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标题: 由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理) [打印本页]
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 13:14
标题: 由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)
尺规三等分任意角的逻辑原理
8 u0 A  U+ {5 Q, X- o. X: X/ G3 L
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 13:32
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 13:48
                   圆周率 的联想. m$ t4 D$ B; E2 {( t
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
; T# U1 x/ N$ [* M: s! p                        苏小光
( E0 z3 M! c: b9 y& q) _7 M                      2011年2月20日+ H. g& w8 P2 L5 r; d5 E; _9 E4 h
     一)  问题的提出
8 y5 e* d' I0 _; N# k     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
# F. d; J2 p* P% E; y                   1 z- {" x8 X5 b' i' X9 Q7 r
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角./ ]$ R5 \0 I6 D
    二)  预备定理  a) M8 |0 O8 [
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在" j+ c( a9 q3 a
                 8 J) C5 [5 K9 I5 Z3 F
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
0 D8 P9 E* s( M, T3 Z   三) 问题的终结
' o$ m0 @) x0 L0 P   定理3 若
* ~1 @: k( l1 y, I& `$ v/ o            
  c  Q+ I; C( R1 o$ U则用直尺和圆规可得
( W, m. b6 V$ a5 z; C  G3 O. I            .          (1)        8 T( Z3 b+ p2 R4 {8 c) l, D2 x
    证明  
" k4 R$ J- ^; M* p+ b! i在∠AOB一边AO上,取- M4 V, }  N) }6 I1 U, r8 |
            : v$ s% N( ~( r8 G
以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
! N0 b6 N8 j% k2 G) a- p根据定理1,有
: Q8 K$ D$ p* M+ x5 z                    (2)" V4 L* [0 f3 h2 ~% Y
在AO上取点E,使7 M4 F" {+ x5 q( n& i/ i
            (3)
8 R) c/ F* m& ~2 u' i6 \以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, # ^5 q7 l( x& [' u- y
根据定理1,(2)式,(3)式有4 c3 s. U, B$ p$ o! s% g# J; D# I4 i: z
             (4). C0 |# S( o0 a) P# g' O& S$ H7 T9 `
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为3 S) [( T, ?* e/ u- r
        CD=EG=GH=HK,# J0 c1 w1 Q- _# Z
根据(4)式知K( a7 n3 D$ a+ M  @9 S/ P
、F共点,所以3 h) N  w! {7 H, E5 y) o
        EG=GH=HF,         (5)
" I4 {" y* `) U4 c# |8 J根据定理2,(5)式,有% ]$ l- u# D8 Q$ K+ |; K; |! U# i
        .
* J$ a) U) F* p& m0 |9 T即
* l6 `6 `, b# z2 e% y+ z       .       (6)
( a. N" I8 T8 d4 ^由(6)式知(1)式正确.证毕.; P7 d/ r8 [$ L$ Q* j& R/ |
    本文的理论基础是4 R/ X# T9 E9 M' A& V  R% v
         * t) X, n7 J4 z) @# r
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
! ~% L, E, w) G' ?% N
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 14:35
                  圆周率\pi  的联想* L  _9 ?, G0 t7 r
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
+ b& I- D7 F, |1 s! t1 ?. T                        苏小光% V/ L0 B% z% z; h9 V3 e( w
                      2011年2月20日0 T7 k  V+ {" y, j( b& a* Y
     一)  问题的提出
! R) t; n" N  O     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程* Q8 ?8 E" l" m! f
                  8x^3-6x-1=0 . ~& J7 a: R: Z5 y
没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.. }7 T) g2 {$ J3 h' J
    二)  预备定理7 I; A7 K" K2 G9 T1 y% _  y1 s
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
- O3 w& A' B- I' O7 C. ^' B                 l=NR\pi /180 .' }+ M6 i  K( G) p& ^9 ^$ j
                 0 G: t# O) J" R) i" q5 y8 M: q
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
# l2 X, S, s, t   三) 问题的终结; J$ d3 J; |# Q* Z1 u
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,2 k- r" G3 p! @/ ~; j$ g2 [
            $ `9 C5 q; z+ D- q# K1 h
则用直尺和圆规可得
( P0 ^$ I( S1 X! T* ~* x$ ?% T; p- }       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
5 v5 R$ X  z; X8 |. ^0 X    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度: H! @& O( D1 }3 x' H
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
& n3 i  T2 W; Y3 Q2 E9 S            
& f8 `3 c8 T. a以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,) q" M: E, x: @5 a; [
根据定理1,有& ]6 P$ Z* S6 p1 k& @7 i+ F
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)% c: n1 z7 ?6 z, @) |; E+ [7 z) P
在AO上取点E,使+ y8 J6 Q& m# ?9 A! z" _) N
OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)" j: K/ b. `  F4 W
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),9 J' C& k: m% [) L" S! V
根据定理1,(2)式,(3)式有6 ^# I% ~6 Y+ ~& n9 C8 O
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
- d/ q4 l* B6 ]' x- c6 ?. E  p所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
: w1 E# t, ?! ?' V: A% D% [6 G        CD=EG=GH=HK,! L0 ?1 C7 q8 g" A6 t) j
根据(4)式知K、F共点,所以
7 t0 E$ z2 C8 F. T        EG=GH=HF,         (5)7 N/ K( `3 i/ j% |0 a' }4 i
根据定理2,(5)式,有
0 Y! l, O$ ~# Z) W; N" a        .∠EOG=∠GOH=∠HOF' {8 Y. Z# G$ s/ W
即% |- G- l+ z) h/ f
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)5 F  `" [9 a6 h+ z  x7 [8 `' A
由(6)式知(1)式正确.证毕.. ]( F; j7 ]/ S- f0 ~# T3 d
    本文的理论基础是: B6 N, R# j0 B7 A" U
            \pi = l /2R, l& j7 G* O% @! t7 y  O. ^+ e! b% q
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
1 C- o% F# J, {$ T) N
作者: 葉_浅浅    时间: 2011-2-20 18:36
感觉有点问题呢...........
作者: wujwu    时间: 2011-2-20 19:58
楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~
作者: wujwu    时间: 2011-2-20 20:01
回复 wujwu 的帖子/ z( `0 i& b  \2 d
) O* B3 w: y7 ?" L8 w: s+ k: F
没事了，这里可以用latex看呵呵
作者: 唐伯虎    时间: 2011-10-11 23:23
感觉有点问题呢...........
* k# {2 V9 {6 ^% u+ D9 ]
作者: 唐伯虎    时间: 2011-10-11 23:23
很好很好和噶 呵呵呵和
作者: 唐伯虎    时间: 2011-10-11 23:24
永远支持中国数学建模
作者: schnee    时间: 2012-1-29 10:28
必须顶啊！！！
作者: 青枫林霰    时间: 2012-5-16 00:15
支持啊，大胆的想



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