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标题: 华罗庚的遗憾和丘成桐的失望 [打印本页]
作者: bua1s2d3    时间: 2010-10-18 16:03
标题: 华罗庚的遗憾和丘成桐的失望
今年是华罗庚诞辰100周年，也将会有一定的纪念活动。我国在数学方面有今天这样的水平，是与华罗庚和他的同行在数学研究和数学教育方面所作出的努力是分不开的。为什么要在此提出华罗庚有遗憾呢？这要从80年前华罗庚的成名说起，华罗庚是因写了一篇对苏家驹批评的文章成名的，刊登这篇文章的《科学》杂志也因华罗庚的成名而出了名，只可惜，这80年来人们只知道苏家驹有错，很少有人去分析苏家驹为什么对这类问题感兴趣。
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  Q  J- o3 _; g' e+ k( ]' @          在数学研究中，五次以上代数方程的解和几何三大难题曾经耗去了不少人的心血。在目前世界上公认的结论是：五次以上的一元方程无代数解以及不可能用尺规法作出几何三大难题。这是一个“铁案”，似乎是无案可翻的了。
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/ v+ n8 n, B4 G+ Z          但是，在很长的时间里，还是有不少的人在试图重新研究五次以上的代数方程的解和几何三大难题。
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          特别是建国初期，华罗庚也收到了不少的关于讨论几何三大难题的信。华罗庚告诉人们，因为有些人“无知”，所以才继续研究了几何三大难题。华罗庚也为三分角问题作专题写了文章，并且断言：要用尺规法作出任意角的三分之一角就是象步行上月球一样的不可能。在这同时，数学界也作出了相应的约定：不再受理和讨论几何三大难题了。这是很多人应该知道的一段历史。
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         但是，这个看似解决了的数学问题并没有能阻止一些人去继续研究着几何三大难题，在华罗庚诞辰100周年的2010年的现在，有中山老农刁石胜称破解了世界难题。之后，也有重庆商报王松南记者对李亚明所写的报道，说是：“残疾老农解千古数学难题      演算35年稿纸装11麻袋”。特别有意思的是王松南记者在报道中写的————, D' T3 H4 w6 f3 y6 Y  v' I

2 \- \8 e' W5 n& b" I$ }; O$ j刘华看后解释称，李亚明研究的是“三等分角、立方倍积、化圆为方”这三大难题。据介绍，这是著名的古代几何作图难题，早在2400年前《几何原本》问世之前就提出了，至今仍无人能解。      “按照他的理论，好像是破解了这千古之谜。”刘老师沉思着说——————这样一段话。这段话说明了华罗庚几十年的工作算是白做了。
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           人们常常说中国要成为数学强国，那么在数学研究领域里应有发言权的是谁？可不可以是所有关心数学研究的人？还是少数的所谓的权威？在中国还有可能出现象伽罗瓦那样年轻的数学权威吗？就伽罗瓦本人来说，一位年轻的伽罗瓦他的一生所掌握的数学知识是足够丰富的吗？人们为什么不把目光转向到现有的数学理论中去？一个看似天衣无缝的数学理论却会不断遭受到一些人的冲击，这是为什么？3 c. {* }# n- ?
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                                         一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人6 \' {( C- K; x: b

$ H  U% f7 O/ R; [) s6 N# P1 q       在处理尺规作图的内容中有：4 B0 e7 Q  q: T- T
       三等分角的代数判别准则是————已知有理数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
( |; @: u7 Z. g# ~       二等分角的代数判别准则是————已知数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。  m! I% w, b- k: M+ m1 r# z& M

) U; U) I' R! d: g      两个代数准则相差仅“有理”两个字，它们是不可以相互调换和替代的。6 a1 U5 F( g8 ?7 `# c+ v% e
      由于同时有两个代数判别准则在处理着尺规作图中的相关内容，它吸引着一些人继续探索着几何三大难题。所以一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人。
/ t2 a/ V! R: ^. |1 n* C! [; E          不只是华罗庚，近年来丘成桐为主编还翻译了《初等几何的著名问题》这类书籍。也就是丘成桐等人的影响，现在中学教育中有《三等分角与数域扩充》高中数学选修系列3这样的教材，从上面同时使用的两种代数判别准则可以看出，《三等分角与数域扩充》是误人子弟的教材，这个教材每年在误导着成千上万名中学生，会让丘成桐失望的是：这是一个会去纠正的数学教材。( a& Q+ ^7 N7 ^$ s6 T

