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标题: 由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理) [打印本页]
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 13:14
标题: 由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)
尺规三等分任意角的逻辑原理
( E0 Q3 ^6 ?! ]! a; Y5 h0 N8 m. z: U7 V- B! }
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 13:32
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 13:48
                   圆周率 的联想9 z1 ~  `* t5 ^$ O, r& {/ H. z
                         尺规三等分任意角的逻辑原理: k/ X+ s# j% s9 s! w  c
                        苏小光! c8 E: ?9 y# N& @# {& O
                      2011年2月20日) ?; W! ~: h2 Q4 Z5 T  a( ^
     一)  问题的提出
# i, [: d( h$ C# N' g3 P     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
! w4 u" J+ s+ r9 k1 N& s                   1 r6 l/ ]" b$ }( E( e! R8 w6 b/ Q3 o' {
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.5 B* P0 P7 `3 H8 f3 I5 H
    二)  预备定理1 n" q. t8 d: n1 u6 i( G
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在, i9 O6 S) o3 D9 @% W) @9 _+ _# C
                 / H; D, O) s1 `! K8 r: n, Y# {/ x
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.- n) V: V8 r" |
   三) 问题的终结
) Z/ c; ]& A, E( M   定理3 若1 P* O' f5 e+ ]+ u& F9 u1 ~: r$ S
            
) {6 A. Y2 h8 O8 {% B' ^5 ^- T5 ~: \则用直尺和圆规可得9 j4 N5 e7 P0 S
            .          (1)        ' R0 ?4 d  X0 a4 \& v
    证明  
" ^3 C9 K& S% a' L在∠AOB一边AO上,取
0 P; B0 j2 r/ Y& n& @  J6 p            
; E7 y9 l' O8 u( l- Z% C# S以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,) v, A  S6 p) B
根据定理1,有- p& w! K% H: m4 {
                    (2)4 T( F9 s2 o1 L" h- X
在AO上取点E,使
5 Z8 F0 x; s7 d! D. H- B6 B            (3)
2 \8 e2 i1 }( ?- z# K4 H以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, : t1 ^7 B$ \3 E, n. q% e: Z
根据定理1,(2)式,(3)式有
! x% t. j& z6 L6 o- W, V             (4)
% J% D7 u$ L# j: ?8 K所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为2 v- }; u/ D2 V* Y. C) f/ U( p
        CD=EG=GH=HK,
3 U: U  H5 T9 G) ^# }: j3 _根据(4)式知K% Y( d# {* u0 y  E
、F共点,所以) {$ j2 J# [, ~: [
        EG=GH=HF,         (5)" c" U! H8 M+ q2 p
根据定理2,(5)式,有1 X5 s% ^# Q4 i' R- v! I
        ./ A+ X3 K: N# }1 G  |7 q5 x$ E
即! b' k4 C" j% r8 v  h
       .       (6)
1 X0 o8 R) h- U6 t6 v由(6)式知(1)式正确.证毕.
* A7 O0 k* x4 S8 o5 I% s7 d  h    本文的理论基础是
! }8 O* i+ h3 X/ D7 I5 _3 h         
4 P: D0 K6 `2 }% V8 c) O; l若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
6 x3 \0 f3 \. g" T8 l- ?
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 14:35
                  圆周率\pi  的联想8 [) a) L. \6 p2 [" R
                         尺规三等分任意角的逻辑原理$ ~7 H! j6 d) Q
                        苏小光8 x# v! m& v+ w& ~7 N$ \, J$ I
                      2011年2月20日' W* G2 _# z% f( A
     一)  问题的提出
9 w4 E6 Q# L7 w" C. w2 ^     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
4 p3 T! b2 E& A  M% H2 S& H                  8x^3-6x-1=0
; N& p- n1 }/ l没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
! _7 M1 F1 [+ T3 T# g: o    二)  预备定理
& W: F2 J9 @$ G/ I! m* Z# z    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在/ y& I; B; m/ y. n3 h+ _& w& z
                 l=NR\pi /180 .* v2 Y  {; e3 _+ }
                 
" o* I) h, H9 s3 c0 u/ S   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
/ D! t$ {* q: y% e) I) u$ \; t* ~   三) 问题的终结
" Z0 {# U: }2 h% ?   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
* O8 j# _( F: S+ N+ q            
& `# f* l/ h  V& A  Q! z8 u则用直尺和圆规可得
9 a8 f1 q( L# W- D6 P2 e       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        / K: z) V' I6 t5 j
    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度$ }8 ?) A& F% D7 d5 h
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)4 Q5 y3 L/ n, F: v: _+ f3 W* W
            
; w2 W3 T3 b' m6 Q以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
+ @& v* Y' Q4 k8 v9 t' N3 a根据定理1,有
# l2 n* t4 Q  E9 e' e' }. t    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)% X6 a8 K" v5 z  w6 ^* z* K
在AO上取点E,使
& M4 t- T! s. @1 p: q9 T OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)& [5 m5 e  ^7 a5 V2 ^
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
2 L. [* m6 \  {根据定理1,(2)式,(3)式有- t# H& t; P$ z5 a  B) O9 a
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)# T& w2 [2 A# n! H
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为" F5 C" C4 J4 [& ]# N2 x
        CD=EG=GH=HK,8 j+ `3 g  @+ }' ]. A( C! L
根据(4)式知K、F共点,所以% i" O( `6 d5 b8 V
        EG=GH=HF,         (5)
3 j, j  N+ D0 T根据定理2,(5)式,有2 a7 Q1 g$ X+ B# `
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
3 m8 o+ \8 F0 O; w即
: |0 k- w, Q: Z' t1 S7 Y4 C3 S, W           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)& z6 `( {2 i/ t( U
由(6)式知(1)式正确.证毕./ o  M3 m- G- [6 o8 _# b# O  ?
    本文的理论基础是( K9 _& W& b. T7 a. t9 M
            \pi = l /2R/ n3 g& e3 ~! G8 c% @6 L# ?& h
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.! q2 v8 e; \& K
作者: 葉_浅浅    时间: 2011-2-20 18:36
感觉有点问题呢...........
作者: wujwu    时间: 2011-2-20 19:58
楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~
作者: wujwu    时间: 2011-2-20 20:01
回复 wujwu 的帖子
& D( R4 K9 t, t, Z. V& \9 s2 G/ v1 g  s, ^1 t' Y$ O
没事了，这里可以用latex看呵呵
作者: 唐伯虎    时间: 2011-10-11 23:23
感觉有点问题呢...........
+ O' }- P: N3 w! j4 s; p
作者: 唐伯虎    时间: 2011-10-11 23:23
很好很好和噶 呵呵呵和
作者: 唐伯虎    时间: 2011-10-11 23:24
永远支持中国数学建模
作者: schnee    时间: 2012-1-29 10:28
必须顶啊！！！
作者: 青枫林霰    时间: 2012-5-16 00:15
支持啊，大胆的想



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