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标题: 全国大学生数学竞赛 [打印本页]
作者: luomaisheng    时间: 2011-1-21 01:59
标题: 全国大学生数学竞赛
   2009年，中国大学生数学竞赛（通称为“全国大学生数学竞赛”）开始举办。该比赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。
6 _6 A, y( K- ~( `! _! D; T  竞赛用书　　该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。5 W; W; ?; V8 T( ^# w- ^; w
竞赛大纲　　中国大学生数学竞赛竞赛大纲
! Q# b6 n0 Q( K8 ]7 W0 m: t, P( E4 @  m+ L
　　(2009年首届全国大学生数学竞赛) ( }, S9 D/ B# U4 G/ {

/ S" V, i1 J/ G3 c- q# f" B- d/ w3 n, N　　为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
. Y4 l# h- w# W2 h. P  k* N7 ~" W* f% y7 b: @& w: O6 S4 q/ b0 ^
　　一、竞赛的性质和参赛对象 2 N9 O/ A4 H0 e" l) Q& [9 M
% ^+ I5 C2 Z2 g& i
　　“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 # U& o! Q2 N/ a( q4 t9 V( b
( [& I3 o/ w% f. |, D. D
　　“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
, v& D, i4 D* n, n
: x3 c; s# c& Y. `1 Z9 F3 Q3 r　　二、竞赛的内容
* d) s! z- T( h5 G9 e$ k$ _" ~; J. C8 L* c0 b: r% B5 C: X% m
　　“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 3 M: O/ H! C$ G) f( V) h

3 d9 G: \" A) X9 r- f$ A- _　　（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： 5 H  H4 \0 n) S7 ?
" T+ {# S# V: O! X2 A& L) q/ _
　　Ⅰ、数学分析部分 / O" _) P2 @- ]5 A; e
7 x! M4 i# ~% Y. R8 m1 Q  K
　　一、集合与函数
- ~4 U2 x" P- M4 x; @: T$ i& F% Y6 K
　　1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 0 n! X. @: g1 i9 o- f4 t

3 }' v% x. }; R9 ]6 g7 m8 E5 N; X　　2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.   z: d. ]7 p) n( p: j6 ~# [

$ I8 {2 R% D! y# R( J　　3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 5 o, c# d* `) [( ^" B7 Q0 g

$ R7 R0 `. m+ v  `& @, {　　二、极限与连续 / R+ ?. ?, q1 W# E0 C3 k
$ t; e5 r4 g* l9 @5 w
　　1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.
0 j9 G, q8 ]( x
; X9 r& j- U* U8 P. q! X　　2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用. 5 [/ p: ^7 L& c4 T; m( c

" s/ d) S: q* ^9 T2 t, P　　3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.
" Y9 W1 g- {7 o5 }1 ]3 C
" t7 l8 _) F) m, z8 ^7 g9 d　　4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. - ^: b* U; d! _$ e1 C
8 R# g5 @! R7 f% U" ^2 m- |. c
　　三、一元函数微分学 ) b' a" K( v- u4 l) Q2 `7 k
5 S: b! \6 [( ?/ A
　　1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.
; L7 w, a$ Q" G, J( M' w9 U; {6 p* E) M! Y
　　2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).
8 W% s9 I9 B/ f  b5 s( k6 l% H0 J0 ]. m" }3 n6 u
　　3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.
) t3 |  q! G) M* n1 e0 H
8 C7 I, v8 {& s, ~8 p. o3 r9 ]4 B* G　　四、多元函数微分学
# L( H: K# M+ P+ |4 I% F; E2 x( m. Z# E  E
　　1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式. / r0 D; Z( y7 X1 ?) j
4 n% h" q* Q3 K: G6 G4 O
　　2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. 0 h- f7 |' \$ b  }) o
1 D9 O9 k5 X9 v8 ~5 I( s6 {
　　3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.
3 d) v* I9 l" Q
0 Q+ X0 p$ f4 _* Q! L6 }　　4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法. . B) M5 S3 ^; ~- [& H