; {) a9 Y+ j9 y* O: W       华罗庚放弃了他不应该放弃的继续研究五次以上代数方程的解和几何三大难题，这是华罗庚的遗憾。对伽罗瓦等理论是不可以迷信的。所以一定会有更多的人去继续研究几何三大难题等数学内容的。人们迟早会认识到，这些数学内容在数学的领域里是会有用的。
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作者: zqyzixin    时间: 2010-10-18 17:33
作者: 1124629740    时间: 2010-10-18 17:54
作者: heaghtheaght    时间: 2010-10-18 18:43
有想法，支持！
作者: 1090610333    时间: 2010-10-18 22:31
那个理论证明是正确的吗
作者: 200911010101    时间: 2010-10-19 11:00
记得高中有人问数学老师一个尺规作图问题。老师来一句：这是世界3大难题之一，我怎么做···
作者: 梧桐秋叶    时间: 2010-10-19 19:07
张景中说的路上的几盆奇花异草
作者: xiaomiao    时间: 2010-10-19 22:15
作者: pengyumath    时间: 2010-10-19 22:56
。。。。。。。。。。。。。
作者: bua1s2d3    时间: 2010-10-20 09:46
回复 heaghtheaght 的帖子6 k; B, S9 C, ?
  谢谢！我得到了少有的支持。# L4 f# J! j# ?2 S; O% N
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作者: bua1s2d3    时间: 2010-10-20 09:54
回复 梧桐秋叶 的帖子. E4 K; |1 t; w
  编写《三等分角与数域扩充》高中数学选修系列3这样的教材，应该有张景中和李尚志的参与。这会是一个要纠正的教材。- B4 H- \5 W8 V* e" H8 _/ W# @0 ]
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作者: aqua2001    时间: 2010-10-20 11:32
本帖最后由 aqua2001 于 2010-10-20 11:33 编辑
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/ S5 z1 v; F' ZLZ最好明白这一点：数学的证明不是什么迷信不迷信的问题。解释自然现象的理论，可能对也可能错。但数学定理不是这样。只要你认同它的公理基础，而且它的推理没有问题，那在这个意义下，它就是正确的。如果你不承认现在的公理基础，换用另外的一套公理，当然也可以，不过这种全新的公理体系究竟有否意义，一般来说是可疑的。+ Z! \, L3 b5 P) {+ X
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用尺规是否可以三等分角，这个问题的细节比较复杂，其实它的本质非常类似于“根号2是否能用形如p/q的既约分数表示出来”这样一个问题。不能表示，这是已被证明的（这个应该很简单吧）。如果有人竟然说出“不要迷信这个证明，应该继续研究”这又该让人怎么看待呢？当然，如果你自己修改了“根号2”或者“既约分数”等概念的含义，必须加以说明。而且如果真的修改了这些基础，其实你说的问题和大家共识中的那个问题就根本不是一回事了。
作者: fgfroom214    时间: 2010-10-20 12:59
记得高中有人问数学老师一个尺规作图问题。老师来一句：这是世界3大难题之一，我怎么做···
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作者: bua1s2d3    时间: 2010-10-20 14:38
回复 aqua2001 的帖子
6 O" N$ h; a. ~+ R0 }首先感谢回复。这里想说明的是例与尺规作图有关的内容，什么样的几何图形能否作得出来？需要制定一个判别准则。但是在实际使用中，用的是两个判别准则，怎么推理？所以与承认不承认现在的公理基础无关。当然，如果将来会对公理基础产生什么影响？也就可作讨论或者不作讨论了。
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作者: 梧桐秋叶    时间: 2010-10-20 16:58
回复 bua1s2d3 的帖子
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    我只是高中读了张景中的科普知道他的集合面积法 其他不了解这个人
作者: aqua2001    时间: 2010-10-20 22:22
所谓尺规作图，指的是用圆规和没有刻度的直尺，在有限次之内做出来。怎么会是两个准则？
作者: bua1s2d3    时间: 2010-10-21 12:11
回复 aqua2001 的帖子- L+ O9 n, h; Q! D/ e
  “所谓尺规作图，指的是用圆规和没有刻度的直尺，在有限次之内做出来。怎么会是两个准则？”5 H, Z9 G7 h0 l+ i  R8 Y. J' x( \
   “所谓尺规作图，指的是用圆规和没有刻度的直尺，在有限次之内做出来。”－－这是几何作图的一个要求。能不能按照这个要求去做？这就需要做出一个估计，在这个基础上设定一个标准，或者说制定一个判别准则，这个判别准则理应是唯一的 。我上面的文中提到了在实际操作中，处理三等分角的适合的是一种判别准则，处理二等分角的适合的是又一种判别准则，这就是两个判别准则说法的理由。这也就因此推导出了在尺规作图操作中实际使用了两个判别准则。
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作者: aqua2001    时间: 2010-10-22 20:22
在我看来, 这个问题很清楚, 能就是能, 不能就是不能. 完全不需要再做什么估计或者制定什么判别准则. 我这样问你个问题吧, 我们就说"根号2能不能用形如p/q的既约分数表示出来"这个问题, 有什么"估计"和"制定判别准则"一说吗?
作者: bua1s2d3    时间: 2010-10-23 14:31
回复 aqua2001 的帖子9 ]1 t1 b2 d0 ~6 y% b. j; y( ~
““在我看来, 这个问题很清楚, 能就是能, 不能就是不能. 完全不需要再做什么估计或者制定什么判别准则. 我这样问你个问题吧, 我们就说"根号2能不能用形如p/q的既约分数表示出来"这个问题, 有什么"估计"和"制定判别准则"一说吗? ””3 L4 }+ F+ C9 F) G) g
  所有的几何图形都是能用尺规法作出来的吗？－－这是一个问题。如果回答的是：有些几何图形是可以用尺规法作出来的，有些几何图形是不可以用尺规法作出来的。——这是一个区别。回答区别中的内容是需要具体条件的，“能”与“不能”的判断需要由具体条件来支撑的。
- H' C0 i; H  K    "根号2能不能用形如p/q的既约分数表示出来"。“p/q的既约分数”就是作判断的具体条件。% Y5 W+ i' K8 E
1 U9 r; C5 n8 S' t
  “根号2”对应着具体条件“p/q的既约分数”作比较和尺规作图中相应的内容与具体的判别准则作比较道理是一样的。当然，中间还需要用合适的语言做组合。+ P& [$ R# F4 a' p6 I: E8 R- S# g
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作者: aqua2001    时间: 2010-10-24 12:25
恕我直言,  我并没有听懂这是什么意思. 三等分角的问题是: 通过尺规制图是否可以三等分任意角? 这是非常具体的, 并未涉及到"所有的几何图形"或者"有些几何图形"一类空泛的阐述. ) C$ o% ?8 n- p5 W" t7 W
3 I$ Z& ]  p1 {) ~) O3 }! `
根号2能不能用形如p/q的既约分数表示出来, 这也是非常具体的问题, 而且没什么疑问或歧义. 我们可以证明出来不能表示, 其原理非常简单: 使用反证法, 假设能表示出来, 则可以推出逻辑的矛盾(具体出现矛盾的表达式就不用写了吧). 不知你认为的"需要制定一个判别准则"到底是什么意思?
作者: bua1s2d3    时间: 2010-10-24 13:36
回复 aqua2001 的帖子
4 g8 a2 m" r7 [2 ?' X8 W3 o“恕我直言,  我并没有听懂这是什么意思. 三等分角的问题是: 通过尺规制图是否可以三等分任意角? 这是非常具体的, 并未涉及到"所有的几何图形"或者"有些几何图形"一类空泛的阐述. ”
5 C/ M" y( _: t+ H. E6 Y1 I 请问你能凭什么判断“通过尺规制图是否可以三等分任意角”？几千年来的人们一直在作这方面的探索。一百多年来有人认为找到了一种方法：用代数的方法解决几何问题。－－也因此找出了一个判别准则，用这个判别准则为对照，它说明了只有满足了这个判别准则条件的几何图形才可能用尺规法作出来。三等分任意角只不过所有几何作图中的一个具体的例子，这也是看起来已经解决问题了的一个例子。现在的争议是：依照这个判别准则，推出了三等分任意角为不可能。那末二等分任意角的几何证明已经出来了－－它是可能的，它也是依照这个判别准则所推出来的？不！二等分任意角可能的代数解释不适用这个判别准则。－－－这也就是今天所要讨论的内容。自然，两个具体的例子是与所有的几何作图是相关的，一个上升为理论的内容它理应具有普遍性。
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作者: aqua2001    时间: 2010-10-26 12:21
本帖最后由 aqua2001 于 2010-10-26 12:28 编辑 . A0 ?' f+ c, D4 b8 L# H

( K% \' N7 U: _$ `& i- R我想你可能搞错了一件事。从解析几何来看，或者说从你所说的“代数方法”来看，二等分角是可以做到的，而且这里是没有任何问题的。什么叫“代数解释不适用这个判别准则”，请明示。8 l3 o8 `! t% ~# V4 K+ `: m
如果我没有理解错的话，你想说的意思可能是：按照Galois的方法，三等分角是不可能做到的。而依据同样的方法，二等分角也是不可能做到的。但是事实上二等分角是很容易做的，所以Galois是不可信的。是这个意思吗？! u3 [. W- i; E' {6 B/ @
作者: bua1s2d3    时间: 2010-10-26 13:41
[b]回复 [url=http://www.madio.net/forum.php?？
$ `3 y9 f! ~4 f' p“如果我没有理解错的话，你想说的意思可能是：按照Galois的方法，三等分角是不可能做到的。而依据同样的方法，二等分角也是不可能做到的。但是事实上二等分角是很容易做的，所以Galois是不可信的。是这个意思吗？”. K) v# r( C2 L! |( Q  z
    “按照Galois的方法，三等分角是不可能做到的。”是指若对一部分角用尺规法进行三等分，它们不满足“Galois的方法”的要求，所以现在流行的结论是：不可能用尺规法将一任意角三等分之，或者说不是所有的角都能用尺规法三等分之的。. P2 C' [9 V8 [" S4 i
  “而依据同样的方法，二等分角也是不可能做到的。但是事实上二等分角是很容易做的，所以Galois是不可信的。”是因为“事实上二等分角是很容易做的”，“按照Galois的方法”只解决了一部分可以用尺规法二等分的角。其余剩下的另一部分角即使不“按照Galois的方法”，也因用了几何方法的证明，照样可以对这些角用尺规法二等分之，这一部分是不能用“Galois的方法”来解释的。一个判别准则理应对所有的几何图形起指导作用，“Galois的方法”没有做到，或者说二等分一任意角的代数解释不可能是“Galois的方法”。－－－“Galois的方法”是一个有局限的方法。
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作者: aqua2001    时间: 2010-10-26 20:31
我不打算详细分析Galois的方法到底做了什么，直接按照你的思路来说下去。但我们试图说得清晰一点：: E, f; F% W; M1 T, p( x) q3 g- c
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1：Galois的方法告诉你，有一些角是不能用尺规三等分的。所以要有人打算把任意角来三等分，当然是做不到的。6 D. w1 L) w' }$ x

