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标题: 全国大学生数学竞赛 [打印本页]
作者: luomaisheng    时间: 2011-1-21 01:59
标题: 全国大学生数学竞赛
   2009年，中国大学生数学竞赛（通称为“全国大学生数学竞赛”）开始举办。该比赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。( J9 L+ o. |, d! c  E7 ]5 A2 m. |
  竞赛用书　　该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。$ @' x8 z, u* _) D: V7 }
竞赛大纲　　中国大学生数学竞赛竞赛大纲
* c2 Z! S* c( j0 y$ J  G8 B+ W) Z0 G3 H5 I! X" E* s! z+ Y
　　(2009年首届全国大学生数学竞赛) 0 h  r& \3 h) o8 b- R
" O1 N; _+ k4 o, M9 Q
　　为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
1 D, S# A) X0 r4 R7 c1 ]+ N8 ]$ L& X( S
　　一、竞赛的性质和参赛对象 , [- x7 @3 C' q4 n" G
0 u# z( Q; z2 N% R6 ^
　　“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
, P' T/ N8 k& B; M; A
- o$ o2 ?% u( Z" I2 _　　“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 / V4 C1 h6 ?2 r" k& ~

) _; s1 `) B/ a( e　　二、竞赛的内容 2 S% P& v: M  d9 L! L
7 L, O2 v5 V2 h, f. x
　　“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
4 G$ b/ @: o; p" Y& u' i& Q4 a7 r1 h, H3 J
　　（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：
- Q* P7 y2 `+ e" }
5 |0 D/ N4 E/ _( l　　Ⅰ、数学分析部分 0 o; c: ]. L- X- h, ~1 a9 J
1 y+ O' q+ B( y: O3 n) z/ a
　　一、集合与函数
$ v+ M- C( ]& K1 K1 z
7 S* m/ u) r7 `7 p5 W　　1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2 t- K: x$ o9 V" c2 w

2 U7 R0 @' k4 {" m- ~　　2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 0 j! _) C5 k" v1 t9 U2 W4 @/ J

; {  a/ N) r1 x" Q7 M　　3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.
- k" }0 [3 F4 E# B( ?7 u) H
# z. S$ A+ t/ N/ m/ h: R" x　　二、极限与连续
* S: O9 M- n! }9 y' `% D  T  d; K1 y- |+ e3 o
　　1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.
+ k- B8 F. ]  C! e, t# b
3 }( z2 d8 a( y　　2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.
2 d2 q$ ^5 L, ]7 W6 [! O/ T, Z0 P4 }( |7 z
　　3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. # m1 w* f6 o2 t3 l) g+ I7 ]8 T$ `
# v% i/ I5 C9 d& |6 q5 _
　　4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.
; ^+ _& ]& g8 ?4 C, @
3 P3 M8 }" y5 }# b5 R4 z　　三、一元函数微分学 . z' d# N0 c% Y) |4 z0 [
; m/ c( w/ G: z8 D
　　1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.
  f& _. k* q5 A
4 p  q% \. P4 O  H% R+ s2 _2 ^5 E+ A　　2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).
7 i4 H: r- T- e) O$ y% |) f1 t- A/ E
　　3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.   q: X2 W7 s$ ]
: s; r& S* }2 ~9 Z( }
　　四、多元函数微分学 4 h3 D& N( J# U( l! z) Y( k
6 N6 B9 _. `2 y
　　1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.
5 O2 }! M3 ]( J4 D2 N( [3 \, I
6 m. W1 \- S. g8 u  G0 w7 x3 D5 }　　2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.
6 }0 L4 w4 ]1 i- ~0 D8 g, H8 u$ [* |; F
　　3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）. & W" L* ^" c% S# T
' z3 x! e1 n9 t( x
　　4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.
7 d% ]# e0 A) c; H. \8 O5 l/ H: M
* G9 t+ o; R& P  c. I5 M　　五、一元函数积分学
) x6 {2 i& T6 W& O# x; |. }; Q
% O! V- E* J. D( i　　1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.
3 b4 p9 Z9 Q% n' N6 A3 P% \# B8 V! F* C1 ]
　　2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.
  R/ \) C: @# G! V1 p* d( ^5 F$ |. U" a& g. p" T4 U* ~5 X
　　3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.
9 @1 t! [- Z. s4 i' j% e9 x% ~6 _+ k7 @
　　4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.   }) v" |# Y5 X! t

