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标题: 全国大学生数学竞赛 [打印本页]
作者: luomaisheng    时间: 2011-1-21 01:59
标题: 全国大学生数学竞赛
   2009年，中国大学生数学竞赛（通称为“全国大学生数学竞赛”）开始举办。该比赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。8 R5 r% D9 _& C
  竞赛用书　　该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。: W' T4 C' t# r
竞赛大纲　　中国大学生数学竞赛竞赛大纲 : l- k/ o' p; h5 x+ Q
& _, y7 B2 o0 O1 O) r3 L' a
　　(2009年首届全国大学生数学竞赛)
2 x1 W, M+ P" A3 w' X
0 p2 E9 K1 \4 c& C　　为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
  Y8 l7 F3 o$ D* y7 m, y: o# r( T1 q. s3 h) J
　　一、竞赛的性质和参赛对象 6 p/ t6 r6 z4 ~" L

  y& a( a0 w0 m0 B5 q　　“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 $ g  U, J# E. w, ~6 f# K1 C
5 G7 D# {6 A' j: X0 u& x7 X
　　“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
5 k. y0 _* C0 B! A1 O2 ]9 t- e5 b- L
　　二、竞赛的内容 ' N& c6 g) r- j5 r! k2 c9 T

" i# S1 ~, K- M- `- M　　“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
7 Q4 v5 T# Z5 f1 ]1 g9 f
" R  U9 Q6 W8 g/ v) d+ f　　（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：
: [; F2 @& m+ s! m5 l% s: Y1 y6 n# |8 p0 O) H7 b
　　Ⅰ、数学分析部分 * \: Z8 C) [( E/ R
; d# @6 @( Z% X' x6 D
　　一、集合与函数
& G. t8 O* z& Q( [  `, w
$ N( S) [# C9 ~, H　　1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. ! W" Z! e' ^& e: _" o
& d9 a2 _$ L, ^& r/ ~
　　2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.
; O( R1 e: ]7 V4 ?' ]. O0 J# o" H9 P, K  ~, F% n
　　3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 8 K$ B5 J! C( U

, Q" k2 h/ C4 ^$ z) Q& i) m( [　　二、极限与连续
  W, D/ a+ R8 q( u5 S' a
4 j9 Q, V; M8 o. C# K　　1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.
4 c3 _% I- A! S$ b& f# d8 T" q9 V1 f' n  [
　　2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.   s/ m; b( N& b7 |$ A- Q; d. G9 C

; L' z: s# \" f* u7 d5 j　　3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. % }2 G# h' ?4 _. k8 E* ~

8 x( U3 ?9 X; l7 O8 E* s9 j　　4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.
6 t1 z% ^$ g0 R) v  E/ R) I6 }% Z) D" v  m
　　三、一元函数微分学
  g. ^, Y2 Q: t7 y; A; Z7 m, k2 y! j9 f( N
　　1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. - }6 C2 K3 X. h9 d# v, O# a/ O, m3 {
5 n6 t1 Q! O6 o6 v! ~9 A2 C' N
　　2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).
, z0 d2 v; V) G- H$ A1 c& l5 X
　　3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算. , I9 L! @2 T' h6 L; K( X6 L! v) j
* z% D1 x  D* g# e+ u; s; C$ Y8 R/ k
　　四、多元函数微分学
7 v3 t, k% y- K% n) m, f' r* c  K$ M# Q0 G5 s" K& W
　　1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.
" y7 g" N$ n7 t; p& a. r; w! _4 X& h( E; N, v
　　2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. " v% X. v; I4 Z+ H  ]
- r4 |+ |+ \, r, M  e
　　3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）. : d/ D, f7 w% p! g
3 }6 C. M5 H# q5 i$ g5 `
　　4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法. 6 U. y9 ]" g$ ~/ }1 s
( c  i9 m2 A- M* W  U
　　五、一元函数积分学
+ ]. f  Z% w2 ^& b/ i, h" C6 p# P" K" I# j( U
　　1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型. 6 z' F; [% f- T, A: S
' B  Q' H; e3 f% T4 E4 N
　　2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类. 9 b6 B# c/ G+ d, ?# b7 x

