2022全国大学生数学建模竞赛赛题
A 题 波浪能最大输出功率设计
随着经济和社会的发展，人类面临能源需求和环境污染的双重挑战，发展可再生能源产业
已成为世界各国的共识。波浪能作为一种重要的海洋可再生能源，分布广泛，储量丰富，具有
可观的应用前景。波浪能装置的能量转换效率是波浪能规模化利用的关键问题之一。
图 1 为一种波浪能装置示意图，由浮子、振子、中轴以及能量输出系统（PTO，包括弹簧
和阻尼器）构成，其中振子、中轴及 PTO 被密封在浮子内部；浮子由质量均匀分布的圆柱壳体
和圆锥壳体组成；两壳体连接部分有一个隔层，作为安装中轴的支撑面；振子是穿在中轴上的
圆柱体，通过 PTO 系统与中轴底座连接。在波浪的作用下，浮子运动并带动振子运动（参见附
件 1 和附件 2），通过两者的相对运动驱动阻尼器做功，并将所做的功作为能量输出。考虑海
水是无粘及无旋的，浮子在线性周期微幅波作用下会受到波浪激励力（矩）、附加惯性力（矩）、
兴波阻尼力（矩）和静水恢复力（矩）。在分析下面问题时，忽略中轴、底座、隔层及 PTO 的
质量和各种摩擦。
图 1 波浪能装置示意图
请建立数学模型解决以下问题：
问题 1 如图 1 所示，中轴底座固定于隔层的中心位置，弹簧和直线阻尼器一端固定在振
子上，一端固定在中轴底座上，振子沿中轴做往复运动。直线阻尼器的阻尼力与浮子和振子的
相对速度成正比，比例系数为直线阻尼器的阻尼系数。考虑浮子在波浪中只做垂荡运动（参见
附件 1），建立浮子与振子的运动模型。初始时刻浮子和振子平衡于静水中，利用附件 3 和附
件 4 提供的参数值（其中波浪频率取 1.4005 s−1，这里及以下出现的频率均指圆频率，角度均
采用弧度制），分别对以下两种情况计算浮子和振子在波浪激励力 𝑓 cos 𝜔𝑡（
𝑓 为波浪激励力
振幅，𝜔 为波浪频率）作用下前 40 个波浪周期内时间间隔为 0.2 s 的垂荡位移和速度：(1) 直
线阻尼器的阻尼系数为 10000 N·s/m；(2) 直线阻尼器的阻尼系数与浮子和振子的相对速度的绝
对值的幂成正比，其中比例系数取 10000，幂指数取 0.5。将结果存放在 result1-1.xlsx 和
result1-2.xlsx 中。在论文中给出 10 s、20 s、40 s、60 s、100 s 时，浮子与振子的垂荡位移和速
度。问题 2 仍考虑浮子在波浪中只做垂荡运动，分别对以下两种情况建立确定直线阻尼器的
最优阻尼系数的数学模型，使得 PTO 系统的平均输出功率最大：(1) 阻尼系数为常量，阻尼系
数在区间 内取值；(2) 阻尼系数与浮子和振子的相对速度的绝对值的幂成正比，比
例系数在区间 内取值，幂指数在区间 内取值。利用附件 3 和附件 4 提供的
参数值（波浪频率取 2.2143 s−1）分别计算两种情况的最大输出功率及相应的最优阻尼系数。
问题 3 如图 2 所示，中轴底座固定于隔层的中心位置，中轴架通过转轴铰接于中轴底座
中心，中轴绕转轴转动，PTO 系统连接振子和转轴架，并处于中轴与转轴所在的平面。除了直
线阻尼器，在转轴上还安装了旋转阻尼器和扭转弹簧，直线阻尼器和旋转阻尼器共同做功输出
能量。在波浪的作用下，浮子进行摇荡运动，并通过转轴及扭转弹簧和旋转阻尼器带动中轴转
动。振子随中轴转动，同时沿中轴进行滑动。扭转弹簧的扭矩与浮子和振子的相对角位移成正
比，比例系数为扭转弹簧的刚度。旋转阻尼器的扭矩与浮子和振子的相对角速度成正比，比例
系数为旋转阻尼器的旋转阻尼系数。考虑浮子只做垂荡和纵摇运动（参见附件 2），建立浮子
与振子的运动模型。初始时刻浮子和振子平衡于静水中，利用附件 3 和附件 4 提供的参数值（波
浪频率取 1.7152 s−1），假定直线阻尼器和旋转阻尼器的阻尼系数均为常量，分别为 10000 N·s/m
和 1000 N·m·s，计算浮子与振子在波浪激励力和波浪激励力矩 𝑓 cos 𝜔𝑡，𝐿 cos 𝜔𝑡（
𝑓 为波浪激
励力振幅，𝐿 为波浪激励力矩振幅，𝜔 为波浪频率）作用下前 40 个波浪周期内时间间隔为 0.2