6 V$ N: h* i3 l- c; S2 `# Q2：Galois的方法还告诉你，有一些角是能用尺规二等分的，至于另外的角能否二等分呢，Galois的方法没有明确告知。所以是否所有的角都能被尺规二等分呢？我们光用Galois的方法是不够的。1 g2 w  f6 b/ X& O

. Y6 A; o; m- P, r1 E  e2 c& K这很正常，Galois的方法并不是专门给尺规作图问题做解释的，它的用途很多。在尺规作图的可行性判别问题当中，它可以作为一个必要条件来出现。满足了这个必要条件，可能能做；不满足这个必要条件，一定不能做。三等分（某些）角就不满足这个必要条件，所以一定做不到。这里有问题吗？
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如果你想说的是：Galois的方法只告诉我们有些角是不能三等分的，然而有些其实是可以的（例如直角就可以）。到底哪些角能被三等分，哪些又不能，还值得把相应的充要条件也找出来。你想说的是这个意思吗？
作者: bua1s2d3    时间: 2010-10-27 10:02
回复 aqua2001 的帖子
+ G# E7 h7 k( \, l: s"我不打算详细分析Galois的方法到底做了什么","Galois的方法"确实在做了什么，它告诉别人：什么样的几何图形是可以用尺规法作出来的，什么样的几何图形是不可能用尺规法作出来的，或者说在所有的几何图形中就分成了这么样的两个类型。这难道说还不够吗？
: R# r0 I1 K, e. O0 i5 m% ^# o “1：Galois的方法告诉你，有一些角是不能用尺规三等分的。所以要有人打算把任意角来三等分，当然是做不到的。”。& I9 z8 E0 L% W  m* b
应该这么说：所以要有人打算把任意角来三等分，“Galois的方法”认为是做不到的。
# h; g% Z5 A$ C2 Y1 N; A; g5 r“2：Galois的方法还告诉你，有一些角是能用尺规二等分的，至于另外的角能否二等分呢，Galois的方法没有明确告知。所以是否所有的角都能被尺规二等分呢？我们光用Galois的方法是不够的。”－－－这就说明了“Galois的方法”有局限。2 m( b! ~8 i. i8 I, {

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作者: aqua2001    时间: 2010-10-27 13:07
本帖最后由 aqua2001 于 2010-10-27 13:12 编辑
+ {7 n0 K) [% C5 A- l: M$ R  W
: S' D2 \4 G* j" KGalois的方法不是专门给等分角问题服务的。你的这句话是有问题的：“它告诉别人：什么样的几何图形是可以用尺规法作出来的，什么样的几何图形是不可能用尺规法作出来的。”至少按你前面帖子里的说法，它并不是充要条件。它只告诉人：不满足某些条件的图形是不可能做出来的。三等分角问题正好不满足这个条件，所以不行。这就好比问一个函数是否可导，这个函数不满足“连续”的必要条件，那结论当然是不可导。这不是很自然的事情吗？
* H; [0 F$ z( H# A3 d! a7 Z5 e
+ D3 k1 \+ u1 ^. e! v: `9 l你要是有兴趣去寻找充要条件是什么，当然也是可以的。找到能否使用尺规作图的充要条件，当然要更进一步。但是这里要提醒两件事：. \8 }" T. f/ N' A; y

* p3 P6 r5 b2 S9 d1：三等分角的可行性，至少已经通过必要条件给否定掉了，这个问题不需要重新争议。就好像你可以探讨函数可导的充要条件，但这不意味着要质疑“不满足连续性的函数必然不可导”这个事实。
3 V' Y& d( C6 Q1 {+ L% g  ^' S8 x) r+ R) q' h% V: U
2：尺规作图的充要条件在我印象里是有结论的，你不妨全面地了解一下“规矩数”这个概念。
作者: bua1s2d3    时间: 2010-10-27 13:50
回复 aqua2001 的帖子
& \$ x5 ^; A* \( w“Galois的方法不是专门给等分角问题服务的。”这句话没有错。制定尺规作图可能现行所采用的判别准则就是应用了“Galois的方法”，它也就是目前正在应用尺规作图可能的充要条件，这也就是用代数的方法解决几何问题的一个体现。也因为上面对“Galois的方法”提出了它在实际使用的是两个判别准则。所以，“Galois的方法”是一个需要重新认识的内容。（也包括需要重新认识制定尺规作图可能现行所采用的判别准则）, G. v. `. Y. ?4 G2 h% t% h
. m5 ]7 R4 e/ p4 g: z% ?) t
   
作者: aqua2001    时间: 2010-10-29 22:28
本帖最后由 aqua2001 于 2010-10-29 22:31 编辑
" E# d6 v$ \0 O4 F
0 @, g/ ]; O: t2 f, r- u+ {我依然不懂得你所谓“两个判别准则”是什么意思。既然三等分任意角不满足尺规作图的必要条件，那就不可能做到。任何一个要求，只要不满足其必要条件，那都不可能做到。在我看来，这毫无值得“重新认识”的地方。
  g/ v, c$ Z  s3 p5 S5 Y3 D" }" Z9 b* I/ N& L  h1 J
尺规作图的判别准则应用的是解析几何的基本方法。说得清楚一点：尺规作图的可能性取决于尺规能做出来的点的坐标（规矩数）。所谓“Galois的方法”只是定义了一些概念，证明了一些定理，以使人比较方便地分析规矩数域的构成而已（当然，也可以分析其它一些数域，并不限于规矩数的问题）。从实效上看，它可以清晰地指出规矩数必须满足的一些必要条件。三等分角，倍立方，化圆为方，以及另外的一些问题（譬如做某些正多边形）都不满足该必要条件，故都不能成功。这哪有问题？
作者: bua1s2d3    时间: 2010-10-30 10:28
本帖最后由 bua1s2d3 于 2010-10-30 10:29 编辑
$ E. i& O& U4 T9 H8 z4 x4 I: F* t/ K
回复 aqua2001 的帖子! c/ G; @& T6 s7 L# B% `. [& I' v
  “我依然不懂得你所谓“两个判别准则”是什么意思。”。其实你这句话是说在了点子上了。因为目前“不可能用尺规法三等分一任意角”这一结论是根据前面所说过的已制定的判别准则推导出来的，但是这个判别准则其实是解释不了“用尺规法二等分一任意角是可能的”（因为二等分一任意角的可能是通过几何方法的证明所给出来的）。所以这个判别准则是有局限的。0 I4 Z1 S/ _* V+ A
   可是，现在的数学理论又认为“用尺规法二等分一任意角是可能的”也有着它的代数解释，这个代数解释或者称之为判别准则的只能是：已知数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。而用作“不可能用尺规法三等分一任意角”的判别准则是：已知有理数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。两个判别准则相差“有理”两个字，它们是不一样的。0 j) c$ z. W5 w9 z# A
  所以，或者判别准则“已知有理数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数”是有局限的。或者判别准则“已知有理数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数”与另一个判别准则“已知数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数”在尺规作图中是并列使用的代数解释（判别准则）。————这都是在数学理论中无法回避的内容。
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作者: aqua2001    时间: 2010-10-30 22:16
本帖最后由 aqua2001 于 2010-10-30 22:23 编辑 & M$ L8 {. n% n0 U0 W8 C7 W
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我现在大概明白你想说的意思了。不过，我先冒昧地猜测一下你的情况。瞎猜的，说错了请多多包涵。我猜你大概没系统地学过域论，但是看过一些讲解三等分角问题的通俗读物。因为通俗读物力求简洁，并不注意严密性，所以可能给你造成了一些误导。事实上，在对待三等分角和二等分角的时候，所谓“判别准则”并无任何不同，没有你所说的有时有“有理”二字、有时没有“有理”二字的问题。$ X7 v6 k& e6 U. m0 B( {
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下面我帮你大致梳理一下思路，看看是否能变得清晰一些。下面的思路可能你有所了解，但还是烦请仔细看下去。0 `; y$ n4 ~7 l