. M( S. U$ t& x! B5 z+ q　　五、一元函数积分学
1 w0 Q* D2 ?) u* ?3 T( p# h6 x/ N) O$ g) b3 s
　　1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.
( K3 Y. ]. `2 ]: B- {
" b* n; K0 z' o　　2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类. ; }! k- B; h, z" d# U* I

( w  j/ s# d6 a　　3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.
: o/ A0 B, L! o* V9 W/ D
$ k/ _+ v/ ?8 \5 p, }" d　　4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法. 7 k- U; T/ J/ q7 L) W

  s( j( u, h) A0 d　　5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.
; u4 [" t: h" c; T# b7 l, t- N5 a8 ^/ @" Z5 ~+ R! o
　　六、多元函数积分学
5 }. C  A; s. g: L3 B' r9 h$ w$ |( L+ b8 O0 U0 _0 s* ]
　　1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.
0 ]7 i; W' r3 n- L* m5 M  E5 u1 e8 t* J
　　2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）. " h' D4 E: \0 J: @
7 ]' }' W& J4 ^( r9 [" R' G
　　3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）. % ?' g* g+ m, C8 |4 A/ w2 [
( A. h3 F7 B7 ^- x/ p. A
　　4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.
( Z& ^; t4 V( `( v7 M# ~4 N9 o+ {6 F" O3 `' W" `
　　5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.
7 t- Q! X1 I5 ~- W$ r2 u
& z9 M7 L% c. ?3 P　　6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.
% k( [7 [7 ^/ s; V; G2 Q& O/ V/ c: ]: x" P: R
　　7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系. . r  d# }2 }! u0 u+ |2 J7 `7 o% ~

& L) |. N+ E' K5 g9 t　　七、无穷级数
. [) y4 B# y. b1 U" Q1 s* Y' d3 Y
0 |2 R) Y. E  I! v( z0 Y5 Q0 C6 N　　1. 数项级数 # J+ U: p# }, p' B9 g! E# `3 N; p
  [. e) p( v9 \3 \- A( [6 V
　　级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.
. q# Q+ v7 t9 p
! M5 D6 b2 }" x% }　　2. 函数项级数
, \; h+ @/ _, |. g
. Q& o/ i6 j- m& _) z, {) K& e　　函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用. 1 d3 Q. w; |. E- _# l" K

: x* B9 `$ J- E! j% n4 U4 Y/ ^4 b　　3.幂级数 # D, Q/ c0 i5 c

; [# f7 Q4 N. J7 m: a　　幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.
2 x5 ]; }0 H% w8 r. r. [& ^  e; k& }- m9 j( I
　　4.Fourier级数 " J) a8 ^! U' K
9 F" A: `( {  D9 _! L" \& l5 U
　　三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理. , i) ?" @# I, ~! u1 W1 D" n2 G

1 n, d' [$ e$ e3 W' A' i4 {　　Ⅱ、高等代数部分 - b4 G) t9 B+ L% i) g# p( a

% f( J( f6 D1 I6 x  Q1 K　　一、 多项式
) h3 H% w+ v1 W5 E) ~2 N: v! `
* h" _& f" @5 Q" p% v! g1 b& [　　1. 数域与一元多项式的概念
) j' g& ^6 X6 f9 j. _" |& h% k& X0 n' {& p4 ^6 b/ Y4 I7 ~' H
　　2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法
9 _( w) ?* l7 G7 }, O) K" W, U' Z" L$ l; O) |/ y; ]% A5 N( p+ X! x4 b
　　3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.
) @+ x/ k9 U' A% W3 v' U0 A: S: _3 x: y$ s& I& P1 L& ^) i
　　4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.
4 W( L* V  q+ }  {/ x3 T7 I. a8 N/ M+ B
　　5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.
3 J. w* X9 ?! O8 t( t. N: w6 p* i7 U; u# `
　　6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根. ( A$ w: ~- m9 R. H$ d" \- D

