大家帮忙看一下这几个数分题该怎么做？最好给出一点步骤，谢谢！
1、设f(x)在区间上连续，证明： \int_{0}^{1}{e^{f(x)}}dx\int_{0}^{1}{e^{-f(y)}}dy\geq 12、设f(x)在区间上有连续的导函数,f(a)=0,证明： \int_{a}^{b}{\mid f(x)f^{'}(x) \mid }dx\leq \frac{b-a}{2}\int_{a}^{b}{(f^{'}(x))^2}dx
3、证明:当正整数n>1时，有不等式 \frac{1}{2ne}<\frac{1}{e}-(1-\frac{1}{n})^n<\frac{1}{ne}
4、设f(x)在闭区间上具有连续二阶导数,f(0)=f(1)=0，当 x\in (0,1),f(x)\neq 0，试证： \int_{0}^{1}{\mid \frac{f^{''}(x)}{f(x)}\mid }\geq 4 额……这个……你后面的公式是用什么工具打出来的？ 纯理论的证明是俺的弱项，这个帮不了啊 吉米**奇，应该是第四册或者第五册上边，有这些。 4题我证明大于8，仅供参考！
设函数http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)在http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{0}\in上取得极大值，则http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(0)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(0-x_{0})+\frac{1}{2}f^{''}(\xi)(0-x_{0})^{2} ，http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(1)=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(1-x_0)+\frac{1}{2}f^{''}(\eta)(1-x_0)^2。于是http://latex.codecogs.com/gif.latex?|f(x_0)|\leq\frac{1}{2}x_0^2\max|f^{''}(x)| ，
http://latex.codecogs.com/gif.latex?|f(x_0)|\leq\frac{1}{2}(1-x_0)^2\max|f^{''}(x)|，从而
http://latex.codecogs.com/gif.latex?8\leq\frac{2}{x_0^2}\leq|\frac{f^{''}(x)}{f(x_0)}|\leq|\frac{f^{''}(x)}{f(x)}|，http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_0，
对上述两式积分就得8. 第一题用二重积分可做。刘玉琏编写数学分析讲义上有类似例题 第3题好像是用中值定理，右边不等式还可以用（1+1/n）^n性质做 \int_{0}^{1}{e^{f(x)-f(y)}dxdy=\int_{0}^{1}{e^{f(y)-f(x)}dxdy}} 第一题主要利用这个公式，下面是两等式相加，再利用均值不等式就得出结果了。、 \int_{0}^{1}{e^{f(x)-f(y)}dxdy+\int_{0}^{1}{e^{f(y)-f(x)}dxdy}}\ge\int_{0}^{1}{2dxdy}
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