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标题: 关于数学分析的一题，求解 [打印本页]

作者: 伟~飘逸 时间: 2011-3-22 10:09
标题: 关于数学分析的一题，求解
求证：设f(x)是区间（a,b）上的严格凸函数，若f(x')是f(x)的一个极值，则f(x')是f(x)的极小值

作者: gyf2008 时间: 2011-3-22 11:46
因为f(x)是区间（a,b）上的严格凸函数，所以f(x)在区间（a,b）内二阶导数小于零，所以一阶导数单调递减，又f(x')是f(x)的一个极值，所以f'(x')=0，所以在x‘左边有f'(x')>0,右边f'(x')<0，即f(x)在f(x')左边单增右边单减，所以应是极大值。对不起没能证出极小值。请参考自证。

作者: madio 时间: 2011-3-22 11:53
利用严格凸函数的二阶导数大于零，然后极小值的性质一阶导数等于零，再利用展开到二阶的台劳公式直接就可以证明任何一个f(x)都比这个点的函数值大，所以是最小值。

作者: 伟~飘逸 时间: 2011-3-22 13:40
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晕，题目要证的就是最小值

作者: 贵州桃李满天下 时间: 2011-3-22 15:19
一楼的楼主好像是对的，支持一下！

作者: 伟~飘逸 时间: 2011-3-22 15:45
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不是吧，严格凸函数二阶导是大于零的啊

作者: 杨帆 时间: 2011-3-22 19:40
既然你诚信诚意的推荐了，那我就勉为其难的听听吧！
数学中国社区分享快乐！

作者: gyf2008 时间: 2011-3-22 23:01
哈哈，我搞错了，若干年前我学习凹凸函数时，是向上凸的函数称为凸函数，刚刚看了一下书，现在的教材改为了向下凸的称为凸函数。所以把我的证明中的二阶导数小于零改为大于零就可以了。

作者: gyf2008 时间: 2011-3-22 23:02
定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。　　一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调递减。　　一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x)。特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x)的最小值。　　一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。例如，f(x) = x4的二阶导数是f "(x) = 12 x2，当x = 0时为零，但x4是严格凸的。　　更一般地，多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是正定的。　　凸函数的任何极小值也是最小值。严格凸函数最多有一个最小值。　　对于凸函数f，水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}（a ∈ R）是凸集。然而，水平子集是凸集的函数不一定是凸函数；这样的函数称为拟凸函数。

作者: xf19901211 时间: 2011-4-14 18:00
晕死，这个要证么？凸函数2阶导数大于0，根据极值判定的第二个充分条件，必定是极小值。。。。。。。

作者: rivuletwj 时间: 2011-4-15 17:00
用导数证明不妥，凸函数一定左可导、右可导，但未必可导，即左右导数未必相等，二阶导就更不一定存在了。可以用反证法，假设x'是极大值，那么必定存在一个包含x'的区间I，使得其中任何数的函数值均小于等于f(x').以x'为中心取I中的两点x'-a和x'+a，根据严格凸函数的定义有：f(x')<1/2(f(x'-a)+f(x'+a))<=f(x'),这一不等式是矛盾的，所以f(x')一定是极小值。

作者: 黄家的大哥哥 时间: 2011-4-29 12:23
不会，学分白学了

作者: 梦透明天 时间: 2011-11-14 21:57
凸函数性质结合函数增减性就可以了

作者: 活儿 时间: 2011-11-28 16:36
泰勒展开至两阶，是如此之显然。。。

作者: 暗夜★煋悾 时间: 2011-12-18 13:13
你这太EASY了不过正如一楼所说学的凸函数概念不一样

作者: pxwgih 时间: 2011-12-30 10:42
哦～～～～

作者: wangxun2010 时间: 2011-12-30 14:02
对啊，凸函数二阶导数是大于0的，不要记错了，这个分类好像是改过的

作者: mathjgs 时间: 2012-4-7 16:49
本帖最后由 mathjgs 于 2012-4-7 16:54 编辑

不妨设[tex]f(0)=0[/tex],命[tex]g(x)=\frac{f(x)}{x},[/tex]则[tex]g(x)[/tex]是严格单调递增的,假定极值是极小值,则可得矛盾.
不清楚以上哪来的二阶导数和Taylor展开?另外,好像无法使用TEX?

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