数学建模社区-数学中国
标题:
哥德**猜想的证明
[打印本页]
作者:
蔡正祥
时间:
2011-8-20 08:55
标题:
哥德**猜想的证明
哥德**猜想的证明
, X/ y! D" ~6 U& K8 j
一、质数表示式
2 I# _: n2 b) v/ i; U7 w$ w
1、质数表示式的由来
3 T$ Y: h& ^% t7 b' S$ r+ }% \
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
7 }/ N% Q$ ]! S
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
2 A. c% H$ K, L7 a
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
3 E s, Q- O* W( l; V
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
- V# f& L) U4 @& W+ ]& \* s/ \
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
5 F. ?7 h! j" e) v& m# }" d
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
+ C% b; `- }2 {$ i; b5 x
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
, P7 B r% F+ f, ]
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
* {* H1 Z- G+ q5 [/ k% m
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
* a5 B6 c+ }$ b& X. ]
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
1 F7 E( Z" d" _2 q B8 r
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
, g9 a) C% d8 }8 K2 I
（2）式为奇质数表示式
0 G- A+ u' V! {, n
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
( b0 {- @3 S. u/ ^& x& y: j( K. w
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’ Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
+ B5 U( Z* A& o
因pn=2n’+2N-1 则Pn’=4n+2N-1……（3）
, A+ l- p" A$ X: K4 t0 ^
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
+ G. ?" S2 J8 b- r+ N' u/ e' c1 C
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
) {- {1 [0 d8 O4 Y$ M
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
' J3 j1 d& [2 v+ \) L
假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
7 Q. b# T& L: ?8 X6 x
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
$ m8 v: M ?9 W0 {* }& D' S
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
( P$ N! }" d/ c) e
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2） Pn'=4n+2N-1……（3）
! F; u3 A8 S7 j, s: {; y
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n
- X+ M! s6 }5 o& T+ Y2 b
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ） Pn'- Pn=2n"……（4）’
! P& \0 o9 |2 {
& o. P! n' b' x4 B- K4 L1 f3 x
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
! S+ A5 R D5 _4 v$ ?
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
. f; H. |' Y7 ~1 Z
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
/ W# Y! V( T& u# E& s/ T# k
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
+ w4 k/ s g9 `1 `; A W0 ]
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
7 ?. _& f5 N v7 o8 V; a
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
. V- O# ?# a" ^
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
$ v2 d9 v& A" f* I, a+ p- k
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
+ s* p p) ]# Y- K7 x5 s# c
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
; D5 W. s7 Q5 M% q) R5 ?( E7 T
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
& @/ a8 Z# g+ h7 r8 m
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
+ A' \9 [, b, n; Z* s% ]
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
% L$ O3 |1 q3 ]. [
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
- M- N: {2 C, z; n x' J. F. L v
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
6 k0 L T- c) O
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
, T% M8 x# t$ Y2 h( o9 x
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
0 T" [( X2 s* d z. S
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
* a1 D/ \/ h# M$ b2 l7 p X" v
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
0 W+ x' M7 A x
由此可以证明（3）式 ①为恒等式 ②等式左边或右边表示两个奇质数之和
5 S0 R) E, K0 ~8 P2 h5 Z
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0 3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4 5+7=2+3+4+3=6+6 7+7=4+3+4+3=6+8 5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12 3+17=0+3+14+3=6+14 5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120 61+67=58+3+64+3=6+122……
6 M2 M* R+ @3 N( n
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
1 H& a( }+ E6 k3 r1 s0 o
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式 在（3）*式中 Pn* Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’ 2n’’为2n的公由数 Pn=3或Pn=2 （注3）
5 J" G+ U. o) a% I/ d- I. O
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
! r1 I* r, t5 l$ q3 d
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
% y% m9 n; U8 P5 i4 G% P
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
, W. U/ }% b/ y; I, L' f- {
; _9 s* V! u9 g( v( v& T8 J
得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
~5 n( ?5 }$ o. }1 N3 ?
