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标题: 全国大学生数学竞赛 [打印本页]

作者: luomaisheng    时间: 2011-1-21 01:59
标题: 全国大学生数学竞赛
   2009年,中国大学生数学竞赛(通称为“全国大学生数学竞赛”)开始举办。该比赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才。
% ]( ~  {4 t" s4 H% w  竞赛用书  该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》,由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写,已经由清华大学出版社出版。
$ r' W) Q; e" i$ O# F竞赛大纲  中国大学生数学竞赛竞赛大纲 3 b3 h$ D# u, }2 e. J( j

: ]4 S  R( [3 V; m! U  (2009年首届全国大学生数学竞赛) 1 z8 Y! e" L, U, Q: t! G/ \
/ ?; J5 o7 V" k+ m6 I
  为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。
1 s* e+ B5 \9 |! ?0 u; L# f: C* [7 h# _
  一、竞赛的性质和参赛对象 % y* I) y) |( M
# S% y8 Y3 ?+ t: V9 `
  “中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。 , x3 c: u+ ^6 n( g# X2 K, ?& p6 s
2 v4 w" b7 A) K! g3 y
  “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 # p8 S( }% U: i
" C# j0 j. s2 r, K- B, [4 F" ~
  二、竞赛的内容 ! o/ _: Q+ Y1 Y5 [

. ^1 n# j' I) q6 ^7 f5 v4 C5 R0 y  “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 . b2 k0 K1 B" ]1 y: z" j
. o: `& e; t0 O' k, `; n9 Z, @
  (一)中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下: ( o& [1 i, j4 W
8 w4 v' A- Q* \3 `8 Q' g2 A7 u4 t9 z
  Ⅰ、数学分析部分
/ T# N9 S& Y/ l/ {1 Y# g6 E6 m) m' J
  一、集合与函数
$ l1 L0 E' s. q% |, t% c' h
! t) L3 X3 T, Z5 d  1. 实数集、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.
! n' M. K, d. A5 X- i
( ^1 J4 B3 J% U9 ~* Y  2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在上的推广. - Y9 m. X  d$ [

% o, X0 `, d5 M$ ]& T  3. 函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质. . h' r/ H1 @  h" \7 _

6 x! ~, P* d+ P- n1 e# H  二、极限与连续
; F! c8 H* q6 y$ c* q6 p3 w5 a8 r: E3 u' Z, l0 R0 N  }
  1. 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质).
5 v6 s+ Z; e. Z
- ^8 }1 Q, c$ ]9 a# Q; C0 o+ _" y1 K  2. 数列收敛的条件(Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限及其应用.
! V4 L! X8 x5 S! x8 w8 x! e
/ ^4 m% C* G* l- u2 j: h  3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性),归结原则和Cauchy收敛准则,两个重要极限及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O与o的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系.
9 P! c2 N2 T4 W( q: `, ~( ^/ W8 c6 [2 c
  4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性). / Q& g4 N$ x. [) Q

6 {- J3 }2 E+ j) S+ L* K  三、一元函数微分学
" {1 V1 e! I4 B! Y) a& _7 |2 g6 l6 Y( {' v- m8 L
  1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. $ d, R. Q: @( ~' u

8 p  ]( x' V* c5 F  T( k  2.微分学基本定理:Fermat定理,Rolle定理,Lagrange定理,Cauchy定理,Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).
  D7 ]  p- A* J$ k
% }! z$ c7 _# ]: r  3.一元微分学的应用:函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达(L'Hospital)法则、近似计算. ( X8 T( w2 n. V: u% o& Q
4 Z: J8 Q' g; k
  四、多元函数微分学 2 E- [5 V- Q2 W3 L$ Z

: @" F, p7 t/ [* D3 z. W+ n  1. 偏导数、全微分及其几何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数与全微分,一阶微分形式不变性,方向导数与梯度,高阶偏导数,混合偏导数与顺序无关性,二元函数中值定理与Taylor公式. 1 t+ f( c: u& D) I8 y' M: J& V
( _# \: f# U! i& O
  2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数(组)求导方法、反函数组与坐标变换. + N* {$ k  o, M3 \3 D