/ x2 p; p7 ]5 z# @$ G* P# I/ d1：解析几何的方法就是把平面图形放到坐标系里，所以点就成了坐标，而图形就成了方程。圆是二次方程，直线是一次方程。而使用尺规作图，能做出来的点，也就是一些一次和二次方程组的解。
& J( {( C% }; {5 G4 N4 N$ n2：利用一些已知的点，列一个一次和二次方程组，再进行求解，我们可以理解成：把这些已知数字进行有理运算和开平方的运算。事实上，我们再不需要另外的运算，就足够把解写出来了。
$ a' y; W& R+ ?3：对三等分角问题而言，以已知角（可以叫做角x）的顶点做一个圆，可以把已知角的余弦轻易地表示成线段的长度（这里我说得也不严格，其实是假设圆的半径为r，那么余弦的r倍可以轻松地表示出来。但是我们如果就把r理解成1，也并不影响整体的结果，所以我们此处一律把r看成1）。同样，如果能把任何一个角的余弦长度表示出来，也可以轻松地做出这个角度。3 u" F! \2 W5 ~" R. [- u
4：放在坐标系里看这个问题，就等于说：只要我们用尺规做出的点，其坐标能够是cos(x/3)，那么想达到三等分角的目的就很简单了。如果用尺规绝不可能做出坐标为cos(x/3)的点，那说明三等分角也是做不到的。" {& w: K* q, Y: C* B
5：根据三倍角公式（我就不往上打了），cos(x/3)可以看成一个三次方程的根。这个三次方程的系数里，除了几个公式里的系数外，只有cos(x)这个已知量。到了这一步，我们只需要判定：这个方程的根，是否能够通过把系数进行有理运算和开平方就足以表示出来？8 h/ @6 K) _( v8 h+ \( z" g
6：很遗憾，这个三次方程不行。这一步的一般论述要用到Galois开创的方法。不过其实也有简单一些的介绍，我就不详细说了。$ {/ I1 U$ E% P6 \

2 q3 p0 I6 V8 Q以上大概就是证明的大体思路。事实上，我们应该关心的是：根能否通过已知数的有理运算和平方根表示出来（此处的已知数包括公式里的系数和题目已给的cos(x)。）。对二等分角的问题而言，二倍角公式导致的那个方程是个二次方程，其根恰好能被已知数的有理运算和平方根表示出来，所以二等分角是可以用尺规来做的。# ?" _* S- N/ G0 |* F, S

* W! p& @( V& r: t& w/ S* R7 a" L6 S在证明的过程里，并没有提到“已知有理数”的问题。我猜你之所以有这个印象，是因为许多通俗读物里，不去抽象地讲系数和根的关系，只给举个反例（一般都举60度）就反驳了三等分任意角的可能性。而cos60度恰好是1/2，所以说这个已知数恰好是个“已知有理数”。可能是这个巧合，造成了你以为必须是“已知有理数”才能让证明进行下去。但三等分角的不可能，完全不依赖于这个已知数是有理数还是无理数，依赖的是：是否能够通过已知数的有理运算和平方根来表示出来三倍角方程的根。* [$ k# D. U$ l( |  I# \9 D4 {
) i( Y. e/ H; p3 s3 Z9 i% w
我给你推荐一下范德瓦尔登的《代数学》，第8章，8.9节，非常明确且严格地叙述了尺规作图的问题，并且没有歧义。证明的细节请阅读这本书。
作者: bua1s2d3    时间: 2010-10-31 12:29
回复 aqua2001 的帖子6 `3 ?5 v! _( Y
   谢谢你作了这么详细的说明，你可以把你的这篇内容和我所说的内容进行比较了。其实尺规作图可能与不可能需要用“数域的二次扩充”的理论，我希望能把语言说得尽量通俗一点。
! F- C3 a- p' T+ `* X$ u5 E7 i  我与一位教代数的数学终身教授在这个问题上讨论了近四年，他的观点也就是与你的这篇文章内容差不多，一直到最近他才恍然大悟，原来他的观点是不完整的，证明是粗糙的（这自然不能说他有错了）。我很希望有更多的人能有他的这种认识。谢谢！+ J6 i/ h, u' y9 }
  o0 o5 G; Z0 [* F9 D$ ]6 T5 \1 o
   
作者: aqua2001    时间: 2010-10-31 17:30
无论如何，在正规的证明过程中，从未提到过已知数必须是“已知有理数”。所以在正规而完善的证明过程中，三等分角和二等分角的代数解释并没有出现过任何不同。
4 x8 p5 `; ^: \, C: w
! b, C. n; f2 v. O1 s我讲的那些，无非都是通常采用的思路，而你谈到过几个问题，例如：
8 Z$ M- F& D" `2 C; S/ I1：“三等分任意角的不可能性一般都是举一些特殊角作为反例”；7 o$ `$ P# t' F: t2 @' }& ~+ i
2：“判别准则‘已知有理数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数’与另一个判别准则‘已知数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数’在尺规作图中是并列使用的代数解释。”等等。( u  j" R/ F) r; ]; a
这是很奇怪的，因为一般的证明并非使用“某些特殊角作为反例”来否定三等分任意角。而且你在这里提到的第一个“判别准则”从未在一般而严密的证明中出现过。所以客观地讲，如果要我对“在三等分和二等分角问题上使用了双重标准”发表观点，那我只能说这是子虚乌有的事情，并非事实。我很疑惑于你的这几条说法都是从哪里得来的，才作出猜测：大概是从某些通俗读物得来的，当然猜得未必准。
1 n; E7 l# X3 z+ G, U* _2 M* l$ \* }9 K9 r
至于还有别人怎样“恍然大悟”，我认为不必太当回事，他“恍然大悟”的可能是别的问题（如果按照公理体系一步一步推才叫细致的话，那粗糙的地方多的是），甚至有可能反倒是错的。
作者: bua1s2d3    时间: 2010-11-1 15:18
回复 aqua2001 的帖子' K. }5 P/ L% `% N3 m) H. J
“因为一般的证明并非使用‘某些特殊角作为反例’来否定三等分任意角”？这句话也没有说错。
$ i, U+ ~6 b# `: j8 T( ~  但是你能排除“使用‘某些特殊角作为反例'”是可以更好地说明问题这一说法吗？这是很多的人都在使用的方法，可能你从来没有去注意到它。
- e8 O0 x# I0 X4 J  “至于还有别人怎样‘恍然大悟’，我认为不必太当回事”。这句话也是有一定的道理。我希望他能在今后的教书时如果做到了“出语谨慎”，我就很高兴的了。' ]5 K. X( p) `4 O& w1 S$ e+ X5 r" t4 D
  “从未提到过已知数必须是‘已知有理数’。”。能说“已知有理数”一定是“已知数”吗？它们有差别，也有联系，很容易搅混的。当然，在数学专业水准较高的语言中是不会出现“已知有理数”和“已知数”这类语言的（有一定数学水准的人是不屑使用这类语言的），因为这是低水准的数学语言，或者说是通俗的语言，它们是适合受过相当于中等教育的人所能听懂或者能读懂的一类语言。令人可悲的是：尺规作图是一个跨学科、跨学历层次的一个数学内容。# z8 J) Z) K/ D5 h