" ~: ?" L8 C. q- ]5 O" w/ U　　3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.
) p' g; a1 M+ p+ G! e) t$ E0 e& V1 ~5 u1 x2 v/ e6 J; Y
　　4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.
9 o! y9 S+ w6 x( n
3 k, r" O4 j4 I1 k7 |  [4 K　　5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用. , o, T9 ~; K% M1 N3 K9 p9 d: I! ?2 }

- g$ m+ t! h, Q1 n　　六、多元函数积分学
  K5 l8 s0 I$ l4 b7 n3 k
0 G- g) Q" K: Q; y# ?$ V! M7 t　　1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）. 6 f2 I( k1 u% v2 {: n' W# W

& ?' k) z7 R4 w9 c3 [　　2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.
9 V, ]: m: Y. z7 z. X0 Y; p( f0 O/ T- N, j) x% h
　　3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）. 6 F" F; m% V2 T% v& r" S/ R

" l/ u: @* h" J# ?8 h　　4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性. % S8 O6 K8 b+ ?; B& V+ \* O

# ^* ]  z+ f* J4 l　　5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.
# \* i+ k5 Z8 n. H3 I, b& }6 P- q; }9 P2 u5 U- P
　　6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件. $ j5 {& v& `( ]4 Z) v" u
4 I7 ?" e) p% V5 f: i
　　7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.
. a+ m% p' E) K4 f0 J7 Y# M. Y' w% f/ M1 `/ D* f: `
　　七、无穷级数   x6 X' L& j" ]7 ~1 b5 b
1 R0 B/ t8 a& e: D
　　1. 数项级数 . I7 @6 N& Y# U$ ~# p. m: Q& d

' @% a' }3 q1 b+ r$ S1 I　　级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法. 6 ]3 v3 q7 y' P  w$ ?6 b
1 {# n& Q5 N* I+ C- V
　　2. 函数项级数
. c' x  @: w% e
( V" C  w' S) K) y" `, R　　函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用. 6 v4 z7 u) J! _) t( [  j& e6 Q

4 `3 _+ P" i7 D# p( |　　3.幂级数
+ S8 c# X! k+ k# p5 Z  H3 H
9 t% a, h2 h4 h1 f1 c　　幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.
  G; M! \9 e: F# q5 U
) f4 s2 O5 [+ r. {　　4.Fourier级数 ' _  p, {; q1 O4 s

6 y0 I& L. ]9 d' [& t　　三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理. . h7 g  g, H2 {( s

$ F* F' }: q( F/ L, Y3 A　　Ⅱ、高等代数部分
0 g8 Z( I( [2 z$ o3 |2 k2 ?; i/ G/ {0 Y6 \3 w1 u. g1 u
　　一、 多项式 + ^; E% b. t$ n; p

$ P  E4 t+ }1 T' q　　1. 数域与一元多项式的概念
- @% x2 W7 Q5 J" b5 s4 b9 W: k6 l1 @5 z' O
　　2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法
- h0 G1 V! t1 |4 {: v1 F; K1 \; s
# U$ l" n# a, ]/ j! a$ v　　3. 互素、不可约多项式、重因式与重根. ' w3 E! M" w3 o* \- j  @! T

8 m9 C8 B; _2 }　　4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.
  e8 O! v. e1 ^0 A) e; i+ r. l- v9 W! g4 @0 y1 t9 K
　　5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解. " d' I1 o, h2 Y5 O; o) t9 e; @! u

% B: |3 }* y+ |8 e% T6 k　　6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.
6 t+ w4 T% }- ?; ~$ _( g$ j) B+ M5 V1 a+ r* s1 I* d% |
　　7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理. ) q: D+ v/ _, n7 p

