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标题:
全国大学生数学竞赛
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作者:
luomaisheng
时间:
2011-1-21 01:59
标题:
全国大学生数学竞赛
2009年,中国大学生数学竞赛(通称为“
全国大学生数学竞赛
”)开始举办。该比赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才。
" {* h/ O$ m7 V9 h7 `# x5 V8 h
竞赛用书
该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》,由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写,已经由清华大学出版社出版。
7 W" |# c) D. C. R' K4 n( |- X$ q
竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲
, Z+ b) C# d+ N7 a- d/ t
/ @8 U2 Z. E9 K6 \
(2009年首届全国大学生数学竞赛)
( L) f8 o9 B2 O( }. M7 \
* C/ `$ k% ?2 O9 t, t" r- s
为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。
- o e# I* @ u
0 a' |8 k2 A3 B$ O4 j6 g. t0 F
一、竞赛的性质和参赛对象
" G- J% O3 z7 M& A
, h c& T+ H* Q( b) L+ s7 @7 [& m/ `
“中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。
6 d: g- e- H: C! z" t2 W }! \
) P. j% o5 R8 L( C
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
; L; U) }. I* r; W0 e2 e
0 N. A- q' C4 G& S
二、竞赛的内容
; y! O6 J) I; n7 e( a5 A4 k& E8 T
" l. k/ O+ m! G( l# y& P
“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
. ]* w$ C( Z" `% _$ E) n
5 \0 _1 d, Y* N
(一)中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下:
* u7 w, Q$ r% y+ f3 a& G
* ~8 j' O/ z' r. F' |
Ⅰ、数学分析部分
; L- ^6 m* o/ W% F9 d* ?6 g' C
: p6 f) O* p' w( F. x# x& c: x" C
一、集合与函数
+ V z w& p" w% C7 f+ J4 R6 t
, d- M: j: ]1 Z( L+ z) l
1. 实数集、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.
& ]& T: p6 u0 s% {# j8 J
# c. C; J- x' F# D# s
2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在上的推广.
" k$ L7 p' S! Q& L! l) n( v' |0 |. f
2 Q5 b1 e) z- g$ C& W- f
3. 函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质.
5 A! z6 f2 ?# J- [
+ K3 W1 A3 e+ v7 ?# ~
二、极限与连续
4 U& j. c1 w& Z; [# ^. L% S2 j
0 G9 e( Y5 ~" m9 J
1. 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质).
, `! i9 U; k- T7 J4 ]2 p' f: K
& i# G2 X0 q- F+ c2 k
2. 数列收敛的条件(Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限及其应用.
. R/ J% j3 V7 s6 y+ G
& z! M+ E# ?, i) X
3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性),归结原则和Cauchy收敛准则,两个重要极限及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O与o的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系.
6 B, n7 D8 A0 S- V
. w( r' |( Y' S# Y) M# ?
4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性).
, U/ G& O" s- A# g. a# ~
( _6 c4 B6 K2 g2 |& |1 j) Z$ t5 o
三、一元函数微分学
: S9 S, T9 g3 f# s& E" l& }
2 P/ [ Z% `0 {+ r- T
1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.
2 n0 F8 Q+ g: j5 G D
( D5 t' B Q: ?3 M4 z- h
2.微分学基本定理:Fermat定理,Rolle定理,Lagrange定理,Cauchy定理,Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).
: m( d1 W7 G9 b4 T
; g" K# S) r4 a& H; C4 F9 u
3.一元微分学的应用:函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达(L'Hospital)法则、近似计算.
2 F: X V {" P
( t3 @; `4 X1 t5 z6 H
四、多元函数微分学
/ Q9 b8 v0 I4 G/ Q, A# \0 D% [
2 \! Z3 @5 g: C: E
1. 偏导数、全微分及其几何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数与全微分,一阶微分形式不变性,方向导数与梯度,高阶偏导数,混合偏导数与顺序无关性,二元函数中值定理与Taylor公式.
5 x- g1 K* p/ y! @ x; c4 c
/ h! E7 g1 J4 T& P
2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数(组)求导方法、反函数组与坐标变换.
, H' _) z3 z1 a+ g9 M1 v
) T0 G' j0 E! `4 p
3.几何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线).