s 的垂荡位移与速度和纵摇角位移与角速度。将结果存放在 result3.xlsx 中。在论文中给出 10 s、
20 s、40 s、60 s、100 s 时，浮子与振子的垂荡位移与速度和纵摇角位移与角速度。
图 2 波浪能装置不同侧面的示意图
问题 4 考虑浮子在波浪中只做垂荡和纵摇的情形，针对直线阻尼器和旋转阻尼器的阻尼
系数均为常量的情况，建立确定直线阻尼器和旋转阻尼器最优阻尼系数的数学模型，直线阻尼
器和旋转阻尼器的阻尼系数均在区间 内取值。利用附件 3 和附件 4 提供的参数值
（波浪频率取 1.9806 s−1）计算最大输出功率及相应的最优阻尼系数。
附件 1 垂荡的动画
附件 2 垂荡和纵摇的动画
附件 3 不同入射波浪频率下的附加质量、附加转动惯量、兴波阻尼系数、波浪激励力（矩）
振幅
附件 4 浮子和振子的物理参数和几何参数值
附录 术语
浮体在波浪的作用下做摇荡运动时，会受到海水的作用，包括附加惯性力（矩）、兴波阻
尼力（矩）和静水恢复力（矩）。
附加惯性力（矩） 推动浮体做摇荡运动的力（矩）不仅要推动浮体运动，还要推动浮体
周围的流体运动。因此，要使浮体在海水中获得（角）加速度，需要施加额外的力（矩），称
为附加惯性力（矩）。附加惯性力（矩）对应产生一个虚拟质量（虚拟转动惯量），即为附加
质量（附加转动惯量）。
兴波阻尼力（矩） 浮体在海水中做摇荡运动时，会兴起波浪，从而产生对浮体摇荡运动
的阻力（矩），称为兴波阻尼力（矩）。兴波阻尼力（矩）与摇荡运动的（角）速度成正比，
方向相反，比例系数称为兴波阻尼系数。
静水恢复力 浮体在海水中做垂荡运动时，会受到使浮体回到平衡位置的作用力，称为静
水恢复力。静水恢复力实际上是由浮体在垂荡运动时所受到的浮力变化引起的。
静水恢复力矩 浮体在海水中做纵摇运动时，会受到使浮体转正的力矩，称为静水恢复力
矩，其大小与浮体相对于静水面的转角成正比，比例系数称为静水恢复力矩系数。
B 题 无人机遂行编队飞行中的纯方位无源定位
无人机集群在遂行编队飞行时，为避免外界干扰，应尽可能保持电磁静默，少向外发射电
磁波信号。为保持编队队形，拟采用纯方位无源定位的方法调整无人机的位置，即由编队中某
几架无人机发射信号、其余无人机被动接收信号，从中提取出方向信息进行定位，来调整无人
机的位置。编队中每架无人机均有固定编号，且在编队中与其他无人机的相对位置关系保持不
变。接收信号的无人机所接收到的方向信息约定为：该无人机与任意两架发射信号无人机连线
之间的夹角（如图 1 所示）。例如：编号为 FY01、FY02 及 FY03 的无人机发射信号，编号为
FY04 的无人机接收到的方向信息是 𝛼1，𝛼2 和 𝛼3。
图 1 无人机接收到的方向信息示意图
请建立数学模型，解决以下问题：
问题 1 编队由 10 架无人机组成，形成圆形编队，其中 9 架无人机（编号 FY01~FY09）均
匀分布在某一圆周上，另 1 架无人机（编号 FY00）位于圆心（见图 2）。无人机基于自身感知
的高度信息，均保持在同一个高度上飞行。
图 2 圆形无人机编队示意图
(1) 位于圆心的无人机（
FY00）和编队中另 2 架无人机发射信号，其余位置略有偏差的无
人机被动接收信号。当发射信号的无人机位置无偏差且编号已知时，建立被动接收信号无人机
的定位模型。(2) 某位置略有偏差的无人机接收到编号为 FY00 和 FY01 的无人机发射的信号，另接收到
编队中若干编号未知的无人机发射的信号。若发射信号的无人机位置无偏差，除 FY00 和 FY01
外，还需要几架无人机发射信号，才能实现无人机的有效定位？
(3) 按编队要求，1 架无人机位于圆心，另 9 架无人机均匀分布在半径为 100 m 的圆周上。
当初始时刻无人机的位置略有偏差时，请给出合理的无人机位置调整方案，即通过多次调整，
每次选择编号为 FY00 的无人机和圆周上最多 3 架无人机遂行发射信号，其余无人机根据接收
到的方向信息，调整到理想位置（每次调整的时间忽略不计），使得 9 架无人机最终均匀分布在
某个圆周上。利用表 1 给出的数据，仅根据接收到的方向信息来调整无人机的位置，请给出具
体的调整方案。