  }7 u6 Y, f: x　　二、 行列式
4 P0 Z9 f/ P6 F+ D* ?) e7 J) M
9 R+ A1 z( r" ~+ S3 w  f　　1. n级行列式的定义.
+ [" D& ?! z& E) a
0 K7 r5 h- g1 f; n　　2. n级行列式的性质. / P8 \, N, b( f7 ]7 u
" J3 R* I9 Y( e1 O
　　3. 行列式的计算.
, c! r4 t6 I4 L- ~* k5 U  F, u6 V- W8 C( V* u
　　4. 行列式按一行（列）展开.
) c1 q1 }" |. Y6 s9 Z2 U! V/ K  _' \2 _: h' D1 G3 K- u
　　5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理. / v& o/ J; ]0 w; H6 h
9 ]4 O0 m0 X4 I, z6 a$ o
　　6. 克拉默(Cramer)法则.
* e8 x, P- |% r' H! x* L# G3 I+ d+ o. _! L- B! x; |
　　三、 线性方程组
% d; n; I( S$ t" r3 C$ {4 g7 c$ s- ]; b- j5 ?
　　1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.
; w6 h* W( c* c! G$ }8 g
9 N& H- e+ N, j% q( i2 y　　2. n维向量的运算与向量组. % }* N+ t  S* a1 e
1 L6 m, X2 [, T- H6 r
　　3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价. & _" k! e( R' [% D! T& h- K
) ^1 U  _& [5 s+ d  [
　　4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.
/ H8 p6 ]# H! B
) s) G0 A8 z) X& P4 f　　5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系. % g- E) O9 `6 F6 }. I
2 P' s7 `/ d% Q2 X
　　6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.
! N: C+ Q7 o. P( N9 {
5 U: s/ N* j$ d& i  v7 A, ]　　7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数
7 K2 Q  J7 n5 K0 m
9 s) l" O9 M$ X7 R　　四、　矩阵
3 k  @9 P; C4 ^* K( l/ P$ S$ y6 Y8 b9 E: {+ a4 R6 k8 y8 }+ P
　　1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律. , c3 w, H% w$ o

$ L$ c. g" i' {1 m　　2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系. 1 c) @$ Z. Q. W" X

3 Z$ S) K* A4 ~5 h+ y6 A. f　　3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件. " \$ _5 G7 J2 W! I/ V: r
) Y" n8 \% J9 y% o- B8 w
　　4. 分块矩阵及其运算与性质.
/ ?0 H. K# f3 r" J  m
- A" K& Y5 l' q, g; o　　5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形. . v+ K' x" R7 s1 M! a

8 o+ f; G( s- L2 H; A7 w0 _) n　　6. 分块初等矩阵、分块初等变换.
* G" G$ d) L5 M' m2 e5 K7 q' V5 z2 C0 a
　　五、 双线性函数与二次型 ( n+ \7 X4 J4 _* b, _' {6 B6 ]  ]
0 k6 d1 D4 h( [: k8 u* e6 T" h8 Y
　　1. 双线性函数、对偶空间 & H2 j5 J' g% H* f# C

9 W5 A& N8 n* x( o0 _　　2. 二次型及其矩阵表示.
( [$ _: `' r) v5 q7 i( ]/ P
% P$ [2 a( R7 |" D7 E* I　　3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.
* `) u) A( `; U. T5 u
8 W5 j; f; z) [6 T% }9 |　　4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.
5 D5 b+ V8 z2 w* @) X5 A+ R8 ]5 ^% u: _6 K' o* A& s/ R
　　5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵
: E7 p+ ^' z; ^! `2 `  }. b
& v2 \) _; i+ D' Y8 _; Y* g1 R　　六、 线性空间 , O3 A4 I3 d; J9 X7 f: Y