0 [0 P* V- a! z) R
) o' A3 P5 B. Y0 I4 g9 \
4.极值问题(必要条件与充分条件),条件极值与Lagrange乘数法.
) {# o9 ]0 l% p7 T/ S1 y3 x8 Q' ^
/ Q6 M* e) u8 }% a5 C
五、一元函数积分学
+ x2 o5 I0 w0 l4 H
9 z: s) e6 H9 ^0 R, ~
1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法(直接积分法、换元法、分部积分法)、有理函数积分:型,型.
- |8 J! @; s4 b" q
) C Z, e- T9 ?1 f4 I
2. 定积分及其几何意义、可积条件(必要条件、充要条件:)、可积函数类.
3 Z9 ], M {" f& f) {' o
. x, t3 P4 ^( F
3. 定积分的性质(关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理)、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.
# u" C7 C7 ^0 \& I
) i! V9 Z1 i4 K R
4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法(比较原则、柯西判别法)、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.
6 k& O! A; a# K- M( i
& a8 ]4 o: q, w( P
5. 微元法、几何应用(平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积),其他应用.
) o B: \' u5 t+ V/ i
0 n/ w: _9 H# ^1 x X
六、多元函数积分学
( x( N+ ]( t6 Z& K
! e6 |2 z: t; j5 t0 m
1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算(化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换).
+ K% N( c) F+ A4 t
5 ~* {8 V' b) \: `. q
2.三重积分、三重积分计算(化为累次积分、柱坐标、球坐标变换).
" c5 o/ ?+ _0 H* d
. u( y. x* J, V/ [% [3 f4 W6 t/ |
3.重积分的应用(体积、曲面面积、重心、转动惯量等).
* T7 e l! O1 \% p
8 f' k2 a+ `( K7 ~% ~& H) J; ^
4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法,含参量广义积分的连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.
4 {( z8 p, E) \
* O' o" V" [% ]: P( E1 y
5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.
' l6 D! A* _7 p- g
/ V/ J# L1 u- J" Z- ?( \
6.第二型曲线积分概念、性质、计算;Green公式,平面曲线积分与路径无关的条件.
/ _" G8 L* n7 y4 _* P( H% e. y
* i9 Y3 a- L( Q; Z) ^
7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算,奥高公式、Stoke公式,两类线积分、两类面积分之间的关系.
# h7 j. C: u% @! N1 J" ], k4 Y
6 q* y0 y |4 W6 L/ P
七、无穷级数
# f# d* Y" @% F) l3 o% o: N* P+ b: e
4 h2 Z- {: o! E0 l) ~& s
1. 数项级数
# k6 n% N* l' f& g. ^( |8 f
& w% b9 U4 w- t3 z: k) u
级数及其敛散性,级数的和,Cauchy准则,收敛的必要条件,收敛级数基本性质;正项级数收敛的充分必要条件,比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式;交错级数的Leibniz判别法;一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.
5 [" j! k2 r. L1 C6 N! a; [% v
+ b, L1 _/ I$ R5 u
2. 函数项级数
& }0 b' b% k( F3 P
' ]+ C7 ^) U+ S$ U/ @" b0 ^
函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法(M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法)、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.
2 E/ D* Y6 `( t8 ]9 q% ~
* E' U$ }7 K+ b& l3 [7 w& ^! y! V
3.幂级数
. k# ^8 |: E; ~/ x0 ~/ d9 z
$ s4 `8 P3 `% C$ h; e
幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间,幂级数的一致收敛性,幂级数的逐项可积性、可微性及其应用,幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.
3 m1 [! f+ E6 D
- F1 {& N' E9 l( f- [6 r9 y' f1 l% X
4.Fourier级数
0 R! j/ S* x: i. m9 a6 m
: g+ _% T+ w: K
三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.
2 p+ H) y9 _9 q3 k- j
/ y2 z( k# O$ T8 Z7 p
Ⅱ、高等代数部分
& i3 @, S6 o6 u# Z
6 F; ~2 \. h1 x# J
一、 多项式
/ I8 J a; i% v7 e! k9 Z6 i
$ Z. T8 g5 P7 w& x/ ~7 b; t3 K, C
1. 数域与一元多项式的概念
* }( K2 O/ M, U0 y/ K3 A
, U3 t- `8 z' G* Y$ @8 a, z
2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法
6 m. H1 G2 o- H% J7 x& ]
4 K: r" O4 D7 I; s6 C; s& p, {
3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.
