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标题: 哥德**猜想的证明 [打印本页]
作者: 蔡正祥    时间: 2011-8-26 21:32
标题: 哥德**猜想的证明
哥德**猜想的证明( o* P2 \4 g. t# Y$ U# N5 x
    一、质数表示式
" @0 |; ^0 e% b6 v, `1、质数表示式的由来2 `1 O( F1 X# o. ^* m+ P& [+ V5 d9 ]
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......! C1 Q$ M# u) `# |/ E
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。4 S# q8 B7 i  Q
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
4 b! d# j* X: i  w0 f1 t已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
1 X7 n9 V' ]( R" L以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
9 |; Z% c4 V3 S3 C7 r; y: w$ `则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
9 X, Y8 B( `* E将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4" v1 d; g* j3 h4 z3 s9 g8 J
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
2 m1 F/ Z9 u7 A0 z同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。3 b5 Y( S7 w6 U/ F4 w
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
+ M7 c( M! _3 h4 G- H即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
3 r1 l7 d! d9 i1 k. r$ d（2）式为奇质数表示式
( C: u. v; y. y由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
; m. o0 R3 H# L( h0 n9 w5 C7 r 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
/ J6 R* X# A# L7 C. m9 F  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）' m& J4 E+ s* M" V* {! s+ b3 N
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）" s8 p( M1 e4 N5 C
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式) w* b/ d$ o1 ]& P
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
: j2 n) T$ k- f/ K& j2 w  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。$ K) {4 x% u6 @4 P9 @% s5 C
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
) P9 k2 ]' Q( ^4 U# T7 S8 w& ~6 F即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞: `; C- S# A4 b+ v* w1 R. `
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
5 j' f) Y$ O/ o% P0 \# l' f( [用2n"、 4n"分别代替2n 、4n    ) ?; B8 Y) H4 {; L) I9 F  u
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
9 n5 l3 T( u0 h$ q0 }# b2 u! e                    
1 `# J; j4 `2 P5 _% ^; W9 d其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
9 a1 F% }! F/ T& v3 v) A: P这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
( U5 T1 ^/ ]* T' A8 `1 [即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞8 L) P$ u  c6 B/ ~# \
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6: J9 U+ x- y! D2 @# |8 x
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
- K' f# I4 \* v. K2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
5 j# y6 T, F5 c3 B2 [9 d2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100% z: `& |8 U) Z" H& d' U9 y7 {
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
4 m& P* Y8 E. y3 W, [  M直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明5 c9 T$ R/ o5 B  K
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
' X( z; j: F4 {在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)$ A. z) c$ g+ V' Q0 i  P; f6 Y
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）* M1 j! `4 y( W' c, J' z* _) o; ?; A
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
/ c/ n1 J: c4 b0 Z# Z9 ]又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n! k7 I) _2 B5 ~8 ^$ L' n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
4 e/ g) o8 T! [. U即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立) F0 h$ Q( \7 W% R5 N
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。& M6 [% k1 @1 g& C- X  N
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。( K; ?" B- ^# ]
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   : Z/ k6 n3 r: y: d
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
/ l7 q& n8 n2 U& E; e- s) _; p" k由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
- O' x, p- J/ @+ _  X0 P, c（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）4 x/ W' v: G  n2 w$ F
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
( K6 v5 K$ k9 j1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数9 a% U8 t6 ~. w! v, ]$ R. U/ g; k
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，  j2 b) w- q  n# O

2 |3 T; M* c7 m得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）6 X' A" }8 x" y5 g& q
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n) e, L3 O* W$ K) Z  L
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
3 d! g' h, ^6 X! O1 B6 ~. }$ q在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）; t- ^6 m- w* \9 ?3 ^! G
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’0 h; P  g7 @( B* u$ g
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
) o5 W$ n5 I" \- S: ?3 q+ ~即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
! c5 ^; B/ ~* a9 g3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
- B; a' E8 L, z0 X设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，  K3 N8 ?; e1 n  t$ b
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
2 ?9 ?; E  w6 {即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。# k7 M* O! `: Z$ Y' x0 P) m3 X