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
: k, i( n8 j. \, z N& C
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
: B: @/ A5 L3 a5 E
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
" S2 M7 O9 u0 p5 A' ~; W
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
$ _3 @2 S% u$ j8 k1 D4 p. O
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
G" @8 @# J3 y4 y3 |: w
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
4 Y1 n7 o5 g: B* a+ J" a
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
~$ @. h% ^9 P
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
4 x" M' u* w: P, d6 b( Q
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
2 e# X. C, j% ]+ j' h+ N
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
1 _4 ]7 Y& m/ r# R, \; K
例
2 D, O% k0 t/ O5 R* T+ S
n 0 1 2 3 4 5 6 60 61
' P% }6 X; G6 |% o
2n 0 2 4 6 8 10 12 120 122
R, x% H3 o( Q! M
2n’ 0 0 2 2 4 4 6 60 60
' h. s0 p6 [2 P* g: Q
2n’’ 0 2 2 4 4 6 6 60 62
0 Y; w, N @8 A- P! q: Y
M（2n’+3或n’+1+3） 3 4 5 6 7 8 9 63 64
+ k6 b0 |. q$ T' k, T) o
Pn 3 3 5 5 7 5 7 59 61
5 `3 g, `& C t# I" x. s) X
Pn’ 3 5 5 7 7 11 11 67 67
) l) n) M" w3 M, l
Pn+pn’(2M) 6 8 10 12 14 16 18 126 128
. ?/ U( j. N: N0 O& v
. A% J; u9 O/ ?( ~2 Y! f$ {% K
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
$ k8 m: g5 W: E5 X7 B* d
又例如，2n=22222222222222222 n=11111111111111111
, d% N. b, @! Q, y9 h
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n 2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110 2n’’=11111111111111112
- k+ X! E) ^; f+ U
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
A) C9 R& p6 w
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
. T# |) g a* l2 {4 m& ^5 F
M=11111111111111111+3=11111111111111114
# M. ~+ _0 g" p. _+ L _( @
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
u f3 }( N/ |$ R, i! i/ z" F
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n 求得 Pn’
9 L: \& m: g4 L. Y
已知 M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111 n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
5 {$ y) y- t6 r) Y! }. G: b( M
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
" W- {5 u9 x, p; x
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
* Y0 W; O! x5 g! E9 P" n: l
8 O2 a: K, N' L ~/ V
=2M=11111111111111114X2=22222222222222228
# N9 v! L! |/ ]) |& G. o
三，也可以这样证明
8 Z" l$ W# ` _# I$ G; K
1， 在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中
+ c: t4 N9 ]- _: W' L
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
) {9 Y) \# e9 P, E4 U3 }+ p
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
: V' J; s0 h p1 ~1 b# Z) S
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
O* b7 z$ a$ w$ r% a: y# D( l- K
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
) |/ E8 ^/ e, ?: m& \
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
K, F! W p7 q( X, C
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1
8 \: N1 c {1 h
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1 得Pn=2N-1
' Q& T& \- C8 V- ^: k; x; F
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
# w- m# N2 l9 B- [6 e/ [
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
- C9 c* [/ u% ?