4 J& }) @7 x% \1 W1 E' Z
$ ^" u- J& A& e, d4 V+ } b
4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.
7 j f7 p. f$ e% b, y" `6 [) p6 Z
) w- H9 l2 @( C' T, h0 u
5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.
$ |' j3 l& G1 L- T
1 m- o* U1 G% Z8 v' w% T
6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.
) N& F3 ]6 @5 [. T1 |
( u+ I9 C' V+ f+ J/ V5 q( w' `
7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.
8 v6 @: c8 p; b+ X# x
) s* h/ i! Z1 y# T4 }1 e$ M! H1 \
二、 行列式
6 C; L! [7 o, p: L5 X
+ |5 [' H9 a' ?. W* F1 q
1. n级行列式的定义.
k3 B$ u* y9 t3 y. L* r7 }
) E6 g, `5 Z& s O5 T/ W- w& u
2. n级行列式的性质.
H& r6 v; A, p8 R. Q: g0 i
3 O& C4 e" j, t5 r6 c8 K
3. 行列式的计算.
! T; G1 J' q* l2 x. M
% f9 o% }3 G) y7 t
4. 行列式按一行(列)展开.
. x( R* ]! b; \5 L! h) m
- R* c5 F5 o2 q, \4 v9 i6 Z
5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.
; K! L( z6 q1 n I6 f
" f3 m" H. z2 q4 N' L8 ?. q
6. 克拉默(Cramer)法则.
0 ?/ I3 m) }2 o
( W" X7 e% j/ M5 {) E+ n6 B
三、 线性方程组
% K& n( k. w- X, A! W' J0 p- C
; t/ y, U6 r, }' [! C" L
1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.
6 ?7 W0 k. U' a* b" G& N. r
0 j9 q+ }# z1 k5 Y( x
2. n维向量的运算与向量组.
1 x# ^# p1 |4 Q# E
0 i7 O4 n4 V3 H/ L6 @5 F+ t, _
3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.
3 M; O; L$ w! R+ G9 i% [$ O3 c& ^! ~
6 {# y- c$ S+ V9 y5 `" Q
4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.
+ P; ]" l3 s% d: E' n$ z
: c! C5 k" ] d T. q+ v
5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.
, Q1 y$ b: R) `, l! u
5 F1 ]( d' ^) [' c- t
6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.
* o4 K- a% C2 v1 a- Y
( O0 ]- r& O4 t: [9 u
7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数
" S: w: I2 f5 W' M
# U+ o& |( a9 x. h0 H. }" I
四、 矩阵
7 x9 I8 ]: F, O( v" r) l
, w3 u2 J2 s8 t+ |
1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.
1 g1 l8 i, j0 `0 w. p; L3 G7 }: h
9 Z: \8 x% d# k6 ]+ j$ J
2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.
) m% H$ `5 h% |1 X4 v
8 |7 T" T ?" K p" Z; U s
3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.
' I7 R, M8 ?4 m& l" |2 s* C8 U+ S
1 d$ X! w3 V' g* f/ l, h
4. 分块矩阵及其运算与性质.
' l1 [+ j, @) _8 R
7 ]$ [. y: Z( l4 z- |+ A4 N
5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.
6 Z# F: r! Q2 L8 Q8 k
2 C5 D3 F- c# x, M3 g
6. 分块初等矩阵、分块初等变换.
! J3 _8 F! m+ ^4 A
0 D( J5 {; W, ?( Q' w0 F
五、 双线性函数与二次型
0 a- {9 {2 c2 r* a
y" a. ]8 c C0 t1 d
1. 双线性函数、对偶空间
; T( g6 X8 q4 n! h- {, y* {8 _' a
7 L- R; b0 y: ]+ e. K
2. 二次型及其矩阵表示.
2 g0 J8 j2 y7 S, [) n$ e
9 d7 d5 I4 E! ?6 _
3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.
+ i, j, p) a2 p0 }, P& d
1 Y; U( \7 Z* K' F% x; K
4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.