$ \/ c/ x' M1 o$ M, ~　　5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用. ! F  M' W- g, D+ f2 `0 ?5 x" _% P# @

9 T: ~  ]" w: U" Y! i3 D　　六、多元函数积分学 6 ?( `& i0 [( j8 g$ t+ [

; }, c* p& {5 t7 w0 i　　1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.
4 C, [. W! {3 t, ~( F, G4 {8 D0 C: t* m3 N/ v* K9 R
　　2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）. ) ~$ q5 u2 a  I4 F$ N) c/ V7 h
% B( o1 _5 ^" ]: c; K
　　3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）. 3 s) Z5 U% u! W( \

8 t4 j& l- `2 g* ^. F. `+ E　　4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.
/ d8 j" c3 S6 [+ p7 N8 ]' R, ~3 h7 t$ f& w/ h
　　5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算. 5 x* h* S& b: |
7 m& w/ {# [6 M* `6 n8 p4 C
　　6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.
1 b* e  \+ Q% Z8 ^3 c+ m% {* c( Y  k4 B/ @4 C# D
　　7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系. 5 ?* c: f& i- S% r3 _

$ k9 ^1 c3 O; g. ]  z3 d( @　　七、无穷级数
  Y$ l1 \- w& J/ @  |% w: f; b/ u7 f; N: }# @  M5 `+ O4 e
　　1. 数项级数 7 g6 T( ^/ n% t& ?* `

- S" U0 G6 M! a, m- w0 X/ @　　级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法. 7 d, P7 H! W: @$ O
7 M& q6 p1 @# U
　　2. 函数项级数
9 U7 R) u, l+ d5 y! _, o
, Y7 I8 j  n" i( P3 M　　函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用. & H* _( T/ q1 r

7 T5 a! j- O. |. j/ s　　3.幂级数
4 R& _6 e$ H( P* |. ]! V% `2 D+ @' e( I
　　幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数. " C: {9 _5 ~+ [( g( e

, P/ ]) C. J" }7 a; c' t' f　　4.Fourier级数
6 ~& e0 ~3 g" q$ N. _1 K! C1 d$ B
4 ?" p6 {9 J: j$ H: A. J6 b2 M　　三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.
; X, l7 v. D4 n6 S* q% O8 r5 c" J7 @; v/ m2 T) I' y
　　Ⅱ、高等代数部分 5 P$ j, h3 ?& E6 ]$ y  b
  V0 a) s+ e. u9 ~8 @- ?4 T
　　一、 多项式
; Z, ~' x2 q# U+ @+ ^4 [9 Y; i/ u3 I! V* U# n4 {" w. Z" }: S
　　1. 数域与一元多项式的概念 9 U! X$ X; S+ J* G) c* {' K
! _' t1 C) _0 [- W
　　2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法 3 s) l  P- {( Y5 ^9 S0 ?$ d* h

, i0 Q& Y! i* L4 F% x　　3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.
' J: Z/ b$ }4 }8 a0 r% h1 W* V
$ h' _8 {, ^+ t　　4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.
2 n/ H8 L; c4 Q8 X$ s7 {2 i6 t, w' [
　　5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.
. w; H1 W2 h. l* y) R& t/ \1 O  S3 c# R- f& D2 _% B1 c6 F( S
　　6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.
0 x! u/ B2 j$ n8 Y
6 u, _5 Y! c7 Q) _. Q( b& \　　7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.
* `( ]3 e: z; v
0 l( I. l. X1 s+ W" g7 G* I8 D; K9 P　　二、 行列式 3 ^; |" x+ k) Q8 o2 o4 N