# M- r  ?: m. Q6 l/ a6 a( I( X  3.几何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线). 3 q, T( a7 o( x8 t8 N0 l' S

( ~) Y. M) e) b  4.极值问题(必要条件与充分条件),条件极值与Lagrange乘数法.
; R, \) @& M" h, k. \, E' R( E; e: ^5 O+ o' E, b7 ^/ d, V$ K6 v
  五、一元函数积分学 * y' ?7 D6 n7 `6 J( x* Z$ l
8 X7 ~( F3 |, a9 V- q
  1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法(直接积分法、换元法、分部积分法)、有理函数积分:型,型. + B8 d& {; I' q) h, P! E- @, G
- a" R' O# Z* F( y
  2. 定积分及其几何意义、可积条件(必要条件、充要条件:)、可积函数类.
* E9 `1 W% W6 o; \# O; c- E4 M, x, Q% @% o' o( R2 E
  3. 定积分的性质(关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理)、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.
+ L. f: ^& ]; e
7 k$ h& I3 h) ^* g; F  4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法(比较原则、柯西判别法)、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法. + Z# |4 W- O2 u3 d# h2 f: d
8 y( l- R/ x7 r% O5 e0 b8 n7 G1 f( B
  5. 微元法、几何应用(平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积),其他应用. - G7 C- O* Z+ f# A+ [8 t, _& y
6 s/ C. ]) x% e8 f5 R
  六、多元函数积分学 5 b( _1 z1 x. _# ?$ u/ I

$ l# k5 V( J1 r8 E7 J  1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算(化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换). 8 H& G6 @$ c8 i; l

5 h/ \# G* l$ N- Q% j  2.三重积分、三重积分计算(化为累次积分、柱坐标、球坐标变换).
! ]3 j% m3 j1 v
* V8 O- a# d. _4 ~+ G  3.重积分的应用(体积、曲面面积、重心、转动惯量等).
! m3 \" ~$ w9 u' i. z; O3 G% o  z* R) E
  4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法,含参量广义积分的连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.
! F' ]; ^2 ~5 _* }; L3 I1 J; c" j4 {0 j' g$ I; v5 k6 u
  5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.
6 {' F6 Q9 Y: e/ C: _- j! V- U% M
6 H/ o: [, k3 ~0 N" @  6.第二型曲线积分概念、性质、计算;Green公式,平面曲线积分与路径无关的条件. . D2 ?; l8 o- Z7 h! k8 Q
* _- y- |1 @3 j: g5 M: A+ h
  7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算,奥高公式、Stoke公式,两类线积分、两类面积分之间的关系. 9 w, ^$ ~2 X9 P/ i! S1 Q
& I4 x5 {  |$ N: ~
  七、无穷级数
5 R% C4 |( w6 A& H' `6 V6 K: S; [; N# e0 j5 M
  1. 数项级数 9 V! z& ?8 e. R; N% ^9 B

  N1 B6 U; k3 Z* [1 ~  d  级数及其敛散性,级数的和,Cauchy准则,收敛的必要条件,收敛级数基本性质;正项级数收敛的充分必要条件,比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式;交错级数的Leibniz判别法;一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法. ) `! Y5 W8 u2 _8 l, D8 H  H7 ~# p
) l5 |9 J! L" n1 ~0 ]
  2. 函数项级数
1 X3 v# ?+ }$ J' K
! b! B+ b3 B/ K8 w  U/ d$ B$ e  函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法(M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法)、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.
! Q, `( r6 k* F8 O' V$ r; V8 s
5 o; |4 h. V; I  3.幂级数 6 S( I: E. {! q# j+ p4 C$ C: D* J
, i+ \0 y9 e- O
  幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间,幂级数的一致收敛性,幂级数的逐项可积性、可微性及其应用,幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.
4 {( |- G" m( j  |9 z" @8 {( R+ d2 M* W
  4.Fourier级数
9 c) O( M: X6 Q, L0 I# \& Z
* D2 v* Y- t' r  三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理. ! \5 c2 m- ^5 \/ v' |& h4 |! @
, z5 t$ ~) G. i
  Ⅱ、高等代数部分
% ~! M  N; x  B
( L) v( {8 y( h8 B6 {( j  一、 多项式
- x7 w0 t8 Z  C! s7 I3 s/ H4 i: f4 [( g) \, @
  1. 数域与一元多项式的概念 2 F: L5 n. A) G: n
0 p1 ]9 I% V5 r6 N, F  E" ^5 y1 h9 U
  2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法 1 k3 C- H9 U/ X5 d0 Z9 F3 l