表 1 无人机的初始位置
无人机编号
极坐标 (m,°)
0
(0, 0)
1
(100, 0)
2
(98, 40.10)
3
(112, 80.21)
4
(105, 119.75)
5
(98, 159.86)
6
(112, 199.96)
7
(105, 240.07)
8
(98, 280.17)
9
(112, 320.28)
问题 2 实际飞行中，无人机集群也可以是其他编队队形，例如锥形编队队形（见图 3，直
线上相邻两架无人机的间距相等，如 50 m）。仍考虑纯方位无源定位的情形，设计无人机位置
调整方案。
图 3 锥形无人机编队示意图
C 题 古代玻璃制品的成分分析与鉴别
丝绸之路是古代中西方文化交流的通道，其中玻璃是早期贸易往来的宝贵物证。早期的玻
璃在西亚和埃及地区常被制作成珠形饰品传入我国，我国古代玻璃吸收其技术后在本土就地取
材制作，因此与外来的玻璃制品外观相似，但化学成分却不相同。
玻璃的主要原料是石英砂，主要化学成分是二氧化硅（SiO2）。由于纯石英砂的熔点较高，
为了降低熔化温度，在炼制时需要添加助熔剂。古代常用的助熔剂有草木灰、天然泡碱、硝石
和铅矿石等，并添加石灰石作为稳定剂，石灰石煅烧以后转化为氧化钙（CaO）。添加的助熔
剂不同，其主要化学成分也不同。例如，铅钡玻璃在烧制过程中加入铅矿石作为助熔剂，其氧
化铅（PbO）、氧化钡（BaO）的含量较高，通常被认为是我国自己发明的玻璃品种，楚文化
的玻璃就是以铅钡玻璃为主。钾玻璃是以含钾量高的物质如草木灰作为助熔剂烧制而成的，主
要流行于我国岭南以及东南亚和印度等区域。
古代玻璃极易受埋藏环境的影响而风化。在风化过程中，内部元素与环境元素进行大量交
换，导致其成分比例发生变化，从而影响对其类别的正确判断。如图 1 的文物标记为表面无风
化，表面能明显看出文物的颜色、纹饰，但不排除局部有较浅的风化；图 2 的文物标记为表面
风化，表面大面积灰黄色区域为风化层，是明显风化区域，紫色部分是一般风化表面。在部分
风化的文物中，其表面也有未风化的区域。
图 1 未风化的蜻蜓眼玻璃珠样品 图 2 风化的玻璃棋子样品
现有一批我国古代玻璃制品的相关数据，考古工作者依据这些文物样品的化学成分和其他
检测手段已将其分为高钾玻璃和铅钡玻璃两种类型。附件表单 1 给出了这些文物的分类信息，
附件表单 2 给出了相应的主要成分所占比例（空白处表示未检测到该成分）。这些数据的特点
是成分性，即各成分比例的累加和应为 100%，但因检测手段等原因可能导致其成分比例的累
加和非 100%的情况。本题中将成分比例累加和介于 85%~105%之间的数据视为有效数据。
请你们团队依据附件中的相关数据进行分析建模，解决以下问题：
问题 1 对这些玻璃文物的表面风化与其玻璃类型、纹饰和颜色的关系进行分析；结合玻
璃的类型，分析文物样品表面有无风化化学成分含量的统计规律，并根据风化点检测数据，预
测其风化前的化学成分含量。
问题 2 依据附件数据分析高钾玻璃、铅钡玻璃的分类规律；对于每个类别选择合适的化
学成分对其进行亚类划分，给出具体的划分方法及划分结果，并对分类结果的合理性和敏感性
进行分析。
问题 3 对附件表单 3 中未知类别玻璃文物的化学成分进行分析，鉴别其所属类型，并对分类结果的敏感性进行分析。
问题 4 针对不同类别的玻璃文物样品，分析其化学成分之间的关联关系，并比较不同类
别之间的化学成分关联关系的差异性。
附件
表单 1 玻璃文物的基本信息
表单 2 已分类玻璃文物的化学成分比例，其中
(1) 文物采样点为该编号文物表面某部位的随机采样，其风化属性与附件表单 1 中相应文
物一致。
(2) 部位 1 和部位 2 是文物造型上不同的两个部位，其成分与含量可能存在差异。
(3) 未风化点是风化文物表面未风化区域内的点。
(4) 严重风化点取自风化层。
表单 3 未分类玻璃文物的化学成分比例
D 题 气象报文信息卫星通信传输
在某些紧急救援任务中，需要进行物资空投。在地面通信系统瘫痪的情形下，为了更好地
获得准确完整的地面气象观测信息，通常对任务区域的重要目标点采用派遣气象分队的方式来
