一个有些挑战性的组合题zzzzz
整数 |p| ≤ n , 要求从这 <!--Math $ 2n+1 $ MathEndBegin--><m:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mn>2</m:mn> <m:mi>n</m:mi><m:mo>+</m:mo><m:mn>1</m:mn> </m:math><!--End Math-->个数中取k个总和为q的数, 请问总共有多少中取法？<BR><BR>：）看似不难, 但其实有些难度, 而且结果可能有多种形式..... <P>可能上面说的有点抽象, 看起来不是很明白,举个例子<BR>譬如n=2, 则满足|p| ≤ n 的 p可以取<BR>-2,-1,0,1,2<BR>共5个数.<BR>如果想从这5个数中取3个数(即当k=3时),并使这两个数的和为3(即当q=3时), <BR>这时的取法有:<BR>0,1,2<BR>总共1种;</P><P>再如当n=3时,则满足|p| ≤ n 的 p可以取<BR>-3,-2,-1,0,1,2,3<BR>共7个数.<BR>如果想从这7个数中取3个数(即当k=3时),并使这两个数的和为3(即当q=3时), <BR>这时的取法有:<BR>0,1,2/-1,1,3/-2,2,3/<BR>总共3种;</P>
<P><BR>现在问题是对于一般的整数n,p,q, 总共会有多少中取法呢？(即求其通式)<BR></P> ：）是不是觉得难度很大？ <P>有两位朋友提出了如下的想法, 大家可以考虑下:<BR>第1种. 按照要求，如果这k个数看作是有序的，第j个数记为x<SUB>j</SUB>，其中1≤j≤k，-n≤x<SUB>j</SUB>≤n，则x<SUB>1</SUB>+x<SUB>2</SUB>+…+x<SUB>k</SUB>=q。再令x<SUB>j</SUB>=y<SUB>j</SUB>-n，则0≤y<SUB>j</SUB>≤2n，y<SUB>1</SUB>+y<SUB>2</SUB>+…+y<SUB>k</SUB>=q-kn，这个不定方程满足0≤y<SUB>j</SUB>≤2n的整数解的组数是多项式(1+a+a<SUP>2</SUP>+…+a<SUP>2n</SUP>)<SUP>k</SUP>展开式中的a<SUP>q-kn</SUP>项的系数，记为t，即有t种取法。如果这些数看作无顺序的，则有t/k!种取法。<BR><BR>第2种. ∏ (1+yx^i)展开式中(y^k)(x^q)项的系数,连乘积对i=-n,...,-1,0.1,...,n进行.</P>
<P>当然其实这两种想法比较相似了, 各位也可以考虑下有没别的思路.....</P> <P>不过上面也只是提出了一种问题转化的思路,并没得到最终结果的表达式,..</P>
<P>谁来挑战一下.....:)</P> +_- this is a real challenge, right? <P> 好厉害的题目!!</P> 看了一下，没有头绪 说的不错！
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313tuan.com 额，怎么看不懂呢
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