第七届大学生数学建模邀请赛试题
UGMCM 2005
试 题 说 明
² 本次竞赛共有如下三题。每支参赛队伍必须从以下三题中任意选取两题，并完成两篇论文，其它具体要求参阅试题附录里的竞赛手册。
² 参赛论文必须于
本次竞赛试题：
（一）流感疫苗接种问题
（二）楼市也疯狂
（三）全球卫星通讯系统中的数学问题
注：本试题版权归第七届大学生数模邀请赛组委会所有，不得擅自转作他用！
（一）流感疫苗接种问题
流感病毒有两种菌种，现已研制成两种疫苗。疫苗1对菌种1有85％的预防效果，对菌种2有70％的预防效果；疫苗2对菌种1有60％的预防效果，对菌种2有90％的预防效果。两种疫苗不能在一个人身上同时使用。
（1）为使尽可能多的居民具有免疫力，需要进一步了解那些信息？
（2）为使尽可能多的居民具有免疫力，应采取何种接种疫苗的策略？
（3）在采取你所推荐的策略的情况下，估计有多少居民具有免疫力(平均的估计和最坏情况的估计）
（二）楼市也疯狂
从1999年到2005年，中国楼市经过了由买方市场变为卖方市场的大逆转。从由国家银行提供“组合按揭贷款”鼓励市民买房消费到需要政府部门出台“组合拳”政策扼止哄抬房价。急剧攀升的房价已相当程度地影响了一般市民的购房心理，也改变了不少大学毕业生的就业观念。
请用数据分析6年来您居住的城市或地区的楼市变化状况，结合各阶层市民的实际收入，您认为应该采取哪些措施才能使楼市健康发展，回归理性。
（三）全球卫星通讯系统中的数学问题
某家运载卫星公司考虑构建全球卫星通讯系统。 在地球赤道上空发射若干颗地球静止轨道卫星。假设所有的静止轨道卫星的通信功能和能力是相同的，并且每颗卫星的覆盖地球的锥形信号束的顶角为A度（该参数值与具体卫星的设计相关，A值越大卫星建造成本越高，A<=20度），卫星信号束在地球上能够覆盖的区域中信号强度是均匀分布的。
（1）如果要使得北京、东京、旧金山、多伦多、伦敦、巴黎、新加坡、悉尼等城市能够使用该公司构建的全球卫星通讯系统，则在成本节约的前提下，理论上该公司应如何设计卫星和构建卫星系统；
（2）当从一颗卫星发出满足一定确定性模型的动态信号，而另一颗构造完全相同的卫星接收该动态信号后（任意两颗正常工作的卫星可以互相传送动态信号），随着时间的演化，两颗卫星的信号可以产生同步的现象，这种现象在信号通讯中有广泛的应用，请用微分方程或者差分方程来刻画这一同步现象；以上构建的卫星系统中是否可能出现同步现象，请解释你们的结论。
（3）在以上构建的卫星系统中，若一颗或者两颗静止轨道卫星产生了通讯故障，那么信号的同步现象是否可以仍然实现？为什么？
（4）若该公司考虑再发射两颗低轨道的移动卫星（移动卫星的轨道与赤道平面呈45度角），从而和上述构建的卫星系统构成新的卫星通讯系统，那么是否能够达到“即使有两颗静止卫星产生故障，同步现象仍然可以实现”通讯要求？请进行论证。
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