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标题:
由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)
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作者:
数学1+1
时间:
2011-2-20 13:14
标题:
由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)
尺规三等分任意角的逻辑原理
( E0 Q3 ^6 ?! ]! a; Y5 h
0 N8 m. z: U7 V- B! }
作者:
数学1+1
时间:
2011-2-20 13:32
作者:
数学1+1
时间:
2011-2-20 13:48
圆周率 的联想
9 z1 ~ `* t5 ^$ O, r& {/ H. z
尺规三等分任意角的逻辑原理
: k/ X+ s# j% s9 s! w c
苏小光
! c8 E: ?9 y# N& @# {& O
2011年2月20日
) ?; W! ~: h2 Q4 Z5 T a( ^
一) 问题的提出
# i, [: d( h$ C# N' g3 P
古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
! w4 u" J+ s+ r9 k1 N& s
1 r6 l/ ]" b$ }( E( e! R8 w6 b/ Q3 o' {
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
5 B* P0 P7 `3 H8 f3 I5 H
二) 预备定理
1 n" q. t8 d: n1 u6 i( G
定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
, i9 O6 S) o3 D9 @% W) @9 _+ _# C
/ H; D, O) s1 `! K8 r: n, Y# {/ x
定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
- n) V: V8 r" |
三) 问题的终结
) Z/ c; ]& A, E( M
定理3 若
1 P* O' f5 e+ ]+ u& F9 u1 ~: r$ S
) {6 A. Y2 h8 O8 {% B' ^5 ^- T5 ~: \
则用直尺和圆规可得
9 j4 N5 e7 P0 S
. (1)
' R0 ?4 d X0 a4 \& v
证明
" ^3 C9 K& S% a' L
在∠AOB一边AO上,取
0 P; B0 j2 r/ Y& n& @ J6 p
; E7 y9 l' O8 u( l- Z% C# S
以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
) v, A S6 p) B
根据定理1,有
- p& w! K% H: m4 {
(2)
4 T( F9 s2 o1 L" h- X
在AO上取点E,使
5 Z8 F0 x; s7 d! D. H- B6 B
(3)
2 \8 e2 i1 }( ?- z# K4 H
以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
: t1 ^7 B$ \3 E, n. q% e: Z
根据定理1,(2)式,(3)式有
! x% t. j& z6 L6 o- W, V
(4)
% J% D7 u$ L# j: ?8 K
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
2 v- }; u/ D2 V* Y. C) f/ U( p
CD=EG=GH=HK,
3 U: U H5 T9 G) ^# }: j3 _
根据(4)式知K
% Y( d# {* u0 y E
、F共点,所以
) {$ j2 J# [, ~: [
EG=GH=HF, (5)
" c" U! H8 M+ q2 p
根据定理2,(5)式,有
1 X5 s% ^# Q4 i' R- v! I
.
/ A+ X3 K: N# }1 G |7 q5 x$ E
即
! b' k4 C" j% r8 v h
. (6)
1 X0 o8 R) h- U6 t6 v
由(6)式知(1)式正确.证毕.
* A7 O0 k* x4 S8 o5 I% s7 d h
本文的理论基础是
! }8 O* i+ h3 X/ D7 I5 _3 h
4 P: D0 K6 `2 }% V8 c) O; l
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
6 x3 \0 f3 \. g" T8 l- ?
作者:
数学1+1
时间:
2011-2-20 14:35
圆周率\pi 的联想
8 [) a) L. \6 p2 [" R
尺规三等分任意角的逻辑原理
$ ~7 H! j6 d) Q
苏小光
8 x# v! m& v+ w& ~7 N$ \, J$ I
2011年2月20日
' W* G2 _# z% f( A
一) 问题的提出
9 w4 E6 Q# L7 w" C. w2 ^
古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
4 p3 T! b2 E& A M% H2 S& H
8x^3-6x-1=0
; N& p- n1 }/ l
没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
! _7 M1 F1 [+ T3 T# g: o
二) 预备定理
& W: F2 J9 @$ G/ I! m* Z# z
定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
/ y& I; B; m/ y. n3 h+ _& w& z
l=NR\pi /180 .
* v2 Y {; e3 _+ }
" o* I) h, H9 s3 c0 u/ S
定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
/ D! t$ {* q: y% e) I) u$ \; t* ~
三) 问题的终结
" Z0 {# U: }2 h% ?
定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
* O8 j# _( F: S+ N+ q
& `# f* l/ h V& A Q! z8 u
则用直尺和圆规可得
9 a8 f1 q( L# W- D6 P2 e
∠AOG=1/3 ∠AOB . (1)
/ K: z) V' I6 t5 j
证明 设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
$ }8 ?) A& F% D7 d5 h
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
4 Q5 y3 L/ n, F: v: _+ f3 W* W
; w2 W3 T3 b' m6 Q
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
+ @& v* Y' Q4 k8 v9 t' N3 a
根据定理1,有
# l2 n* t4 Q E9 e' e' }. t
l_(1)=(NR_(1)\pi )/180 (2)
% X6 a8 K" v5 z w6 ^* z* K
在AO上取点E,使
& M4 t- T! s. @1 p: q9 T
OE=R_(2)=3OC=3R_(1) (3)
& [5 m5 e ^7 a5 V2 ^
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
2 L. [* m6 \ {
根据定理1,(2)式,(3)式有
- t# H& t; P$ z5 a B) O9 a
l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1) (4)
# T& w2 [2 A# n! H
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
" F5 C" C4 J4 [& ]# N2 x
CD=EG=GH=HK,
8 j+ `3 g @+ }' ]. A( C! L
根据(4)式知K、F共点,所以
% i" O( `6 d5 b8 V
EG=GH=HF, (5)
3 j, j N+ D0 T
根据定理2,(5)式,有
2 a7 Q1 g$ X+ B# `
.∠EOG=∠GOH=∠HOF
3 m8 o+ \8 F0 O; w
即
: |0 k- w, Q: Z' t1 S7 Y4 C3 S, W
∠EOG=1/3 ∠EOF (6)
& z6 `( {2 i/ t( U
由(6)式知(1)式正确.证毕.
/ o M3 m- G- [6 o8 _# b# O ?
本文的理论基础是
( K9 _& W& b. T7 a. t9 M
\pi = l /2R
/ n3 g& e3 ~! G8 c% @6 L# ?& h
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
! q2 v8 e; \& K
作者:
葉_浅浅
时间:
2011-2-20 18:36
感觉有点问题呢...........
作者:
wujwu
时间:
2011-2-20 19:58
楼主可以的话发PDF,这里看不到呢~
作者:
wujwu
时间:
2011-2-20 20:01
回复
wujwu
的帖子
& D( R4 K9 t, t, Z. V& \9 s
2 G/ v1 g s, ^1 t' Y$ O
没事了,这里可以用latex看呵呵
作者:
唐伯虎
时间:
2011-10-11 23:23
感觉有点问题呢...........
+ O' }- P: N3 w! j4 s; p
作者:
唐伯虎
时间:
2011-10-11 23:23
很好很好和噶 呵呵呵和
作者:
唐伯虎
时间:
2011-10-11 23:24
永远支持中国数学建模
作者:
schnee
时间:
2012-1-29 10:28
必须顶啊!!!
作者:
青枫林霰
时间:
2012-5-16 00:15
支持啊,大胆的想
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
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