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标题: 求助！！！证明下面一道关于极值的数学分析问题 [打印本页]

作者: 叶纯萱 时间: 2011-7-8 17:12
标题: 求助！！！证明下面一道关于极值的数学分析问题
已知f（x）在[a,b]连续，且在（a，b）中只有一个极大值点和一个极小值点，求证极大值必大于极小值。原题参见林源渠《数学分析解题指南》第二章一元函数微分学，第三节函数的升降，极值，最值问题，练习题2.3，第4题（P81）。希望高手指点

作者: 活儿 时间: 2011-7-8 19:30
能不能证明这个命题：连续函数在某个区间上没有极值的充要条件是该函数在该区间上严格单调？

作者: 叶纯萱 时间: 2011-7-8 21:55

活儿发表于 2011-7-8 19:30 - s, I2 r1 V; G: x2 a3 W
能不能证明这个命题：连续函数在某个区间上没有极值的充要条件是该函数在该区间上严格单调？

这个问题不会证明……不过按理来说只要证明了单调性，其他就很容易了

作者: 活儿 时间: 2011-7-8 23:30
你看看我的思路，有没问题哈：首先设a,b分别是唯一的极大和极小点的横坐标，在闭区间a到b上函数连续，则在该区间必有最大值M和最小值m,于是M大于m.若最大值M(或最小值m)不在区间ab端点取得,在区间中间某点c取得，则c点函数值大于（或小于）它附近的所有点对应的函数值，故c点为极大值点(或极小值点)，综上所述，最大值和最小值只能在区间端点取得，即在ab两点取得，所以M=f（a）,m=f（b）,又M大于m,故f（a）大于f（b）证毕

作者: 活儿 时间: 2011-7-8 23:34
你看看我的思路，有没问题哈：首先设a,b分别是唯一的极大和极小点的横坐标，在闭区间a到b上函数连续，则在该区间必有最大值M和最小值m,于是M大于m.若最大值M(或最小值m)不在区间ab端点取得,在区间中间某点c取得，则c点函数值大于（或小于）它附近的所有点对应的函数值，故c点为极大值点(或极小值点)，与题目唯一极值点矛盾，最值点不在区间ab端点的假设不成立,则最值点只能于区间ab的两端取得。综上所述，最大值和最小值只能在区间端点取得，即在ab两点取得，所以M=f（a）,m=f（b）,又M大于m,故f（a）大于f（b）证毕

作者: 活儿 时间: 2011-7-8 23:37
注意一下，我们考虑的区间是a到b

作者: 黑莓罐头 时间: 2011-7-9 08:12
这学期数学分析很差.郁闷那

作者: jt202010 时间: 2011-7-9 08:18

作者: 活儿 时间: 2011-7-9 09:19
你是数学系的吗？哪所高校的啊

作者: 叶纯萱 时间: 2011-7-10 23:12

活儿发表于 2011-7-8 23:34
9 Y# B) f! a$ I* h你看看我的思路，有没问题哈：首先设a,b分别是唯一的极大和极小点的横坐标，在闭区间a到b上函数连续，则在该 ...

我感觉总体思路明白了，但是还有一些细节，比如在（a，b）上最大值和最小值可以相等，即函数为常函数，每个点都是极值

作者: 叶纯萱 时间: 2011-7-12 23:23

活儿发表于 2011-7-9 09:19 & o$ Z& V# j* H8 R! p- l
你是数学系的吗？哪所高校的啊

我是数学院的，山东大学的，不过我学的不好……你是哪的？

作者: 活儿 时间: 2011-8-12 20:15
常数函数不存在极值，与题设矛盾

作者: 活儿 时间: 2011-8-12 20:17
也就是说，若题设要求某函数有极值，则该函数必不为常数函数

作者: 天之光 时间: 2011-9-13 21:06
好啊！！这个正的不错！

作者: 梦透明天 时间: 2011-11-16 21:36
设f（x）在(a,b)上连续，不妨设f（c）是极小值f（d）是极大值，其中c，d∈（a，b)，若c<d,由f(c)为极小值f（d）为极大值知f在(c,d)上递增，
否则存在e∈（c,d)使f(e)也为极值点这与已知矛盾，从而f(c)<f(d),即，极小值小于极大值，同理可证c>d的情形

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