3 S# F( W/ p2 E. V, E  3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.
) ~& N% ]. K* j7 j$ J/ J, o/ l; O: d5 Z5 W  b1 |
  4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.
6 |9 c: Q# J5 n8 `& i& f% N/ U
9 O/ z8 Y, A; F  5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解. " }7 d1 d6 R  |/ s4 N! P8 V  b) z
# v: ?9 d+ y5 d; |  C
  6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.
$ d# n6 u+ t; ?- C7 P, }& I' S' g* U. `
  7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理. / D8 c, w  X) a
4 W) s7 U7 ^4 ?  `
  二、 行列式 1 r4 B5 _- F: C5 e: _* E" Y

4 L5 {# d: U( }  1. n级行列式的定义.
3 F- Y, b, M4 @7 P% u# z: q
9 b! I; o' P' k! }  2. n级行列式的性质. + d. B. A  v) s4 {: `* ^$ p
8 v+ {4 M- W5 l% G. I
  3. 行列式的计算. % K, R* I7 S  V  h) B% g) v1 R' t& U! C

) s4 C# s9 m( [+ F  4. 行列式按一行(列)展开.
6 F# c4 @/ p0 @+ X  Z% I) i; m. k: G4 s. S3 e) b5 ^
  5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理. % B( }! _, U9 g
9 I6 X2 r- }" B) x; t
  6. 克拉默(Cramer)法则.
* g, C% N' i& {5 r5 F, i, |7 f8 q  E
  三、 线性方程组
1 i2 w! W4 d3 V( n# ?5 K5 a
6 U7 \6 e% e5 J. Q, o# I+ e  1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.
; \  M) _) K; a: u: K
! e# q: q7 X% k- B/ @8 r+ I  2. n维向量的运算与向量组.
. R& k1 E: o- J; T7 U" k7 P) k5 W: \. \* g
  3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.
+ f" E0 s+ K3 A; W; m& t& G2 Q' G( b/ k$ ?7 [$ s
  4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.
0 m  y/ g, H  p2 {" K
! c6 a  Q; @" J  A  E% i  5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系. + H( R1 I; w$ j5 z
$ D+ ~% y, w$ k4 l: Y7 R
  6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构. 0 d* o- z. L& C8 T
* n8 m" _0 J& Q: \. f- y; h4 [3 G
  7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数 % o+ d+ b5 c2 u$ Y

3 W% ?$ c) @' w% B/ |7 v8 M  四、 矩阵 8 P7 k2 e& i' y$ }
+ R/ i/ \! i8 l1 D: I
  1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.
4 h9 s; U6 l1 K9 _- a, U$ E3 F, J9 w0 Z8 [5 D# i) p& {: i9 a
  2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.
/ }: `: e$ y6 U  E/ [" E" |) g- V* ], D& }
  3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.
) Q7 E* h/ T* R$ b' D
4 O5 H- E- i1 V+ S' x$ i3 t5 a! i  4. 分块矩阵及其运算与性质. ' O: t# W& Q# H  L5 A* k2 m: G

3 \) a- Q) H0 m2 p' u7 @" I1 k  5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.
" ^) R8 K! T$ [9 b) @: N: I- \: y/ P/ k3 ^
  6. 分块初等矩阵、分块初等变换. - b1 |4 C! J" l: ]
+ W/ J9 V- B- N6 N' c: `/ ?
  五、 双线性函数与二次型 7 j' n! U7 R  V2 X% V0 @- E

  [" E9 @4 z7 z3 x/ s, E# d: ^  1. 双线性函数、对偶空间
9 Y1 @! m4 e2 Z6 u6 R; ?( s! x
6 |/ i! e4 ~' F1 [/ }' b  2. 二次型及其矩阵表示.
0 _% h  |; [% e  J- J0 `8 V/ c. G! S6 ?, x, r) N7 s( ~/ |
  3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.
( n3 C6 \9 j' r! C+ W' n: _& I# U  ?
  4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.
3 B0 x) K4 `- ]0 n
/ |) }% Y: a# s1 l3 n! z3 k0 h  5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵
+ N, b/ F( E: r6 y3 K6 y* i9 [9 R0 w8 t7 H2 K0 \! W
  六、 线性空间
; `" m3 T1 i; L( Q# U" W3 r0 k. b" C8 i  y
  1. 线性空间的定义与简单性质. 4 r% p/ D  J- ?9 Z. Q" h7 ?
* y/ G  k* {( s1 y  t6 f
  2. 维数,基与坐标.
, @7 P! s- d! K2 ]' L/ P+ `$ \8 r4 c+ Z7 t: q! v# O
  3. 基变换与坐标变换. 6 `( W9 t3 o/ g3 H: S* c0 K