5 J6 O& I6 T! U) v& r　　1. n级行列式的定义. 3 Y$ e$ Q' Q9 Y) t. N  N+ [; E* a

% J2 f0 ?( v6 \* z　　2. n级行列式的性质.
3 y: e, D& x8 ?) c; @$ C$ z8 |! d/ g2 ]$ v, u( s2 O# r: b; u& y: F
　　3. 行列式的计算.
/ q% G7 s+ u/ N% H6 A! P8 r; C! h1 g8 p' u
　　4. 行列式按一行（列）展开.
5 v" C- \- t7 R8 M* H- Q# X" F+ X2 C2 z& Q# _* i
　　5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.
7 B' K2 H* P9 T2 W# [5 `) V
1 D2 t0 X! k7 R& y6 U　　6. 克拉默(Cramer)法则. 7 d' ]  X* x: B( n7 p; I' Y

% F4 E6 X. l3 T' U* ^6 A　　三、 线性方程组
" a$ L/ ]0 o, t
" `" P" p9 Q9 w* z　　1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解. 0 ?9 q# I$ X4 E

9 r# y) k8 n3 Q3 ^7 ~! w9 N　　2. n维向量的运算与向量组. 8 _  T4 N9 T( l8 I" O" ^" c3 u

  ~  D+ t  Q& |0 _　　3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.
) ~" Q3 I7 a  g' ?% r, o! b5 |
" z3 j1 ]$ E' \' }5 d　　4. 向量组的极大无关组、向量组的秩. 5 U  @/ O. s0 S$ f1 _8 I

- |$ j8 d: \& c  h0 G5 W9 b　　5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.
6 K" o6 z) V. B8 j# k$ f! w& z  O, F6 E1 n. h  K  m5 [
　　6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.
: _% {4 r! z+ I. m- d
* [( l* J. k4 |+ G- x# u, g5 `　　7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数 4 L. f/ A" |3 q- b

7 R/ k) ~" s! v9 E# S% P　　四、　矩阵 7 {" d, B' p; M/ ]6 |( Y* v
2 x! v+ @, a) |) o; \* q1 |
　　1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.
6 T5 Q" U6 t0 i. @; m+ i5 [. }4 b# r
　　2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系. 5 s2 Y8 v8 z, `/ V# p$ n
; E1 Y& ~( v0 G8 w# z
　　3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.
& i" M; |* A& u0 v, x5 a0 I( |( v
! Z! e5 `# u+ t9 u　　4. 分块矩阵及其运算与性质.
, i' b% S2 \4 @" x# {7 u; l# B0 d3 ]0 Q
　　5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.
' K, m- @' S! ~6 P) G
, Y, [5 {) z2 [6 F0 y! Y3 v$ p　　6. 分块初等矩阵、分块初等变换. + S/ R$ z' Z+ V- h

. ^+ q4 y  X) X3 A" R+ U　　五、 双线性函数与二次型 / ~6 V$ ^- Z0 _% H

4 t- e$ o) j" H% W2 H　　1. 双线性函数、对偶空间 8 Q& h3 N! W0 Q) }* k. J( P; |
3 h5 D; v- ?* g# K
　　2. 二次型及其矩阵表示. & E6 y0 F1 b+ r- j: J( D$ y

' X5 @& \4 c" ?" G5 Z- C　　3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法. " u+ [4 `! C* k, d
; N6 x8 n9 Q# U, T
　　4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.
* u  m3 f, ~0 O0 m, U# `; J' v2 ^5 J% {" B  d
　　5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵 % A' z8 q5 G% `0 K. U/ w2 {' [
3 U  k, U/ @/ j9 E: D
　　六、 线性空间 ) {& A' y8 O! G' |& B/ D# l
) W7 b. J- H7 g. P0 s0 h! i' _
　　1. 线性空间的定义与简单性质. 5 q# {& G2 v. g: ~( n
7 t3 G% Z; y$ }/ A! f
　　2. 维数，基与坐标. & k  o* ~2 B; Q

