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标题:
哥德**猜想的证明
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作者:
蔡正祥
时间:
2011-8-20 08:55
标题:
哥德**猜想的证明
哥德**猜想的证明
! z2 k+ ^1 F, a8 i5 n) l6 m9 a0 }
一、质数表示式
N0 x8 ]7 V( A0 H; b
1、质数表示式的由来
) M4 Q% |3 b$ r
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
: ~& Y- o! M/ p
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
& @6 w4 \& i/ D- s4 D6 _* k
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
* H8 `$ ~7 Z0 q6 r; |; y! `
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
* c$ M! `+ ^; v( I
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
0 J6 o' |; G$ T) V8 E6 |
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
2 F4 g, X6 I9 C% h( j! C1 K/ a
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
! ]5 |. x8 @+ p- v' a1 X# i
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
1 h1 `0 d( m7 r6 {* x
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
5 v, y. [% z7 h& t% }+ X
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
1 O1 i# o: h6 u2 e) o& y! n
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
; q6 ?/ x% @ g$ D7 U$ q% b2 b
（2）式为奇质数表示式
s3 ~' a" u; [6 h) y( R7 L8 I6 b
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
2 a6 T7 }% e, K
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’ Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
* l- P, h1 f* P9 h5 F
因pn=2n’+2N-1 则Pn’=4n+2N-1……（3）
4 [ ]1 m0 n+ O) T0 g3 r- W9 W
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
0 n# Y& @" W# C2 L# q
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
& v5 w# o- y* O$ L" T- C
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
?3 \, p7 U/ E9 B, q
假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
4 Z' B2 e9 L3 L- s l( |
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
# K( U. z$ `4 {! o+ n
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
% u% l8 T+ W4 L+ E! U! y) O
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2） Pn'=4n+2N-1……（3）
2 W2 h$ ^* S/ }8 S4 y. ~4 p" s' z
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n
' w, I1 P+ P- z6 V9 u/ b' _
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ） Pn'- Pn=2n"……（4）’
- f9 T5 p Q* ^0 D& x' O; |" B
0 j9 g. K, I g6 `0 b1 {0 T# J
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
( p! Y. ~( I, _( F; k, w4 Q* o
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
( O$ |9 ^$ _0 Z3 O# q
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
/ t" w( [7 I& t+ l
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
9 |( i7 s4 f2 j T1 L. X) ]) N. u6 H
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
8 h1 t! ^) \& Z' X* o/ {2 V/ x, T1 @
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
1 v7 \. j0 e( v& v+ h1 r; ?+ A7 b
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
1 _. ^( K6 I8 \' C* M
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
) g9 K/ `$ H& m# ]
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
e2 l* f9 y: t9 H# b% i$ P
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
# W* z, m2 a2 K: c
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
1 v2 S% w: J5 ~! ?% ?
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
- w, P' Y+ `/ z S! L
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
~# A+ H2 ^* w0 e" N
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
# H/ D% L! S# Y9 p
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
( `( Q; b% G7 O1 G/ {
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
. Q' ?1 p2 ?) h+ j" ^: i
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
) M1 Q: H% r% Z0 K0 o- Z
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
+ J% N5 H% T2 U3 {1 C
由此可以证明（3）式 ①为恒等式 ②等式左边或右边表示两个奇质数之和
% a4 E/ `1 x {, W