9 y! V5 |' _+ e3 j3 g5 T- c  4. 线性子空间.
) T. b! W3 @2 D! N' N! X3 Z7 n5 n/ z* o# n9 \# s+ @$ l5 Z) A
  5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.
& [& K# g7 \1 P: l! i/ _8 a& [  t# c  V+ `, J! L
  七、 线性变换
4 E* e. u- s5 j( l6 R1 @' _$ x, j1 {
; w/ G2 _, k8 D: ]5 B' x6 o, z  1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.
$ S. J4 Q4 i9 A- B6 w+ y, E0 y1 j" V1 Q* {
  2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换. 3 z# v# M3 y: O- a$ `/ R

8 }8 x9 b; g  U& L" N' f% G  3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.
! c9 C, W  ~+ A
; o" b" m. @8 ~8 n  4. 线性变换的值域与核、不变子空间.
$ i& C( I  ^8 m$ }0 `6 h
" S2 l+ m9 r! C; g) C/ n/ Q  八、若当标准形
  c) Z( \% U' D5 R" T9 ~" z0 h+ o, q* ^8 c% N
  1.矩阵.
9 o1 r, {7 U9 N, J& e% b4 M. z/ p# J1 u
  2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.
/ v5 A" S1 k4 a6 J8 c# R* t! g
' l; ?2 f& Y; N9 n7 W9 @/ r/ Y, `6 A  3. 若当标准形.
/ t1 Y: g5 Q9 x% [5 k! x$ M7 f2 |0 x
  九、 欧氏空间 1 d" z2 w" Y0 f' A2 E
6 `* F' ?( i( `) Z* }8 E
  1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵. * @' g8 D0 l* |& B8 R" I, S) N

3 k) n/ U: |" w& h+ l  B& B2 X8 A  2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.
! @- a* H" f/ Q! z8 Z9 J3 k6 D$ n: O  O& P; A
  3. 欧氏空间的同构.
1 k$ {  L* R5 M7 E; ~$ n; E1 M
2 _! S) P- x' D! N7 n$ c  4. 正交变换、子空间的正交补. 9 Q  U  ]$ S: {6 c
; Q% C  i* ?, ?8 ?+ _
  5. 对称变换、实对称矩阵的标准形. ! x$ t3 `, Q5 N$ ?
" H  L/ c# h' S3 `1 a9 ~1 \8 u
  6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.
8 V% j( g# g6 n
+ D3 U) d; H5 c! ]  7. 酉空间. 8 E5 C4 Q" U8 `. z  Z

1 K7 W8 ]8 J/ ~- r+ V8 T# O! S  Ⅲ、解析几何部分 0 h0 b" K$ A% V! n* D1 M% f9 x" [# U' [
7 P0 [; x/ \1 \8 Q
  一、向量与坐标 ) r3 b  _& a9 l9 {

" B4 \7 J5 R$ ~3 L% Y( e6 @  1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算. 8 W4 b( w* S% J
, i4 K4 w* ~* X9 n6 c. }# \
  2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.
5 d/ M2 [4 M1 t: z. A$ x$ \
/ {. }. u# W0 a3 A2 Q1 ?  3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角. : i5 Y$ f* t$ o3 A9 V' y

/ G) G: K: J2 R' }) D  x3 v; q  4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.
3 E( ~  a1 k: O9 C2 c
  Z) v2 t4 E4 M  `9 @& H9 N  5. 应用向量求解一些几何、三角问题. - }" }0 p+ U6 [4 A- d
) P7 U& S, {. F# L8 \' ^
  二、轨迹与方程
3 x) r) Y, i) P; W; O4 J0 f! c, |: y1 j) O+ s7 a, o2 G: y# U" d8 ~) s
  1.曲面方程的定义:普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系. 2 o/ i. B. ~; E