由上证得 Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1） 在理论上成立
$ b4 ?6 V5 U, P2 H: }- j* j
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
! x, J0 a R- \% F% j
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
- p7 O( o. R% o' l' Z
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
( v% {1 m; |3 @8 e- {! ?4 K2 i
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
0 p! Y2 F. z* |$ a# e
或Pn*+Pn*+1=6+2n
* U" j, U3 V" U; e
2， 因两个奇质数之间的距离为偶数 用2n表示
) |0 r, _' X0 @) y0 g2 ?& p
即 Pn’=Pn+2n 得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）
+ {# p% C& s' L' s' U0 s% G
在（1）式中 设 2n’+2n’’=2n 即 2n’ 2n’’为2n的偶数公由数
0 U& G N: E N; n+ [4 K
代入（1）式得 Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
. ^* X6 X6 F; F0 }. m. [0 H
设2n’ 2n’’为2n的最后一对偶数公由数
1 G2 R) f- S# \3 _
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
9 e6 j. g$ g# O1 E* V2 L
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
1 W; I5 _- e* t1 Z. Z/ ]
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
% r( A! `& J) J- x8 o
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
2 W0 V; n6 Y+ _! }' ~
即 （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
- B7 x. _6 e% W/ d! B" H
n为偶数2n=0,4,8,12……
! d8 l9 G0 s! G# T3 |; L+ [' |1 m
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
! z& q! T! B, l% K" T8 L: B
2n’=0,2,4,6……偶数集
- `8 L8 F; e7 ]5 T9 J7 R1 [1 c o+ H) ^
n为奇数 2n=2,6,10,14……
( [$ k# A& H& @" }
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
k& p( x3 e ?5 u
2n’+1=1,3,5,7……奇数集
+ I( u9 M% q/ P" e
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
$ v% v J; o& h0 A& k
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集
9 C/ x& M' y- _) a
设 Pn=2 或 Pn=3
' a3 L, u, C& a3 G
代入上式得 Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
" a- N4 L$ u( s9 f4 a' f" R
四，奇质数定理三的证明
0 m5 F5 q/ w1 L, }% F4 C( m( |$ E; `+ }
（1） 已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
1 f# H. ]& h7 c+ L3 N0 B+ o5 E
又已知Pn’-2n=Pn Pn’-0,2,4,6……=Pn
7 [# Q, m' m5 f8 u( H4 P7 ]+ R
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
$ y5 y% q, Y7 U
Pn=M-0,1,2,3…… Pn’=M+0,1,2,3……
8 O; v- V: a3 P* j4 z' ~7 B7 k
或 Pn=M-n’ Pn’=M+n’
6 E! P: I a2 i7 L3 M" V0 r% j
由此证明了 Pn=M-n’ Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M 成立
1 c5 v5 P2 N* @% i4 a
（2） 实例说明 Pn=M-n’ 即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
0 @7 m; x7 H- ?3 n5 @! _) U3 ~ f: K
Pn’=M+n’ Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
/ f( c! @; s9 [- c
得 Pn=3-0=3 Pn’=3+0=3 M=3 2M(Pn+Pn’)=6
{# O, Q, k0 V7 g% r( L
=4-1=3 =4+1=5 =4 =8
# [& |& z' H V" ?; z% _
=5-2=3 =5+2=7 =5 =10
3 y: A6 A! L, B/ M' i3 ^' S m
=6-1=5 =6+1=7 =6 =12
; \5 j& Y: R" W N0 j
=7-0=7 =7+0=7 =7 =14
$ e7 [5 Q5 V& F3 K+ x: I# h) {* `
=8-3=5 =8+3=11 =8 =16
7 j* E2 D) D! U, i! f4 p9 i- I
=9-4=5 =9+4=12 =9 =18
/ |5 I' o2 I& r) M6 K# W f
=10-3=7 =10+3=13 =10 =20
0 |/ y, l; A! m2 Q5 _ @
=11-6=5 =11+6=17 =11 =22
6 n# G3 |) G8 O+ ~2 e; \4 m' u
=12-5=7 =12+5=17 =12 =24
( }, L5 y' O4 d/ s
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
1 \$ h! R; `0 t$ r! c
=3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
5 m* [* b: v3 L. U9 D* L3 |
（3）已知M-n’=Pn M+n’=Pn’
5 U0 ^# Z- R9 l8 p* N9 y
或 M-0，1，2，3……=Pn M+0,1,2,3……=Pn’
0 {* [0 O% ]4 u7 p3 s% _% [5 }3 J
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
% O! F# e% i: G$ A7 j m" M