1 |2 R8 q- E( I' l; n　　3. 基变换与坐标变换.
9 j6 K( D! A/ ^4 |
+ @4 [4 H4 h2 ^8 ^, v  f　　4. 线性子空间.
6 q( {; I% A5 E3 i! s
1 e3 T' \% v: v! C" R1 j1 e　　5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.
- F% q0 ~3 s" y" J* |1 ~8 S3 _5 _- O9 ]3 c  q* R% U
　　七、 线性变换
' f( a: y% T  N7 K6 `/ B9 d4 s
* h. M2 w8 B* ]& q$ F　　1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.
8 s" u- |0 _. }/ W& f
# M0 T) e8 [* [　　2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.
' ~9 h. T) F, \  G7 S6 ?7 Z. I6 Y" W: e
　　3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理. # F" M/ J% D0 k# h! E' _
3 L3 h, A- _$ ~$ [; V: J
　　4. 线性变换的值域与核、不变子空间. & x' K( L* h: H: U; E* r
+ O5 Y+ s# Q: x$ u0 w" u# w/ C
　　八、若当标准形 2 c; y+ R( i$ \) p( A! |

! K: W1 F1 `3 P7 `% a3 S3 w" g, i　　1.矩阵.
+ |# \/ r) u5 N& l( P- j( Q1 U- f" d3 m! W5 D
　　2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件. 3 I" ?+ J4 M! c" n5 o

+ }0 T! i9 B" M4 P+ G0 U' k) B　　3. 若当标准形. 1 C! v  @% m& t

2 u/ _  D2 Q0 y7 ~& ]* Z　　九、 欧氏空间 * j, x4 l: v5 I1 v, E+ i4 t# b* N

0 W/ v- b7 K' ~8 H- b　　1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.
, m, K0 m, j$ `9 u  {: t
" J# V; D& P: x( g+ P& f9 |　　2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.
8 w' V6 K6 u* K$ N
# k! @7 k* v; i6 Y　　3. 欧氏空间的同构. % X& O/ z; G6 e; }( c6 Y

9 L+ s0 w/ Q! t$ B9 `# L　　4. 正交变换、子空间的正交补. % D0 N$ E" K9 U

: Q* a9 T) ~* t3 ]　　5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.
$ f# m1 ?5 O8 P1 E" V$ X, R0 X8 f# @6 E. o4 i$ V6 l
　　6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形. # p' E0 z7 ^. A
8 G* J7 ?- Y, F8 n! S" b! W
　　7. 酉空间. ; i2 [7 ]* c1 P2 d$ j& v

4 T% X# ?5 L2 j/ E- s　　Ⅲ、解析几何部分 . ^: ?1 X- ?0 b) N/ l& c
1 G2 r) @! a4 u
　　一、向量与坐标
) ?. C) s) ?9 b) d1 i$ G$ S7 a
　　1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.
  ]8 a; h1 [$ Z7 F$ d5 \: z; f: q: ~! E6 R% y$ h; J) A
　　2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.
5 P' ]6 l5 T0 l  u2 T; f# t8 a) L
6 k# M1 v; g. p8 [　　3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角. 1 g3 L- `+ j( E8 c7 d3 g9 t

