型 . 如人口模型、存贮模型、经济增长模型、交通 流等, 这些模型不仅能解决某一方面的问题, 且具有一般性 . 建模时可根据问题的要求, 考虑是 否与某一经典模型满足相似的规律, 通过假设类比联想寻找二者之间的相似关系, 建立联系, 从而减少模型分析的时间, 抓住主要矛盾, 类比成功后, 再根据具体要求, 作进一步修改、完善 . 如预报人口增长的指数模型和阻滞增长模型是经典模型, 有些问题如传染病问题、捕鱼问题, 在一定条件下, 服从于人口增长规律, 解决这些问题时, 首先, 通过类比建立各自的初步模型, 再根据捕鱼、传染病各自具有的特性, 建立新的模型 . 以传染病问题为例, 传染病受传播途径、 传染病类型、卫生水平等各因素的影响, 比较复杂, 如何解决这一问题, 首先, 根据传染病的传 染和人口增长的相似性进行假设简化, 不考虑疾病传染期间所考察地区人口的生死、迁移和治 愈状况, 把人群分为易感染者和已感染者, 只考虑健康者受感染变为病人, 这样与人口的阻滞 增长模型满足类似的规律 . 建立模型后, 在模型分析过程中发现, 该模型虽然能预报传染病传 染高潮的到来, 但随着时间的推移, 健康者全部变为病人, 显然是不符合实际情况, 于是修改模 型, 讨论病人可以治愈的情况, 寻找到解决问题的思路, 使模型一步步完善 . 另外, 模型建立以后, 有些模型求解过程比较复杂, 也需要与某一算法进行类比, 而且模型 求解以后, 还要考虑模型的实用价值, 即检验模型是否与实际问题相符, 这一过程也是一个所建模型与现实问题的类比, 这种类比含义比较明确, 最简单的是模型与图形的类比, 用图形的性质来说明模型的事实
好好好6666666
23333333333
111111111111111
666666666666666666666666
d d d d d d d d d
6666666666666666666666666666666666666
李江杰 发表于 2018-7-22 15:50 static/image/common/back.gif
好好好6666666
66666666666666666666666666666
页:
[1]