获取实时气象数据，通过卫星通信传输数据，从而保障救援任务的顺利完成。
现需派遣多支气象分队前往多个区域进行地面气象观测保障任务。一支气象分队在一个区
域的三个不同地点设立 1 个观测主站，2 个观测副站（主站编号 1，2，3，⋯；副站编号 1a，
1b，2a，2b，3a，3b，⋯）。主站部署车载型卫星通信设备 1 套，副站各部署便携型卫星通信
设备 1 套。两类卫星通信设备相关性能指标如下：
(1) 所有观测站之间只能依靠卫星通信设备进行点到点通信，且通信不受空间距离的限制。
(2) 由于受到周边电磁环境的干扰，便携型卫星通信设备发送和接收消息的成功率均为
80%，但车载型卫星通信设备发送和接收消息的成功率不受影响，均为 100%。
(3) 收发消息的主要内容为气象报文信息（简称气象报文），一条气象报文内容（含所属
站点编号）包含 100 个字符，每条消息最多可包含 158 个字符。同一条气象报文可分割成上下
两个半段分别传输。
(4) 每部卫星通信设备每次只能发送一条消息，发送两条消息的时间间隔不能小于 1 分钟；
收发通道相互独立，在发送消息时，可同时接收任意多条消息；发送和接收消息的时间非常短，
可忽略。
(5) 副站不知道本站所发送消息是否被成功接收。
现拟派遣 𝑁 支分队执行任务，要求每小时各分队所属主副站对所在地点的气象信息进行
一次采集，并按下列要求通过卫星通信设备进行气象报文的信息共享，这里，气象报文的信息
共享是指任意一个观测站采集的气象信息应被成功转发到其他所有观测站。
问题 1 (1) 要求在 𝐾 分钟内完成 𝑁 (≥ 5) 支分队主站间气象报文的信息共享，请研究
𝐾 的最小值与 𝑁 的关系，并建立 𝐾 分钟内实现 𝑁 个主站间气象报文信息共享的一般传输
模型。
(2) 在上述模型中，取 𝑁 = 9，给出 𝐾 的相应最小值，并根据一般传输模型给出此时主站
间气象报文的信息共享方案，将结果按表 1 的格式填报。填报结果时，注意消息的完整性，例
如：在“发送信息所属站点序号”一栏中填写“5”，表示本轮所发送消息来自于第 5 号主站，
表 1 主站气象报文的传输方案 (𝑵 = ⋯，𝑲 = ⋯)
传输轮
数序号
发送站点
序号
接收站点
序号
发送信息所属站点序
号（含信息完整性）
此轮后接收站点已有信息
所属站点序号（含信息完整性）
1
1
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
1
N
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
K
1
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
K
N是一条完整气象信息；而填写“5(1)”“5(2)”则分别表示本轮所发送消息来自于第 5 号主站的
上半段与下半段气象信息。
问题 2 为了提高气象信息的地理密度，除了实现主站间气象报文的信息共享外，还需要
使用副站气象信息加以补充。
(1) 若要求在 𝐾 分钟内完成 𝑁 个主站间气象报文的信息共享，且每个主站满足条件：对
每支分队，成功接收该分队至少一个副站的气象报文的概率不低于 0.9。请就 𝐾 (≥ 5) 的情形，
研究 𝑁 的最大值与 𝐾 的关系，并建立 𝐾 分钟内满足以上条件的信息传输的一般模型。若主
站间气象报文信息共享的传输方案与问题 1 相同，则只需给出副站气象报文的传输方案。
(2) 对于 𝐾 = 7，给出 𝑁 的最大值，并根据一般传输模型给出此时副站气象报文的传输方
案，将结果按表 2 的格式填报。求出在你们的传输方案下平均有多少个主站能成功接收每支分
队至少一个副站的气象报文，以及任一主站平均能成功接收多少个副站的气象报文。
表 2 副站气象报文的传输方案 (𝑵 = ⋯，𝑲 = ⋯)
传输轮数序号
发送站点序号
接收站点序号
发送信息所属站点序号
（含信息完整性）
1
⋯
⋯
⋯
⋯
1
⋯
⋯
⋯
⋯
K
⋯
⋯
⋯
⋯
K
问题 3 若要求在 𝐾 = 8 分钟内完成 𝑁 个主站间气象报文的信息共享，且每个主站满足