. C$ z# _9 g, g5 U# U　　4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.
: O- D4 |) g* b
# h$ T* h* u+ H　　5. 应用向量求解一些几何、三角问题.
0 @5 ]% w2 x2 M( j" o# V9 @, B9 p- a  g) H" T+ w
　　二、轨迹与方程 . |# X, s' Z( V1 }$ X
* X1 o6 a4 y% g+ O
　　1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系. ' r- w6 F- `) @' r" s$ D7 H9 X
$ m% \2 p' O2 u0 j" q# s0 m7 u
　　2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系. 9 P, L$ y# i; |% n
5 L" D& p' O& w+ H7 W5 i
　　3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程. 1 T& _) t  K( S' B2 p4 k0 W
& R4 L3 U* V4 p$ w5 ?  _* n
　　4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程. 7 B3 V7 I# J6 _2 e
! m4 ?0 C% y4 R4 U
　　三、平面与空间直线 6 z$ i2 S9 l7 W0 a8 Z
5 u$ f' U  A* m' G& R
　　1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.
/ n+ r, d, g, H$ U# B# g* w; r: p& X1 m9 ~
　　2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.
9 R! [( q5 @9 Y& ]' a/ o0 i
1 o/ {6 [" }$ \　　3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.
0 L6 t) K0 f" Q& n# @' t" U2 b) s1 [
　　4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.
+ ^  S: E5 h6 Y: s/ T8 m
* _5 k, P  d: W: I　　四、二次曲面 ! V! B$ O! X; y! P9 G$ z
% A7 O6 y/ c0 [/ z' R% G3 n% U
　　1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.
. g8 V6 o% x+ z2 {: U, W; N- U& T+ d7 p0 C/ d2 P
　　2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.
; p5 u. N5 \9 a2 k8 O( o, o+ k0 a- Q' s% h2 |& J6 r
　　3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.
6 N* v+ E- z3 k
5 p8 L1 _, q$ D( E7 G' j, u, A　　4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题. ! x% U+ C  x6 ], }0 t! ?

" _( y7 ~' k" |1 n　　五、二次曲线的一般理论 " P5 v  i. i  |

; a7 D+ G4 U+ O% C　　1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线. 2 o. W8 E" f) K( d, {- ~

9 x( m" B; i  s　　2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点. 8 q. G, C2 w, e0 H2 D. q

1 H4 R* {- L1 q/ {1 f) G! m$ H, G6 U( i  z　　3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径. ' t( y& J' \8 A- Z' a5 M

2 D" E4 L4 P, i% c4 h, N　　4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根. ; k1 b. E$ w% F7 U5 c1 r- q
% y! U' N* R! N* M. E
　　5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图. 8 M% A. f  I3 l# y/ R, w

# w# T# {7 p; }4 I$ ?　　（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下： % K# x  i  F- h0 n4 }4 g

. h7 v* Z3 j; h0 H3 Q; \0 Z, y3 T　　一、函数、极限、连续 5 S, n( \7 m; r5 b  W# o& E5 Z

1 D* p9 ?2 `: e2 D. y+ u" \6 q　　1． 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.
9 P; o' V& r9 L2 w3 C  B$ {
) b2 P; H  o" u* g- t' |7 }$ V" t　　2． 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性. 4 u% K* O+ {' Q$ T0 h$ ]- i

/ P% F7 ~; L7 C　　3． 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.   R! F% z' c" D4 L0 H, C( }8 N

6 P- g% ~9 w/ K0 {　　4． 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.
" |0 V5 C7 z& }/ G2 d: r" A% t: R1 ?
　　5． 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.
% P, ~  R+ ?) V6 c/ v) d" ^$ V; S4 }
　　6． 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.
' ~1 l" e9 i0 z7 W" m* ?& ]# h( u0 a" d% B
　　7． 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型. ; Z9 }. H9 H9 T) J
1 E6 e/ ]  J" n. e  {
　　8． 连续函数的性质和初等函数的连续性.
+ k, ]+ @% ]  @% O  y, `! J9 x8 I; X$ A, D( n0 s% v
　　9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理). # s2 P# b& f) {. o1 _$ q) R: d  B
7 \/ Z8 y' F. m9 u  q7 r
　　二、一元函数微分学 2 X( E- n' K0 G# c, k) B

  {% s$ W* W0 @$ S5 G' M; D　　1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. - M9 k$ @9 h' X& O4 s8 a- D
& Q# p) U1 U/ y
　　2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.
! p, f& V$ O* T( i4 L7 ]% [; @
' K/ s. |; D" ~: i9 a4 V- _　　3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. # K$ e7 O) j2 g$ E
1 E5 Y) \3 b9 `: j: H. ]5 i
　　4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数. 9 ]- G: r3 B/ b( U