, b7 }" E, ]! P& Q7 o  2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.
, P5 i2 K9 J# \$ ^7 `. E( U/ I! M) J2 H2 j8 q3 m1 |/ D* h8 P1 ]
  3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程. % }+ @& B/ ^  e9 \) x

0 R8 r4 Z* G4 ~5 i  4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.
1 @+ p5 C* J1 q" i- f% s
% M+ g( ?; X! i, q0 w$ G  三、平面与空间直线 ) q' b5 K8 b2 Q; z/ C$ \
) ]0 B/ v3 z0 i; u
  1.平面方程、直线方程的各种形式,方程中各有关字母的意义. . t) l$ K$ k& H) P& c" d- v' a8 g# ~
$ s! Z% r  z- H3 d
  2.从决定平面和直线的几何条件出发,选用适当方法建立平面、直线方程. ) y; P3 Y8 K4 u' I+ Q8 C5 f+ q
, L  ~4 a# \- B2 y
  3.根据平面和直线的方程,判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.
/ ~; a, v0 x0 J% f4 S2 t
7 D% y7 T8 N7 @* @/ h- r8 [  4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等;求两异面直线的公垂线方程. % ], m$ R6 ^8 E: z5 a

4 h2 h$ C; d5 b- ^! x  四、二次曲面 4 J) J2 n: {( k* N( V1 W8 _, y6 i

. w& p$ ~$ f6 t/ |+ d  1.柱面、锥面、旋转曲面的定义,求柱面、锥面、旋转曲面的方程.
& P) I4 j! a( B
9 H" J% _& k8 _8 j  2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质,根据不同条件建立二次曲面的标准方程. * N+ r) G0 `8 m& w" E, e
$ q0 [, i' U0 n8 j9 z, E
  3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.
! N6 P( Y4 I6 L* q$ m0 f) |" m- A- f0 N9 L% M
  4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程,求动直线和动曲线的轨迹问题.
3 `' h$ Q- e" P- Q9 M" N/ ^; I! a7 H( |! Y3 q0 j  u
  五、二次曲线的一般理论 0 W' a+ {! @$ w* Q3 _
$ |% y, Y0 c/ ?) p
  1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线. 5 X+ F+ N  }9 f" L( r' V

2 c" c" t# Y, v' W  2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.
% l; c% ~: n- }4 S/ a
: k: S$ A% y: W6 E: R  3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.
% J( G" S; I; g1 I4 j+ ~% b$ i0 l
' I! @4 ?! Y5 Z- B, a+ C; B  4.二次曲线的主轴、主方向,特征方程、特征根.
' T1 M. G' o0 d: k; [7 B; w& s' h: o7 H
  5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.
( l" X* D6 ?" D' Q& O- l. X' u2 p) D5 K6 ]% _
  (二)中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容,具体内容如下:
- t* B6 j% D8 q6 j1 D3 O5 B! N) Y5 C3 i" Y4 w% L
  一、函数、极限、连续 7 @! a, h3 n8 ?
! w, M- N" \8 M0 D
  1. 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.
, J- h6 h* p" J8 D, O2 P+ F& N* ~* V' d
& {  w' n/ y: N  2. 函数的性质:有界性、单调性、周期性和奇偶性.
( A. N6 k7 v. j) D% |% m0 Q; o8 c3 x* I9 r$ g2 R
  3. 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.
- _3 }0 K3 R4 ], s+ ^! A1 G/ I% Q* T2 b2 z
  4. 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.
1 C0 N$ I6 x- W& ~. p0 J2 X6 r- G0 H2 [* w9 u2 L& J  N1 g
  5. 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. / H+ K$ \/ x/ p' K6 {' k8 T7 |0 y
0 X7 H# {: h5 M+ M; W  @9 p
  6. 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. & N% e$ f- X/ o: x4 ]  {