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0 3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4 5+7=2+3+4+3=6+6 7+7=4+3+4+3=6+8 5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12 3+17=0+3+14+3=6+14 5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120 61+67=58+3+64+3=6+122……
* K9 S u- X5 f) u7 ^* m
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
! V% g' {# |. P4 I1 p3 ?9 R
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式 在（3）*式中 Pn* Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’ 2n’’为2n的公由数 Pn=3或Pn=2 （注3）
8 r {5 K: U3 {# c! w
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
3 G( b1 Y3 ]% _0 f7 J! u
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
3 x8 m' r M" ]
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
# r9 s) Z+ D: I
9 `( C' P2 Z7 ]6 I" d o$ i" M
得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
* O6 Z; b0 a8 h8 w! D5 T
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
! O; Z% X" ^4 S' \/ e" O
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
3 @7 M" G9 Y9 m
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
% E& z1 Y5 y: E5 o6 b# S& ~
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
. N: d/ N% i1 U. q% {
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
( W4 @, [0 F; e. U
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
1 f" V0 T6 n, k' H
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
2 H7 ?; j+ X2 B/ A- i6 c7 j
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
+ E; r+ _# f) _4 Q7 o
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
# I$ x1 O8 ^3 l+ V+ W
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
+ b& j! v$ {0 Y( ~, w5 A" I
例
' x p, g. t- w/ H0 f- p) k
n 0 1 2 3 4 5 6 60 61
- V- P t6 j+ y2 Y* m
2n 0 2 4 6 8 10 12 120 122
' U- p/ O+ F( d& {0 b
2n’ 0 0 2 2 4 4 6 60 60
/ L; Y2 j* P3 T- u" i
2n’’ 0 2 2 4 4 6 6 60 62
! k9 X( |1 l; D @ P$ c
M（2n’+3或n’+1+3） 3 4 5 6 7 8 9 63 64
7 Y* a# g3 l" A
Pn 3 3 5 5 7 5 7 59 61
* @- p# Y; N6 n) z; x; I
Pn’ 3 5 5 7 7 11 11 67 67
7 w/ g0 m6 y. K9 J3 A4 u% b
Pn+pn’(2M) 6 8 10 12 14 16 18 126 128
9 J& A. p2 K% b$ [: P/ o& D2 j
6 Q( m) q; r6 X3 W% x" z; ^/ Y: d
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
3 H( P1 D, d' p( `% G
又例如，2n=22222222222222222 n=11111111111111111
# I9 n n d9 q
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n 2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110 2n’’=11111111111111112
2 t& h! a; C8 A: b7 K1 }" w. x
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
* W: j3 ^3 _9 G, N% W
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
8 d4 q# r ?/ [4 ?7 D
M=11111111111111111+3=11111111111111114
: H! R7 J } U% K7 P' Y. j
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
0 Q6 ^ [+ t2 s4 ]$ L" e* Z0 m
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n 求得 Pn’
6 ]# W8 F2 x8 P! V1 n1 b
已知 M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111 n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
7 r: M5 Y8 a4 n$ u0 r4 ?
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
n# V7 ]5 R& M
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
! L$ K/ T& y2 I d, S( i$ e2 T
' A+ D. D8 k& H/ C9 M
=2M=11111111111111114X2=22222222222222228
. [2 X7 d0 Z2 D
三，也可以这样证明
& _+ R o9 {* [9 \
1， 在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中
$ f G% W3 ]: p' R% t/ \
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
+ N2 A5 H2 V/ T6 u
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
) o' F: J" K8 o/ x
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
, A2 n& O: i: m1 p2 S$ a$ ?% u
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
+ j# q0 O" q. x+ n1 p) Y3 c, U+ n! p
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
6 \ r; W+ |, Y6 N$ @+ E
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1
