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标题: 哥德**猜想的证明 [打印本页]
作者: 蔡正祥    时间: 2011-8-26 21:32
标题: 哥德**猜想的证明
哥德**猜想的证明
7 b5 H* c! b  S  u( Y; b" A    一、质数表示式
0 F/ W: p4 e, o: S0 K8 y, M1、质数表示式的由来
1 a/ l/ S' b- R4 k/ P: R已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
% K& n/ {2 i3 ]  ~& ?它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
& |7 n3 o6 m$ @! L# q将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
5 _& c8 L* {4 Y% g已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1# G0 J, e) u" N1 B" D9 Y
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0$ F- b* Z4 j9 M! a" I. h; V2 v
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。" ^+ ~4 e$ _0 F/ t& U# j
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
/ o1 R" u/ @7 q  t0 ^即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，3 t  o! g" b& n: z+ j7 u
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
- k# ^: U4 W% K5 \3 M由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
% c- O+ b2 Q3 ~# ]即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）& w" a* w3 m8 R$ `" K, C# k
（2）式为奇质数表示式
' o! B0 v: I8 ]/ U由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
- t4 U- z7 w# g& i6 X 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
; x! p1 @3 A  V8 V. |  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
/ x( g3 r* r4 ]  r3 |: _9 s由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）$ Z! W3 ~" a) ]+ C
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
( d1 Z  L* b% V8 U+ t, ?9 z- i2 v! D2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
2 V! r6 i9 h% G5 s, p$ V3 z  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
" @" p$ K/ X3 l8 @% [( U, K设2n"=0、2、4、6、8……∞。
: {, ~8 B  k. ]4 Z即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
4 `! x" B+ z' j2 {1 J, R根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
' s* E: F2 ?8 Z用2n"、 4n"分别代替2n 、4n    " `% C: _; l9 A' j
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’0 `4 d- L. Y' l5 F" \
                    
& h( J5 Z5 {: y4 V其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。# u; [: C" C) c7 b+ e  t/ {
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
+ ~9 I: k+ b' `  l即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
. H$ S6 z: A1 o, ^) ^1 H( e例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
9 B& u3 A- g3 _% O; o  F2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
! _9 o# @  ]1 L$ M2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=806 f1 w7 o; T% g" W4 ?, Q5 w+ q
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100# l- \; k! a& C, A( z" k6 Q: r
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明1 ?' N9 n$ U0 Q4 _
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
5 S0 A' }! d' L  G+ d即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
0 k  [" t# w" g( ~+ @在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
$ ]/ Z2 y1 [( y( L代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）0 \  X7 s$ a, }* N
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
+ F, ^1 j1 Z: W# Y7 P又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
! I/ Z; L7 B+ `# _3 `代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
. w# r5 A9 S) ?- c/ Q4 O即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
" x' p9 X% V. b6 Z. L  S/ z' A或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
) B, u% |( z& ]& d从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
) c; g/ F4 }4 K由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
. A4 }7 w5 F' @, u4 `: o% l4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
4 N' _3 a- q. G; j" \* k% ~由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
1 s1 V1 B8 ?% m  V( @" F  M) _$ ^（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
! Z& ?  o) t6 n6 X6 O0 g二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，" @* G% p4 r, x5 [& d* ^
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数6 B; l7 T7 v- t: P  s% l
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，. s: b- ^7 z& U- i
) Z4 Y! G; {: [: \' v
得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
, {9 D6 l* i9 ?9 @* E' p! L若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
' Z5 Z! u9 N5 V6 A" s+ g, n; }同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
% T( R2 p* ], H" |; N& ^$ j! h在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）+ j/ x6 B, l* C5 A
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
& s, `0 X; R9 T( f2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n/ n; w6 L  r' T( ~9 |1 d- v& Z
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
8 [# r% ?* A2 G8 T3 U3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
5 z. l2 x8 J3 q2 z! r- m, C1 n2 y设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
4 b! g3 E" B- X- W" H/ ]3 E5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.$ V. t3 I4 G- B; x
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
1 N5 S* D: O- C7 z3 A, p例  5 K6 U" I6 O  K# c
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
+ \" P+ D! B* c, s8 N+ w- L5 L, \2 [2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
! P" V2 _* S7 d$ m2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60, ^# B. i- o& n; r9 _, I/ ?