4 V2 T6 W6 D5 Y$ f" P　　7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.
7 a+ e' V1 V- N- x
7 N) ]! p( ~$ ~8 I3 X; h4 n; P( b　　二、 行列式 - C" |! F- M: g7 n. _# I8 C5 J% U
- w& X' Z5 g& G: S0 M5 [+ |
　　1. n级行列式的定义.
4 ^- B: M* b  L' q8 y- E+ s& Y+ F9 Z8 R+ s  \7 s
　　2. n级行列式的性质.
& n+ i5 Q" I* ~4 r3 c9 L
) m: a* \/ [7 Z9 f2 B　　3. 行列式的计算.
( \4 {/ l5 S& x6 l- t# k/ G+ e
; f3 Z% e* m1 q* ?# F% e/ F+ t　　4. 行列式按一行（列）展开.
7 ?6 W9 F8 I9 g: j7 S" K3 [2 y2 T. m* Z
　　5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.
0 X* `5 E+ I2 v6 A' p" k7 a. p: w7 e! w$ N/ O0 \& N$ J2 F
　　6. 克拉默(Cramer)法则. : g2 w9 v) h/ i  I3 U0 C
$ }% ?$ T4 N1 N) K3 R7 ~
　　三、 线性方程组 7 b( i" [3 [& C! u" t  w
' {; K  Y1 T, {6 [6 s! T
　　1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.
! h8 b. G( y$ F: z8 {1 k
  i0 O6 u- a# V  `4 S　　2. n维向量的运算与向量组.
3 O: U, y. t. O; W/ V+ f, w4 D/ D" X$ N
　　3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价. . {; ^. s  o- k$ w; W

7 a5 D+ f4 p' l　　4. 向量组的极大无关组、向量组的秩. $ `# E4 b/ p0 c1 p: e
8 n3 m9 q% {1 G9 h3 `& r
　　5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.
9 m, ]4 t; m1 F9 Y- Y6 w6 @  E
　　6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.   A5 `2 }5 j8 u0 |: W1 o
! A) U' S$ |, F9 x
　　7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数 6 _% J# Q: k, }2 w  y3 U0 z3 W

5 ~8 G' ^. O) D7 Q3 d- I/ n　　四、　矩阵 : g  a8 h, z. q) o' ?; Y
- ?& o+ H, t/ _- u# x3 C. @+ s
　　1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律. ( j) |6 O4 v: _( c+ v9 a
8 Q8 ^2 y7 O7 e2 c. J6 W
　　2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系. # n) z+ T" L/ W# \. N

' R) U% a3 i' H5 H7 R4 R6 H2 |2 d! F) v　　3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件. * T- a4 L7 X# A4 L
8 T+ \2 ~" x- }: S( Q2 K$ u
　　4. 分块矩阵及其运算与性质.
7 n) ]4 q( M+ s' `! r- J2 C5 P* k- w" [& ]9 D- K
　　5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.
4 d$ @  N: R4 ~
1 u- z3 ^% w& H2 h　　6. 分块初等矩阵、分块初等变换.
! |. k8 J0 y7 |* R# ]8 o  Z! f! U# P" L! R* X* s. D3 E: }  h
　　五、 双线性函数与二次型
  f7 {/ Z3 Q9 c/ D% M0 z/ p. ~2 l: }9 {. z: R$ ]1 C
　　1. 双线性函数、对偶空间
/ S: _# ~3 v# i; f" z! S, c2 _, P$ L+ ]. K5 k) ^! g- i# D& h8 b
　　2. 二次型及其矩阵表示.
& [! B! x3 B0 M* {" ?- F% _$ _
2 `( R0 T  q  y* B2 |! T5 L, c　　3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.
% t1 N2 H: Q5 c7 x
, U1 @5 V  p# G: X% G　　4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.
4 y. E  n0 o6 E# h5 u. s; e
7 r5 r2 j, C+ V" [# |　　5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵 + j# v( T* p, Q; \4 j7 c1 f6 }/ }

# R1 d2 J. D3 W/ v2 D( i3 R8 u" i　　六、 线性空间 5 y9 ]1 Z0 q9 {1 {
! t* M/ d2 _! n6 [5 V) g5 N
　　1. 线性空间的定义与简单性质. - J; p2 Q9 ^% ]/ X3 m  G