条件：对每支分队，成功接收该分队至少一个副站的气象报文的概率不低于 0.97，请给出 𝑁 的
最大值，并给出此时主站间气象报文信息共享的传输方案与副站气象报文信息的传输方案，将
前者按表 1 的格式填报，后者按表 2 的格式填报。求出在你们的传输方案下平均有多少个主站
能成功接收每支分队至少一个副站的气象报文，以及任一个主站平均能成功接收多少个副站的
气象报文。
E 题 小批量物料的生产安排
某电子产品制造企业面临以下问题：在多品种小批量的物料生产中，事先无法知道物料的
实际需求量。企业希望运用数学方法，分析已有的历史数据，建立数学模型，帮助企业合理地
安排物料生产。
问题 1 请对附件中的历史数据进行分析，选择 6 种应当重点关注的物料（可从物料需求
出现的频数、数量、趋势和销售单价等方面考虑），建立物料需求的周预测模型（即以周为基
本时间单位，预测物料的周需求量，见附录(1)），并利用历史数据对预测模型进行评价。
问题 2 如果按照物料需求量的预测值来安排生产，可能会产生较大的库存，或者出现较
多的缺货，给企业带来经济和信誉方面的损失。企业希望从需求量的预测值、需求特征、库存
量和缺货量等方面综合考虑，以便更合理地安排生产。
请提供一种制定生产计划的方法，从第 101 周（见附录(1)）开始，在每周初，制定本周的
物料生产计划（见附录(2)），安排生产，直至第 177 周为止，使得平均服务水平不低于 85%（见
附录(3)）。这里假设：本周计划生产的物料，只能在下周及以后使用。为便于统一计算结果，
进一步假设第 100 周末的库存量和缺货量均为零，第 100 周的生产计划数恰好等于第 101 周的
实际需求数。
请在问题 1 选定的 6 种物料中选择一种物料，将其第 101 ～ 110 周的生产计划数、实际
需求量、库存量、缺货量（见附录(4)）和服务水平按表 1 的形式填写，放在正文中。
表 1 XXXX 物料第 101～110 周的生产计划、实际需求、库存、缺货量及服务水平
周
生产计划/件
实际需求量/件
库存量/件
缺货量/件
服务水平
101
⋮
请将问题 1 中选定的 6 种物料的全部计算结果（第 101 ～ 177 周）按表 1 的形式填写在
Excel 文件中，通过支撑材料提交。请将 6 种物料的综合结果（第 101 ～ 177 周的平均值）按
表 2 的形式填写，放在正文中。
表 2 6 种物料的综合结果
物料编码
平均生产计划
数/（件/周）
平均实际需求
量/（件/周）
平均库存量
/（件/周）
平均缺货量
/（件/周）
平均
服务水平
XXXX
⋮
问题 3 考虑到物料的价格，物料的库存需要占用资金。为了在库存量与服务水平之间达
到某种平衡，如何调整现有的周生产计划，并说明理由。请根据新的周生产计划，对问题 1 选定的 6 种物料重新计算，并将全部计算结果以表 1 的形式填写在 Excel 表中，通过支撑材料提
交，将综合结果按表 2 的形式填写，放在正文中。对问题 2 选择的 1 种物料，将其第 101 ～ 110
周的生产计划数、实际需求量、库存量、缺货量和服务水平按表 1 的形式填写，放在正文中。
问题 4 如果本周计划生产的物料只能在两周及以后使用，请重新考虑问题 2 和问题 3。能
否将你们的方法推广到一般情况，即如果本周计划生产的物料只能在 𝑘 (≥ 2) 周及以后使用，
应如何制定生产计划。
附件 2019~2022 年的需求数据
附录 说明
(1) 将附件数据第 1 次出现的时间（2019 年 1 月 2 日）所在的周设定为第 1 周，以后的每
周从周一开始至周日结束，例如，2019 年 1 月 7 日至 13 日为第 2 周，以此类推。
(2) 在制定本周的生产计划时，可以使用任何历史数据、需求特征以及预测数据，但不能
使用本周及本周以后的实际需求数据。
(3) 服务水平 = 1 − 实际需求量
缺货量 。
(4) 库存量和缺货量分别指物料在周末的库存量和缺货量。
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