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标题: 由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理) [打印本页]
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 13:14
标题: 由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)
尺规三等分任意角的逻辑原理. b. t7 q# D6 }, B! S- \+ }5 }

7 y0 d  D1 \+ z& K! ~0 \1 x
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 13:32
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 13:48
                   圆周率 的联想
# f. s5 G. c8 u$ F: Z  E# b8 ^                         尺规三等分任意角的逻辑原理! Z/ a# E0 G) k! ^# C
                        苏小光
& n: i8 n6 g$ s, d0 {                      2011年2月20日/ i# f- ~: B" b5 O8 X6 A
     一)  问题的提出
! |. `: g. }* Q     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
* R  s, w5 X) A% s                  
2 Q. G7 t3 e1 U4 V没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.& m! E# `) U' D/ ?9 E# L5 X- I5 t
    二)  预备定理
0 z# R( a! B7 i4 r  O  C% @    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
, d9 W' ?- ^, }* B1 ?                 
- M( Z0 q7 D3 u% h4 }2 G/ M   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
/ Q: m& d( \! l' u( Y: @   三) 问题的终结/ g% z- A1 w! s/ |2 Z/ p
   定理3 若
3 J0 U2 R% F, E1 z$ U2 I, e            . K% n2 i/ y5 i
则用直尺和圆规可得
2 T5 T, E8 Q% l% Y3 K4 R            .          (1)        4 M% y9 a! ?4 w6 R. o! y$ r) t1 y
    证明  0 a4 l' u, p9 V
在∠AOB一边AO上,取
) E2 E# [6 P7 A1 l            
+ p0 P* q7 w" P0 V) o; e$ Q9 E9 u以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
8 Z) U3 f9 x/ M: n$ b) ]根据定理1,有
2 }% X& w; q# ]) T  x7 |' A, R: }                    (2)( T. s  a0 @% ?* v3 R
在AO上取点E,使
* U0 O/ I; ^& H  I" N0 r, Y            (3)1 H/ [1 c2 x& h5 p4 ]
以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
+ O8 r/ E# A" e根据定理1,(2)式,(3)式有
. R2 g2 I) ?" p/ X& U3 F             (4)- G" ]( D7 X0 }% s" q
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为+ L0 L% ^4 ]2 g
        CD=EG=GH=HK,
& U# V1 c2 `0 v' n# X" Q根据(4)式知K
  b# S& [* m1 y3 f; ^、F共点,所以" u6 |+ X$ u1 A. K
        EG=GH=HF,         (5)
( D: x7 a8 T4 C根据定理2,(5)式,有3 i- q: |8 r' k3 y
        .
: r# B; k: @" J即
6 {* z2 [5 k/ a' o$ I       .       (6)/ N* ?& C6 J& i4 Q
由(6)式知(1)式正确.证毕.
* m4 j" I- D( Y. ~    本文的理论基础是( e. c0 K& T8 z7 O% e$ w! t1 Z; H
         
, ?; J+ X9 a7 ]7 c% J5 P* h) v7 w若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.. ?6 o" Q6 e9 A3 U0 N
作者: 数学1+1    时间: 2011-2-20 14:35
                  圆周率\pi  的联想
" ]# P5 t( W  f; Y' U                         尺规三等分任意角的逻辑原理' p5 v1 d) H' v; x* F
                        苏小光
* d+ s( H! W' |+ i4 F                      2011年2月20日
& y) S+ T' A) {" w! x. x( E" s     一)  问题的提出0 H5 K9 D( Z$ V
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
* x) u! P; P" O1 Z                  8x^3-6x-1=0
4 a+ b' U) {5 Q/ }: l没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.% I; ~- V9 N  g6 q0 b; m3 J
    二)  预备定理
$ s, l1 l2 Y, g! O0 v& s: l    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
8 g% K2 J% Z& K  B2 d7 L* Y                 l=NR\pi /180 .
- Z9 m3 n) T" i" v. f9 C% K2 E6 C* b5 B                 8 [, \% H0 N3 h- P1 A
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.3 ~& e) ?+ i% n9 |9 Z
   三) 问题的终结$ {8 H* m$ E2 t" ?
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
3 t. c* Y9 c& k% j: B5 V            
; v3 w1 p- c7 R7 a* n3 ?8 ~则用直尺和圆规可得
# F+ v1 Y0 a" f8 p2 {# W% a       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        & h0 w, P: F* O( d1 L) {+ H
    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
# |  }' O$ M* Z! W在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)  \2 q& q3 U9 g' z- I
            
" B4 g7 O% I* d6 d以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,1 D4 k& \- |5 z1 J5 f; l  P5 Y
根据定理1,有$ ~6 A5 `! n+ W& z
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
% ^$ O/ e. P. P; I在AO上取点E,使
) `- I7 F- f' X$ B6 f8 l/ a OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)8 m4 j4 E0 P, o( ?- h/ i
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
( }& B9 Q$ v8 _, C根据定理1,(2)式,(3)式有
' S' |* `3 A3 Y. v/ l8 U0 V          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)' ~  S& j9 z! R! X% h. ?8 B7 h
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为5 P+ P6 i& h1 h
        CD=EG=GH=HK,
7 V- N7 U3 N8 b' ~( k根据(4)式知K、F共点,所以
7 `* s; L7 h5 g        EG=GH=HF,         (5)
; V% ]* Z# d; F: C6 F& Y7 K0 t根据定理2,(5)式,有* R; Y* J5 r6 d- E: G, n' m( {
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
7 A1 ?: S# A5 @" g  L. e. U即
, K! r3 `1 V2 n7 ?3 N) v           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
, |8 s/ i* E# c7 ^6 m( A* J由(6)式知(1)式正确.证毕.; U# H$ H, |+ _3 ]- d/ ]
    本文的理论基础是8 k0 x2 J- u' ^& k7 ~5 M7 q8 X- q
            \pi = l /2R
6 y+ s* C2 i5 n( n* O若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
3 k$ r2 X. D' Z- A) T( b8 `0 G$ X
作者: 葉_浅浅    时间: 2011-2-20 18:36
感觉有点问题呢...........
作者: wujwu    时间: 2011-2-20 19:58
楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~
作者: wujwu    时间: 2011-2-20 20:01
回复 wujwu 的帖子5 @1 _7 r% R; r% e" V% j

" y" ?" a3 t) U' \9 R4 {" s没事了，这里可以用latex看呵呵
作者: 唐伯虎    时间: 2011-10-11 23:23
感觉有点问题呢...........
- D! m, X( D) ^/ d/ q
作者: 唐伯虎    时间: 2011-10-11 23:23
很好很好和噶 呵呵呵和
作者: 唐伯虎    时间: 2011-10-11 23:24
永远支持中国数学建模
作者: schnee    时间: 2012-1-29 10:28
必须顶啊！！！
作者: 青枫林霰    时间: 2012-5-16 00:15
支持啊，大胆的想



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