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标题: 由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理) [打印本页]
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 13:14
标题: 由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)
尺规三等分任意角的逻辑原理
" h/ g* n: X, G+ n" i
7 Z+ Q' K9 e; N) R6 X: P) y
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 13:32
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 13:48
                   圆周率 的联想
+ T7 I, G1 W; E( m, S+ C3 r! p                         尺规三等分任意角的逻辑原理
7 S, H' f8 L4 ^% p1 r0 f& C                        苏小光! m; c0 i, h( B% m
                      2011年2月20日; w4 F7 F- s2 T& N- v6 i7 h1 k. \% J  U
     一)  问题的提出
- x+ [# f9 E9 q. e; I  s/ b     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
/ D/ J  C: [5 V5 e5 }                  
; d3 \# G; E$ Q# u/ D1 C/ Z. V没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.% I; ~$ ~( H2 ?
    二)  预备定理, j1 a' K6 \' g- X8 p; x, v) k
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
0 G8 W" \# d  V                 
% U' z3 ~' }7 t' `& D7 w   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.6 S/ [( C* k4 g2 U; p
   三) 问题的终结3 T4 T  h5 R1 v9 ^  h+ v
   定理3 若6 Q& W* k/ N; r6 E3 v& d
            , I1 M0 |  k0 J/ W1 F& z
则用直尺和圆规可得
7 F& t& }8 S' D& w( H            .          (1)        
8 [( P9 t, }" k$ l0 h* q! p    证明  
0 W& d  d8 z" X6 ~在∠AOB一边AO上,取
1 J9 X  a1 e# O: ^* Y1 X5 O% c            
: [, A5 H0 U" g以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,; ^$ t  t) o9 B. M" Y1 L
根据定理1,有6 N7 L7 H/ V' ?9 ~! _
                    (2)& E6 E- r8 K3 d3 x
在AO上取点E,使
. Q+ u8 l) i& o            (3)
' [! {8 H. k' g1 s; I. m" W6 a以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 9 k( |6 x3 `! ?4 c
根据定理1,(2)式,(3)式有9 a  i& y* E) ~
             (4)
; W" G6 M9 ?. d- E/ h  i3 l* z所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
9 @$ m$ `9 B8 M. Y" C5 K4 U        CD=EG=GH=HK,
8 u- m. L7 a% O7 D! i" e6 ]+ t根据(4)式知K
2 S7 c& w% Y) w! w/ ^$ h+ H. ]、F共点,所以
1 i4 H; X* K# x/ N% R/ a        EG=GH=HF,         (5)
7 j: w" y0 C  E' @根据定理2,(5)式,有7 w4 x( [( [6 {+ w7 o* O
        .7 b. M( k8 C" \  k
即
$ L$ ~6 O2 Z$ h' ]       .       (6)9 h* O& t) e$ L! _
由(6)式知(1)式正确.证毕.8 |7 g3 Q- ?$ m; @+ Z+ R
    本文的理论基础是  T6 m8 @( p2 a8 R" G
         
- [. ~" q, E8 W2 C2 O% _若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
$ Q& `5 f9 J: t( Y* b" ~) t, p
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 14:35
                  圆周率\pi  的联想
2 C& a4 K. V4 d8 ]                         尺规三等分任意角的逻辑原理) x, U- s$ p  L" k( q" A6 D
                        苏小光$ Q# D1 p5 ]9 c% C  _: N
                      2011年2月20日5 j/ G0 i1 H9 g) p9 Z
     一)  问题的提出
( y  m+ [7 F  U4 \     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程# S- R+ K5 B$ C% A3 x, v
                  8x^3-6x-1=0
& r9 l2 E) e  |2 A) B4 A没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
! {3 V( G$ _' k    二)  预备定理
0 q4 y& r( v2 n( u4 z* r& d    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
' \0 g: @8 ~& O                 l=NR\pi /180 .( F  T3 W" P# q( ?
                 - M6 W6 S6 k) g* q3 c8 K" |
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.% h6 G: i  x* l  x
   三) 问题的终结$ N5 b& s, K1 _1 `! H" D3 D" e
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
5 [0 W) h2 F8 L6 O- N' X            % j6 n5 G) _. i, y/ h5 j
则用直尺和圆规可得
7 S  q4 ^* I. `" R  j, m0 \4 ?4 Z       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
5 E' z- x$ t# @. k$ w    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度! ^: V7 G( X- }
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
( k# [8 Q5 y3 G4 T# u4 b3 |8 d9 F            3 @/ _+ [2 \: \  x4 {4 v- z
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
1 t1 t& P" E6 ~( g根据定理1,有
/ O; |# f7 e7 }8 w4 e    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
0 A( U4 J7 i2 ~6 p, e& o: I在AO上取点E,使
( C& `8 |" x3 j/ g* M OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
- }! G6 j8 L) j. R) ^以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
* {2 g. y) y$ x: U6 a# u# M根据定理1,(2)式,(3)式有
4 I" E0 C, x. g% R1 G          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
$ r: v* j9 b) |所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为  W" q' \0 K; _) R' G  E- a
        CD=EG=GH=HK,6 z  B/ f. e( Y7 z8 h
根据(4)式知K、F共点,所以
8 B6 M9 p& l1 ?6 d" W        EG=GH=HF,         (5)+ m+ m- d8 I5 `9 L; r
根据定理2,(5)式,有
% C, G! D  p1 O$ b        .∠EOG=∠GOH=∠HOF, b5 s: v$ o& m6 H4 R/ J4 S
即
; t9 @8 B, Z: _: a& R$ K           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)/ [) ^7 K) `/ E7 f
由(6)式知(1)式正确.证毕.) [" a# x0 B/ P7 }) I% {3 r
    本文的理论基础是
/ P; `/ i2 y9 r0 y; F            \pi = l /2R
5 o( l- A1 Y' d8 U若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
7 P5 Y" I! n4 c# m# Y( o
作者: 葉_浅浅    时间: 2011-2-20 18:36
感觉有点问题呢...........
作者: wujwu    时间: 2011-2-20 19:58
楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~
作者: wujwu    时间: 2011-2-20 20:01
回复 wujwu 的帖子
1 k+ [8 s9 c! v, o6 e* y
8 m- a- n3 |7 C- F没事了，这里可以用latex看呵呵
作者: 唐伯虎    时间: 2011-10-11 23:23
感觉有点问题呢...........
/ @3 u, E$ z( |5 b: f8 Q3 j
作者: 唐伯虎    时间: 2011-10-11 23:23
很好很好和噶 呵呵呵和
作者: 唐伯虎    时间: 2011-10-11 23:24
永远支持中国数学建模
作者: schnee    时间: 2012-1-29 10:28
必须顶啊！！！
作者: 青枫林霰    时间: 2012-5-16 00:15
支持啊，大胆的想



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