) G* j2 G7 [/ H, y+ [/ F/ j, n, W　　1. 线性空间的定义与简单性质. # e1 {0 r- n& V; R' m- V" h

' p& M9 E* c2 `  ~8 |4 r) j　　2. 维数，基与坐标. ( w: a8 W1 b- c6 q4 _) v3 n

; V, b% A6 q+ Y1 @% _& R! `　　3. 基变换与坐标变换. & \" ?  U9 c6 f  R

5 |  v6 {& ]+ {$ z  ?! z. g7 A2 t　　4. 线性子空间. % B2 e; |" Z* G$ g5 L( X
, l/ `7 s1 p5 E/ ^& t& E# Q. K8 b# n7 z9 F
　　5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.
! \( I1 s1 C3 p+ ^/ x
- Y: v) B9 j$ ~  n5 ^) a* K/ v　　七、 线性变换
+ R; i7 b/ n2 Z) Z  r, d, H- P% _! F9 b
　　1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵. 2 C, m! J, {) }" w% K

  L: r, a$ J# `( I　　2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.
- I1 {  p) t6 \6 E. w$ M; D+ S5 z- M
　　3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.
# @' c2 Y% Q* L' o9 D: i0 n( x0 J9 a+ E. z& F' n
　　4. 线性变换的值域与核、不变子空间. , @) a' b4 X5 F9 l6 d# N
5 ]$ w+ @. f6 U6 B, z9 s
　　八、若当标准形 1 ~: }% Y# K- ^& O- G

7 t3 h2 {. ~: j, E　　1.矩阵.
0 p; o, |$ R& P* M" i' H3 y0 K0 z3 M! ]) E7 q$ g0 @" K  f
　　2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.
. C( U6 z6 c; S. J
: c: S" I: \5 _8 v　　3. 若当标准形. 1 W& U1 S: a) U' u* ]6 b5 d+ O

8 m5 \8 ]/ F. Q" L. W" T　　九、 欧氏空间 * e9 k0 z- D% Y9 ?/ F
3 V3 ?6 _' S# o
　　1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵. . v+ m. T5 y( O  b, F
/ q$ s" o. E- O, O% r$ x
　　2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法. : u9 u% C  x$ P* v& N6 n

' c8 S6 n5 c/ I　　3. 欧氏空间的同构. ; P* ]" O4 z; u7 }0 C$ O

, D; W) Q: g1 @$ {　　4. 正交变换、子空间的正交补.
# A2 u+ @0 j  e. N2 W
) b6 \1 b; L2 R5 P' S5 W, `　　5. 对称变换、实对称矩阵的标准形. ! ], ^2 l4 g! s2 c

. {5 G, D0 E8 f# }2 x　　6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.
: ~8 t; Z& f* t( S3 P  [
6 X* y. I4 J7 E　　7. 酉空间. ' V/ F' ~% p7 |+ Y  P% {

) X+ Q0 P8 _  P: y& j, t" f$ I1 h　　Ⅲ、解析几何部分
. @9 f  R- |9 J) \% o  _2 t
1 y, {& G) |( n& U, B- [　　一、向量与坐标 $ T# s/ |, A& R
. [, Z; ~# e6 c9 t6 U
　　1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算. + v& a1 N5 g* t7 g7 W: v& H2 H# l: G
& o1 f+ M& g  s$ j
　　2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.   Z, u: Y( b3 e9 @
6 n6 R2 g; J( A9 t
　　3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.
2 c1 l) R0 u5 A. Z3 X( ?0 n  t8 u& Y- w
　　4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用. 3 @3 r2 [$ [9 |: z  A9 h# R- K- ]
7 P% b5 D5 o, r% H0 f. q, K
　　5. 应用向量求解一些几何、三角问题.
; S" o; r+ @0 j3 C
; g: O5 Z4 B. i1 c+ \6 S& X7 g　　二、轨迹与方程   _" z" d, a8 W; o. m
1 K. N3 t: U* i7 \0 t! Y/ F$ B
　　1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系. ; X/ K: i$ I  j' u4 }  P, V
- I3 p6 z6 c- z; {9 e& a
　　2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.
. G8 G& a4 `& T% t0 Y" u; ]! f3 C; ]8 V) q7 p% ]/ ~
　　3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程. 8 Q% Y  K* a7 o! t7 @. r' M