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62+ G7 i! k& [) ~+ v' P4 h
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        646 F7 v0 m2 [: q9 r! k' T
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
9 o  E  ]" d2 B; m) ePn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
) v- {# Q6 ?. @Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
+ X0 `. Z* L7 V' h& P  z6 S
  g  S! s% N7 F+ S9 W2 ?2 T由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。$ [* d( F3 A; i) N* [! R. C
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
+ x! `+ a- C, m% I因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
7 n/ e" z* B- k1 R1 t0 z则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228- [9 r# N# ~, n: N
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M: x8 z0 N# p% C
M=11111111111111111+3=11111111111111114, J3 l# i% `3 m- M
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
, Q( u4 ~7 U: Z4 ^7 ?! w然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’6 w7 Y* d0 w. U5 X# j$ o* N# z& ~
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
% L; A1 V0 D7 |) I+ K) V% m0 fPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
; a" F$ D# P  ]! NPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
$ q+ F$ M9 r8 _) E+ B4 |( @* d4 h4 ^4 ^0 t
       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
& J$ b! \6 S8 H% x0 S, |三，也可以这样证明
$ P" L/ R2 y2 ~- b# k  z1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  ) W$ z( p1 Z3 Q+ O7 m2 T
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
: B3 H& p& [- ?$ K9 ]! m若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
/ [) W+ y4 i% c9 F" ?3 p# G" w) r若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
( [& @5 C8 @) _代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1, q1 v/ Y1 X( r* J
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
' G3 _( l9 S* Z. x或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
3 H' Y+ T7 o  K& `' ~0 l* VPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
* W% |5 I/ k( v/ A# `代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn8 g1 {, T  z( `) E) y- e  F' ?
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)4 |+ D4 |# P: A; g. Q" g0 a
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
8 j  d. a" H# y, d当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2! K& m' z  J  ?- M
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
; @0 L, G2 \  {! J$ B  b5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
' p  j2 z- E0 |# A代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
- ^2 F, i+ G* j6 o或Pn*+Pn*+1=6+2n
$ C- }4 C& Q8 p* b4 ^* o2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
' I7 g: j( U9 T9 I/ }" j2 N即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
) N9 \6 \, B" t, B在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数    ' M% Q0 N/ A* V# E
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）2 B3 ?  I  f4 F) x' R! F
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数    - P* F9 o# M4 G) w3 ]1 Q
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n% F$ c3 Q( p& n- w2 }0 s
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
0 F& e6 S2 B0 x6 m若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n2 `) O- m1 _* B) L$ I+ h9 L9 M
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
* v: `& \, L5 q5 w& ]/ H即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
- @/ T9 a& }3 g" L# An为偶数2n=0,4,8,12……; o; X+ u. o3 p# Y" F
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
5 F) Z) b7 [/ S' W# O, Z7 R( R, U2n’=0,2,4,6……偶数集4 y1 j1 B3 d2 `0 d$ V% I' n' {
n为奇数  2n=2,6,10,14……* q! v$ {1 t/ N/ J" L1 p
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……1 {  W0 d2 Q* J; c
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  7 I+ N; {7 D0 \0 F1 X, |- M! X
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
: G# s, R8 R  K, r4 Y/ {Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   " ?* U, {4 T% x; d3 V1 b( J
设  Pn=2  或        Pn=3
) e) {* c- q( T 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
3 x4 {$ ~9 T6 h. J( C! U4 @2 c四，奇质数定理三的证明
! K  S* G/ k3 l4 u( B7 ?. L! @4 X- e' D（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
9 i9 V! n& A0 v" {5 A9 y又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn+ i6 y& T! z3 x! P( O; s
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