& z' o7 u4 G! D5 I5 p# Y   
作者: aqua2001    时间: 2010-11-1 23:26
本帖最后由 aqua2001 于 2010-11-1 23:28 编辑 1 E% r. O9 G: d* c

/ L$ K: u* ~& d: |5 k* _. G7 D我想我在前面已经把三等分角问题的思路表达得比较明确了，也不需要说更多的了。我最后写个总结性的帖子吧。
4 }, d- M8 u* t/ l2 R7 K8 N( e5 }( z; c
我在前面说过，尺规作图的可行性确实有代数上的充要条件，其要点是：cos(x/3)能否通过已知数的有理运算和平方根表示出来。而根据三倍角公式和Galois理论（用以判定方程是否有指定形式的解），没有符合条件的一般表示法。故：尺规想要三等分任意角不可行。这里cos(x)不需要管它是有理数还是无理数，只要是“已知数”就可以了。无论是我的低水准语言里，还是在范德瓦尔登的高水准语言里，都没有提到“已知有理数”，却都提到过“已知数”。其实说穿了，都没有用到过你说的“第一条准则”，那并不是充要条件（也没当充要条件用过）。要说起尺规作图可行性的充要条件，用的从来都是你说过的“第二条准则”，那才是真正的充要条件。
; v5 _, t* ]" w* j3 m6 E
' k# i& C8 x; j  U& i  s从逻辑上详细说，二等分角的可行性是肯定性证明，需要对一切情况都做出肯定结论才行。三等分角的不可行性是否定性证明，虽然我看到的正规证明一般直接使用前段所述的充要条件，但的确如你所说，能举出一个反例其实就足以了。所以，对二等分角来说，必须老老实实地说“方程的解一定能表示成已知数的有理函数，无论已知数是多少”。但对三等分角来说，只要找到一个特定的反例就够了，恰巧这个反例找个有理数（其实有的无理数也不难说明），那也足够起到否定的效果了，所以你说“这两个准则不一致”其实并不是什么问题，因为它们使用的方向是相反的，一个是肯定充分条件以得到肯定的结果，一个是否定必要条件以得到否定的结果。
# n1 p4 |$ ~7 X5 B' x2 f) n) Y- Y8 m. }
我多啰嗦一句，补充一个有关通俗读物的观点。通俗读物里爱用60度当反例，是因为此时cos(x)恰巧是1/2，这时三倍角方程比较好看，甚至不需要Galois的方法都能确信它的解不能表示成平方根形式。要弄明白：此时的证明恰巧是不需要Galois理论的，所以比较“通俗”。你当然可以提出意见，说这些通俗读物讲得不够全面，容易使人们造成“如果这里已知的不是有理数，那还能不能证？”的疑惑。但这里基本没有Galois什么事。- e  ^' I2 q8 t+ b

% C8 L- z, H, u我希望我做过的努力能够协助你对此事的全面认识。语言繁杂，长句众多，看起来难免觉得绕来绕去，这点请见谅，但我相信应该没什么逻辑毛病。
作者: bua1s2d3    时间: 2010-11-2 12:58
回复 aqua2001 的帖子0 o& s# N, U6 y' b8 m! o5 Y
谢谢你的“我最后写个总结性的帖子吧。”。3 i$ W+ k8 @& L/ ?* h( l
  请别介意我把你的一些话摘录在下面：" V; }5 W7 ~7 a0 O
  （1）尺规作图的可行性确实有代数上的充要条件，其要点是：cos(x/3)能否通过已知数的有理运算和平方根表示出来。而根据三倍角公式和Galois理论（用以判定方程是否有指定形式的解），没有符合条件的一般表示法。故：尺规想要三等分任意角不可行。这里cos(x)不需要管它是有理数还是无理数，只要是“已知数”就可以了。! H/ v( A4 H6 z  D) r9 l
（2）要说起尺规作图可行性的充要条件，用的从来都是你说过的“第二条准则”，那才是真正的充要条件。$ G* i) G/ W* ]" t! f3 V- S8 r
（3）“这两个准则不一致”其实并不是什么问题，因为它们使用的方向是相反的，一个是肯定充分条件以得到肯定的结果，一个是否定必要条件以得到否定的结果。+ q5 Q2 C  O, N& L1 v
  （4）通俗读物里爱用60度当反例，是因为此时cos(x)恰巧是1/2，这时三倍角方程比较好看，甚至不需要Galois的方法都能确信它的解不能表示成平方根形式。
& N, Z# S4 J! \3 \      谢谢你的帮助和提示。
作者: i_code    时间: 2011-5-12 13:04
...........
作者: 巧云225    时间: 2011-6-7 09:37
呵呵，不错呀
作者: tushipeng    时间: 2011-6-17 14:21
吾爱吾师，吾更爱真理，说的就是这种感觉！！！
作者: weixinmaths    时间: 2011-6-23 10:12
作者: chairong    时间: 2011-7-9 12:56
对啊  我有自己的主见
& g3 I' x# ]. v6 d6 |7 I
作者: 角凳    时间: 2011-7-16 11:33
到底能不能作图？？
作者: xrhappy    时间: 2011-7-17 19:42
我们应该在学习前人的经验上在数学中去创新，不应该为了一个结论而无限的消耗下去！
作者: shuxuezaozhuang    时间: 2011-9-19 12:01
非常感谢！！
作者: 工科男    时间: 2011-11-13 10:13
作者: 竹下夜月    时间: 2011-11-13 22:41
惊讶中，呵呵
作者: bua1s2d3    时间: 2011-11-16 16:17
竹下夜月 发表于 2011-11-13 22:41 1 |+ R4 _' o. m8 _) ^2 b8 {' y
惊讶中，呵呵

4 b- w3 K9 n5 r. z谢谢回复。( i: S  e/ |/ _1 S
                                三等分角与数域扩张 [1]
* Q( O: r9 w7 g% c2 Q1 }' I% q                                      李尚志[2]. V2 E% R! h  U
                   一角三分本等闲，尺规限制设难关。 " T0 p& Q: c6 Z+ Q) ~% h
                  几何顽石横千载，代数神威越九天。
; F3 h5 @% H( Q; Y8 t. T, n                  步步登攀皆是二，层层寻觅杳无三。[3]
4 y3 |5 Z4 t3 l6 o                  黄泉碧落求真諦，加减乘除谈笑间。 ) t  K! R+ C; b/ {, v
  注：
: J( E7 X! `; V" u# @    1. 这些诗都是为湖南教育出版社编写的高中教材写的“章头诗”，每一章前面写一首，以概括这一章的主要内容的思想或方法。
2 C  Z0 I5 r; A! |9 O    2. 李尚志，数学家，北京航空航天大学博士生导师.
- Z+ `% x* R2 ^" f- X) f' E    3. 尺规作图只能将数域不断作二次扩张，永远也不能包含不可约三次方程的根。这是证明三等分角不可尺规作图的关键。
7 y) L* _* G- ^0 ^; z     数域扩张、数域不断作二次扩张、实数数域有限次地作二次扩张、有理数数域有限次地作二次扩张。它们是不一样的。李尚志把它们当作同一个内容来使用了。李尚志作了一首荒唐的诗。这也是必须翻过来的一个数学案。
" c; _9 v+ G6 g: m1 l1 e; V3 J  现行与尺规作图相关可能与否的理论是使用了1637年笛卡尔的一些数学理论，以及采用了伽罗华数学理论中的相应思路。如果现行与尺规作图相关可能与否的理论是正确的，则就无话可说。反之，如果这个理论是有问题的。那么，自1637年笛卡尔以来的一些数学理论中的不足，以及伽罗华数学理论中相应思路的缺陷，就终将不可避免的暴露出来。这是数学界必须面对的问题。这也是数学界原本不应该放弃的数学内容
作者: 782915935    时间: 2011-11-26 23:02
作者: 月白风    时间: 2012-3-5 16:06
作者: 15920148307    时间: 2012-3-10 15:50
会做又怎样？3 Y  s" b; O$ b
作者: 廖蔚中    时间: 2012-4-4 23:13
作者: 荆梦    时间: 2012-4-10 13:48
作者: 荆梦    时间: 2012-4-10 13:49
作者: younger0210    时间: 2012-6-14 15:48
我们高中时貌似也探讨过“三等分角”，很幼稚但很有趣
作者: iflove    时间: 2012-8-3 12:24
Nothing is impossible
作者: bua1s2d3    时间: 2012-8-7 09:36
iflove 发表于 2012-8-3 12:24 $ O3 m0 U1 G1 {7 @5 _1 s, Q
Nothing is impossible

