【数学建模】备战美赛之传染病模型
【数学建模】备战美赛之传染病模型 传染病模型放一个链接：[关于传染病][ https://www.zhihu.com/question/367466399 ] 传染病初期特点： 没有考虑接触到的人中还有一部分病人，所以并不会全部被感染 已感染人数（病人）i(t),i(0)=i0(1) i(t),i(0)=i_0\tag1i(t),i(0)=i 0 (1) 每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数为λ(2) \lambda\tag2λ(2) 根据(1)(2)可以建立模型：i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt其中Δt为时间段(3)i(t+\Delta t)-i(t)=\lambda i(t)\Delta t\tag3\\其中\Delta t为时间段i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt其中Δt为时间段(3) 等式两边同时除以\Delta ti(t+Δt)−i(t)Δt=λi(t)(4)\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}=\lambda i(t)\tag4Δti(t+Δt)−i(t) =λi(t)(4) 由导数定义有i′(t)=didt=limt→Δti(t+Δt)−i(t)Δti'(t)=\frac{di}{dt}=lim_{t\to \Delta t}\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}i ′ (t)=dtdi =limt→Δt Δti(t+Δt)−i(t) 同时，取\Delta t = 1天didt=λi(5)\frac{di}{dt}=\lambda i\tag{5}dtdi =λi(5) 由(1)(5)两式可得最终的模型：i(t)=i0eλt(6)i(t)=i_0e^{\lambda t}\tag6i(t)=i 0 e λt (6) logistic模型特点： 区分已感染者（病人）和未感染者（健康人），但没有考虑病人可以治愈。 假设有总人数:N病人比例:i(t)健康人比例:s(t)被传染概率为:k存在初始条件:s(t)+i(t)=1(1) 总人数:N\\病人比例:i(t)\\健康人比例:s(t)\\被传染概率为:k\\存在初始条件:s(t)+i(t)=1\tag1总人数:N病人比例:i(t)健康人比例:s(t)被传染概率为:k存在初始条件:s(t)+i(t)=1(1) 每个病人每天有效接触人数为λ(2) \lambda \tag2λ(2) 建模得到NΔt)−i(t)]=k[λs(t)]Ni(t)Δt(3)N=k[\lambda s(t)]Ni(t)\Delta t\tag3NΔt)−i(t)]=k[λs(t)]Ni(t)Δt(3) 两边同时除\Delta t可以得到didt=limt→Δti(t+Δt)−i(t)Δt=kλs(t)i(t)(4)\frac{di}{dt}=lim_{t\to \Delta t}\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}=k\lambdas(t)i(t)\tag4dtdi =limt→Δt Δti(t+Δt)−i(t) =kλs(t)i(t)(4) 由(1)(4)式可得{didt=λi(1−i)i(0)=i0\begin{cases}\frac{di}{dt}=\lambda i(1-i)\\i(0)=i_0\end{cases}{ dtdi =λi(1−i)i(0)=i 0 最终得到模型（logistic模型）i(t)=1a+(1i0−1)e(−λt)i(t)=\frac{1}{a+(\frac{1}{i_0}-1)e^{(-\lambda t)}}i(t)= a+( i 0 1 −1)e (−λt) 1 传染病高潮到来的时刻t_mtm=λ−1ln(1i0−1) t_m=\lambda^{-1}ln(\frac{1}{i_0}-1)t m =λ −1 ln( i 0 1 −1) SIS模型特点： 病人治愈为健康人，但可再次被感染。 假设有总人数:N病人比例:i(t)健康人比例:s(t)被传染概率为:k存在初始条件:s(t)+i(t)=1病人每天治愈的比例为:μ(1) 总人数:N\\病人比例:i(t)\\健康人比例:s(t)\\被传染概率为:k\\存在初始条件:s(t)+i(t)=1\\病人每天治愈的比例为:\mu\tag1总人数:N病人比例:i(t)健康人比例:s(t)被传染概率为:k存在初始条件:s(t)+i(t)=1病人每天治愈的比例为:μ(1) 特殊定义，接触数\sigma：一个感染期内每个病人的有效接触人数。接触数:σ=λμ接触数:\sigma = \frac{\lambda}{\mu}接触数:σ= μλ 建模得到NΔt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)Δt(2)N=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t \tag2NΔt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)Δt(2) 化简NΔt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)ΔtN=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta tNΔt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)Δt i(t+Δt)−i(t)=λs(t)i(t)Δt−μi(t)Δt\\i(t+\Delta t)-i(t) =\lambda s(t)i(t)\Delta t-\mu i(t)\Delta ti(t+Δt)−i(t)=λs(t)i(t)Δt−μi(t)Δt i(t+Δt)−i(t)Δt=λs(t)i(t)−μi(t)\\\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t} = \lambda s(t)i(t)-\mu i(t)Δti(t+Δt)−i(t) =λs(t)i(t)−μi(t) didt=λs(t)i(t)−μi(t)\\\frac{di}{dt}= \lambda s(t)i(t)-\mu i(t)dtdi =λs(t)i(t)−μi(t) 最终得到{didt=λi(t)(1−i(t))−μi(t)i(0)=i0\begin{cases}\frac{di}{dt}= \lambda i(t)(1-i(t))-\mu i(t)\\ i(0)=i_0\end{cases}{ dtdi =λi(t)(1−i(t))−μi(t)i(0)=i 0 SIR模型特点： 传染病有免疫性，病人治愈后即移出感染系统，称为移出者 假设总人数:N,病人比例:i(t),健康人比例:s(t),移出者比例:r(t),病人日接触率:λ,日治愈率:μ,接触数:σ=λμ(1) 总人数:N,病人比例:i(t),健康人比例:s(t),移出者比例:r(t),\\病人日接触率:\lambda,日治愈率:\mu,接触数:\sigma=\frac{\lambda}{\mu}\tag1总人数:N,病人比例:i(t),健康人比例:s(t),移出者比例:r(t),病人日接触率:λ,日治愈率:μ,接触数:σ= μλ (1) 存在初始条件s(t)+r(t)+i(t)=1i0+s0=1(2)s(t)+r(t)+i(t)=1\\i_0+s_0=1\tag2s(t)+r(t)+i(t)=1i 0 +s 0 =1(2) 建立模型{NΔt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)ΔtNΔt)−s(t)]=−λNs(t)i(t)Δt(3)\begin{cases}N=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Deltat\\N=-\lambda Ns(t)i(t)\Delta t\end{cases}\tag3{ NΔt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)ΔtNΔt)−s(t)]=−λNs(t)i(t)Δt (3) 第一个方程：病人在\Delta t时间段的增加数=\Delta t时间段被感染人数-\Delta t时间段治愈的病人数（移出者数）。第二个方程：健康人在\Delta t时间段的增加数= - \Delta t时间段被感染人数（新治好的变成了移出者）。 最终得到得到⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪didt=λsi−μidsdt=−λsii(0)=i0,s(0)=s0 \begin{cases}\frac{di}{dt}=\lambda si-\mui\\\frac{ds}{dt}=-\lambda si\\i(0)=i_0,s(0)=s_0\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧ dtdi =λsi−μidtds =−λsii(0)=i 0 ,s(0)=s 0 还可以添加隔离等变量。————————————————版权声明：本文为CSDN博主「拇指笔记」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_44610644/article/details/104672089
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