% t. R2 F8 i  S6 h) A　　4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程. / R. S& |* X8 B/ }8 h

: H$ v( H( W# `; R+ T　　三、平面与空间直线
" y  P+ a1 ]: T3 w* o8 P: o7 |# t- F" ~$ e5 }
　　1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.
7 y' [9 W, O3 z/ A2 b* R. O: d! f: q) U  u8 z+ }
　　2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.
- h  r( ~; F1 C
* E: u* ?8 V; l# G. o! l" y　　3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系. " u! k1 o6 `* h& }2 |

8 Z6 L/ j" b2 r" {9 L% W9 X　　4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.
8 z  y5 T8 w8 W/ W+ W# a' Y8 h; ?3 F! A& S5 F
　　四、二次曲面 - O4 D2 U% `: `+ j
& ?% a/ e$ m7 z5 q) o4 E- b
　　1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程. " O# M, q0 K" c- m4 a

$ L5 p0 h7 H8 z　　2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程. ! ~- g1 r3 V( Q* S$ m
  O) ]/ C5 o- k5 x4 [5 h
　　3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.
  E% j) @  p& [/ j8 A. ~& z& s: ^
  C% Q. V/ y7 G1 o) L　　4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题. . h; s) q. G; Z! y" y

9 Y! F0 o# D. I: i) p6 S　　五、二次曲线的一般理论 : n  K# s% u6 w( W

0 L; a- m& _% |& R  Q* ~- v$ y　　1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.
2 T- }; s$ Z* F4 V5 C  k0 h
9 X+ ^3 m1 k- T$ [　　2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点. 5 O; z- s8 B& l

: |  F7 z1 P( [$ ^　　3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.
  X$ c  s1 d$ V+ V  ~0 y2 @
- F) x) O' l$ Q4 C　　4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根. " f- `) \$ a8 g2 c
) y& {! I, O, e
　　5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图. + m" P2 v1 E. f! z) [( G! o4 M
# ]; Y7 v$ J2 j4 K% N
　　（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：
' G/ r+ @5 E! v5 Q  K
& |; Y* l, `$ k4 X& Z2 X/ ?　　一、函数、极限、连续 . V! s+ g, K6 L
* @6 w" f3 X9 R) ^- F
　　1． 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.
  P& q. ^! c" p7 i
0 b+ ?4 V) z2 \, L　　2． 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.
4 k. Q. D: h  m. O0 K6 Z' ]
2 b+ u4 O6 S  e5 A7 d( G$ {8 d( z　　3． 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.
! j9 G1 i4 H" X9 j' G: k  s4 H3 }8 }3 ~# C% O2 X
　　4． 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.
1 Y7 @; e+ A& H: `4 I, z9 D% b! @) e% @8 _) C/ V' a. y' d
　　5． 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.
4 Z" J, H8 g1 \# k5 z
' z1 F- ~4 ?9 v; i　　6． 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.   j$ {+ s) e5 C2 F2 x" H
- K' |5 Q/ o8 n) D$ G2 c" M8 m
　　7． 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.
8 E1 m7 t! `8 L0 y0 C6 F5 y3 J/ N% ]* j6 |
　　8． 连续函数的性质和初等函数的连续性.
0 _5 @+ e! j' S: X9 I
. u% @% o% `$ g; H$ X' s  E　　9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).
  J/ ~9 x6 i8 x0 L  j" a8 [( @6 F9 G0 |' T3 a1 `
　　二、一元函数微分学
* G  J' }! J. ~4 _2 d! T! }) u$ T3 g* t( A# w5 @7 D# {' a
　　1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 5 N  H/ a7 u: T+ |: l% O1 O( R
- z8 t) i! r, W: ~+ ]
　　2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.
4 V+ k# K6 |( q0 R8 W: R# b
* e# u* \6 \# d$ x1 t1 ~) t3 R+ r　　3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. + X" v$ r4 `, ]5 _% o4 S) R7 c

