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标题:
由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)
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作者:
数学1+1
时间:
2011-2-20 13:14
标题:
由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)
尺规三等分任意角的逻辑原理
( L5 m$ O6 G; h* e6 u" f
" i+ R6 @: w( E8 s! K: I! N
作者:
数学1+1
时间:
2011-2-20 13:32
作者:
数学1+1
时间:
2011-2-20 13:48
圆周率 的联想
: I0 S2 r( a4 O8 d$ t K4 ]
尺规三等分任意角的逻辑原理
]( T) ]6 V9 P/ G
苏小光
5 c- u7 P+ S- g& t4 [
2011年2月20日
+ C8 M% w; p; _2 P& B. D4 ?' L
一) 问题的提出
4 k, n f% o. e" r! k
古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
" a9 p; ~# G6 q4 K. ^
3 ^0 H; O- \ a- W
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
( J+ ?7 ~! v. H: S+ Q
二) 预备定理
- m% F- E' Y, u& F2 f/ B/ Y6 s
定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
8 m! c* {; E1 U2 I! n* M
9 X- ^; }- d- G- l1 F, C) v! H2 [8 K9 y( z
定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
. w6 g2 ]5 W7 f+ m
三) 问题的终结
' G8 c! ^; j$ X) Y" z& E0 |
定理3 若
; u) `8 {1 H$ s2 [3 t
( W5 b! T2 o g$ l' U) M4 Z
则用直尺和圆规可得
6 ?5 @0 Y' @* Q, \' \
. (1)
7 ^) Y* X# z/ G+ x' Q3 H" b. i
证明
5 N X9 f* _ ^. T* D) l
在∠AOB一边AO上,取
* r' ^5 [$ C& E7 u5 c
" q1 o, [+ @2 p( X9 T- J1 @5 S
以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
' w8 J% b8 D! T) C7 G6 {
根据定理1,有
# p7 C& c1 k$ N* q0 ~1 M
(2)
5 W6 u6 C' _# V: X& C$ O
在AO上取点E,使
$ s$ G& P2 L' r! k) [! n
(3)
3 o& \' K6 S0 ?! R* [( j
以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
/ i( J7 X( O& X' a7 I( W
根据定理1,(2)式,(3)式有
! s$ i& H: I2 `& y% I. s
(4)
5 x$ C$ L% z; b+ T5 I
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
2 }' w) i: | L* E# W2 L, D
CD=EG=GH=HK,
: l; L: w& ?# x( [* a6 R
根据(4)式知K
0 R2 l( _7 p; K) K3 C0 c
、F共点,所以
' R1 M$ M2 S( p2 ?( l" M: O
EG=GH=HF, (5)
# M, s5 i; Y' ]
根据定理2,(5)式,有
& V! Y' }; A8 \/ P
.
9 n, U+ X* h2 N C; u7 k; v2 H* t$ Y
即
2 D: r# s. T0 c3 A
. (6)
: R0 ?6 Z- `: R1 J) G: q9 u' x" M
由(6)式知(1)式正确.证毕.
# e+ s( x5 T* p& a9 _+ e
本文的理论基础是
+ u) ~- j; K e
0 v* W5 O' F6 W
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
" {0 \# D7 q* I3 `0 F8 W$ \& g5 P$ D4 v" Z$ ?
作者:
数学1+1
时间:
2011-2-20 14:35
圆周率\pi 的联想
1 E) O6 T7 y# l
尺规三等分任意角的逻辑原理
5 S, m0 d. y7 N' ?
苏小光
2 M8 a, A& w" B
2011年2月20日
: S# C0 ?$ L* k4 T' _
一) 问题的提出
3 |; v2 ~+ L6 U t+ G7 ?
古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
) C' n4 H2 z: X% j' e0 o0 O l9 X
8x^3-6x-1=0
: h; @% z% U* M" s& M5 ^
没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
2 t2 f# x5 X% c
二) 预备定理
- _" S, G# P% k3 Q
定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
% |% t% @2 s) A# @7 k
l=NR\pi /180 .
7 g) _5 r4 s7 J( A* d
3 h$ f$ C6 Q3 T7 M
定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
?* o. a! ?0 q- K$ X! S
三) 问题的终结
. z9 e8 U V+ q- e1 t4 c4 f
定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
( S: q) X, `9 |
z2 x, G# U" }! E) o, _
则用直尺和圆规可得
2 A' V1 c m5 \
∠AOG=1/3 ∠AOB . (1)
* { A! d) s3 h0 O5 Q; |: j
证明 设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
& K9 V7 E% [" ]" }
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
8 T- ^/ D- a8 k
2 v" u- G6 |- M4 e( X
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
* Z3 t1 u7 t2 q& i2 @2 e% \+ P
根据定理1,有
! m, t+ H* A: B4 M. ?7 ^
l_(1)=(NR_(1)\pi )/180 (2)
: N& y4 K9 h X
在AO上取点E,使
! A% C0 m9 o& A1 H, H
OE=R_(2)=3OC=3R_(1) (3)
4 x0 Q- C$ F% @
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
+ f u$ c' u1 a7 O
根据定理1,(2)式,(3)式有
. r6 ~) w! ^9 r9 N, I) q
l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1) (4)
* v0 E+ o7 f" ?$ O; ?
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
' A' y& v2 f5 ] W0 r
CD=EG=GH=HK,
7 |1 h4 X- z5 y! |( ]& x* M
根据(4)式知K、F共点,所以
# w2 ]2 d K: @
EG=GH=HF, (5)
0 H/ X; y0 d( y( ^8 l
根据定理2,(5)式,有
- H" h' K1 B, G' H; p8 ^
.∠EOG=∠GOH=∠HOF
) Q4 ^- ~8 e* Z
即
9 m- V8 }9 {' ]7 I
∠EOG=1/3 ∠EOF (6)
; s$ k" ~1 n# M+ d4 Q
由(6)式知(1)式正确.证毕.
( L# @+ N1 E9 H* N- C" h
本文的理论基础是
& g+ k4 L- G* A! J& p* P
\pi = l /2R
/ }! _/ c L. A2 o) k: c
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
: O; M; o6 }. W) U7 M! J
作者:
葉_浅浅
时间:
2011-2-20 18:36
感觉有点问题呢...........
作者:
wujwu
时间:
2011-2-20 19:58
楼主可以的话发PDF,这里看不到呢~
作者:
wujwu
时间:
2011-2-20 20:01
回复
wujwu
的帖子
; A. R* r, A, V+ E% ]$ P; V
8 [ ^; f+ O6 t ~9 Z9 r: e
没事了,这里可以用latex看呵呵
作者:
唐伯虎
时间:
2011-10-11 23:23
感觉有点问题呢...........
# T1 ?$ C/ h- z6 [3 U F& q0 H
作者:
唐伯虎
时间:
2011-10-11 23:23
很好很好和噶 呵呵呵和
作者:
唐伯虎
时间:
2011-10-11 23:24
永远支持中国数学建模
作者:
schnee
时间:
2012-1-29 10:28
必须顶啊!!!
作者:
青枫林霰
时间:
2012-5-16 00:15
支持啊,大胆的想
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
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