8 I- |* g3 R; SPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
8 X3 k6 b- Y9 r) P& W9 ]或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’8 H: b8 V6 G$ F8 I" o. `# Q
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
7 q4 O8 a) I6 U7 l0 C2 q（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……! c5 S2 ?+ \1 z0 ^
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
3 v) K: n. h3 X! a$ _" K$ Q* h得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=67 j+ U4 x6 A( r8 r& C
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
" a+ n  D3 r' P) u( f. R0 t$ c     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
( c  L! g( N( A2 _     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
% {* p0 n% A7 E: O+ l3 W. u2 F1 x     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14! P+ U  o! U7 b! e7 n' U+ y
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
# ^9 _4 I: g9 ~0 Q    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
  y( v4 U6 V) q. ~6 f  h0 d    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20, k- D  A- n" H/ u: ?0 q8 p
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
8 c! _/ z) D# H% U" f. b    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
) m4 y9 R1 y6 Q3 q5 R8 X4 J0 U8 NPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……$ P1 k; j6 i3 @9 z, Z- V
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n  l2 r& J0 O6 ]4 I) u6 g( n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
  I1 a: a4 a$ j% `5 S" M0 P3 C2 J 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
* [; X4 s  w( w/ T1 [即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
  C% S0 F$ p. C+ W, W: u5 N存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
4 ]* g  b! M8 }) ~+ A' S由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
' t; c" [8 L0 u3 P3 ^5 b- s  H五、质数表示式的证明
) G; A+ \& L# w- M" ?1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  / i/ J. c. J# i% h2 ~
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
$ M6 r. d# O% R第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
$ |1 }, E, \% R8 v- J# v0 E                                             =0+3+2+3=3+5/ G# i) \, B, n5 e7 }( a& k
                                             =0+3+4+3=3+7
: }8 W* X6 ?2 u4 a                                             =0+3+8+3=3+11
9 c! g: E: ^3 A                                             =0+3+10+3=3+13& m6 {( ^( V& J
                                             =0+3+14+3=3+178 _8 b8 d7 }1 s+ o0 h% h
                                             =0+3+16+3=3+19
/ z" U" z# v( L7 m0 m: z                                             =0+3+20+3=3+23; E* H: q. h9 a
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
# j  t( p+ J' P  P( b即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  ( H" {, k/ I$ S  [: A" L
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
+ m7 p+ D/ A5 g/ zPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
7 g+ }% {, Y. E& h5 ]      =2+3+10+3=5+13  S0 k  _7 D" l
      =2+3+16+3=5+19
" w+ m4 Z2 `  _5 F* C3 g+ G2 M      =2+3+20+3=5+23
: t9 x" B! w# F' S5 D第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
& E1 O2 F% Q3 ^) z6 s            =4+3+28+3=7+31
8 o: q# D: C% Z            =4+3+44+3=7+475 Q* C: h4 L' E9 D
            =4+3+50+3=7+534 Q: l, C' P: |7 P3 ^
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下7 ~) Z2 v+ \  x+ G! A) t; G# }
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）# ~  e! O5 k% \9 X
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）% K) O. a+ C: N
它们的偶数公由数分别为24，31对。$ q9 q/ Y7 O- R0 i1 E1 E
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79 , R9 e8 q) }# f# M1 d$ Y
                                           =28+3+64+3=31+67
% N$ z1 S6 \2 W                                           = 34+3+58+3=37+61
7 D5 u) c4 y0 _) u( c, q! K" o2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  + @7 P2 v- I+ Y& X8 N/ M: \
                                   =28+3+94+3=31+977 {/ }4 y. W% V( N, m! C
                                   =58+3+64+3=61+67) c, y. z( p4 V3 K9 O
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  % M6 m0 J9 _; R8 j# F% F5 u
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
1 b6 L: L! u* J                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
' A% v" ?! T3 n: P                                                   =n+3
