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lengyuyendsk 发表于 2006-1-19 14:57

sturm定理到底是哪个定理啊，应用还很广　，很多学校大纲里都标明了，但书里却没有标明是不是挺基础的问题哦 是高等代数里经常用的，就是不知道具体哪个，
应该是高等代数里经常用的
lengyuyendsk@163.com

madio 发表于 2006-1-19 16:13

阅读参考6 多项式根计算的两个定理
实系数多项式根的计算，首先要确定实根的范围，进而将实根分离，使每个小区间只含一个实根．下面，我们就来介绍这两个问题的解法．对于前一个问题，我们可以更一般地讨论复系数多项式的复根的范围，再由此得出实系数多项式实根的界．
定理1 设<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image142.gif">∈C[x]，其次数n³ 1．令
<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image143.gif">
则当zÎ C且<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image144.gif">时，有<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image145.gif">．
证 当M=0时，结论显然成立．下设M¹ 0．当zÎ C且<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image146.gif">时，有
<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image147.gif">．
从而有
<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image148.gif">
<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image149.gif"><IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image150.gif">
<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image151.gif"><IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image152.gif">． „
由定理1得到，当<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image153.gif">时，有
<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image154.gif"><IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image155.gif">．
因此f(x)的复根全都在以原点为圆心，以<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image156.gif">为半径的圆内．把这一结论用到实系数多项式上便得到
推论1 设<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image157.gif">∈R[x], 其中degf≥1，令
<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image158.gif">，
则f(x)的实根全都在区间<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image159.gif">，<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image160.gif">内． 
由定理1还可以得到
推论2 设<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image161.gif">∈R[x]，其中degf≥1，则对一切充分大的正数r，f(r)的符号与<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image162.gif">的符号相同． 
例如，设<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image163.gif">．我们有M=1，<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image164.gif">．因此f(x)的实根全都在区间(－2，2)内．
求出实系数多项式f(x)实根的界只表明：若f(x)有实根，则所有实根都在这个区间内．但是不能肯定f(x)一定有实根．如何知道f(x)有没有实根？若有的话，实根的数目(不计重数)是多少？如何把实根分离开？对这些问题的第一个令人满意的回答是在1829年由Sturm给出的．下面介绍Sturm的方法，为此引入
定义1 设<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image165.gif">是一个非零实数的有限序列，如果<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image166.gif">，则说，序列在第i+1项有一个变号．这个序列中变号的总数称为它的变号数．一个有限的实数序列的变号数定义为去掉这个序列中的0以后得到的序列的变号数．
例如，序列–2，0，1，0，0，3，–4，5的变号数是3．
定理2(Sturm定理) 设f(x) ∈R[x]，degf≥1．对f(x)与<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image167.gif">做下述略微修改的辗转相除法
<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image168.gif">
<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image169.gif">
… … … … … … … … ， (1)
<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image170.gif">
得到一个多项式序列
<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image171.gif"><IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image172.gif"> (2)
称序列(2)是f(x)的标准序列．假设区间[a，b]使得f(a)¹ 0，f(b)¹ 0，则f(x)在区间(a，b)内的不同的实根的数目是<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image173.gif">，其中<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image174.gif">表示序列<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image175.gif"> <IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image176.gif">的变号数．
证 略述(参考文阅读材料八)．
例1 设<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image177.gif">，则<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image178.gif">．对f(x)与<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image179.gif">做略微修改的辗转相除法，即把每次得到的余式反号以后去除除式：
<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image180.gif">
因此
<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image181.gif">．
从<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image182.gif">知道<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image183.gif">．因此f(x)没有重根．在前面我们已计算过f(x)的
实根全在区间(－2，2)内，现在计算f(x)的标准序列在- 2与2处的变号数：
<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image184.gif">
于是f(x)在(－2，2)内的不同的实根的数目是<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image185.gif">．由于f(x)没有重根，所以f(x)的实根的总数是1．为了进一步确定这个实根的位置，可以再计算<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image186.gif">：
<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image187.gif">
因为<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image188.gif">，所以f(x)的唯一实根在<IMG src="http://jpkc.fjzs.edu.cn/course/gdds/mysite/IMAGES/Image189.gif">内．

madio 发表于 2006-1-19 16:15

这个定理是中科院数学与系统研究所考研的要求内容 所以在中科院要求的参考教材里有 代数好像是很老的一本书《线性代数》蒋尔雄等编人民教育出版社 1978

chenshao1982 发表于 2006-1-24 11:24

对不起，不知道

cunu 发表于 2006-3-3 11:57

对不起，不知道

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