9 J/ g( o- j% y$ l　　2. 维数，基与坐标.
, \* {! V" ?! |; B4 Z; T. A
4 h1 \+ v0 h; D" O  Q. `3 J9 r) q　　3. 基变换与坐标变换. " h7 o* n7 B* U# C
$ a3 C3 e5 i0 r& k+ r
　　4. 线性子空间. + G% Y6 J# N* [, z

$ B9 }4 Y  p2 f) n$ C+ v5 ?) i- E7 W9 R　　5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.
- m1 f4 B2 R$ I6 z$ T* F9 x- n( U- |
　　七、 线性变换
6 X5 f: ~  r4 `' F& H( E8 {( F( ]4 U  s6 J2 [& H+ l2 A
　　1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵. ( }0 J+ G( K; ~% Y. V; J/ k2 |5 I

' l. M- y0 T2 Y' y8 ]　　2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换. ( m6 @5 T1 O; @  h
! F  N$ L8 L% R4 a8 C/ W, h4 m
　　3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.
6 c$ L) k9 K( w$ ^' R
# Y. e8 K& s" X: Q1 r$ r# I　　4. 线性变换的值域与核、不变子空间. 1 }7 h7 _: |8 k7 {# \
+ U0 j! ^+ O" }, m* m% |8 I; N9 q1 k
　　八、若当标准形
( o  \& \5 v1 ]2 m/ T; D/ _: x5 X+ C% a& c  W9 U1 _
　　1.矩阵.
( i4 y; z( j8 E/ Y0 z3 k2 ^# Z
0 M) l' ?2 O/ m" X% B　　2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.
& ^* e; k/ n" ?( k- j4 y/ B* L3 u6 ~7 ~8 b! G( Q
　　3. 若当标准形.
, K, h% r* d; J0 c5 q- c6 j. q6 l6 I5 @* G
　　九、 欧氏空间
6 O6 u! D- [; M' v7 {; F& r7 w- E, {
1 U% m/ y. q6 G+ f% T1 ~  E　　1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.
5 A  m* S6 v0 A8 \; }, |8 R+ E3 g8 P; e
　　2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法. # x) \9 q+ [& [3 ^6 K: f6 z- i7 n

$ F8 k3 r" R  ~/ c7 e, T　　3. 欧氏空间的同构. 5 }' U3 g+ s+ c7 x# j" ?& V4 a# e

8 h4 a8 O4 ?$ X* {　　4. 正交变换、子空间的正交补. - Y. T& d) b: J( p- U
3 w3 b5 z; T+ ~3 {1 z/ k: l% L
　　5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.
) q2 Y4 h( f7 I. A/ J
$ @) r  b1 Q, b  A5 S* P0 Z　　6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形. 8 j* ^/ [2 e! L; g9 X1 f
4 E4 \$ i/ M( w1 D/ a4 ~
　　7. 酉空间.
' y0 p- q) S+ W! a6 S, B1 P
. ~2 G+ `" `5 h; `　　Ⅲ、解析几何部分
; @: r4 P+ v7 S
8 y  x! @$ F1 b& x4 s　　一、向量与坐标
3 T9 J* \6 G: ~8 r" r, b* [; Q4 i' Q4 r
　　1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.
8 J9 B  y7 n+ r$ U9 j5 A* G1 h' w1 {: y7 \, f4 i1 D
　　2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.   M+ g4 k- M- U5 B' T
6 [5 `2 }* J0 t8 S& I. h0 r
　　3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.
. |6 ^, w, U, v1 n: V3 i( {) c* U# c! I2 y$ A+ e$ P5 e$ Q% U0 B# P
　　4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.
3 |( r0 G2 G8 \* C0 G1 x) _& H
$ E' X1 s3 L: F　　5. 应用向量求解一些几何、三角问题. 0 P' `$ n- B2 u5 r/ {. D. D

* i! u; a4 F' D  g　　二、轨迹与方程 8 R8 l' t8 f( D! q

+ o' F3 N* S+ I5 E6 e/ X+ S　　1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系. 8 r! [6 o" e  h