" p! J( ]+ q& Q/ Y         谢谢回复。! H* p) K1 r1 m# t
  有两种说法。
$ W' r% Z! a& \8 `       一种说法是：【数轴上存在着一群数。这群数分成了两个类型。一个类型的数是可以用尺规作图的方法在数轴上作出来的。另一个类型的数就是不可以（或者叫做不可能）用尺规作图的方法在数轴上作出来的。所以在数轴上存在着的这群数中的某一个数，它只能是前面所说两个类型中的某一种类型的数，它无法在这两个类型中作随意的选择。】
1 h' h# l8 o$ {7 `9 t6 F" y% ?       另一种说法是：【数轴上一群数中存在着某一个数，它与另一个数存在着某种对应关系。如果说某种对应关系满足了尺规作图的要求的这个前提。那么，以存在着的某一个数为出发，可以推导出满足这个前提的另一个数就是可以用尺规作图的方法在数轴上作出来的。在这里，某一个数与另一个数这两个数之间是不是存在着某种对应关系有关。当然，某一个数与另一个数这两个数是不是属于上面第一种说法中所提到的两个类型中的哪一个类型的数无关。】3 O  C/ I% U" o' ?% R/ n9 b% x9 N
   问题是：能够把上面的两种说法搅在了一起吗？能够把它们随意地当作相同的一个内容去使用吗？
/ u( k* a3 [9 n                   在探索中寻求答案。
作者: 0.9清1.8清2.7清    时间: 2012-8-26 10:34

! {, t6 {& d! Y, ?% Z, ^+ P3 Y0 _1 n) ?- c1 B( b+ Z

. [. E% `* y) [" q4 R& T8 }
+ b  i/ L9 p9 b6 n0 Y# W
# b0 U! T/ [' x$ y' f9 p数学是什么:人类思维的表达形式，$ Q% |, e5 v2 j. i# M
反映了人们积极进取的意志、慎密周详的推理以及" }9 Y) M) a; G) `" H
对完美世界的追求。
1 D" M0 v" i5 H& c它的基本要素是逻辑和直观、分析和构作、
; k9 k4 N9 D$ _一般性和个别性。
作者: 645464    时间: 2012-9-9 23:36
1090610333 发表于 2010-10-18 22:31
7 M6 H; o" `8 f. l2 H4 w: ?* g那个理论证明是正确的吗
8 v% N1 M( w" v6 o
许多问题本身就没有确定的答案，，
作者: 645464    时间: 2012-9-9 23:48
1090610333 发表于 2010-10-18 22:31- g8 S# f% H+ Z0 W! F% v) Z9 \
那个理论证明是正确的吗

( J* p' U6 L" ~9 W许多问题本身就没有确定的答案，，
作者: 1183516765    时间: 2012-12-3 09:57
呵呵，有道理
作者: qwertywo    时间: 2013-8-24 22:03
JIXUYANJIUHUIYOUYIWAIDESHOUHUAO
作者: lihao笑傲江湖    时间: 2013-8-30 10:11
作者: teven    时间: 2013-9-17 14:43
很高端
作者: hwx饱读死书    时间: 2013-12-29 12:20
看起来挺厉害的样子
作者: 空木葬花    时间: 2014-4-5 12:59
恩，确实有道理！
作者: MichaeLonger    时间: 2014-6-15 20:02
楼主辛苦了。。。
作者: MichaeLonger    时间: 2014-6-15 20:02
赞一个。。。
作者: MichaeLonger    时间: 2014-6-15 20:02
水水。。。。
作者: MichaeLonger    时间: 2014-6-15 20:02
拿点体力。。
作者: MichaeLonger    时间: 2014-6-16 10:20
楼主说的好。。
作者: MichaeLonger    时间: 2014-6-16 10:20
赞一个。。
作者: 草偶    时间: 2014-8-11 22:49
谢谢楼主的分享啊啊啊啊
作者: U1394212920    时间: 2014-8-15 16:35
你逗我，不要瞎扯淡了，这就是一些民科做的事
作者: 书山有路heaven    时间: 2014-8-16 11:09
没看懂，楼主。
作者: lshqcable605    时间: 2017-1-29 19:26
好好好好好好好好  {' Z- x' p! I: k. e
作者: lshqcable605    时间: 2017-1-29 19:26
666666666666666667 p2 i8 ^$ p0 X) Q  I, l# ?
作者: 你好，星空    时间: 2017-2-20 15:21
有趣；；；* }1 ~9 n, K' P
作者: 316088640    时间: 2021-6-10 17:23
真的吗？有人说华是入世的心态。
4 S; @' \8 O; {( Q. h+ w% f/ U
作者: bua1s2d3    时间: 2023-9-30 16:26
【不懂逻辑和公理化思想,你的几何白学了?】----------（刘 钝   汪晓勤     王哲然）/ L! r7 d" A/ v; V7 m- K
1 ]  G! l4 N4 d: W; V& I: ?" I
【让几何学精神在中国大地生根｜返朴】（2023年07月27日 20:02 新浪网 作者 中科大胡不归）! d8 t4 r) S4 J/ s- ~
$ x" m, v, G" F' g" d/ ?0 ?
（　一个成功的公理系统应当满足三个基本条件：一是独立性（不能多），二是完备性（不能少），三是自洽性（同一系统不能存在互相矛盾的命题）。）
. ~6 W; \  L  W4 d; w% K  C（　本书译者张卜天学养深厚、著译等身。他翻译的书多可归入科学与西方现代性的起源这一范畴，这一次他的致力算是最接近西方科学的源头了）! o; u  }1 ?# g  u$ s
9 `8 m4 t3 q* U+ ?4 o  u3 z  |5 A! t7 ?
****************　本文原为张卜天译《几何原本》（商务印书馆，2020年7月）“刘钝”所写序文。****************
6 {1 W% V+ z. p
" ]- t2 u0 z- K1 p* F; E( @& I3 w$ O. U! Y$ W0 i5 ~