; y' D: C& N$ ~7 { c' P: [2 v
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1 得Pn=2N-1
$ g! a7 y6 F2 n7 _" k
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
4 I7 M8 J, L& r' J
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
/ U: F. ?; ]3 L
由上证得 Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1） 在理论上成立
; ~5 e: f: A- |" v2 t: V
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
; `1 _4 ?; p$ g2 j/ \% O9 w" b6 J
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
& C7 K0 P: V, c9 X. A9 l+ P
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
s- {( W8 k" s; E2 @1 c% E
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
7 j5 |: q' e% v. K
或Pn*+Pn*+1=6+2n
: `; n5 p9 f, d2 Z7 b4 _7 i: I# X
2， 因两个奇质数之间的距离为偶数 用2n表示
8 L' P$ u* m5 U* p( x* q0 ], ]* K1 u4 _
即 Pn’=Pn+2n 得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）
3 g. m# r& P _/ H
在（1）式中 设 2n’+2n’’=2n 即 2n’ 2n’’为2n的偶数公由数
1 w' q4 s9 T6 U5 O- W7 T! p
代入（1）式得 Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
9 Q9 b( K+ P+ o2 {0 `- S* t: C
设2n’ 2n’’为2n的最后一对偶数公由数
1 }! T9 s0 A. R: W. o
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
: u! z( S+ ?: g" Y- H
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
8 c" Q/ l4 |! F" T
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
+ w7 O) q3 o' w
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
9 _7 |4 x$ T7 E& [
即 （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
3 N$ s1 Z! v' ^7 E: ^2 B
n为偶数2n=0,4,8,12……
: w$ Y8 i/ k7 N$ {1 h
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
, r8 g) ~6 C! {* F7 _0 U- T
2n’=0,2,4,6……偶数集
0 f1 p X: x, n
n为奇数 2n=2,6,10,14……
5 Y; I1 G3 _4 g
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
; o, v1 `' _' A L; z
2n’+1=1,3,5,7……奇数集
4 D, h8 y" w) Z# V* t/ v
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
! R6 @* ~! H$ w' O/ a
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集
! _, m& K; M) N6 U3 }
设 Pn=2 或 Pn=3
L; y5 L4 Z. U$ Z! N
代入上式得 Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
" G. y) c, f9 x& I* A" ]* v6 L7 l
四，奇质数定理三的证明
: j" @& K* h& V( `# B( r2 u
（1） 已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
5 D) }) p# j9 V( m$ _. N( i/ y
又已知Pn’-2n=Pn Pn’-0,2,4,6……=Pn
, q! O$ P! c: v: W0 Z
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
+ ^: V5 f, M1 D
Pn=M-0,1,2,3…… Pn’=M+0,1,2,3……
2 n) `2 \9 I) k
或 Pn=M-n’ Pn’=M+n’
! f) _9 v8 X4 |+ t7 Q0 L% Q* X! O
由此证明了 Pn=M-n’ Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M 成立
6 V; g& O E% \6 ~4 M* o
（2） 实例说明 Pn=M-n’ 即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
7 K+ H$ T# w! ?/ C
Pn’=M+n’ Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
' v* \5 f" N) j- r" K; R! E
得 Pn=3-0=3 Pn’=3+0=3 M=3 2M(Pn+Pn’)=6
& y6 x i O5 {. P# P0 @1 w
=4-1=3 =4+1=5 =4 =8
' A; S5 X! v9 r' T
=5-2=3 =5+2=7 =5 =10
+ u4 O9 k* H4 T
=6-1=5 =6+1=7 =6 =12
; V3 S" M$ N, D+ x* ?; o
=7-0=7 =7+0=7 =7 =14
) S3 x$ B2 Z, X& g
=8-3=5 =8+3=11 =8 =16
7 q7 A, i/ k. M$ y8 P
=9-4=5 =9+4=12 =9 =18
5 x/ d: F$ _6 \3 }4 t9 J
=10-3=7 =10+3=13 =10 =20
4 L* d" A1 ^, v3 ^5 V: L4 }
=11-6=5 =11+6=17 =11 =22
: A9 ^1 r& F& n4 W4 E) U# w9 S
=12-5=7 =12+5=17 =12 =24
8 g# O$ k" o" D8 w7 ?# B
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
% c2 E: o+ m! n- C& c
=3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
( B# o# {/ x) n* q
（3）已知M-n’=Pn M+n’=Pn’
8 N" Z) K U4 Q% {6 ]- N$ K) `
或 M-0，1，2，3……=Pn M+0,1,2,3……=Pn’
9 w% H! ]" H8 z6 b. d5 L9 u, E
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
, G( [& C4 D1 A4 u
存在着奇质数Pn M的右边n’处 存在着奇质数Pn’ 且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’ 例题见（2）
! |$ v$ I% o! x
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
+ W$ ^/ y$ k8 M
五、质数表示式的证明
1 _/ A) }& [+ K' h* i& v