( M3 z$ }$ m( f　　5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.   U. C% T* K, ~. ~* p
) ~. P" ^4 |# y2 |( }, v3 |1 ~& h! e' O! g; E
　　6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.
+ j  q, h' Z+ A1 j- G" j6 Q1 |6 t- }+ T0 x6 |* u# J' Q. M
　　7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. 5 C  A3 l* X( j) r2 }7 q$ \7 B

: i1 @( F+ w$ z1 X/ R　　8. 函数最大值和最小值及其简单应用.
- c' D1 N; |& T% R+ x
; A6 D* Q! h+ p' f1 x　　9. 弧微分、曲率、曲率半径.
9 h. v4 ~6 L, M
0 I) E1 e& q/ K1 ?　　三、一元函数积分学 9 e& n4 Q' j3 z/ X0 u, ^
; O' A5 L) G# S( W2 w" R
　　1. 原函数和不定积分的概念. $ q9 q8 n% Y7 i
3 U/ w2 @/ L8 y7 M7 V* y- p0 }6 h5 u
　　2. 不定积分的基本性质、基本积分公式. 5 M  G8 z7 k9 P
/ _0 V: [, J: Q
　　3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.
; b8 ?+ E) a( Q! Q
2 ]+ i7 M: u. c　　4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.
1 `3 b% W) f+ H0 G+ j+ Y
  |- s" x# z9 ~% d  t9 ]; g　　5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分. ; g1 ^# x( y. m

% U- d3 m$ ?+ q2 k  g/ z3 b2 V　　6. 广义积分.
6 Y; v& O* f. \3 ^7 b) O% s
* ^, A% O: }0 a; \/ b  o　　7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．
% e; j7 S( Z& q% y* N" h1 y8 m- D$ E8 b+ b7 U' K
　　四.常微分方程
* P0 [0 A( {& z* D/ e9 _- d3 s- v! X/ N) p4 X7 U( E+ S
　　1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.
/ `  X0 c1 B: i7 z" H
2 [* [4 }* e8 E2 l2 |. Y　　2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程. . E! `3 r& k' m
  i8 s8 {; l7 W* b& Q
　　3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程： .
) @6 |* S& U! `2 ~) ?$ h
+ _( U9 w( ?  s  G6 ?　　4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理. - N' g+ L' p; j& a+ ]# g

, w  Y" V% A/ Q+ o# x　　5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.
# L( q- h" {3 T% i6 q+ B+ m% D3 M2 J
　　6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积
7 x. l2 |" |- y: C! R& k7 n/ @0 ?8 H% a# v# x
　　7. 欧拉(Euler)方程.
( h( T. B- z) g6 x# ~: s3 `9 o
, J/ r) I; F- v　　8. 微分方程的简单应用
: g3 J% g* z$ X0 c/ N3 i% M7 H! J
: t* S1 k2 Z3 U2 s- X7 D7 g5 K% A　　五、向量代数和空间解析几何
9 ^/ w9 k8 l8 M- P  {+ s1 d1 z4 V8 J# C$ @9 _- E3 m4 j
　　1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.
: H* k, K" U$ s- D3 G1 D7 b; x! [' d: Z' D9 n5 v# S
　　2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.
* I7 w! f( K* b7 g
# Z' m4 D( |: P. k　　3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.
; a/ B3 D, k$ t0 R7 r
6 y6 j& e9 ]* R2 M2 D　　4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程. 2 c# u" ?- S% q1 w
9 w, N6 Q9 v( ]- \# y
　　5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.
9 Z7 k; ^- x2 G; U, g" R4 c
! P3 }, R& R) K2 ?　　6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.
+ A* D5 }* H) E0 T. w) y- L, ~# {
　　7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.
$ N7 {7 ~- |/ s4 _$ H
( o' y7 z5 W( k　　六、多元函数微分学 0 ^2 l: G9 \1 w$ I) m/ g
8 k7 U  G8 ]: i+ D
　　1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.
8 V; k" F& G) b! G
- P# K2 p$ B# R  S: S7 n& d- w　　2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.
% u. V& y+ P/ m) }4 ]& J& a% @, U5 C. W; a% a$ Q; c& k
　　3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件. / P; i8 a" ^9 m. \' N4 m