! e3 B8 t0 D: {6 |　　4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.
4 c& a2 F# W! y' d5 O3 Q- W) Y* i
, W' _) M5 |0 Y1 U　　5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.
! z! t  a2 F6 ]$ M- d% N$ i7 p/ [& u( n" y' t+ [; d+ T
　　6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.
6 F, |. w/ l( E( v$ r
, ~( K+ X: Y4 B/ d　　7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. + z5 D: t. p3 h! f5 W* c& e2 c

. @* o9 G5 |1 i　　8. 函数最大值和最小值及其简单应用. - H/ ~/ @7 s8 G- G, ]: C1 }, `) n

) u* L# S  [. q7 F　　9. 弧微分、曲率、曲率半径. 3 ~1 n/ e# `1 ^, m; Z! }
0 F  b! W( T! j8 n9 W
　　三、一元函数积分学
: E8 ?% V; X' I- {9 D% m$ }* `
( h% y  d- v. l# _; P( a# k　　1. 原函数和不定积分的概念.
4 e7 N, \! f9 B" }+ H
' G. P! Q' J% i3 J/ w) w4 b　　2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.
6 i  d" b" K: X# f7 z+ C, X+ Y$ Y/ Z8 R4 D) K
　　3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式. " t5 H! `* |) ^
% a5 I$ k5 O3 X, z5 A* R  r4 v
　　4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. * d' S* R, b2 q3 Q" h

7 |' r4 f1 G+ P9 P  m: d# V　　5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分. 1 v1 F' N, B' \$ X9 H

4 S& }/ ^* b  H+ O　　6. 广义积分.
5 M; r7 `+ u8 D  T1 }$ G2 v3 H% U2 y# T. D, e3 P' u
　　7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． ' v. v8 V; b7 M9 J7 L; w. e) d

, {8 ]% Z& {1 G4 j　　四.常微分方程
  A9 h5 S5 c: P7 c; ~
" l; w* s8 h9 N+ p+ ^2 D# m　　1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等. . V* k+ D$ C/ l7 s
* b. L5 Q! F! P' M: N0 n
　　2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.
2 v" K2 r% ~* S3 y! `5 p+ y4 K0 V; |' [* r5 v( \3 h' ?# h! ]
　　3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程： .
  I, `+ V, e$ d- G! |0 n1 \
" Z$ V; W  A. {* a2 f　　4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理. - a9 I5 R5 K' w) x5 y4 f8 S

- I" S1 A1 d& B0 Q% {　　5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程. . C) d  Z0 A- E/ k# Z5 m/ d
9 O; ?1 C8 o( b3 P0 }+ s2 H" H% h
　　6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积 0 Z% ^+ Y" o0 [4 b8 g; p

5 E, j$ F/ F' e. y5 f　　7. 欧拉(Euler)方程.
2 k6 M* K( O" j% x
+ p! q# g3 p7 N　　8. 微分方程的简单应用
/ s* ?4 Q0 G% ]2 Y0 j' Q3 B
5 }8 X& c- R& o　　五、向量代数和空间解析几何   _3 }3 V2 J, n; O! ~2 f

3 J* H, D. b5 Y( v　　1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积. * Z) I2 g% T2 K9 q' t2 a5 d- c

* L9 W$ K: p1 u, A0 v# J) p9 O- M2 C　　2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.
5 g, a5 \' @9 g5 ?4 z" C
0 T4 C$ R0 E+ X9 r8 Z3 H1 Z　　3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.
' u6 y8 @1 L# M* `
4 Q* r7 t/ @4 u( O6 {　　4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程. % W# G5 |$ G% L# F
4 j$ _. z2 s! N1 R. ^! A; {
　　5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.
* O/ P: ~# f+ O! |
  U1 J/ q, x; z) p+ v* d! N　　6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.
4 g% R; }/ e0 y' U. X1 E5 s" l4 c; p" m# }0 |" K7 G# V* g
　　7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.
) @' @% J* N- a- t/ _: W9 h8 A
& I) `* a' w0 X" s4 `- c; S; J　　六、多元函数微分学
8 ~$ X% v) d! E" M2 A
/ i" \; ~8 z4 {　　1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义. + Z" @: e7 b# l# p: H$ B
' r1 t( Y  w  h
　　2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.
0 A/ Y' `+ e; D) ?% n5 B; q9 X4 w8 N. a/ Q- D* J
　　3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件. . n9 w# p/ |4 e7 _
/ a3 D5 u3 G& W& ?2 u& Y
　　4. 多元复合函数、隐函数的求导法. " w  {0 R7 t- J! m- N' K  ?

