数学历史上的三次危机

hanzhuang 发表于 2006-10-17 14:56

<table width="100%"><tbody><tr align="center"><td colspan="2"><div class="title">数学历史上的三次危机</div> </td></tr><tr valign="top"><td colspan="2"><div class="bt_content">经济上有危机，历史上数学也有三次危机。第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为l的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。不可通约量的研究开始于公元前4世纪的欧多克斯，其成果被欧几里得所吸收，部分被收人他的《几何原本》中。第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。微积分的形成给数学界带来革命性变化，在各个科学领域得到广泛应用，但微积分在理论上存在矛盾的地方。无穷小量是微积分的基础概念之一。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，而且把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。 　　第二次数学危机的解决使微积分更完善。 　　第三次数学危机，发生在十九世纪末。当时英国数学家罗素把集合分成两种。 　　第一种集合：集合本身不是它的元素，即A<shapetype id="_x0000_t75" path=" m@4@5 l@4@11@9@11@9@5 xe" stroked="f" filled="f" ospt="75" opreferrelative="t" coordsize="21600,21600"> <stroke joinstyle="miter"></stroke><formulas><f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0 "></f><f eqn="sum @0 1 0 "></f><f eqn="sum 0 0 @1 "></f><f eqn="prod @2 1 2 "></f><f eqn="prod @3 21600 pixelWidth "></f><f eqn="prod @3 21600 pixelHeight "></f><f eqn="sum @0 0 1 "></f><f eqn="prod @6 1 2 "></f><f eqn="prod @7 21600 pixelWidth "></f><f eqn="sum @8 21600 0 "></f><f eqn="prod @7 21600 pixelHeight "></f><f eqn="sum @10 21600 0 "></f></formulas><path gradientshapeok="t"></path><lock vext="edit" aspectratio="t"></lock></shapetype><shape id="_x0000_s1025" coordsize="21600,21600" alt="" type="#_x0000_t75" style="WIDTH: 12.75pt; HEIGHT: 12pt; flip: x;"></shape>A；第二种集合：集合本身是它的一个元素A∈A，例如一切集合所组成的集合。那么对于任何一个集合B，不是第一种集合就是第二种集合。 　　假设第一种集合的全体构成一个集合M，那么M属于第一种集合还是属于第二种集合。 　　如果M属于第一种集合，那么M应该是M的一个元素，即M∈M，但是满足M∈M关系的集合应属于第二种集合，出现矛盾。 　　如果M属于第二种集合，那么M应该是满足M∈M的关系，这样M又是属于第一种集合矛盾。 　　以上推理过程所形成的俘论叫罗素悖论。由于严格的极限理论的建立，数学上的第一次第二次危机已经解决，但极限理论是以实数理论为基础的，而实数理论又是以集合论为基础的，现在集合论又出现了罗素悖论，因而形成了数学史上更大的危机。从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统。即所谓ZF公理系统。这场数学危机到此缓和下来。数学危机给数学发展带来了新的动力。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。然而，矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现，而且今后仍然会这样。　</div>             <a href="http://mhez.edu.sh.cn/jiaoyanzu/teacher/shuxue/shuxuequshi/index.htm">   </a><a href="http://mhez.edu.sh.cn/jiaoyanzu/teacher/shuxue/shuxuequshi/index.htm" target="_self">  返回</a></td></tr></tbody></table>

aqua2001 发表于 2006-10-17 15:55

其实公理化不能解决全部问题。哥德尔定理对揭示形式体系的局限性具有相当深刻的意义。

xingzhesun 发表于 2006-11-15 22:51

哥德尔定理更像是悖论

量小非君子也 发表于 2007-4-17 15:21

看来数学还很有研究空间啊

12345678901234 发表于 2007-5-14 12:59

涨见识了！

xxgzftj 发表于 2012-2-18 14:53

{:soso_e132:}

xxgzftj 发表于 2012-2-18 14:54

第四次危机又是什么？

xiang1990 发表于 2012-7-5 10:19

很支持如此文章出世

页: [1]

数学建模社区-数学中国's Archiver

数学历史上的三次危机