5 }- E! |( t: ^. [& k& s& t  7. 函数的连续性(含左连续与右连续)、函数间断点的类型. ) Y: m  I' i# D2 M6 l* S. `1 T5 b
  W$ {! D$ t+ R" v8 I
  8. 连续函数的性质和初等函数的连续性.
( |5 [9 W0 [* T9 k( ], n3 q, H: \0 A% E/ b; ]- P
  9. 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).
: c; e6 T/ @) k  q8 H
" n" P5 T4 }! Q5 g1 g% J; h  二、一元函数微分学
: M' K: d- s! W4 u* }* E" O3 o: M- o
  1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.
6 w5 a8 I* h+ Z: v
1 z- c" _+ i. @. U$ I' {  2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. . d( c& T0 ~- H
8 y& R. M1 b5 A" d% d, D
  3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.
8 l0 g, _, w5 ?6 E' Q: L% p% T0 |/ M" r' j" W6 Q6 g' f
  4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.
( i0 T9 s7 x9 {; v! c; s, M0 L$ C3 C8 Z+ N2 [
  5. 微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. ! P" c; R; f) r' _- Z8 ]
5 K1 b0 Q: `7 d3 }: p& k
  6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限. + c: [% v" G" ?! M8 I$ g

2 r! u$ s) v  C% B. N4 G7 v) F  7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.
1 L$ d, `' T; X+ K$ |/ U
$ e1 g9 w: c$ a1 Y- S) y+ S1 u  8. 函数最大值和最小值及其简单应用. * @2 U6 ~. R0 m; R6 }- E
& @& ]* ~+ Q: `$ V% P) D
  9. 弧微分、曲率、曲率半径. 7 K# w' {. L. Q1 y

  Z) Y4 D" F  _) A$ g  三、一元函数积分学
6 f: }: N! q7 y3 ], I1 l
' z0 M7 P$ ^* |  ]9 I. M! m  1. 原函数和不定积分的概念.
/ a% V1 y/ P) S) a) \3 A1 a! c- @1 [$ E  A' n  a5 `
  2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.
* b* U: P- e  \' ^* S/ M! Q" S3 J8 a  w3 z2 u8 p2 h* K
  3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.
$ I( H2 z) ~8 y9 y# ^/ K. [6 V- S+ j* V
  4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. 1 Z! p( U: U$ }! P! P
3 U7 Y3 ~: @+ a$ f) c
  5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.
1 E, m* e- _  X$ s  t: i5 H5 M* ]# b& r* T4 ~
  6. 广义积分. $ J7 g, C& ~' c: E* q0 X) s- X4 ]
* J( W/ {  c* H
  7. 定积分的应用:平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值.
# s5 o7 y( U4 E8 _  j8 R! }1 e+ I& \9 j- i1 H- R) n6 V
  四.常微分方程
6 t, q- |- Q+ Q! t
+ P2 t. s' a* k9 {! E  K! n  1. 常微分方程的基本概念:微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等. 3 M; H7 x# S$ |

1 m$ n: i+ J7 J* F5 a$ Z" E  2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程. ' z+ d' c' t/ M7 C
+ Y4 {' ]7 @- I1 o" u
  3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程: .
( @2 B6 _9 `( k( C/ W1 S; F9 j# g) S* B5 Q8 A
  4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.
/ g4 j  h9 R4 y3 ~( i3 B# Y/ l( n$ u# J9 ^
  5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.
7 |4 r$ [) q5 }$ H" P" q5 M, ^+ b5 o. k4 Q4 N! J
  6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程:自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积
/ ~/ }+ K( ~+ a6 K( `' ^& \" @! S7 k: ^  o, G; E7 W' `! `. U2 R7 J
  7. 欧拉(Euler)方程.
6 `* L! |. L+ G- J* @4 L' F2 @+ Y9 A
  8. 微分方程的简单应用
4 J! f& N* f) r) b; M. S4 B7 ~. E: f2 p9 F3 O! o' D$ f& x5 i
  五、向量代数和空间解析几何 " L9 h+ D* P/ H

, Y, ^+ y/ [& W- h; k  1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积. " a# c' t- s. h3 l3 C2 p; ?- ]; T
8 N, f  n5 R$ j7 ]' @
  2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.   Z3 c- E% V3 I) [' U

) B1 L9 s1 v: Q, K" ~( h0 `3 m5 f9 \  3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦. 0 e9 S/ t8 D- \; |: Y1 U. I9 C! c$ m

  u- o+ B7 u) e. [) g5 {- E  4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.
$ e" C' s- Q$ {3 c3 p; q1 q% u" Y
  5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离. 6 v3 b% u8 \  ~7 J: z: i