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2） 在式中 Pn Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’ 2n’’为2n的公 由数 Pn=3或Pn=2
, O* Y- d5 a. O( ~4 \
在（2）式中2n’+3 2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3 Pn’=2n’’+3
9 |2 g! M1 J) O0 ~( m
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’ 2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
& I. v" A' h$ N( }5 }
=0+3+2+3=3+5
, O3 V& n* A4 f
=0+3+4+3=3+7
. W1 r# b ?7 g$ b9 ?* r
=0+3+8+3=3+11
1 a# h) H: t J% Z: `+ ^* f
=0+3+10+3=3+13
; V a+ j# K: e) V% {. \
=0+3+14+3=3+17
* |% E w u/ \' E' g
=0+3+16+3=3+19
4 d2 M. R5 i/ r+ O
=0+3+20+3=3+23
* n0 n: r/ g1 W6 j+ L# Y: `
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
' B0 G W% m0 C! p
即6+3=9 12+3=15 18+3=21 22+3=25
0 n/ L% H% t( Z! p
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
6 U& I4 C, |) y# C1 V o
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
) s1 K7 m2 O3 t2 `# z" I# y8 r
=2+3+10+3=5+13
?; m" }! p5 ?* q' M% v+ u
=2+3+16+3=5+19
2 }0 U9 F( \. [ y" m8 E& o
=2+3+20+3=5+23
# O" i! Q" P" Q$ l& Z5 T
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54 它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27 22+5=25 32+3=35 30+3=33 48+3=51 46+3=49 54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得 Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
5 H" A& [6 F _; t' b
=4+3+28+3=7+31
" r0 Z0 k C% j6 H$ [2 X5 c1 O
=4+3+44+3=7+47
( C/ i! j$ \ u9 O
=4+3+50+3=7+53
5 H2 t# C L2 I) j% j
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
6 ]* P U5 ?! L9 t+ \3 s; K
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0 I- o+ v, S# s" E1 a' K1 x
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
. J9 w" U" U1 p9 _9 G2 |& j
它们的偶数公由数分别为24，31对。
% k8 s8 O7 y; G; ]3 ^1 o0 T& Q
2n=92的有第 9，15，18对能用 即 Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
2 K2 `- S+ Z# W7 I( B0 M4 Q. P( b/ z& @
=28+3+64+3=31+67
# J( D, B; E L" |9 e Q
= 34+3+58+3=37+61
; A2 p- y+ F8 a2 C1 b4 c0 H
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109
( \) [0 x9 w4 R2 ^
=28+3+94+3=31+97
) P2 i4 m* [6 f6 P; t' A8 s
=58+3+64+3=61+67
- H+ E0 Y5 P( S' K) w
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’ 2n’’ 有一对以上使2n’+3 2n’’+3 均为奇质数
2 M# I2 ~' ?1 q
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
+ C+ Q* T1 [0 h- X2 e0 n, c& t5 @
=2n’+1+3=2n’’-1+3
: D0 E9 S: [+ S0 G# R1 s& a3 b- Q
=n+3
# }+ f) L& ^5 @+ @; d
=3,4,5……
3 S/ t1 K( S3 R: U* ]3 k
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集 根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
6 G4 _6 D' u# _% m- a
2，质数表示式的证明
\: O& Y: c& g" f, H
(1)已知Pn=2n’+3
, j: h' i1 v" g) D
Pn’=2n+6-(2n’+3)
' I% V8 x4 Q' m3 q
Pn’=2n-2n’+3
$ [5 D- y4 F3 v# }6 }- T
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
# A/ g1 O& b& t* E8 h* d/ s8 s
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’ 2n=4n’+2n’’’
* q, U% m, K1 p* R8 K0 M3 o) }! D: a
Pn=2n’+3 ……（1）
9 R9 O" W$ r1 b! K+ o7 F b. L+ T
Pn’=2n-2n’+3……（2）
8 O+ O3 P' q9 {
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
+ P+ |# `; V, Z& n
上式中 n=0,1,2,3……自然数集 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’’’为Pn Pn’之间的距离 Pn+Pn’=6+2n
1 p+ b, {2 S v6 Z8 l! y* W
2n=0 2n’=0 Pn=0+3=3 Pn’=0-0+3=3 2n=0+0=0 2n’’’=0
. R Z+ K# k" o6 w5 c. G9 p
=2 =0 =0+3=3 =2-0+3=5 =0+2=2 =1
) u0 O I* D) k1 S1 b0 O
=4 =0 =0+3=3 =4-0+3=7 =0+4=4 =2
% [. Q, T& ~1 D. M8 L
=6 =2 =2+3=5 =6-2+3=7 =4+2=6 =1
2 z- y: u8 M6 e+ p, J# U
=8 =0 = 0+3=3 =8-0+3-11 =0+8=8 =4
. C; y; x5 R$ i% ~( W, g
=10 =0 =0+3=3 =10-0+3=13 =0+10=10 =5
+ r$ E; [* f2 d$ ?7 \% [- Z
=112 =16 =16+3=19 =112-16+3=109 =32+90=112 =45
) O: l; y" A# m- D1 t5 b8 ]$ s
（2）方程组
0 ?. Q# L7 j: K$ z
Pn=2n’+3 ……（1）
7 Q2 U1 K0 Z$ |& |
Pn’=2n-2n’+3……（2）
$ w: q- }" Q2 f2 u( _, B1 }1 }5 o* Y
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
! L4 D# `9 b& D4 y