7 Q; W/ Y6 m+ m& Z; j　　5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.
2 Q+ @! c5 D( L; t* q6 H) D- u, E- w: x, F% F. ?
　　6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.
: `6 o6 h3 t4 Q# \; ^" t
6 N5 F: Q" q' j& w, m5 @7 P! H　　7. 二元函数的二阶泰勒公式. . S$ k& F; q! e8 `$ P' Z5 ^8 ^. m# H
+ |+ W  h/ D5 {8 v9 p3 T
　　8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用. 1 h$ b7 I. b: Q+ K; b/ N

/ F) q! u! m; H0 C7 [　　七、多元函数积分学　 1 T( I6 J6 s( t8 f  [
2 Z0 e( p2 ?' v& T
　　1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).
+ D" I, d0 I* s+ _) t. C* h8 C
" t- H+ D3 {4 R$ R　　2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系. 8 [9 i) x+ y, a: e; o
9 c( f. n9 {* V+ |
　　3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.
0 F- L" f5 T! j
" u" `" U' R5 n　　4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系. 4 v) v! G9 h, S$ ~1 M

. G2 ?0 t* C! e; v　　5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.
9 J0 A; I/ Z! S/ x. m, q+ j
4 i' P( a4 I. V$ d: k　　6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等) - }+ j5 u0 j* }/ z3 u

5 g) z+ r. Q3 l/ ]0 h. h5 h　　八、无穷级数
& Y) `) D- E' l  m9 O  q& r, l, Z( Q! R- j4 _" T" \
　　1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.
5 c5 o( k3 M) d+ b' G& ^/ G- n2 ^+ O: A
　　2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法. . X8 i. s* B% K. ^2 ^

, c, D8 Q; X2 X" U1 f" e/ E+ O  b! m　　3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛. ; L! i$ E( b2 y0 Y" {
7 E8 @; z, _4 R1 K& J
　　4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念. : [1 Q0 i* h& g. q: O

& Y" P& p' l3 X$ W+ ?　　5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.
. C8 `3 h/ r4 l6 T
1 o4 n3 p5 q. n) R8 @　　6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法. ; {/ v8 U' m9 w2 n1 ^
6 R* c2 A( m. p& a- T% ~! y- z4 I
　　7. 初等函数的幂级数展开式. : k0 i0 @4 k1 X0 N+ Z3 T: ^
) s6 d# a. R( J; D9 D: [1 @4 h, J
　　8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
9 w+ @  _2 J# T7 M0 _
0 r5 t  q* [) G0 Q  B       大家加油啊！拿这个奖很容易的！
5 @5 L4 D: e1 N6 ?5 u0 Z9 [
作者: yeppy    时间: 2011-1-21 15:06
数学竞赛
作者: yeppy    时间: 2011-1-21 15:32
据说挺难。。。。
作者: wy315700    时间: 2011-1-21 15:51
其实非数学系的预赛还都是很简单的
作者: 北极熊将军    时间: 2011-1-21 18:08
好！！！
作者: 0124huitailang    时间: 2011-1-22 11:10
怎么什么都考啊，我们有好多都没学过啊！！！！！！！！！
作者: 0124huitailang    时间: 2011-1-22 11:11
作者: 0124huitailang    时间: 2011-1-22 11:11
作者: 0124huitailang    时间: 2011-1-22 11:11
作者: LLLYSL    时间: 2011-1-28 00:11
这不是百度的 么
作者: dugumen    时间: 2011-1-29 10:37




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