3 C4 D4 U3 ?- S8 m  k
! w, L5 x% {# v0 ^
* u$ Q# `% `/ Y& G- A3 S: l3 ]: ^/ U0 [

; W: h- g: N( u2 k0 t （为什么会出现讨论“三等分角”的情况？  1：很多老师会告诉中学生们，数学中存在“不可能”的内容。 2：“三等分角”的“不可能”是用与数域扩张有关的数学理论“解决”的，提前告诉学生有“数域扩张”这个数学内容。）' T8 C8 S5 r# r4 {& |$ @: u$ t. G* b

$ Q* u: x' e2 v: E0 F9 ?
$ S! ^/ E& V) l（数学基础如果是“完美无缺”的，这种数学基础也恐怕等同于“死亡”。如果没有在数学基础内给出新的东西，中国就不可能获得数学强国之称，中国只能是别人所给出的数学基础框架指导下的“技术员”和“打工仔”。所以，在数学基础领域内“找漏洞”这是一项必须做的工作。）
$ D4 k( O& C' N7 p
4 q) ^& A, ?% @4 u) @5 E7 b" K& J  O4 Z0 J0 F! X) M
& y1 I( F, Q" }+ `; Z
（需要认真观察“解决”“三等分角”是“不可能”的历史和证明内容，找出当代所需要的数学基础内容。）
& j! N+ ~  C6 P. k" x' o1 ~) n+ O0 n# [% t, T

9 E1 z8 y3 ]0 c5 A
. X( y) D4 O; {9 e- D7 m" Q
7 I( t& A) S% Y5 v+ l
+ h1 `$ |2 l, y0 v+ I【数学诗的欣赏与创作 大罕】   
4 C3 q- o) X0 J$ W. W+ V0 E- n6 d3 o% M& m
【李尚志教授在《湖南省普通高中课程标准实验教科书选修3－6》的章头写了一首七律诗《三等分角与数域扩张》（p75）：
  @8 ]: b: ~5 {' D
8 O5 K, w  f3 h一角三分本等闲，尺规限制设难关。
) T5 j$ p, v/ n6 b" r, e6 e
+ D7 M; ?2 U8 k几何顽石横千载，代数神威越九天。步步登攀皆是二，层层寻觅杳无三。
: O) o( E0 {* \4 q
+ u) S& Q6 k& Z3 [) {黄泉碧落求真谛，加减乘除谈笑间。
' F8 @$ ?; N8 k' k# D. Q! @- Z7 `
: W5 S8 Y$ {8 L% l随后有三个注解加以说明。
- O* V5 L  S! o5 w( V2 c+ s' ]5 `; z; w, O: p$ l( [5 }
2011年左右,有一个网名叫bua1s2d3的网友（他是上海某大学的一位老先生），揪住李教授的这首诗不放，写了题为“李尚志对中学生们不负责地写下了的一首数学诗”的文章，散发到许许多多论坛里，以及寄到一些数学家本人，说“李尚志通过这首诗以及通过他所编写的教材，每年向成千上万名中学生们讲述了一个有数学内容的“皇帝的新衣”的故事”，来误导学生。所谓误导，是指李教授在数学诗里把三等分角讲错了！
6 e" }' j8 l" N7 G! y
4 l/ b" i* p3 m' ^风波在后面。很不幸的是，2015年，刘培杰主编的《数学奥林匹克与数学文化》第五辑中，“读者反馈”一栏收入了buals2d3的这篇文章。激起了李尚志极大的反弹，认为刘培杰是站在反科学的立场上，才支持这一类似于“鼓吹永动机”的文章，并且认为发表这篇文章是“为百家争鸣提供一个平台”。而且，凡刘培杰参加了的微信群李教授都要退出。
3 E( L# `! M$ L* p+ o' j& E  \) N: e  h8 f( }3 a: C
2018年元月出版的《大罕数学诗文》一书的“编辑手记”里，刘培杰写道：“由于考虑不慎，把一篇不应录入的文章录入进来”(p329) 这事才终于翻篇。】 9 v2 Q  B0 u& j( R4 W
0 R* r0 y6 b5 `# D

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只要中国还想成为数学强国，李尚志永远翻不了篇 。因为只有给出数学基础领域内的东西才能成为数学强国。“三等分任意角”恰恰与数学基础有关。
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2020年9月16日。李尚志在石家庄二中西校区说：“数学的最高境界是简洁的逻辑美。”。. S: \( v3 `4 k2 A$ F: W
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“三等分角”是一个古老的数学难题。) a7 s6 n$ U' A  O* o. j' I

; \! D1 H, x" d4 ]% R/ P3 ^* M  P  华罗庚对“三等分角”的讨论作过一个“说明”，华罗庚通过“说明”告诉人们：“用圆规直尺三等分任意角是不可能的。”。华罗庚用--------“用圆规直尺三等分任意角就如步行上月球一样不可能”--------来强化华罗庚他的这个“说明”。$ t! `. ?* K& H4 T
  也因为华罗庚作下了这样的结论，被人们误以为：“即使华罗庚给出的与‘三等分角’相关的讨论仅仅是一个‘说明’，可以说，这个‘说明’还是强有力的，不可辩驳的。”。所以，对关于“三等分角”相关内容的辩难在中国数学界内是不被允许的。" [; j1 q1 `6 L7 h+ P  ]
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  在“说明”中，华罗庚告诉人们：“两根线段相乘的结果是可以用圆规直尺作出来的。”。
! H/ S0 }4 p( [" g9 D( B  P) Z0 T8 G  怎么样能够作出图来？华罗庚先随意给出一根线段，并且设定这根线段为单位1。然后将两根已经给出的线段与作为设定是单位1的线段组合成相应的比例关系。通过这种比例关系作出新的线段。这根新作出的线段就可以是两根线段相乘的结果。（ 1：a=b：ab 其中1就是随意给出用作单位的线段，a和b就是已经给定的两根线段，ab线段就是给出的结果。这里，要作出一根作为结果的线段需要多个作图步骤，几何作图的作图步骤越多，误差就会越大。）
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  其实不用作图就可以给出两根线段相乘的结果：“令两根线段其中的一根线段是单位1，则另一根线段就是两根线段相乘的结果。（任何数乘上单位1的结果可以是这个数）。”。精准零误差和简单。
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3 }0 k/ V- `) [3 _3 U" a3 I. |( Y  人们追求数学运算的结果精准和推导过程简洁。所以，华罗庚所给出的作图办法不怎么样。
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  华罗庚在“说明”中是这样说：“如果某一线段的长(某一点的坐标)是由已知的线段的长（或已知点的坐标）经有限次的加减乘除及开平方(指开正数的平方)后得出来的，则此线段（或此点）一定可以用圆规及直尺作出来。”华罗庚的这段话也就是通常所理解的尺规作图可能判别准则。华罗庚的这段话没有出现突出强调“设定一根线段为单位1”是必不可少内容。但是，在实际操作作图时，基本会出现“设定一根线段为单位1”这个内容，否则很难作图。& Z3 o8 `8 m1 X0 S- b! W1 k
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  华罗庚一方面设定一根线段为单位1，另一方面又作出任意长度的线段。华罗庚试图用线段长度之比来确定“数”，以此作为“说明”的材料。( g4 U7 @# `% s* x