$ R6 l( `/ H) J  ?　　4. 多元复合函数、隐函数的求导法. 2 ]3 h, @8 X# z: {; I

: `% C! R% x7 F! V+ U& {  e　　5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.
& Y+ }1 }% _( R; T5 _9 Q( f. L
) W$ |2 ~; P# O  b, i7 ~/ l; @" X　　6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线. 5 s5 j/ {( w: u" k# o

! G7 K7 _9 y+ f8 v- H$ T! `  y' G　　7. 二元函数的二阶泰勒公式.
; c% x  |" F4 n; e0 U
% w# y) ]8 ]& V0 v8 y　　8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.
7 g* j7 C) b6 B- Z9 p5 Z
6 S  y+ {' ]( }! ~& B　　七、多元函数积分学　 ) |1 {1 ?- s( u9 t, ]

/ d* j/ |5 `7 i3 ]) k# F4 l8 i　　1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标). 8 U& G$ y' c0 o+ m5 [: H" D
, j: j+ Z" w/ t7 D( g* A5 l/ S
　　2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.
8 M) H  W* C: _* g# b: q! B2 |* _6 \; l0 E* [9 u  u7 V7 h
　　3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.
( l' E* D+ w# R7 g8 t
, ~  y7 R/ H) [. k% Z! ^! c2 p　　4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系. 2 U, l- r' N) h* ^+ V* X& `

, N3 q7 F' F/ L( x: L6 K　　5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.
2 w! E1 c0 M9 _- Y3 h3 p
. v0 x" L' Z. n0 h# K　　6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)
" F5 f3 v8 i, X3 J8 P; l3 R
  P' }% f3 P  s8 ?0 m7 x　　八、无穷级数 2 z) G* H, C2 t, Q' K0 N

8 A4 f- P1 N! H　　1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件. 8 @, o3 ]: ~9 P& r* T$ G3 N
" {% j; q3 W3 w/ }' k+ C! k0 T$ i
　　2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法. + K' S. V7 `% X, V8 L6 D

- C6 Y- d! F& `; r- Z　　3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.
$ k# D! _6 R( c4 m# {( T/ T2 }5 @  a; g; d& {
　　4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.
. U( T$ `# t/ d- i" f# l
4 y# y) n. i, p  j# C9 c　　5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.
( n4 p" `# w2 r
7 g  C) L( ~; K　　6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.
' g% V9 _8 p2 k" u6 j. O1 t: J6 ?1 i5 j8 ~/ h& Z$ F8 C
　　7. 初等函数的幂级数展开式.
0 p: j/ S" [. b( u. B+ _* Q* k# E3 |1 j
　　8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。3 R$ S$ {# q  M0 X$ _

* ]: @- J! O& y6 h       大家加油啊！拿这个奖很容易的！" }% g$ r0 q5 ~0 Z
作者: yeppy    时间: 2011-1-21 15:06
数学竞赛
作者: yeppy    时间: 2011-1-21 15:32
据说挺难。。。。
作者: wy315700    时间: 2011-1-21 15:51
其实非数学系的预赛还都是很简单的
作者: 北极熊将军    时间: 2011-1-21 18:08
好！！！
作者: 0124huitailang    时间: 2011-1-22 11:10
怎么什么都考啊，我们有好多都没学过啊！！！！！！！！！
作者: 0124huitailang    时间: 2011-1-22 11:11
作者: 0124huitailang    时间: 2011-1-22 11:11
作者: 0124huitailang    时间: 2011-1-22 11:11
作者: LLLYSL    时间: 2011-1-28 00:11
这不是百度的 么
作者: dugumen    时间: 2011-1-29 10:37




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