, g: O' J9 x1 A3 n
( F9 Z$ V7 E; Y( j7 h
5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵
( W1 x$ s, C' Q# J) X L: A& d
" ^$ t, _/ a, p
六、 线性空间
9 V+ M% W: }' P0 [7 y- {$ k
6 n: P* J5 S- x
1. 线性空间的定义与简单性质.
3 l6 ^. \. E1 Z/ y
& U( J' J# [1 g/ v4 B
2. 维数,基与坐标.
/ P5 {0 i6 i& k; Z" n
, z/ m% }) O: u+ O1 |) {
3. 基变换与坐标变换.
. ~ M& `" d) ]; O$ w- d% T
* n9 x; |1 ~1 L2 B: h
4. 线性子空间.
! k+ {' b1 `0 D3 r' Q
5 j$ q+ [( x' I7 _0 @8 x- r
5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.
`9 e* w# W8 G n3 C2 u* _. C, W
; m5 V1 t2 D6 `5 q- ~1 k
七、 线性变换
$ R# F2 n$ L' s7 n
* x1 E2 I" ?! k" C) p9 C6 @# d: L
1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.
, y. s! ? x' ^ k$ P+ m
. t0 m, a. V( n. N! t
2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.
( I$ |' a4 \# m* w- S
. |7 t- Q( ]2 U$ `/ {+ N# b
3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.
& r) t& T) {# U4 ^
# K) Z( G( `0 s4 W8 z6 F+ y
4. 线性变换的值域与核、不变子空间.
! J I& v! q9 i3 I! R
* e# Z" Z z" R9 Y& Y6 _& [
八、若当标准形
7 o* d4 Q5 O) g; P6 j, u( z: u6 P
+ _" J7 S& T2 }' s& Q' q# r" F
1.矩阵.
& r& }0 i" ~( X& r5 \% c2 n9 T0 \
4 d0 U6 F9 o K4 Z
2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.
! s4 y# D- U3 w7 H: ]& X
( ]0 M( [( e5 z/ L0 ^1 B
3. 若当标准形.
) c9 x; a& U( w, |" L
) g* W3 H6 [) O; C9 L
九、 欧氏空间
& ]$ z1 d& |7 h/ `
6 U4 A: o1 q+ R6 D* g& ]; Y
1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.
/ p% {' o& ~3 G( p1 \0 V2 x5 M
E/ k: N8 A( P9 @2 r/ j( _) h
2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.
4 ^5 ~0 p8 V/ G `! ]6 d1 t* ?
. j% Y( \% \ W! ~6 N3 y" P
3. 欧氏空间的同构.
: Z3 f; t& G' \ I: L% X
) j/ }2 L8 z/ i3 z
4. 正交变换、子空间的正交补.
+ r% }4 s+ v/ H% X# S) Q
2 y0 @) o! X* I
5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.
/ Y, z t4 l, c0 y/ |4 \( [7 u
" w2 N, ]8 _2 a( V/ N! _
6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.
/ p" t7 }5 r. T+ n3 d) s
4 V5 H1 }# j H" U; @' N8 s' o4 h
7. 酉空间.
5 U. d" y5 q! v3 T4 }" ^
e6 H* o9 }4 V" j* [% |
Ⅲ、解析几何部分
6 ~0 M5 T& ]# ~; H) i) ^
0 T- ^0 O' j+ M+ N2 u9 M5 p
一、向量与坐标
* D3 a/ v( u7 ^$ G1 Y5 Z
8 r# I* G4 z6 [
1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.
5 S) o* L" W7 J0 K2 ?
6 t3 p$ _" [; A% _% h M
2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.
/ y! a0 x- H$ s& ~
# \1 @% S; f; C p3 I) J, [
3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.
/ ~: X- h9 v2 {# b" F/ h
k: R. h, ^/ X/ v$ o. A, n4 L; n
4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.
. |. z6 S8 w! e, G) s" \
9 X# t, U ^! A% q. w0 A8 ~
5. 应用向量求解一些几何、三角问题.
0 y/ L. M$ S- S I0 f
1 R+ y* q) k* {: D5 I9 u z1 q
二、轨迹与方程
1 D) N# K$ T( v m9 h
" `2 `, Q& F0 D5 @
1.曲面方程的定义:普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.
