第11章 方差分析
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第十一章 方差分析
我们已经作过两个总体均值的假设检验，如两台机床生产的零件尺寸是否相等，病
人和正常人的某个生理指标是否一样。如果把这类问题推广一下，要检验两个以上总体
的均值彼此是否相等，仍然用以前介绍的方法是很难做到的。而你在实际生产和生活中
可以举出许多这样的问题：从用几种不同工艺制成的灯泡中，各抽取了若干个测量其
命，要推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显著差异；用几种化肥和几个小麦品种在
若干块试验田里种植小麦，要推断不同的化肥和品种对产量有无显著影响。
可以看到，为了使生产过程稳定，达到优质、高产，需要对影响产品质量的因素进
行分析，找出有显著影响的那些因素，除了从机理方面进行研究外，常常要作许多试验，
对结果作分析、比较，寻求规律。用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程
度的方法称为方差分析（Analysis Of Variance），记作 ANOVA。
人们关心的试验结果称为指标，试验中需要考察、可以控制的条件称为因素或因子
因素所处的状态称为水平。上面提到的灯泡寿命问题是单因素试验，小麦产量问题是双
因素试验。处理这些试验结果的统计方法就称为单因素方差分析和双因素方差分析。
§1 单因素方差分析
只考虑一个因素 A 对所关心的指标的影响， A 取几个水平，在每个水平上作若干
个试验，试验过程中除 A 外其它影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在），我
们的任务是从试验结果推断，因素 A 对指标有无显著影响，即当 A 取不同水平时指标
有无显著差别。
A 取某个水平下的指标视为随机变量，判断 A 取不同水平时指标有无显著差别，
相当于检验若干总体的均值是否相等。
1.1 数学模型
设 A 取 r 个水平 A A Ar , , , 1 2 L ，在水平 Ai 下总体 i x 服从正态分布 ( , )
2 N μi σ ，
i = 1,L,r ，这里 2 μi ,σ 未知， μi 可以互不相同，但假定 i x 有相同的方差。又设在每
个水平 Ai 下作了 ni 次独立试验，即从中抽取容量为 ni 的样本，记作 ij x ni ij ni x , j =1,L, ， ij x
服从 ( , )
2 N μi σ ， ni ni =1,L,r, j =1,L, 且相互独立。将这些数据列成表 1（单因素试
验数据表）的形式。
表 1 单因素试验数据表
A1 11 x 12 x … 1n1 x
A2 21 x 22 x … 2n2 x
… … … … …Ar r1 x r 2 x … r rn x
将第i 行称为第i 组数据。判断 A 的 r 个水平对指标有无显著影响，相当于要作以
下的假设检验
H0 μ1 = μ2 =L= μ r : ； H μ μ : , 1 1 μ r : , , , 1 1 2 L 不全相等
由于 ij x 的取值既受不同水平 Ai 的影响，又受 Ai 固定下随机因素的影响，所以将它
分解为
ij i ij x = μ + ε ，i = 1,L,r ， ni nj =1,L, （
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