存在着奇质数Pn M的右边n’处 存在着奇质数Pn’ 且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’ 例题见（2）
2 K" b4 _, D4 r. j
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
2 G) u6 E! ^; m7 l& q& w# N8 ]/ C5 x
五、质数表示式的证明
, ]/ U, C) V' Y
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2） 在式中 Pn Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’ 2n’’为2n的公 由数 Pn=3或Pn=2
: P$ q7 C( d% M& V5 Z
在（2）式中2n’+3 2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3 Pn’=2n’’+3
. e! ]# y9 s- b- V5 I- e
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’ 2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
$ r4 o% ~2 @' l# t) x1 f
=0+3+2+3=3+5
. \, v6 s5 O9 @4 _( l# j, \$ b
=0+3+4+3=3+7
( [% S ^5 O+ O
=0+3+8+3=3+11
/ N& Q. ^) Z% q2 z
=0+3+10+3=3+13
$ d4 h* l& ^, D) }9 _
=0+3+14+3=3+17
! w L! `4 c/ C7 \& k2 _. @5 f; Z
=0+3+16+3=3+19
% N% ~' K9 J- y/ r7 b. h
=0+3+20+3=3+23
- N4 p! }+ [, l4 F9 l1 S
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
: r9 a* j# N; M! w* Q
即6+3=9 12+3=15 18+3=21 22+3=25
7 [0 b2 z/ C. U7 D
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
" z: P$ y# p6 J+ r' a
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
) K* Y7 @& i5 w) t- f
=2+3+10+3=5+13
, W$ c9 M. w1 t9 F5 u! [
=2+3+16+3=5+19
6 N9 C- k+ ]$ d5 C1 z
=2+3+20+3=5+23
2 l! ^# N0 V; D8 R: {
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54 它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27 22+5=25 32+3=35 30+3=33 48+3=51 46+3=49 54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得 Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
9 O# |0 ~. B' G" F' K) J
=4+3+28+3=7+31
; W$ _ l" O4 {+ Y% T, k8 J
=4+3+44+3=7+47
4 f* d9 [3 X, o2 ~! Z) a
=4+3+50+3=7+53
" V4 k" y) F( `* t, F2 w( l) Y' X5 S
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
% S. g0 i1 K# J7 p" N, E
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
6 @7 S$ ]$ `) m n1 \
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
2 d7 G4 p, Z V$ F; z
它们的偶数公由数分别为24，31对。
* \' e3 [2 F. a( e7 D3 p- a5 V: t8 [
2n=92的有第 9，15，18对能用 即 Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
5 ~3 }. D2 Q& r
=28+3+64+3=31+67
; U$ X5 d4 z* x6 C/ }% t+ s
= 34+3+58+3=37+61
* e* d; _4 r4 e. S% c# {% e& E! `
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109
5 w! N& q3 q# n4 f( E
=28+3+94+3=31+97
, T* s$ V( L' @8 X1 L* `
=58+3+64+3=61+67
1 n; H, i- j$ N
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’ 2n’’ 有一对以上使2n’+3 2n’’+3 均为奇质数
) Q2 I; {8 T& [6 a
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
u) j1 Y' D& r2 q* u5 t
=2n’+1+3=2n’’-1+3
+ W7 q" C- h- e
=n+3
9 C* Y# A& \' w2 `0 z, X
=3,4,5……
- {1 l4 C( K l8 L$ C5 o
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集 根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
) N+ X0 O# g* ?' K `
2，质数表示式的证明
3 q: Y: s! J( @7 n. }
(1)已知Pn=2n’+3
& B/ S/ C5 o j$ P$ H
Pn’=2n+6-(2n’+3)
7 Y) l& ~& F! S3 f$ j
Pn’=2n-2n’+3
0 A6 v! P- T9 P" Z
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
; H5 H* n# s: N+ [: M) e
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’ 2n=4n’+2n’’’
7 G' ^1 r% n1 u3 u. r
Pn=2n’+3 ……（1）
( h6 m6 M/ ^& c# j; H" p
Pn’=2n-2n’+3……（2）
& c% h' x+ a: c# K& v! Y
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
+ ^2 C! \7 u+ @7 Q; M
上式中 n=0,1,2,3……自然数集 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’’’为Pn Pn’之间的距离 Pn+Pn’=6+2n
! b: g7 ^- C2 I
2n=0 2n’=0 Pn=0+3=3 Pn’=0-0+3=3 2n=0+0=0 2n’’’=0
/ F$ o' D0 p! ?