7 r0 u( @4 u) t8 \　　2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系. & u! X% ]! @! T: e5 C- Y
- n3 @. ^7 v" j. z1 R' a- i
　　3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程. 5 R9 |1 W1 ?; n  f; k* c1 d

  y5 b! E* T, N$ K5 {7 r　　4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.
2 m, q  e0 q1 @& M$ X: }9 V" ^& V6 d( k& Q( i
　　三、平面与空间直线 ( l& r$ H& x! s9 M4 \
% \  L. i) [" }
　　1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.
& \0 h. d# ~* `/ |% D2 T
. W& k1 d- r* Z4 N$ k$ l. F- `　　2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程. 9 y! o& P, t3 e* w' R
4 w" h4 h+ I4 s6 ]
　　3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系. 8 M' d* U8 k$ J

4 W+ ~$ u  h! U: Y' @　　4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.
- h6 N3 n/ U( y! x; Z4 j2 \0 w8 \. Y, n/ Q! R$ N: l% U
　　四、二次曲面 $ i1 H5 F  w( ^
- O' m- [9 i6 U: T
　　1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程. 4 d" j6 o4 B/ ?/ h2 y9 t
& M9 d5 C  G2 M% ~' B
　　2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.
1 `: A7 w( a9 C; h, T0 O/ y
1 p& @. D) J3 C" `; |, j　　3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.
4 U# w/ e4 Y$ ^  |' Y7 g: z1 C
6 r+ ~  f" r5 u' U　　4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题. + ~) Q) X. A% r5 {4 T
$ v/ q) I' e. S' d/ k
　　五、二次曲线的一般理论
6 ^) t) L% x5 n' f, S$ L; h8 x! @7 [1 r5 L- G* r: ~2 D3 Y
　　1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线. " {; }5 f- ]) `9 Q5 v$ |

2 b& r- o; `2 f3 o  Q3 S& s' c　　2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.
$ h: S5 P9 b8 Z& G5 A6 L; c8 j
" a5 |! \/ Z+ p) z　　3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.
1 z) f8 K# R( i) [9 w: E9 z0 x: R3 i) x( N
　　4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根. 4 [! G. ~. h0 a* _4 b2 U- P

0 E, s+ ^+ V/ T4 x* ^2 X6 z0 Z& S　　5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.
$ w* P6 ]8 O7 Z+ j/ y9 O% |% Z0 u9 Z; R5 S( O
　　（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下： * I2 Z% \4 ^7 K# q3 L4 {+ n3 d- l  t

: D* w2 m7 E1 n& z. s　　一、函数、极限、连续
( C- _% p0 O; c8 \/ Z& O
, J% v* D5 q5 c1 Z　　1． 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.
9 l4 {( T* g# ?' l" D* R
3 x- _4 l3 k; S: N" a　　2． 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性. # |6 M) ]6 d9 O
" e( y1 G( U6 a
　　3． 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 6 G- {% c; o# Q
: h) Z2 S1 |4 ~. ^, }. e
　　4． 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.
# c9 [9 Y* C7 f. p% q6 g
; [5 L: U- W2 @' A$ T6 Z5 }3 K　　5． 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. $ M3 Q6 W7 |7 |: U2 D( _4 J7 L

9 P9 H- |- X4 `6 Y) I# {　　6． 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. ) I. w$ v6 ^7 J( X8 i
  E7 ^8 q- T" m, d% z0 Q+ A
　　7． 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.
' l. e' J( N* t2 ]6 z/ ~* E" D. x+ d$ g; ~9 i, W1 N# I$ z
　　8． 连续函数的性质和初等函数的连续性.
5 }- W, n/ C) Z, N: ~5 g) j
( c' W& G& T; U, G: Y- B　　9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).
8 I4 ]8 d6 s0 [+ W. |% Y
4 R- {3 Q9 J2 o) e4 E! B3 f2 r　　二、一元函数微分学
7 t# m6 h! e# Y6 A, \6 V; l+ W! L( _$ c& ^
　　1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 4 R- c$ P- y: D+ L

  N. U" [2 Q/ b　　2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.
' ~2 h- C* F  _! e  W
4 d/ K; r0 v( _$ K　　3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 3 `$ _* a& ~: G; B

