[讨论]矩阵的特征值分解与矩阵的奇异值分解

dongxie1314 发表于 2007-6-7 17:58

矩阵的特征值分解与矩阵的奇异值分解到底有什么关系？一般都是对矩阵进行奇异值分解，而对其自相关矩阵进行特征值分解，那么他们的特征向量有什么关系？

madio 发表于 2007-6-7 23:22

奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理、统计学等领域有重要应用。 定义：设A为m*n阶矩阵，AHA的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记为σi(A)。如果把AHA的特征值记为λi(A)，则σi(A)＝λi(AHA)^(1/2)。   定理:（奇异值分解）设A为m*n阶复矩阵，则存在m阶酉阵U和n阶酉阵V，使得:                  A = U*S*V’其中S=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0
(i=1,…,r)，r=rank(A)。   推论：设A为m*n阶实矩阵，则存在m阶正交阵U和n阶正交阵V，使得A = U*S*V’其中S=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0
(i=1,…,r)，r=rank(A)。 说明：1、       
奇异值分解非常有用，对于矩阵A(m*n)，存在U(m*m)，V(n*n)，S(m*n)，满足A = U*S*V’。U和V中分别是A的奇异向量，而S是A的奇异值。AA'的正交单位特征向量组成U，特征值组成S'S，A'A的正交单位特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成SS'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。2、       
奇异值分解提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（S的阶数）和A的秩相同，一旦秩r确定，那么U的前r列构成了A的列向量空间的正交基。 关于奇异值分解中当考虑的对象是实矩阵时: S对角元的平方恰为A'A特征值的说明. (对复矩阵类似可得) 从上面我们知道矩阵的奇异值分解为: A=USV, 其中U,V是正交阵(所谓B为正交阵是指B'=B-1, 即B'B=I), S为对角阵. A'A=V'S'U'USV=V'S'SV=V-1S2V 上式中, 一方面因为S是对角阵, S'S=S2, 且S2对角元就是S的对角元的平方. 另一方面注意到A'A是相似与S2的, 因此与S2有相同特征值.其实奇异值可以认为是一种特殊的矩阵范数！

dongxie1314 发表于 2007-6-8 17:01

谢谢管理员madio先生的热心解答,谢谢拉!

yilun 发表于 2007-6-9 02:28

谢谢

znqust 发表于 2007-11-7 17:30

受教了 谢谢

380539514 发表于 2011-8-28 10:09

楼主给力了。

shuxuezaozhuang 发表于 2011-9-26 11:00

非常感谢了1！

pxwgih 发表于 2011-12-31 22:18

谢谢楼主，真是太好了

发表于 1970-1-1 08:00

弘道发表于 2014-7-29 15:22

谢谢楼主……辛苦啦！………………

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