=2 =0 =0+3=3 =2-0+3=5 =0+2=2 =1
6 k( j' g* d' H
=4 =0 =0+3=3 =4-0+3=7 =0+4=4 =2
) B* g2 V- E3 N% O6 d
=6 =2 =2+3=5 =6-2+3=7 =4+2=6 =1
4 Q8 u" t5 q- x( Y
=8 =0 = 0+3=3 =8-0+3-11 =0+8=8 =4
7 O+ G% O% y3 ~8 ]0 X
=10 =0 =0+3=3 =10-0+3=13 =0+10=10 =5
0 \5 u( d5 z- W, m# f V) ?# R
=112 =16 =16+3=19 =112-16+3=109 =32+90=112 =45
. c" f4 R, s: f/ m& o
（2）方程组
& ?- \ u. E" p
Pn=2n’+3 ……（1）
! S+ j( m' a, C+ t
Pn’=2n-2n’+3……（2）
, K1 R8 C( G7 y# {/ o! T9 |
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
1 m) ?4 ]8 s, e5 J
① 方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
+ r* S4 U& ~4 T1 M9 r C
2n’+3 2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
& H+ M1 g7 C# o% Z4 @4 v
②解方程的步骤
" M! A4 c. P [( U7 X9 y
设2n=0，2，4，6……偶数集 根据2n的偶数公由数2n’ 2n’’ (2n=2n’+2n’’)
! ]' b2 ^2 ~" N# E/ Y
确定2n’ 求Pn=2n’+3 Pn’=2n-2n’+3 根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
; |) [. g* }: k! N/ \3 @: K" K
③证明方程组成立
- ]4 c4 e* {+ a/ q
即证明Pn=2n’+3 Pn'=2n’'+3
6 y. F5 @& `! H# Y+ e& v5 w% ?
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
. p4 Q9 j4 Z: \6 K& M- ]; J
又已知Pn’=2n-2n’+3 2n=2n’+2n’’ 2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3
' ?7 c) O- J/ y1 Q3 V+ N
" Z$ G, t- |$ `* @! _& r) l
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’ 2n=2n’+2n’+2n’’’
* |- k/ S; b- |( a0 L2 n; h* ^& W
得 2n’’=2n’+2n’’’ Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
: I( r! p9 p: L
Pn=2n’+3
1 i# z7 O! _5 o$ t/ |" J) P) q
Pn’=2n’+3+2n’’’
1 C) R& _% h+ [
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
- S0 m; j" R. W. h9 Q8 X+ f
即Pn=2n’+3成立
* P6 g( t& a( z
Pn’=2n’+3+2n’’’
; n4 e: f, p; j1 Z# ~. k1 m$ j
=Pn+2n’’’
6 c$ ]( ^0 E9 }! [
=Pn+0，2，4，6……
% R7 u4 T4 q* L! B$ M- w# W
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
6 T, G! d7 P8 Z& s) X Q6 H' f
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
5 t9 S8 ]2 g x5 T+ S. i
即Pn’=2n’’+3 也成立
9 j5 l* t* {# h' R
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
. O1 B' u& a Z. \/ u
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
' ~2 U1 G) y$ p. \# k1 Q/ w# O
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数 即Pn’-Pn=2n
# i+ L$ n# M# ?- Z7 {8 M' Q/ c
(3)，它们的分布是不规则的
0 b8 o) `* ~$ ?5 v3 G
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
# ?1 ~7 ]. c, {7 f
即奇质数之间的共同规律
1 k% t) t+ c% S* f
2，以上证明涉及到五个问题
4 w. |8 q5 j- |
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
^" H8 C- G* D9 W
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
# p5 [* \& B$ a5 R. i
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
- \0 ?' X2 ]* |7 T9 ^4 H
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