例  % v. w' d% A% d( P0 Y/ K8 J
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61, A) P. s: z+ Z1 o8 h4 f
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        1226 ]8 w9 d1 z. O+ F+ l0 c9 q4 }+ }
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
. P* W, ]* u* D+ a/ {+ Y2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
* M0 b* B9 R- R6 u' I1 z& V5 NM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64: P" D2 m1 J1 g1 F, X
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
1 h9 h/ G! x" T/ y5 z4 A8 r9 }Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
+ }7 E" O3 f1 T( ?. b' QPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
4 Y5 |" t3 w) p3 l5 y( J6 y( ]: u1 n8 w/ q7 }
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
7 l6 ^8 s& h! f) a% Q, l又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
! T3 J2 k! c- G, f+ s' u因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  ' O4 M& t( x1 x( q. h
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
1 y  l! m# M. M, C(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M6 k$ X3 ^+ y; @! H3 X4 z; i
M=11111111111111111+3=11111111111111114$ s. q! v3 T* ^
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
* W9 j# K: r$ x  w$ K1 l& L3 h然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’" s$ o/ @9 N, D' G3 U& V2 z7 o
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=37 H- M5 {& _. |) S2 E. c2 o2 `& g
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
( f3 \9 f/ j9 W% R5 ~9 [* d7 J/ QPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228% l- X( D0 H9 ~- z# `# T+ p1 G0 [
) D2 \+ T; B9 b* ]) }+ a
       =2M=11111111111111114X2=222222222222222287 R# a( {! f  N
三，也可以这样证明3 M) |9 w. ~  n: W+ g
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  , ^9 k/ ?' j4 ~) _, A
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
( L& r$ b8 K/ `+ o9 K若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，3 E3 ?* t, K3 {. |0 Q% ^* T
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
" z) b1 z$ k+ @- ]) g代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1" k( a1 s; n$ [0 `6 g( V/ B
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1( g/ ^# y8 K/ Q5 L
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  2 {; X" W  `0 U  g2 B$ Y' D
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
) P: `" }( \  Z. @0 J, r代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn) m9 U* e1 B) D
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式): m# @2 D0 L1 N  y
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
! F; l9 B0 S$ G( t% I" `5 U- I当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2/ A! r, d; f$ @
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
$ o! G& e0 ?! A  m" g; y5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]+ u! G( c7 j8 t6 v& H
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n: M, c3 q  H& ?9 g. ^* c
或Pn*+Pn*+1=6+2n/ j7 N, b$ p: k- Y- h' L
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
0 X0 O; k3 I5 q, j, W" S即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）        " w# `3 Q8 g( @( a/ ]$ M
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数    5 N. c7 M5 E! [  R: p. U) y6 M
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）* o# y4 S8 f8 V# t
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
. g) z0 f8 T! \$ ?, C5 b! p, k若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n9 ]" l6 g6 r1 @
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
( `: k9 v/ `9 f, H9 m+ s若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
3 [6 _0 q, q3 B3 B. L4 N同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
8 g& ?) Q" H( t4 V即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
1 N& Z9 |( w4 g! ]9 Qn为偶数2n=0,4,8,12……0 V( p4 e8 `7 G- D# l6 q
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
' O  }- U8 b" e2n’=0,2,4,6……偶数集
8 W1 D- Y# w3 I' R* ]0 A" q6 in为奇数  2n=2,6,10,14……
) @. A: _) J/ I) }1 i3 L0 H! j2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……0 f2 n, R# A& h2 I4 {
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  3 {$ ]9 {2 D# O$ k' m* S3 \- p
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集7 |2 i  N6 Y( W1 v
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
5 c8 A# w$ ]: u$ `1 c设  Pn=2  或        Pn=3
& v# W) @4 p8 Q; ?  f: T 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
9 M+ A8 `2 y: ^3 U# l1 o四，奇质数定理三的证明. }( ^* O: g$ k+ R5 q: s( H
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集# n. \( e& `/ _: r( w; h& k
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
# e# f, r9 K0 NPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M( X( b) C' X! S$ Z) G) j* K
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
, N% m, Q) }6 i1 c7 k或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
3 H  h' h9 T0 S" h( I/ Y由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立2 |" n' L' j! l! b* P7 S
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……9 W* C# {1 Z2 y& j; z  |$ H, \: ?