3 f1 y1 P9 @3 T' x$ Z; i2 \4 e$ D8 P& u
* c' k8 o( R+ ]+ U
2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.
& e+ |) d0 P' T- R$ U7 t- R0 S
" w& x( M& @- ~* E) h6 S
3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.
- j( o% i4 g$ I8 _7 g* B" k
1 |2 F5 h6 c( [# ?+ C l% X- S& r' _) \. }
4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.
. e0 A2 P' z q0 ]1 ?
' p! o( O( r W+ [# V+ g
三、平面与空间直线
y2 N$ j: D/ K9 g8 _
% _# ?; n. [9 j1 D( ]4 V
1.平面方程、直线方程的各种形式,方程中各有关字母的意义.
( _; F' e/ Z# _
) H9 L1 N5 d/ u) K5 ` ?
2.从决定平面和直线的几何条件出发,选用适当方法建立平面、直线方程.
( p/ o1 ]( Y# z) [8 w( `
( f j8 F1 R( o
3.根据平面和直线的方程,判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.
" ]% i- o& l; O& P+ @" n
/ T) M A8 V( j0 ~4 N
4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等;求两异面直线的公垂线方程.
* _9 ^! U5 B# D
. n, |9 m$ d* u a
四、二次曲面
9 M% P$ s1 X/ e
+ T6 `8 T7 q( O+ N' Y1 r
1.柱面、锥面、旋转曲面的定义,求柱面、锥面、旋转曲面的方程.
3 ~# d# l j, C" F* R
* P X7 x+ [) ?+ M* x
2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质,根据不同条件建立二次曲面的标准方程.
0 B/ ~/ @7 w* ~0 V2 l! O$ K4 X) R
4 k8 t @! H" d. s
3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.
4 M% T, d1 c. R3 G* v$ b9 ?
: I' ?1 o/ K: Q$ Q0 N* J1 X0 F
4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程,求动直线和动曲线的轨迹问题.
- x& v4 u! E5 z6 }/ s0 j4 F+ F
% {: c& v8 u/ H
五、二次曲线的一般理论
( G" w1 e1 h0 b6 T6 I1 Q
9 E H* M0 b/ e5 A
1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.
9 C1 q) d6 |6 i# q* N" ^
! B4 x) R$ e1 E- b
2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.
4 C2 T, G" _; ^/ o( ^% q" f
* [( M: B* h# Y& v$ u; p
3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.
$ B F: l" P1 W8 y' q
2 ?& w2 `. |' S% z5 x' r6 u# d
4.二次曲线的主轴、主方向,特征方程、特征根.
7 A0 r- y) m2 I9 w, r9 @0 A
; d8 K) C" p+ O! [/ c" C
5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.
! m2 C- w6 ~1 U
, ^/ H* P6 w k/ a/ C R P
(二)中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容,具体内容如下:
: W1 U- z U4 G2 c4 K
$ @1 s! r5 `( J$ [
一、函数、极限、连续
; ^6 P% k- j a# E8 D, W" T/ O
9 I( x' D7 y' o
1. 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.
* y; ]9 S" f; B8 I9 F
0 b% }8 N" |8 C
2. 函数的性质:有界性、单调性、周期性和奇偶性.
m& z2 x$ D' `$ Y# m3 c4 l7 g
6 _% Z9 l }- {) i: W3 C T
3. 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.
- P" d" }8 f2 e
# g" t, p# O; g+ C \; G+ e
4. 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.
4 Y) X* w" S% `. V7 t- k# M
) }* @$ S4 e, x3 K: ]( v
5. 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.
$ c2 }( ?. D, O5 t' [; X- D, b& L$ u. |
9 A; W, k/ w: `
6. 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.
! X, ~9 n) o3 G: `
; x2 \; A; j# E0 q" {5 R% q; ~7 L8 `
7. 函数的连续性(含左连续与右连续)、函数间断点的类型.
7 w# q" S h4 y5 {
% [. H! E- r/ J2 Q6 L
8. 连续函数的性质和初等函数的连续性.
" N3 j$ i { g \
6 `$ I/ f- N( l
9. 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).