1 @% C. C+ U( O: o
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
; `: h! [2 C }. N" e
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
5 J2 e6 V) R6 U9 \3 J" I
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
! G. b5 _: a4 ?9 }) v7 A
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
, k2 c: [) h# u* c4 ~
因为因素与理由意思相近或相似
) B! \* _1 g+ o, }) t Y3 V& N
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
8 W4 b( l' ^7 N1 c
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
" h6 X' X, F9 w' q1 h
如：1、2、3、4、0 可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
K/ c# H" C: @
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
# J7 v% I$ M" ?- E, J. i, J' S
又如，６的公由数为０，６ １，５ ２，４ ３，３
9 i }6 y' Y x6 m4 {. [; J9 W7 G
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
* i/ h8 V% |9 w! I( }8 v9 `: D, ^
因，2n’ 2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８ ２，６ ４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
# _* h/ s$ ^& v
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
: ^- D- v: a% a6 D' t! c
设2n’ 2n’’ 为2n的偶数公由数 则 2n=2n’+2n’’ 或 2n’=2n-2n’’ 2n’’=2n-2n’
* s2 k% {$ [' H+ V) F/ _- U% y, O }
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’ 2n’’=2n-2n’ 来表示
3 X o; V5 Y" d! z
注2 在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
* ^+ d: @" w" z2 N
下面来证明定理一：
) O* H3 i2 u. t t1 \! h! R
已知：Pn’-Pn=2n’ 因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
: ~# v( M0 Z; _/ ]) v5 N ~$ y
则Pn’=Pn+2n’ 将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
$ M9 d; |5 i* F
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’ n’=n’ 定理一成立
p: b% L- q/ ^( H5 P
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
( ~8 Y( _, i' V J( L5 |% n
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M 即M=Pn+n’ 2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
3 p! i6 @: _' k# e. N
M=(Pn+Pn’)/2 即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
) V& |" [* @: o
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
3 ?& h0 h1 S: `& X2 H; t' y+ K
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
4 Q J- `! r2 A
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
, ?+ U$ c% z8 h. j
得Pn’+Pn=2M. M=Pn+n’
/ O% z/ ], H) O5 V ^
例
5 g9 o! \" R* _6 e
pn 3 3 5 5 59 61
, x1 B2 ?8 y, E9 O+ }+ D
: }" ~) E. ~" d7 a0 D9 F. ^) v
Pn’ 3 5 5 7 67 67
: y' I; _8 ^$ j( k$ b5 |* L
2n’ 0 2 0 2 8 6
2 H6 _+ u0 K( t" ~3 F# v
n’ 0 1 0 1 4 3
6 l7 k: H. ~$ `
M(Pn+n’)(pn’-n’) 3 4 5 6 63 64
! B. K$ ?, `; s9 Z3 a1 T
2M(Pn+Pn’) 6 8 10 12 126 128
& ^% W# B3 F0 L" V- Z2 y
由上得 Pn=M-n’ Pn’=M+n’ 由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