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
% a! ?- |2 J% L( X得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6. @! t& X% [2 [+ _. Z7 I
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
9 U, F( s5 T7 o+ U; z- H2 p     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10% p* p- e8 A( O* `; ^& d
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
! e! i7 f* L$ I1 H8 z( b& U     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14/ P5 }; }" A; ]' H) I0 k8 I
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
1 b0 ~4 _3 j. ?! x    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18+ R( w1 T0 B: F4 o' j
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
1 Z- I+ l2 O" P; Z; s    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
: T  h2 y* N4 Y! d. y' W    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
2 j, \+ r. W& I* Y! m. T9 Z$ g1 PPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……/ _9 h2 d+ V3 G" x
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
7 ]" i" G$ y: J2 }1 n（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
5 `" j! k( t# ^; x- D3 m! f% @ 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  : ?9 F7 y( Y, Y% R! p7 a9 n
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处# J( e& [3 B8 M1 |, U) K3 G( ]
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）$ R% b' h" X1 v8 C# }
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
# E6 J: s( b4 y3 t/ E4 a五、质数表示式的证明# {$ x: V0 }/ q; v8 L
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
( p, d9 j" `* d* N% c在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
! S. j7 G+ ^; C, j: ~& a' x  a第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
. o  f: j. N& U( \  N9 p                                             =0+3+2+3=3+5# E1 m8 H* l$ I, C$ f
                                             =0+3+4+3=3+7
( A% A3 D4 o8 s8 R5 F                                             =0+3+8+3=3+11
* Q: V6 N9 b6 }# p; |$ j  q$ O                                             =0+3+10+3=3+13
+ c$ Y! x) r0 c, a                                             =0+3+14+3=3+17
* L, T; |. E7 T1 k3 u                                             =0+3+16+3=3+19
) A6 ?) R( |2 K9 y0 d                                             =0+3+20+3=3+23
; P! g( Z- w8 c8 v第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22 & o/ \) g) V) M9 s; p+ w0 h
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
' G, X# [) N2 b/ i3 i2 ?这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
2 i# l5 W! f. j9 U5 R7 j9 P) jPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
" w7 s, |2 J/ o6 j0 f( F! ]      =2+3+10+3=5+134 b' J8 V% S( J9 n+ R+ U: A
      =2+3+16+3=5+19; U0 I& r0 X4 d5 K* d8 D) r5 ^0 K% A$ [
      =2+3+20+3=5+233 I; y+ Q" k. {5 J. ?
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23% B% c, [9 l3 J) b
            =4+3+28+3=7+31
: P3 K& k+ X% J/ Z. L, K% x  C            =4+3+44+3=7+47
# D# m( A6 `1 d/ Y1 L( i- s! \' S            =4+3+50+3=7+53
6 Q0 e( T9 k( e' f9 e0 B又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
1 i. a6 \; G/ y) l# c0 I9 A# s0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）8 I2 s* Q3 V0 {2 {8 |
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
) e" ?! c: y0 z( ?" g它们的偶数公由数分别为24，31对。% g& J/ h7 |5 ~- n, j! W# ?' W
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79 1 k9 B1 K  l# f+ U% X+ T
                                           =28+3+64+3=31+67
' e) J* ]0 Z. t. B9 C. J6 c                                           = 34+3+58+3=37+61) x& ^9 |  @7 r/ a5 C- s( `
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  % K' t$ J( ]) B* @  O; A
                                   =28+3+94+3=31+978 Y; a5 J* `5 |: d3 m; b
                                   =58+3+64+3=61+67
8 Y; n) F% d$ }4 u综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  ; X# U* S: ?, t- f$ X
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）2 Z$ W- \. l( C6 R, ?9 l
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
. w# H, q' \! N/ x                                                   =n+3
# q! B1 I$ \, w5 i, K+ l                                                   =3,4,5……' d& q/ I4 @  _; I- ^" @/ E7 B6 s% _
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n( {* D7 J+ {8 {  T8 J
2，质数表示式的证明
) V, N6 G; _& T3 e(1)        已知 Pn=2n+2N-1  4 C( p4 T( _1 Q1 Q  V0 {
设N=2    2n’=2n  代入上式3 [+ N; ]* D3 {; G2 h) |
得Pn=2n’+3  $ O: P3 x0 W8 u4 [8 V* L4 ^, E
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
, o: d* V" ~6 S# l6 T9 H      Pn’=2n-2n’+3
9 m- i; @+ i( }7 r/ Q7 I1 P又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
0 U# E7 y" K7 Y" e$ K3 S! x2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’: T5 V) n$ t! O- F. {' x5 j
Pn=2n’+3   ……（1）
% w2 O) Z6 a; ^1 KPn’=2n-2n’+3……（2）
' j8 Z) p2 G& p7 l2n=4n’+2n’’’ ……（3）
7 ^; E. {5 y8 l4 H* ^/ l0 P0 R上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
: u; m# [9 ]7 [0 v* L6 c7 E2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