! r/ U. C/ c6 i9 L  华罗庚他是在实施混淆不同概念的操作。因为任意长度的线段它不表示是什么数。华罗庚需要解释的是他所理解的一定长度的线段就是单位1这样的数的设定的合理性。
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9 R  [4 V6 l6 d5 c( s  可以看到，在“说明”中，华罗庚所给出的作图办法中有一个情况：【如果给出了不一样长度的线段作为单位1，华罗庚“说明”中所给出的线段ab的长度也会相应地起变化，这里看不到数学的确定性在“说明”中的体现。（已经给出的两根线段的长度在欧几里德几何内是唯一确定的，那么如果有两根线段需要相乘，它们相乘的结果理应是唯一确定的。）】。" S" Y$ d2 ]- o* i6 C9 B, q
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  可以观察到：
2 \; k2 e' J* A) ]) y- Q( E) V0 I  华罗庚在处理二等分任意角时理应施用以任意长度的线段为出发点。
( _4 S/ x& h, @3 C, d' K  华罗庚在处理三等分任意角时不得不施用以设定为单位1的线段为出发点。3 m( j' o. E6 z" _& J
  在处理所有“等分任意角”问题中，华罗庚必定会施用两个不同的出发点来作图和论证。这是华罗庚回避不了的。
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+ M0 ?) R. H- Z# p; W" Z  混淆不同的概念和对数学确定性的认识不足是华罗庚讨论“三等分角”的硬伤。
# V0 |$ S6 q9 I+ x# b- \3 ]  {也许有人对此言论表示不屑一顾。华罗庚只是接受了别人（甚至是许多世界著名的数学家）的东西，以此用作“说明”。华罗庚举出这个例子说明用代数的方法解决几何问题是很好的办法。}
0 ^7 P6 h( ]7 c8 ]) T1 o) C  这也是在学术讨论中，需要不需要和会不会主动去独立地思考已经成为定论的学术内容。. O/ B5 ]) ]9 g% T
  只是华罗庚已经去世，没有办法与华罗庚对等讨论了。
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  在今天，也曾经与活着的人讨论过。
5 P( f+ P8 G0 Z$ X, W5 `5 z: T8 s  例程代展。
* q" y: S; X+ [2 H9 I* [0 C  程代展就在科学网中提到过五次方程根式解和三等分角。) N0 m$ G, m/ \7 P( y9 i. Y* y
  程代展称继续研究五次方程根式解和三等分角的人是民科。民科冲击正确科学知识传播，（民科是）赘瘤。
+ H& S1 d, x+ H% ?( n. i9 g0 _  程代展豁命放胆“愿为真理轻荣辱”。很多年过去了，程代展的命还在，东西却没有豁出来。# i  s4 I! _6 {7 E
  程代展-----中科院数学研究员，关肇直的研究生。$ w; z6 |: Y! C1 m- G- l. P1 p
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  还有李尚志。- `2 `% l9 h1 S3 Y% N8 s
  李尚志曾经写了一本书-----“三等分角与数域扩充”，也因此写了一首诗。8 [9 `( G: y- y: z, a: Y: {
  哈尔滨工业大学出版社刘培杰总编辑出书收录过“李尚志对中学生们不负责地写下了的一首数学诗”一文。引起了李尚志的“反弹”。' p6 L+ S6 b( h" [
  李尚志通过彭翕成在网上发表文章：$ A+ K: ~. m% U
  (别把我吹捧成伽罗瓦 李尚志 彭翕成讲数学 2017-05-07)9 x' R+ b7 [/ V8 D8 f
  (李尚志：关于百家争鸣的对话 彭翕成讲数学 2017-05-23)3 f+ k, j& }% T0 a8 y
  李尚志在文中称别人是“民科”“草寇”。
& X( m9 h% `" j& T7 J  李尚志一会儿说：“三等分角不是李尚志解决的，而是伽罗瓦解决的”，一会儿又说：“而是伽罗瓦的理论彻底解决的”。! d2 X, c8 b0 A" U
  比较李尚志的“伽罗瓦”和“伽罗瓦的理论”两个用词。李尚志在混淆使用不同的概念和缺乏相关的数学史知识。
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% _. f: @- m. w7 X  李尚志还说：“杨修猜破谜底……被曹操杀了。杨修不明白……自己找死”。
. ~5 K' A4 P; e! r  批评李尚志一诗的作者与彭翕成在华东师范大学内作了简短的交谈。
. ^8 q7 b! R" m( N8 d9 K) \  彭翕成发表了-----【彭翕成的公开道歉 2017-07-31 09：44】一文。
+ l. K6 @" x4 y5 a; Y" [  李尚志说过：“假如在学习奥数的同时也学到了对伽罗瓦的质疑，甚至变成民科去搞三等分角，虽然还不是黄赌，但也是中了毒了。”。
7 \+ Z$ c/ v) d; ^6 |  在三等分角问题的讨论中，彭翕成的公开道歉说明了李尚志对身边的人（彭翕成）都说服不了。
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0 [. _5 N8 G% f4 P9 x" \  李尚志是华罗庚学生曾肯成的学生。也担任过中科大数学系系主任。9 s% X8 m$ {  n% K  R

3 j4 Z: T3 W0 N! l+ b6 N  李尚志和华罗庚在处理三等分角的问题中混淆了不同的概念。李尚志更是缺乏相关的数学史知识。( g% h. c4 `( R& J
  华罗庚、程代展和李尚志缺乏相应的文化素养，对伽罗瓦或者伽罗瓦的理论（包括他人；甚至是前人）所涉及的内容作不出独立的分析和判断。三等分角还是需要继续独立地作分析和判断的学术内容。$ B0 K/ Y, H7 K" L7 R* `% v

% n' ]4 c) N. z0 O" }  中科院最近成立了中科院哲学研究所，这是一个可喜的消息。
0 G) Y. C' ^. s, E/ D2 G  希望有更多的人继续关心尺规作图（包括三等分任意角等）的讨论。
# B6 t9 l( `3 d# f! z7 ?% b  也希望在进一步认识以往三等分角的问题的讨论的过程中，提升我国数学界的数学素养，为我国提供有用的数学内容。; H- l/ A! f3 C8 ?% F5 H

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附：7 z! k! b3 M6 z1 w1 k  ~. n
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（《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，成书于公元前300年左右。）
  [* o% |$ k# z( A/ t张卜天：《几何原本》译后记：
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" J8 m$ O8 T0 C- E3 Q( b* y【《几何原本》在思想史上有双重意义。首先，它把新的严格性标准引入了数学推理，这种逻辑严格性直到19世纪才被超越；】
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张卜天译《几何原本》卷一定义：
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【1 点是没有部分的东西】1 J" [3 U* n& B
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【3 线之端是点】  W0 V1 S! Z4 [* T0 ]% M6 A
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【4 直线是其上均匀放置着点的线】
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问题：仅有的两个“其上均匀放置着”点的结果是线段、曲线、直线还是什么？( C/ I. ?" G: b3 v# g- A+ C
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线是由点组成的，但是点从来没有明确过作为线的单位（单元？）。一根线段的单位（单元？）是合理给出的，或者是随意指定和特别指定的？
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张卜天译《几何原本》卷七定义：2 s6 o" o* O& H) s! ^
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【1每一个存在的事物凭借单元而称之为一。】  c: B# t7 Y" c, F7 p$ t4 _& z/ l. d
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【2一个数是由若干单元组成的“多少”。】, W9 ^* w" {, Q# q- r/ J! j

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张卜天译《几何原本》卷7第16命题中讨论了两个数相互相乘的内容。2 W2 {! \. X- q7 q) U% o
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问题是：( `) r- k* b" ]$ U  @8 i! o
& P" ?3 k# v' t+ x( n1 K& `
在讨论中出现了A、B、C、D、E 五根线段。作为单位（单元？）的E线段是怎么来的？8 M' _( e/ @6 e# a0 |. ^0 r. _) a
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) T. V& Q( U+ f1 D- _在平面几何中，什么样的几何图形能够作为“线段”这个几何图形的单位（单元？）？5 H: Y) X8 x' c* A+ f( |
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