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标题: 由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理) [打印本页]
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 13:14
标题: 由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)
尺规三等分任意角的逻辑原理
" g! G8 H; a  n* e. c  A
+ J0 n1 h7 c& O% U. a. G6 @& Q% E
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 13:32
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 13:48
                   圆周率 的联想4 a3 V/ O0 s. F. E, _
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
; d6 ^$ E$ K2 e7 W3 `! J                        苏小光: s7 v& w2 @- ^6 X
                      2011年2月20日
4 t) ~2 Q2 Y9 Z6 G- ^     一)  问题的提出9 h# ~8 ~$ J4 R* m
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
% @% J* p9 k* \  N/ b                  
$ S- {& t- m0 `" P没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
. P  H! [" y9 Y1 x/ l% U/ ~! F    二)  预备定理; }' _# F7 e, W. C4 u
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
* m' j: k8 A2 Z. [! R& v                 
, K4 ^/ S9 T% q* M4 \6 W( i% B% C6 L- j   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
3 y( S0 f* x- q   三) 问题的终结
6 D! \$ b( b( I+ J9 B   定理3 若
; R( }1 e+ @, S: T) C            , x) Z) T. X: i$ H; i; [6 y2 N* t2 v0 q
则用直尺和圆规可得
. L, r8 I: N# `) h            .          (1)        
0 {5 r1 Q% q0 C1 t* d6 T3 E    证明  
5 n1 A: d  f6 w, ^* G) |. N在∠AOB一边AO上,取
- ]4 l4 V9 O9 w2 m9 ~            
% w. l; w+ E& q) t) J- z6 d4 u以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
$ [  r  A' K% H9 O根据定理1,有
' Z8 p/ J9 S6 T- I8 g3 N% O4 z1 `                    (2)
$ _* f8 Y' v: x在AO上取点E,使
1 p" G/ b& k. T, _            (3)
7 V. T! E* L6 q; P以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, ; [2 l; ~& }% V  w& h; j* u
根据定理1,(2)式,(3)式有
. C, W& P: o* i4 H6 S4 p  I             (4)! x" i' J% W6 v) J  D, f
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为9 {: ~3 D  M0 f, A/ d9 J- u/ k
        CD=EG=GH=HK,
: U0 j4 }$ n0 @& x" p. S根据(4)式知K
& l5 @$ w7 _/ M* ]: l4 {% v. ~、F共点,所以
: Z$ `8 u" o" f+ @7 U# e) U- \        EG=GH=HF,         (5)
* n! ?( I' D) ~% d根据定理2,(5)式,有( Y' y" _; B; A3 D& d
        ./ Z; ?! o8 {4 k; |$ Y
即; n2 R! q, a% S" J8 a
       .       (6)
" w/ x5 X* e% `* i! D3 l由(6)式知(1)式正确.证毕.
4 D0 Z* V! Y" ~" {3 V' Q+ F) O8 I" y    本文的理论基础是, `( R. q9 k6 S2 I
         
! r6 J: [3 b! i若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
3 Q/ T/ j" c/ d! k! O
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 14:35
                  圆周率\pi  的联想
0 v! k# ]. `+ _) E( s) A                         尺规三等分任意角的逻辑原理
2 Z. `8 _' ?0 E- J3 e( A                        苏小光. K' ?+ h6 b" Q. R. m& [3 E
                      2011年2月20日
- b5 ?- ^8 ^# e% \& d     一)  问题的提出- d1 p3 B9 Z1 b, f) ]* |/ \: ^
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
; E' N+ w8 {/ }0 O3 ?1 N0 N6 i, t5 ?                  8x^3-6x-1=0
/ h, C4 U! x& L1 R' u9 k. C没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.% C2 A1 ~* M& g- S/ O3 a
    二)  预备定理2 T8 m; z  r9 V9 Q6 l7 U
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在/ I# x( Q6 P% k; _2 e+ _2 N5 n
                 l=NR\pi /180 .4 |3 Z, |. |6 T* G
                 
; j0 T$ N/ R& c. t, c8 u( ?  W   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
/ M; a) F% N8 B1 v8 v- L% C: a   三) 问题的终结
6 ^* t! U/ B: o( H1 l/ _+ r   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
$ o/ F& y! X' C" V            
0 L. w# ?! v$ R* E8 ~% d则用直尺和圆规可得; A1 S1 G/ m( Q6 w, L1 Z
       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
4 Z' P/ _8 n. w! I0 F    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度5 U+ q5 j! Z- r, Q% M: J2 Q4 F
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
9 \+ t( J+ O+ Z  J* E            
2 s& [) o* @2 G' z% @; ^以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,% i5 X  E+ b7 Y: n
根据定理1,有
6 a7 F5 D$ n3 C- N    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
- D" @5 X/ u" A3 L在AO上取点E,使" o. c* ^! z, o0 H# t& I7 {, p: J
OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3). R  c- ^- A* I# ]
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),4 t- L" F! N' E2 k% [4 H3 J
根据定理1,(2)式,(3)式有
! X0 @) S# l8 E% l& Y) A' E8 U          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
& O! z: ^* b8 s7 u所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为) W) m& u$ @1 t( [
        CD=EG=GH=HK,
' V$ ?% ?9 m  n. K* K根据(4)式知K、F共点,所以9 L0 s: {$ c2 z* e
        EG=GH=HF,         (5)
* b* r9 J7 }; g) I根据定理2,(5)式,有; t" {+ }$ \0 u1 e, X
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
. B9 ?/ U* r* }- ^! D即& Y: F  }  ]9 c9 O# S8 e* _' y& z
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)) t- P, ]4 v1 y0 w; g3 E1 C/ q
由(6)式知(1)式正确.证毕.
! y* h% a+ I+ n8 C5 m    本文的理论基础是: ]* e9 ~0 q5 l" N0 A
            \pi = l /2R
2 T4 S4 w2 |; t8 j5 }! L0 F若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
) |. T# h7 _: S; M
作者: 葉_浅浅    时间: 2011-2-20 18:36
感觉有点问题呢...........
作者: wujwu    时间: 2011-2-20 19:58
楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~
作者: wujwu    时间: 2011-2-20 20:01
回复 wujwu 的帖子
1 t7 b  f2 Q" X1 q3 ~+ q8 s- ^$ |: p3 a7 d0 c7 v* _: A
没事了，这里可以用latex看呵呵
作者: 唐伯虎    时间: 2011-10-11 23:23
感觉有点问题呢........... 6 m' `+ A/ [, i0 P* b
作者: 唐伯虎    时间: 2011-10-11 23:23
很好很好和噶 呵呵呵和
作者: 唐伯虎    时间: 2011-10-11 23:24
永远支持中国数学建模
作者: schnee    时间: 2012-1-29 10:28
必须顶啊！！！
作者: 青枫林霰    时间: 2012-5-16 00:15
支持啊，大胆的想



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