5 \$ g' Q* y6 I# Q, u  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  P/ F- g/ [, x: N4 U  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =20 N! b1 Q0 t5 F
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
& A" `3 |7 ^6 z  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
- K3 {6 A' t/ H5 b% O" x  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
# o; e+ @# s7 ?" e( l, X% y  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
/ q% ^5 `5 }$ o- @1 G( v- w（2）方程组
1 R1 C1 b. J3 E4 DPn=2n’+3   ……（1）
8 G& t0 ~  K" ?' [% I+ BPn’=2n-2n’+3……（2）
# |) P4 {7 Z% E9 k2n=4n’+2n’’’ ……（3）5 n5 D8 G5 i4 c1 r1 O( o) L
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
! |, U" u' b; J/ m( w1 T+ A2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对% [/ j: u, T! C" D
②解方程的步骤
7 C8 D2 n: S, Y1 }2 X/ Q) u设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
9 I( H3 n- o- F6 A9 O5 S确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
  s. c+ k$ D: d* e" i1 G③证明方程组成立 . F: }- i; H! o7 ?2 T& Y
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
/ B; h# p+ ~# Y3 Y5 O% D已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n& _+ C- J  ^+ t/ Y( y
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
% H' W- _1 r- t3 z4 h" y   
8 U+ h* p3 R9 I2 z2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’* T7 q& O) W) F7 x8 l' p2 g* B
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……3 o& ]# B" X* S7 L
Pn=2n’+3: ~& f5 N: N9 U; K0 T# m# P1 Y
Pn’=2n’+3+2n’’’% {& J% E/ K4 @
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
5 y/ e5 X( N+ o+ [# P即Pn=2n’+3成立- D' s' V* W- G! ^
Pn’=2n’+3+2n’’’
  Y5 A8 P9 F6 Z" U# o8 Q  =Pn+2n’’’" r) g+ C/ ~; K/ `, u
  =Pn+0，2，4，6……9 l+ M9 p  r6 `; p1 m6 u9 `' ~
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
- G4 W  {- e6 _' z7 ^则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立/ b/ X7 Z# w& ^* ?' L) o* l8 P
即Pn’=2n’’+3 也成立
  c* E; V* ?- s& A( M6 ^3 用数字来检验质数表示式的成立
9 r" O6 \; ]* @已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’, P+ I# p0 e- R# B# F5 a
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
( M9 D9 g) Q3 Y   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
% z7 V4 E* f! t) S2 R) h4 S     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
' D) a  ?9 I$ v* \+ \6 p2 g      4        4        0         2        2       5        5           105 B) p# V2 J  M/ |6 D) L% ~* X
      6        4        2         2        4       5        7           12
7 y- I! n6 @9 I, l- j% D* }      8        8        0         4        4       7        7           143 ]" m3 [/ u- |( W* X8 b* E' N
      10       4        6         2        8       5        11          16
* c0 ?& N# m/ _8 H$ P! V6 ~' G      12       8        4         4        8       7        11          18
, O/ O# A9 I: V8 J+ A- x- b      14       8        6         4        10      7        13          20
3 {+ }# G0 g: _5 V8 W4 `      16       16       0         8        8       11       11          22
* Y0 |* L3 H& a9 y" w1 w     18        16      2         8       10        11        13         205 ?$ ?6 Y) v+ ~* r' @
     20        20      0         10      10        13        13         26/ K: v& m+ l" ?8 X+ B2 V
     92        32      60        16      76        19        79         98
' d/ l6 M! T6 O! H  y& C     92        56      36        28      64        31        67         985 o) `8 f6 J2 g+ X) P0 t) Y$ z
     92        68      24        34      58        37        61         983 ?1 N2 w6 M) ]6 `3 l. {
     122       32      90        16      106       19        109        128
9 Q) p* J& M& M: z( G% |     122       56      66        28      94        31        97         128        & o4 k! E) }3 S9 [/ ^: A
     122       116      6        58      64        61        67         128( [+ O: a9 q$ Z* m1 U
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
9 q7 E6 h* T4 D- z- p2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=222222222222222280 V5 D& C4 v, s5 @
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
3 D; O' `7 A! Z1 [1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
' ]3 j- F1 D  [! o: J1 G(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n' \6 q' n9 P' r6 I7 J3 i
(3)，它们的分布是不规则的/ c; r: V% w4 Y. V/ A. L$ s/ }
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
, i3 ?# k- }" J) |& S# `% S' k即奇质数之间的共同规律8 n7 C2 m# e% \
2，以上证明涉及到五个问题' K9 F1 F! e) i9 u$ c4 Z% R
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验/ i$ m8 C, f' d8 j( A% q
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明% V1 [: @6 j* K+ y# U/ Q
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的/ R6 u) E% @: P  m
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的/ S; U; [2 s  _4 p, F' T
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。* _- M" j& `' n, _2 E4 s3 m
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。4 N  f% n# j% M
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。) l7 g1 Q3 S  J6 e: _, D# `