, p' D% u; _$ E6 f
" v. _0 Z4 G2 N
二、一元函数微分学
1 R0 N% q1 v7 v. V: S! o
. t4 v& y! e6 j# G) [1 N
1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.
: }6 F/ M2 J' L( P0 d
: {% A7 }9 q' e5 V! m/ u
2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.
0 h1 _( t# ?' Q' K
( a0 _. E: T- E' ` ~1 Y8 h
3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.
0 I' e5 r* A& u2 E$ R$ V. D% u; }
+ J9 Q" Y# L4 Z" `) R0 X
4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.
0 N7 C. P% G6 m! Y! `+ k
4 {% L& P3 T) ?; y3 ~
5. 微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.
& X5 E* Z% e/ v( s4 r9 Y ~* Q1 A
7 c1 A* l: E3 }* J3 i
6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.
; X0 G+ \) K( ? _2 w+ z8 @3 K, z
q) t- w# V9 r
7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.
7 @1 v1 B# d% e0 t, X- z& d2 Y5 ~
( @3 j5 H7 P% I5 W- n
8. 函数最大值和最小值及其简单应用.
- t2 P: e9 i4 i, w, M7 t
+ q6 t$ r' }: q6 _1 |% p, b/ w
9. 弧微分、曲率、曲率半径.
8 N2 F7 J" v. @2 J r* c
" M5 p+ B2 y7 g, Y4 s+ y& b, J$ n
三、一元函数积分学
# p. \0 R$ J0 N. z) X
4 O4 N. o) Y% P* X
1. 原函数和不定积分的概念.
% _/ v) L: E1 Z& Q6 p7 j
( q5 ~0 y% s- i" u* }1 ^
2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.
/ K) K A) n3 |/ m" @
, P" y4 P6 i( y: w/ |4 E
3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.
- G6 s: l L7 [" J: J; a
( ?& o# n* k4 u+ D( _5 _5 v
4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.
. R( M4 y3 F: f& @
% i% [: S2 Q4 E/ o" B
5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.
7 |! V9 r9 M. t! W! j* L2 r
9 M% a. }* U7 M8 \5 W9 l5 u [
6. 广义积分.
7 Z# P- h' M9 _; f' S2 T! u
: G6 i2 v0 \& ?, t, ~
7. 定积分的应用:平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值.
: i% y3 C' V5 ~- p2 A, A$ |
& q1 k- h, n3 O2 c: B
四.常微分方程
], e' g" \- X* w$ S
' J: ]. L2 |( l7 ?; T& E
1. 常微分方程的基本概念:微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.
8 ^3 q# S9 O( d' u
! p' I* s/ {; J% @( y( _7 S4 m7 W
2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.
1 m$ o, A- s& k& X
: l( S$ A i8 S
3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程: .
; _7 i8 h* F% z; [+ F' j7 n& }
. a' b; R6 @) Y2 `7 ?
4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.
9 k3 ^* V0 p! }9 l
3 b0 n) Z7 x8 C* O/ X
5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.
/ Y7 i9 O2 f$ T1 t+ F+ `" A$ U- M
- |# p0 x* t1 o( u# [
6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程:自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积
* h8 y8 R1 `4 y$ _ r
4 E2 J. o; s2 _4 q! A8 S# @$ y- {% j
7. 欧拉(Euler)方程.
; o3 L" y- k4 t# b
# m# m* q% P4 F0 j! v/ C; @4 w2 u$ r0 N2 f
8. 微分方程的简单应用
4 K" G5 { [9 n: i* k
* u( j) ?: P2 Q& p3 p
五、向量代数和空间解析几何
+ R4 H* @; }/ { Z. C* w
* {' ^7 Z5 E4 B y/ H ^
1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.
( U8 b- H& G/ h+ `: N
" t8 x6 l! D/ B
2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.
+ s6 l/ }: t( p" y
- l" I+ e2 L& M# a
3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.
& y. ^8 o" o; k0 b' |9 P% c7 C, B
" D0 x/ W5 L! n- U7 s
4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.
' t- F2 b2 h* r
/ r# [& M a2 E, f' ^: z/ L0 h
5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.
/ a5 I8 c/ e, c; a: Z: C
, `7 R2 V' L& n8 ]3 T
6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.