* S  a/ h( K& Z! f! Q　　4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数. $ `: K- f' [3 w  {$ J% W
2 g' \0 l$ V* r: b
　　5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.
8 m, }8 r, ^. K" D0 I) O% @5 _+ @: D4 Z& A% H
　　6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限. + v& N# {9 W/ O: _

" O7 w+ W5 Z" S! a% A1 ~+ H　　7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.
+ r9 Y/ R/ L" d9 x* P- p
9 U: b- d3 p6 L) ~. Q　　8. 函数最大值和最小值及其简单应用. + j# V" D; l7 y% _/ y$ U; \

5 x) ^' O: E+ M$ z% t1 v　　9. 弧微分、曲率、曲率半径. , S8 b6 K/ [; C+ T
/ X1 V( Y$ N7 ^) p5 i/ K! p
　　三、一元函数积分学 ( Q; t; f& ^! Z/ t1 f
  O% a5 f! ^4 @. U& @4 [- [. Y
　　1. 原函数和不定积分的概念.
7 }9 F! J- U  H
/ R5 J  w4 a( b$ F2 V& G* `5 u　　2. 不定积分的基本性质、基本积分公式. 0 a( u1 ^# i0 D, Y* r+ o- }4 ^

0 Y  k4 f* K* Q5 n7 G8 C6 I- A8 D　　3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.
& W. V4 G3 q/ ^; y: f* s3 D: l+ [2 M% z) D: U, q) ^
　　4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. # t* i/ V! ], O

- C5 c- i% o* O  ^* C7 D- O$ r4 T+ b　　5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分. 5 n2 h9 A: O. A  |; H. F2 ~6 d

+ K: n4 K7 J8 W1 @& {3 k　　6. 广义积分. 6 y4 \7 F0 {. W0 f

6 n7 N& R* a( F6 ?' Z) d2 m/ ]9 Q　　7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．
/ i/ K! Q5 e. [8 e, U
5 k( N' t! T" n) T) u　　四.常微分方程 9 L7 C. W! T# T! a2 q) R
2 H: S  I" M1 q
　　1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等. : q. N8 M4 ?' v4 Q; A# G0 K0 @

2 V$ G5 Z0 ]( P7 U! T) E. q　　2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程. 4 y4 }0 y2 ^! f- Q- g  n( Q

& D& a" }( U# w4 w% O5 s) B/ o　　3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程： .
$ M0 ]* N" G  K5 t0 z7 w% F2 P
$ g; w4 S; _0 s6 j* J6 n% [　　4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理. $ @; y1 P' }' p* x
& s2 [/ O; O- }
　　5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.
2 s: [7 H: z( j  C' e7 ?% R* q
( h$ [. y) M8 p3 ^9 L　　6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积
. M* d& T4 O! y9 e4 p% }5 }
: Z/ n' v! M" x# P# N　　7. 欧拉(Euler)方程.
  O6 o8 ]3 j1 n, q  W
9 h; i5 {2 u9 y$ {3 M: _　　8. 微分方程的简单应用
% U. Q' ^* J# Q5 O! ]: E. ?0 D# P
/ E  c$ k0 _2 S0 j4 J  {2 m5 g　　五、向量代数和空间解析几何 # Y8 @- B$ H- H+ b% Y6 }

- |; j3 x5 ?( ~) a: P% |( U9 k　　1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.
2 d' ~7 x5 z. g% L( g2 N5 e# {2 Q& }- X2 f
　　2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.
' ^; \3 W9 ]+ s2 H( u; q2 \9 i5 ~' I6 l7 i1 X
　　3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.
3 _# h1 v) y# Q! ~. N; Q1 |' h6 {* Y
　　4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程. 5 f0 x& ^  f% g0 i2 [0 `

) v: l; ?4 P! e% a0 y! ~6 |　　5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离. " P% l6 B+ [9 i/ v( h

- M/ E6 U/ K8 h* n: o  o  ~7 g# }) O, A　　6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.
, c$ N" m: w7 f+ y
) g2 [) x+ r& }" F6 K+ a　　7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.
- C( T# L1 Z7 g! s& s: K! D0 T- v
5 F3 I0 l" M0 t0 K( ]( J　　六、多元函数微分学 * _, Q9 }% k- d( g" ~1 y" D( C0 i+ B
) l+ Q/ U# `8 f) M2 Y. ~
　　1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.
9 N5 E/ s0 g" p8 T, T5 Y; E& s+ G" `2 |) v
　　2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质. 2 l- j4 C6 Q0 M7 h& K