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
& f* _! i! Z& M. V- f4 h# L因为因素与理由意思相近或相似
! n# i$ F1 g$ Y; V* d. ]! |& m公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。: a1 [: Y! [8 e! Y
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
1 ?  v+ a$ {5 ~8 ^如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
& e' ^* J3 B! b( L5 R3 p$ B2 X' }1 T这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
6 ~$ ^2 G; y" h- w$ ~又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
9 w3 g5 r& b) D$ p  K０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
* @& a7 B/ p0 \$ y: I因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
3 [8 U4 }, U5 Q5 ^7 U. X2 S 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数1 |+ c4 T8 }$ L9 a5 J' J4 |
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
/ k; s  a. Z9 _" i2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
/ b' q3 M9 o+ d6 W4 N4 Y- h注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。4 Y( v0 M. r5 s, o
下面来证明定理一：
* n" x1 E3 f  t% g( v已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
& E" L  J; F2 B则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
4 u; I4 q( k" q7 x% rPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立8 Q+ Z. v( @) X+ k, W
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）: G& B  B, a; [; O3 Q
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’( V8 Z& J/ D  J
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
# K6 f$ Z7 {5 B7 i9 U, r由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
1 C/ K  b% ?$ ~4 D则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.! ^* v' T5 r: v- n' {
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）2 }  _+ ]7 V2 h  Z# E$ r
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
) U. B5 z  C9 S( Y7 n例 % Q; ^) N  \9 y
pn        3        3        5        5        59        61$ G. k+ }: M4 {2 F0 z, s( ?

$ |) N, \5 A% qPn’        3        5        5        7        67        67
8 i2 T2 @9 W( ]% Y5 `, a2n’        0        2        0        2        8        68 }! r3 O5 s$ c! f( {% i
n’         0        1        0        1        4        3
* D6 N4 g8 H! R2 XM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        642 h7 P( u% H% }
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
, U+ e# A# u; I' O由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
; E& M/ q: O$ T8 }即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’1 i4 R4 v% K( h7 Z4 j2 ], i
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
5 A8 Q7 ~2 d# W: AM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64( @6 J; }& G. `8 N
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
# a& T6 @, M( ~! @) p. a2n’        0        2        0        2        8        6
8 G( E( _6 H  c# T, nn’        0        1        0        1        4        3
9 D* N/ n0 c  O3 w/ s! QPn        3        3        5        5        59        61
% W+ \$ x" Z. h8 ~; o8 aPn’        3        5        5        7        67        672 J* [( ]( b, t) Q4 n; a# Q
+ Q# F+ N  E/ i1 m' A
注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
+ p. q* e+ p7 w' h% m$ r若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’/ R  |: w+ M/ }: N9 Z
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）! S& ^' z# Z3 k/ B
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0# m$ o; b: x0 W3 W
                                          3+3=1+2+1+2=4+2: v0 a( y( @: `  ?' z+ m
                                          3+5=1+2+3+2=4+41 z6 U5 F7 h2 O4 V
                                          5+5=3+2+3+2=4+6: O9 O+ G. m/ A3 U
5+7=3+2+5+2=4+8
* c0 Y6 h1 c7 Q7 n7+7=5+2+5+2=4+10( `; a+ ?* h4 n
59+67=57+2+65+2=4+122' h8 W# q  n" I- o! S
61+67=59+2+65+2=4+124
5 y# ?% J' z) s4 D( G* \. I9 {…………………………
6 k5 M. B* w0 }) ^. E. g, T- r* T在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数3 X* W, T  k/ m
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。* h# t5 ]1 Y( i9 i. d  ]$ g0 r8 I' q
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
$ Z( F4 N7 ~1 K  S3 y, F若n为奇数时  2n’=2n’’=n. j+ B; e. ~0 z1 W! t. k, w/ M
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
3 |- S  v3 M  u  b. sM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)" k) Y! e6 X3 B( L& U
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）$ _$ g" N5 l( c! n6 W; m
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2, @2 o/ W5 C4 N8 F: g9 K8 ~
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n( B) A: N" B6 o2 z8 w
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
* C4 q) o. H- F! k: y; p( W笔者   蔡正祥
/ S) j0 d6 H# J$ y! u        2011-8-6
& h" @* J% B" n# g7 y" y通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室! z$ x" t, @( w* }
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
& W  D9 d& N' W. n# {籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
: C/ Y( f0 q2 m, @; z7 e/ f  Z: z. ?( z

; A+ K- Z* j( w7 ]9 b
/ G/ I, x8 W- @) L



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