易拉罐下料问题: 用数学建模优化生产管理问题
问题描述某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡 板冲压制成的（参见图 2）。易拉罐为圆柱形，包括罐身、上盖和下底，罐身高 10 cm ， 上盖和下底的直径均为 5cm。该公司使用两种不同规格的镀锡板原料，规格 1 的镀锡板 为正方形，边长 24cm；规格 2 的镀锡板为长方形，长、宽分别为 32cm 和 28cm。由于 生产设备和生产工艺的限制，对于规格 1 的镀锡板原料，只可以按照图 3 中的模式 1、 2 或 3 进行冲压；对于规格 2 的镀锡板原料只能按照模式 4 进行冲压。使用模式 1、2、 3、4 进行每次冲压所需要的时间分别为 1.5s、2s、1s、3s。
https://img-blog.csdnimg.cn/20190419080951312.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5ODMxMTYz,size_16,color_FFFFFF,t_70
该工厂每周工作 40h，每周可供使用的规格 1、2 的镀锡板原料分别为 5 万张和 2 万张。目前每只易拉罐的利润为 0.10 元，原料余料损失为 0.001 元/ (如果周末有罐 身、上盖或下底不能配套组装成易拉罐出售，也看做是原料余料损失）。工厂应如何安 排每周的生产？
1 问题分析
与钢管下料问题不同的是，这里的切割模式已经确定，只需计算各种 模式下的余料损失。已知上盖和下底的直径 d=5 cm，可得其面积为 https://private.codecogs.com/gif.latex?S_%7B1%7D%3D%5Cpi%20d%5E%7B2%7D/4%5Capprox%2019.6%5C%3A%20cm%5E%7B2%7D 。周长为 https://private.codecogs.com/gif.latex?L%3D%5Cpi%20d%5Capprox%2015.7%5C%3A%20cm ；已知罐身高 h =10 cm，可得其面积为 https://private.codecogs.com/gif.latex?S_%7B2%7D%3DhL%5Capprox%20157.1%5C%3A%20cm%5E%7B2%7D 。于是模式 1 下的余料损失为 https://private.codecogs.com/gif.latex?24%5E%7B2%7D-9S_%7B1%7D-S_%7B2%7D%5Capprox%20242.2 。同理计算其它模式下的余料损失，
并可将 4 种冲压模式的特征归纳如表 4
https://img-blog.csdnimg.cn/20190419081030490.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5ODMxMTYz,size_16,color_FFFFFF,t_70
问题的目标显然应是易拉罐的利润扣除原料余料损失后的净利润最大，约束条件 除每周工作时间和原料数量外，还要考虑罐身和底、盖的配套组装。
2 模型建立
决策变量：
用 https://private.codecogs.com/gif.latex?x_%7Bi%7D表示按照第i种模式的冲压次数（ i=1,2,3,4 ）， https://private.codecogs.com/gif.latex?y_%7B1%7D 表示一周生产的易拉罐个数。为计算不能配套组装的罐身和底、盖造成的原料损失，用 https://private.codecogs.com/gif.latex?y_%7B2%7D 表示不配套的罐身个数， https://private.codecogs.com/gif.latex?y_%7B3%7D 表示不配套的底、盖个数。虽然实际上 https://private.codecogs.com/gif.latex?x_%7Bi%7D 和 https://private.codecogs.com/gif.latex?y_%7B1%7D%2C%5C%3A%20y_%7B2%7D%2C%5C%3A%20y_%7B3%7D 应该是整数，但是由于生产量相当大，可以把它们看成是实数，从而用线性规划模型处理。我们的计 量单位是万。
决策目标：
假设每周生产的易拉罐能够全部售出，公司每周的销售利润是 0.1 。原料余料损失包括两部分：4 种冲压模式下的余料损失，和不配套的罐身和底、盖造成 的原料损失。按照前面的计算及表 4 的结果，总损失为
https://private.codecogs.com/gif.latex?0.001%5Cleft%20%28%20242.2x_%7B1%7D%20+202.9x_%7B2%7D+340.4x_%7B3%7D+189.1x_%7B4%7D+157.1y_%7B2%7D+19.6y_%7B3%7D%5Cright%20%29
于是，决策目标为