① 方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
8 y1 g+ U4 q1 L0 p- K3 g
2n’+3 2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
& f2 n# b/ m/ O: W& D% I
②解方程的步骤
, o" @! @ b3 T0 e1 I; S: E) t
设2n=0，2，4，6……偶数集 根据2n的偶数公由数2n’ 2n’’ (2n=2n’+2n’’)
0 j6 x6 }" ?* R8 c3 W K! g% C
确定2n’ 求Pn=2n’+3 Pn’=2n-2n’+3 根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
# O x' |, M: j# n' m9 n
③证明方程组成立
- I. W' ?4 K/ t
即证明Pn=2n’+3 Pn'=2n’'+3
" `! ]/ {* y8 }( }
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
) v$ M8 g, p6 F+ d4 T1 |( Q
又已知Pn’=2n-2n’+3 2n=2n’+2n’’ 2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3
& g1 e6 h* I' }* [: e# q
: l3 I$ K! _6 k2 L i0 F& F5 Y
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’ 2n=2n’+2n’+2n’’’
0 v4 E+ [, F3 ^2 v+ S
得 2n’’=2n’+2n’’’ Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
- m; t* x/ v! j
Pn=2n’+3
9 ^3 m; |% O# J3 h3 H
Pn’=2n’+3+2n’’’
' u9 f& m) C% ?. I5 B
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
' }& M3 U8 w0 N/ i" {; u' c+ n
即Pn=2n’+3成立
0 L1 C, v: ?" z
Pn’=2n’+3+2n’’’
+ u1 b; i, D/ Z9 h* ]
=Pn+2n’’’
8 O3 W) @7 x- R9 t" s8 s( H" P
=Pn+0，2，4，6……
( W6 p9 i5 q* V( q# F
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
1 q! B5 E, k$ M2 u1 K
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
0 D9 B. \' V: L; Q/ X( x8 @
即Pn’=2n’’+3 也成立
# s; _+ W9 ~# }6 ]& t7 d: b/ J7 W
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
! v+ Z$ O) i8 f: l) j; X$ n4 o$ G
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
8 Q2 N3 n$ Z/ P
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数 即Pn’-Pn=2n
3 h) s B4 v9 @) s I! M, t: G
(3)，它们的分布是不规则的
: }4 Z5 t% v" E
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
) n) V8 h8 a1 [+ \/ e4 e5 }
即奇质数之间的共同规律
+ T& ^) c" P' M0 q9 k: v
2，以上证明涉及到五个问题
" D/ Y+ Z4 J7 k. X& ]
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
1 N$ T; G, N# W- S+ o ?+ Q# t: u
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
0 S0 @% U& w7 q. |+ ^% k8 n: o
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
- [0 j( G! \. J
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
( n# B2 B, m& d& Y* @4 R0 m2 e
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
" @6 S5 j, m4 e8 d E K" N
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
" H$ w6 l- j: L. {
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
( V. z! j$ l! L5 d
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
1 H; k+ F0 R4 Z; I8 U# E1 w
因为因素与理由意思相近或相似
9 x! q) y. x$ O9 B% `; o3 W
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
O% w5 A- \1 n: s( @$ L' `
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
, U& _# G5 `, ~
如：1、2、3、4、0 可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
9 f& i& j! H6 Z6 y; x
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
$ h5 n" E; w6 ?8 @; l) G4 F
又如，６的公由数为０，６ １，５ ２，４ ３，３
/ K5 l- U' u$ w: e2 u: J& I+ |
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
4 \6 Z+ V! v5 `! L
因，2n’ 2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８ ２，６ ４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
* @* \/ s4 { c' [5 P8 q/ i1 o9 U
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
- r* d/ B& w2 H+ l: l. j+ U
设2n’ 2n’’ 为2n的偶数公由数 则 2n=2n’+2n’’ 或 2n’=2n-2n’’ 2n’’=2n-2n’
# Z' C" s- V3 z& m# ~
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’ 2n’’=2n-2n’ 来表示
: e, ]! X$ N- z
注2 在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
4 O% O* Y4 D# h* `4 {& R: q8 r0 Y
下面来证明定理一：
* M/ r3 F; L- B* v& ]3 V
已知：Pn’-Pn=2n’ 因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
- f$ d# t$ \. p% z% S
则Pn’=Pn+2n’ 将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
9 X$ X8 @5 ~7 |& Y
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’ n’=n’ 定理一成立
3 u1 z# o, v9 E5 M/ {) ?