) R& t' N; t2 h0 t& r
, _" R* C. H, ?2 C( b! a0 B+ G
7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.
( t# c+ P7 Z1 r1 N9 m: I
+ ~8 V7 b- e7 q2 i. L
六、多元函数微分学
* R) F/ {/ Y* T
, L$ h& r# t5 g+ B
1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.
4 _& {. e( E( v: p6 t& g& I
! h6 r" _' ~. e
2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.
, Y+ g* s# L! b5 |7 P
4 T3 g# U* R& d8 X7 p( o
3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.
* i/ G. ]" @/ \& X7 J& K
7 B' u( C- a6 {4 [
4. 多元复合函数、隐函数的求导法.
I, W6 G$ U! u6 W+ ~" [+ i: W
$ s8 c* \0 G2 I
5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.
X' Z0 S5 G9 V; \9 a
. I% M6 z3 F$ p1 [1 m" Q; J
6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.
5 M0 ^, v3 r1 E7 c! a4 [
2 A, d( ]: U- d
7. 二元函数的二阶泰勒公式.
F( k/ d2 I' G8 V! e
. K, ]9 R8 `* j3 @6 z
8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.
; h" H. R T/ t! e! g# g/ k8 X8 U
: \' r7 C! P: L1 l4 Z
七、多元函数积分学
! W- F+ k7 S, R; g0 y* i. n
7 P. w- z, s# _( ~3 S$ z, k
1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).
! ~% Q0 @: X& H5 s4 N5 s8 Z7 g
9 Y# e- e* i; {- S1 v: E
2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.
3 p* w! f2 L; B- S$ j$ ]8 x
+ s5 j4 ~: i5 x# Z
3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.
q' {9 v" `- \* k j0 U. G
5 |/ c% h1 U+ X; L6 [7 m
4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.
& i4 x% s1 P3 O8 I# }0 ]4 n" j
' L2 |& w& T* M% f. }
5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.
" [$ j8 o) }: G% G, H/ w. E
/ h, a. N5 F+ S* o& b4 E
6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)
- h$ |- i; A- ^
) N# o) G: Y4 Q1 z& H! o6 K
八、无穷级数
. W2 {) k6 ^8 Q3 E
( D- M* I+ D' g7 y9 j/ ~; b) t2 T; }
1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.
( f8 d1 }+ \1 Q! ?; f
2 x* ]1 i8 S t6 D9 }1 B, e2 x% G
2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.
: R) t' \/ Q8 v. \; j
5 Q( l9 }# q, u$ N; a: g. f
3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.
4 A# F& E( Z0 a
3 {8 Z# d& m; ?9 X5 Z
4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.
. X5 V( A% t6 s: s- @3 W
$ m8 u" U' {7 [
5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)、收敛域与和函数.
/ E* D- s5 Z1 ?+ d* R+ K6 J
4 F4 ?+ K3 H1 n) Z3 K3 z
6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.
; {+ R ^ N& F+ X
3 N7 I- s0 x; ~% _% t
7. 初等函数的幂级数展开式.
. d7 J& [# U$ p9 z* V6 ]2 _6 u
8 Q9 Q* l2 n0 J* t& G( O
8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l,l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
2 B; b3 f; ]) X9 i& R8 C2 Z
; l! [6 N! F% H# I# ^$ G
大家加油啊!拿这个奖很容易的!
1 J2 N$ q6 H: R
作者:
yeppy
时间:
2011-1-21 15:06
数学竞赛
作者:
yeppy
时间:
2011-1-21 15:32
据说挺难。。。。
作者:
wy315700
时间:
2011-1-21 15:51
其实非数学系的预赛还都是很简单的
作者:
北极熊将军
时间:
2011-1-21 18:08
好!!!
作者:
0124huitailang
时间:
2011-1-22 11:10
怎么什么都考啊,我们有好多都没学过啊!!!!!!!!!
作者:
0124huitailang
时间:
2011-1-22 11:11
作者:
0124huitailang
时间:
2011-1-22 11:11
作者:
0124huitailang
时间:
2011-1-22 11:11
作者:
LLLYSL
时间:
2011-1-28 00:11
这不是百度的 么
作者:
dugumen
时间:
2011-1-29 10:37
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