: q, z, F6 F$ F! K+ ^7 ]　　3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件. 8 C" @+ ^/ K1 g5 M% Z5 q, h

5 }) ~* Y! ^$ l* x, I' t' Z　　4. 多元复合函数、隐函数的求导法. 0 v) o/ b; m% }" h2 W1 C

( `. _1 `* p7 d7 V9 i　　5. 二阶偏导数、方向导数和梯度. $ u$ K$ V# \9 E: t3 I1 T

6 n9 j! ?( {3 U8 W　　6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线. + ]) l' A) m* w

" T0 T) T9 `, E# N! a7 R5 V　　7. 二元函数的二阶泰勒公式. 4 N) G* \; \5 r4 _' @

1 U4 Y4 _, f5 P6 D9 j! @　　8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.   T8 M( z4 N5 p: U6 ?* Q6 t' h

% ^# \. z; j9 N( b9 K$ R. H3 `　　七、多元函数积分学　 , ?4 T* n: _" B, ]
( ^) S) f$ E" t$ M
　　1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标). ! @3 S" h7 N# E! s/ ?, R4 |! K! C

& F% J) t% E& N; Y0 c+ }, x　　2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.
& T9 S" V( U( e/ g1 J! k$ E0 M) ^- o( l
　　3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数. 8 k+ \$ d3 \" P3 ]8 B9 u

+ L' r8 p$ R2 f9 Y　　4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系. ) l: J( W1 T4 F" A# X0 s

& w, p% [' f6 E- T4 g) y% D/ M# R　　5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.
( \9 l) g; U3 o- e: y( j+ \3 N5 c) m$ n2 t
　　6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等) * h! ]/ j1 l  W$ Q/ g2 [
7 T4 O$ e! A( P/ Y( C! Q, ~
　　八、无穷级数 , @+ `& e8 ~9 p( Z

9 V. |' B: C6 |- V  d6 G# c7 [: G- V　　1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.
* K* W$ m! z: j* U+ R& Q- u# U4 f4 Z( H" Z, p7 i6 R0 A
　　2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.
0 }8 q' Q, @; d/ e' e5 [  }8 @6 c3 j* W$ l8 ^! u5 S
　　3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.
0 o0 W4 j1 R/ f2 o/ k! z3 r3 A, N- j1 \. V' [7 {. T
　　4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.
6 L0 ?3 w" K4 k, O# B2 [- G4 o& p! W6 z
8 [4 B" b' z. L& D　　5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.
! \* L1 M# Q& u, e/ C
- T! F) w, e& v2 H　　6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.
3 S9 P2 P* d' S. h0 J1 C/ W  d: x- L! E8 k+ ^) B
　　7. 初等函数的幂级数展开式. , @! J' @: ~- t# ^$ X

5 C+ R0 P# E' c　　8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。( q" E) s9 D! n

& t$ ]6 t: [1 N* E  Y# H       大家加油啊！拿这个奖很容易的！
# A6 a0 a' t" [" v" \
作者: yeppy    时间: 2011-1-21 15:06
数学竞赛
作者: yeppy    时间: 2011-1-21 15:32
据说挺难。。。。
作者: wy315700    时间: 2011-1-21 15:51
其实非数学系的预赛还都是很简单的
作者: 北极熊将军    时间: 2011-1-21 18:08
好！！！
作者: 0124huitailang    时间: 2011-1-22 11:10
怎么什么都考啊，我们有好多都没学过啊！！！！！！！！！
作者: 0124huitailang    时间: 2011-1-22 11:11
作者: 0124huitailang    时间: 2011-1-22 11:11
作者: 0124huitailang    时间: 2011-1-22 11:11
作者: LLLYSL    时间: 2011-1-28 00:11
这不是百度的 么
作者: dugumen    时间: 2011-1-29 10:37




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