https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Ctextup%7Bmax%7D%5Cleft%20%5C%20%7B%20%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%200.1y_%7B1%7D-%200.001%5Cleft%20%28%20242.2x_%7B1%7D%20+202.9x_%7B2%7D+340.4x_%7B3%7D+189.1x_%7B4%7D+157.1y_%7B2%7D+19.6y_%7B3%7D%5Cright%20%29 ( 1 )
约束条件
1）时间约束。每周工作时间不超过 40h=144000s=14.4（万秒），由表 4 最后一列得
https://private.codecogs.com/gif.latex?1.5x_%7B1%7D+2x_%7B2%7D+x_%7B3%7D+3x_%7B4%7D%5Cleqslant%2014.4 ( 2 )
2）原料约束。每周可供使用的规格 1、2 的镀锡板原料分别为 5 万张和 2 万张，即
https://private.codecogs.com/gif.latex?x_%7B1%7D%20+x_%7B2%7D+x_%7B3%7D%5Cleqslant%205%20%3B%5C%3A%20%5C%3A%20x_%7B4%7D%5Cleqslant%202 ( 3 )
3）配套约束。由表 4 知，一周生产的罐身个数为 https://private.codecogs.com/gif.latex?x_%7B1%7D+2x_%7B2%7D+4x_%7B4%7D，一周生产的底、
盖个数为 ，因为应尽可能将它们配套组装成易拉罐销售。所以 https://private.codecogs.com/gif.latex?y_%7B1%7D
满足 https://private.codecogs.com/gif.latex?y_%7B1%7D%3D%5Ctextup%7Bmin%20%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cleft%20%28%20x_%7B1%7D+2x_%7B2%7D+4x_%7B4%7D%20%5Cright%20%29%20%2C%5C%3A%20%5Cleft%20%28%209x_%7B1%7D+3x_%7B2%7D+12x_%7B3%7D+4x_%7B4%7D%20%5Cright%20%29%20/2%20%5Cright%20%5C%7D ( 4 )
这时不配套的罐身个数 和不配套的底、盖个数 https://private.codecogs.com/gif.latex?y_%7B3%7D应为
https://private.codecogs.com/gif.latex?y_%7B2%7D%3Dx_%7B1%7D+2x_%7B2%7D+4x_%7B4%7D-y_%7B1%7D%5C%3A%20%3B%5C%3A%20y_%7B3%7D%3D9x_%7B1%7D+3x_%7B2%7D+12x_%7B3%7D+4x_%7B4%7D-2y_%7B1%7D ( 5 )
式（1）～（5）就是我们得到的模型，其中式（4）式一个非线性关系，不易 直接处理，但是它可以等价为以下两个线性不等式： https://private.codecogs.com/gif.latex?y_%7B1%7D%20%5Cleqslant%20x_%7B1%7D+2x_%7B2%7D+4x_%7B4%7D%20%5Cright%20%29%5C%3A%20%2C%5C%3A%20y_%7B1%7D%5Cleqslant%20%5Cleft%20%28%209x_%7B1%7D+3x_%7B2%7D+12x_%7B3%7D+4x_%7B4%7D%20%5Cright%20%29%20/2 ( 6 )
3 模型求解
在 LINGO 程序中，我们没有必要把式（20）线性化，LINGO 能够自动线性化的。 编写 LINGO 程序如下：
max=0.1*y1-0.2422*x1-0.2029*x2-0.3404*x3-0.1891*x4-0.1571*y2-0.01 96*y3; 1.5*x1+2*x2+x3+3*x4<14.4;
x1+x2+x3<5;
x4<4;
y1=@smin(x1+2*x2+4*x4,(9*x1+3*x2+12*x3+4*x4)/2);
y2=x1+2*x2+4*x4-y1;
y3=9*x1+3*x2+12*x3+4*x4-2*y1;
计算结果略。
4 评注
下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型。确 定下料模式尚无通用的方法，对于钢管下料这样的一维问题，当需要下料的规格不太多 时，可以枚举出下料模式，建立整数线性规划模型；否则就要构造整数非线性规划模型, 而这种模型求解比较困难。本节介绍的增加约束条件的方法是将原来的可行域“割去” 一部分，但要保证剩下的可行域中仍存在原问题的最优解。而像易拉罐这样的二维问题， 就要复杂多了。
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