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
, f# W2 h+ R+ p0 c8 r" v+ W
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M 即M=Pn+n’ 2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
, \5 H B/ p" W z1 t7 L- E
M=(Pn+Pn’)/2 即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
. a# p& J" z3 d' g$ {
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
0 c4 E- T$ p3 ^. e+ ]
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
; m' N1 @ |# e% _! V2 z0 \
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
# u) W1 j z4 o' L" n4 f5 J, I7 X
得Pn’+Pn=2M. M=Pn+n’
! v% Z0 m6 L+ ?$ a% `
例
; V- N2 f, u+ S) k. ~8 x
pn 3 3 5 5 59 61
2 \1 J# y+ @6 C/ c
: n) q x5 v5 R
Pn’ 3 5 5 7 67 67
: J" F) O! n# Z- ^/ z1 e# V
2n’ 0 2 0 2 8 6
4 h/ W) h: J2 K* g) G
n’ 0 1 0 1 4 3
& q# w! {# d: C* ~1 f% c4 V) }
M(Pn+n’)(pn’-n’) 3 4 5 6 63 64
& W8 @9 s3 z% ]+ \" d
2M(Pn+Pn’) 6 8 10 12 126 128
# _. {8 ~- r5 d4 b( P6 }
由上得 Pn=M-n’ Pn’=M+n’ 由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
- t) @6 ^2 A! c1 }. z5 v
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数 pn pn’且 pn=M-n’
- K( y- _# X0 P, d8 f- C
Pn’=M+n’ 得 pn+pn’=2M
; z8 \! x8 @6 p- }$ s: A8 L4 G* `
M(Pn+n’)(pn’-n’) 3 4 5 6 63 64
% W8 u( d, h( m; [5 `" j y: y
2M(Pn+Pn’) 6 8 10 12 126 128
/ C% S! a; B$ r( A
2n’ 0 2 0 2 8 6
- ^, x" S' G. u' L1 l+ n: x+ G
n’ 0 1 0 1 4 3
5 J# n8 d$ l0 x+ D
Pn 3 3 5 5 59 61
3 C# y! o" a. e/ t$ t6 W8 p7 ?
Pn’ 3 5 5 7 67 67
/ n& @+ t* ^/ U& R+ H' ]/ d) h
# N6 O( H: w }3 f4 z4 h: N
注3：在（3）*式 Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
% D6 y/ _0 q( v* Q8 b
若 Pn=2 代入得 Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
( Z+ A! Z" s6 k
式中 2n=2n’+2n’’ 即 2n’ 2n’’为2n的奇数公由数 （这里0既是偶数，又是奇数）
* f" w1 ~" O! V" k p! a( R
例 当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
6 a! X* h4 x1 j+ i
3+3=1+2+1+2=4+2
. _# B" U5 W: L6 Q
3+5=1+2+3+2=4+4
0 a2 T1 V" }. u4 `8 u
5+5=3+2+3+2=4+6
& B* v" ]2 k: t: O6 H0 s, W
5+7=3+2+5+2=4+8
0 A3 M7 h5 y6 N6 H( o' ], h
7+7=5+2+5+2=4+10
8 h$ n( o1 ^# j
59+67=57+2+65+2=4+122
4 r- a# {; [ @ Z
61+67=59+2+65+2=4+124
& h8 ^; X9 r. y9 \+ A+ m% [
…………………………
6 a2 h; G9 x( g0 w1 U; B( \; U' J
在(2）’式中，设 2n’ 2n’’为2n的最后一对奇数公由数
/ e, a6 e& _% p6 f5 `, c2 c; Z
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
8 g, r% S& r7 F4 B. V
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
l- j+ }1 d, Z( ^$ f& e
若n为奇数时 2n’=2n’’=n
7 |% Q, F) t: R0 ?: u
若n为偶数时 2n’+1=2n’’-1=n 代入（2）’式 再根据奇质数定理 得 (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
5 h- L- l% Y. e. f# K
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
. C+ P. K2 H1 o) c9 O& x! h
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
+ u; b+ @; k& m$ R
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
, a3 g( v, v' B0 r
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
% I( L5 M2 ?+ A1 s
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
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笔者 蔡正祥
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2011-8-6
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通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
+ c2 [0 e- L/ T5 P
邮政编码：214206 电话：0510-87062749 18921346656 15370276856
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籍贯：江苏 宜兴 工作单位：宜兴市张渚镇政府
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作者:
qianlei
时间:
2011-8-20 10:01
很强大啊
作者:
蓝天骑士
时间:
2011-8-20 10:39
作者:
蓝天骑士
时间:
2011-8-20 10:40
作者:
1395094431
时间:
2011-8-20 11:12
数学证明不能用穷举法
作者:
花齐空
时间:
2011-8-22 18:08
楼主可以与马广顺等共同研究，你们观点可能有些一致。
作者:
ldz880508
时间:
2011-8-22 20:40
这个也能叫证明吗...
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