: M- R5 Y, G8 g+ `
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数 pn pn’且 pn=M-n’
7 Y; g" q- @: b2 L* ~! @7 v# K
Pn’=M+n’ 得 pn+pn’=2M
: Y3 V; M" ~6 \$ y5 F% ]1 j
M(Pn+n’)(pn’-n’) 3 4 5 6 63 64
8 x S& N4 M" C4 W0 C
2M(Pn+Pn’) 6 8 10 12 126 128
7 {9 G% E( m: k" r" W
2n’ 0 2 0 2 8 6
4 g0 b/ P0 ]3 }
n’ 0 1 0 1 4 3
r7 G: y; t- m
Pn 3 3 5 5 59 61
7 l3 [5 e: t6 w4 Q h
Pn’ 3 5 5 7 67 67
1 H" l' E ?2 d3 f( J5 B) P0 q
9 ~9 H0 P! R% j2 x: U1 _8 I! H
注3：在（3）*式 Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
( s0 d6 e9 Z, o) y( C5 B
若 Pn=2 代入得 Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
4 J4 E+ C8 Q2 E9 G. T- P0 i I
式中 2n=2n’+2n’’ 即 2n’ 2n’’为2n的奇数公由数 （这里0既是偶数，又是奇数）
( d: [8 R: P! B N/ O# x
例 当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
& k3 {; K4 J! C e( k9 i# Z
3+3=1+2+1+2=4+2
. n- q6 s3 b9 ]+ U2 {8 l+ X
3+5=1+2+3+2=4+4
2 E: B( o7 e! f& y( l' i3 i
5+5=3+2+3+2=4+6
. Y4 z2 g4 h+ Y2 e2 q
5+7=3+2+5+2=4+8
2 M8 ]0 f5 u3 `) _( f
7+7=5+2+5+2=4+10
_9 ?8 b. c3 y2 V6 D. C' S% ~5 {) e
59+67=57+2+65+2=4+122
# j+ z p6 k/ ~) B9 T0 C
61+67=59+2+65+2=4+124
9 H! v( _1 n* i) f9 ~' w5 q
…………………………
0 I$ f, o# L a+ Z. R" B
在(2）’式中，设 2n’ 2n’’为2n的最后一对奇数公由数
# G+ p3 O- W. q; V9 A$ [+ U6 f
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
& y) G/ J+ p. T9 i6 U2 E Z0 L6 W
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
: c1 P7 L- m6 o/ k! g
若n为奇数时 2n’=2n’’=n
2 l7 ], w: I' T
若n为偶数时 2n’+1=2n’’-1=n 代入（2）’式 再根据奇质数定理 得 (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
$ N7 u9 [ C9 ~; `0 ?" m
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
$ m- ~) U/ E" F; Z8 v
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
8 Z7 T' O, j/ j# z1 m5 `1 L6 M
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
$ k& d+ n n' \+ y; Y& F8 e
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
* U3 n) Q/ _# m3 P, K9 K
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
5 ]( G: C. m4 _( t7 b% r% m
笔者 蔡正祥
+ s$ J- J3 U* P! H5 J; A! l
2011-8-6
+ }% V! u1 k! p% e& _
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
' E. E" D& `6 {4 L, ]3 y. l( {5 v
邮政编码：214206 电话：0510-87062749 18921346656 15370276856
1 g4 b$ e- K$ }) U/ z* j, M
籍贯：江苏 宜兴 工作单位：宜兴市张渚镇政府
& j# O6 D; ^1 L9 T6 e6 g9 ?
1 }$ d; r1 @' Q, ]
9 s3 p7 t* O; p. o3 l& i& @
7 F! |% q6 K! U& v% {
作者:
qianlei
时间:
2011-8-20 10:01
很强大啊
作者:
蓝天骑士
时间:
2011-8-20 10:39
作者:
蓝天骑士
时间:
2011-8-20 10:40
作者:
1395094431
时间:
2011-8-20 11:12
数学证明不能用穷举法
作者:
花齐空
时间:
2011-8-22 18:08
楼主可以与马广顺等共同研究，你们观点可能有些一致。
作者:
ldz880508
时间:
2011-8-22 20:40
这个也能叫证明吗...
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5