7 y2 z! S0 Q( R8 ]' Z* w0 |  6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形. 7 J  p; D+ L- N& C* C8 e
/ ^, R5 C  P: d1 u9 [$ `9 [  H8 f
  7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程. ; x8 d5 l- {. I  M, o; V
) K; M% B/ \9 g. T) E. C6 B
  六、多元函数微分学 1 Y7 F8 j+ e0 q0 g% t3 q
$ D4 f' j# \# I5 z5 @2 Q  P1 K' O
  1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.   o/ Z" a1 R5 K! O; k' Y! `5 L2 w
- `- W0 C; y: _& C5 ?
  2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质. # |! l4 ]$ B! P4 Q8 k  O

& W3 \' I& J2 h) M  3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.
8 R& ]; R# G$ b7 ]" Y1 x. j
# e6 E* C. j6 R9 e  4. 多元复合函数、隐函数的求导法. & g/ {7 o1 W7 I* Q6 u4 {" M, x
  _3 j, M: }& D' T: F
  5. 二阶偏导数、方向导数和梯度. + n6 H; }) I+ w0 x( h9 G6 T

0 L9 ?2 R& E- r  6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线. 2 I9 M% l& D- A% U4 B
# F4 m' f5 J( O& L1 t
  7. 二元函数的二阶泰勒公式. % S0 l' j9 g- X( g- K* z" j

& Q( C0 A2 a; s. G7 T( |  8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用. & s' d' H! z1 q& q! D

5 D* x, |0 x" p- `' r5 O/ o3 C  七、多元函数积分学  & o: O4 t% a0 a8 ?+ ^

% M5 F6 v& u9 R  1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标). 8 R$ c4 S2 G8 r9 \8 Y0 u' O. K
! }: `# J' _9 W7 ]& H' M% J/ i
  2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.
+ U0 C' \+ o  ~- w" P8 Z
  o! F/ R$ g$ u8 l' Y  3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数. & E9 D8 ]1 a) G# Z% h

  X+ r( U4 _2 V  4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系. " _+ Z1 V( R! l4 J

. l  |9 L$ ^8 v3 }7 |5 k  5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算. % J/ l; s8 D7 y" o! M7 f! Z8 u

: z2 Q7 E: Q& M7 R! ^4 }) `  6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等) 4 n' k9 V2 k: @) N, G! K* J. R
5 F/ Q* R/ l' {( s
  八、无穷级数 - j, z3 ]7 X1 T& i- U& D% q7 T

6 [9 o% U  \& m) n$ x  z, N  1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.
# {9 t& q2 Y+ ], o* N+ H/ u0 {* `- r! d7 r
  2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法. ) K5 ]0 x  F7 s/ T
% Q) _% e! _& x/ ~2 H
  3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛. # W" Y5 P# N& l) j$ R$ K" Z) b5 y, V

7 }) |+ N* x; e$ F+ c. l  4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.
0 |2 {" F  f0 |: i7 d+ L, x' L3 `5 ~( N+ J8 ^4 t
  5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)、收敛域与和函数. 6 ]5 m( |$ b+ a2 {9 I( E) ?/ m7 S
2 T5 g$ N1 j9 r- Z
  6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法. 2 l( r+ C! R8 D: m) f2 ^# d- z/ ]
$ r1 t& d  B' @  B4 V
  7. 初等函数的幂级数展开式.
  S3 m2 |" Q4 P
" \7 @* V% S. O  8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l,l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。) s+ l$ ~, ^. @& _; z8 N

* Q9 Q$ b+ k6 y9 d& C/ `/ I: A       大家加油啊!拿这个奖很容易的!2 ]9 o3 }3 x% s+ T) @1 y; n

作者: yeppy    时间: 2011-1-21 15:06
数学竞赛
作者: yeppy    时间: 2011-1-21 15:32
据说挺难。。。。
作者: wy315700    时间: 2011-1-21 15:51
其实非数学系的预赛还都是很简单的
作者: 北极熊将军    时间: 2011-1-21 18:08
好!!!
作者: 0124huitailang    时间: 2011-1-22 11:10
怎么什么都考啊,我们有好多都没学过啊!!!!!!!!!
作者: 0124huitailang    时间: 2011-1-22 11:11

作者: 0124huitailang    时间: 2011-1-22 11:11

作者: 0124huitailang    时间: 2011-1-22 11:11

作者: LLLYSL    时间: 2011-1-28 00:11
这不是百度的 么
作者: dugumen    时间: 2011-1-29 10:37





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