4 ^, t1 @  R7 K, k" ]& M( J                                                   =3,4,5……
: u$ ~6 ?1 z! ?: x: G即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n" Z9 m- ~; d( _4 I  o
2，质数表示式的证明: z; y( h6 f8 V  F3 K0 o* v2 S- m
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  6 U3 ]  g6 u7 c# `! z
设N=2    2n’=2n  代入上式
1 o+ m8 K) I" ]( b2 b2 W3 D9 D$ h得Pn=2n’+3  
2 _# D! j' ^- T( ]# b  b' l      Pn’=2n+6-(2n’+3)& a9 E9 k. J. ^5 r. M2 q+ v+ x
      Pn’=2n-2n’+3
  \2 i) g' ~( `) [, s( G! \0 O( V又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
1 w- ?$ ], t7 n2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’  j0 f) f4 }. U8 V% {7 M, t3 k
Pn=2n’+3   ……（1）5 P+ c( {3 p7 T
Pn’=2n-2n’+3……（2）
8 K5 |0 p8 W+ G2n=4n’+2n’’’ ……（3）6 `; ^0 `+ m4 Q/ n  i, }
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
& n9 Z+ f4 L; i! H9 }- M# l2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0' w) e) d6 Y, @
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1+ ?/ ^' b, l* g) E( v: @  n
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
9 G1 i4 d) u: ~& G" f2 _  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =18 c! N; Y+ J- u
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =46 L, F; L+ u" ]! R! x8 M5 u0 |
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5/ M3 t- p6 r/ L
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45* \" r+ ?1 e1 d, W$ l; u
（2）方程组
7 |$ {4 X& a0 D3 H, C3 BPn=2n’+3   ……（1）
; v6 S* q" ]6 W6 RPn’=2n-2n’+3……（2）' U/ v" ^- `+ m- b
2n=4n’+2n’’’ ……（3）& ]+ U' y- z2 N5 }2 K+ C
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立4 s1 {1 q% o6 W5 w! H9 W% r
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
! q3 Y+ t: I2 v②解方程的步骤 ' [) Q# _4 k+ Q( |
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’), o4 z% h4 \1 u; k$ U6 ]
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’( c) W: x& ~2 Y* ]
③证明方程组成立 ( j  m( [* F2 U. P
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
8 g6 L+ ^( ?% S# o已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n+ g6 _) l8 H2 C
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  ' d1 _  F2 s: F. y7 B# z0 F
   $ v) `1 v" M' w
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’6 Z% n5 r/ I7 u  C" C; C3 }$ x* D  e( d
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
% P7 d5 Z. ^6 pPn=2n’+33 a/ Z9 \, h8 ?6 }& U
Pn’=2n’+3+2n’’’
( D8 R6 w; x1 R; ^ 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……; Q4 [1 _( ?+ p# p9 c* @
即Pn=2n’+3成立. h+ q5 @: i+ m7 |
Pn’=2n’+3+2n’’’; p4 ^3 ]3 @' ~/ l4 Z- N+ Z
  =Pn+2n’’’
. e  p. [& \  }6 ?% I8 {1 c2 B  =Pn+0，2，4，6……
, a& w2 s4 @  K7 ~: d  x2 O+ ]3 |已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……. ~( ~- p; x4 s5 q) Z$ L
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
! z, ~, i- _4 V6 Q即Pn’=2n’’+3 也成立; j- m3 d/ {+ H- s2 u( a
3 用数字来检验质数表示式的成立
# \: |% V$ z5 O& V* ~& F已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
* v" H' J) S2 h5 ~4 C, O4 L设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6…… ( [  y9 c/ h' `! W+ o8 P
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
& @, S+ i, H( g! @* s. J1 M& B) A     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8- C0 V) u! E  }) I4 u8 n, ]( {
      4        4        0         2        2       5        5           10
3 ?) ^3 y5 M" \& I# M, _6 V1 e      6        4        2         2        4       5        7           12
  q! \0 ?% \* j% O& ~; M5 C6 X& i      8        8        0         4        4       7        7           14
9 v- c6 e$ n" D: Y: ?  _      10       4        6         2        8       5        11          161 f: c( d( u) l5 ~4 I/ u7 K  [+ h/ D3 g
      12       8        4         4        8       7        11          186 G: U" D7 j7 g6 N# Z
      14       8        6         4        10      7        13          20
, C& y+ y5 n" Z* V2 K      16       16       0         8        8       11       11          22
2 u3 E5 I: Q1 n3 X     18        16      2         8       10        11        13         20# q( n& ~# G- l- I9 ?
     20        20      0         10      10        13        13         269 N$ `5 X+ F- u8 ]
     92        32      60        16      76        19        79         98
. V1 L& S! N; l' C- i     92        56      36        28      64        31        67         98
2 R# d" G% ~  a     92        68      24        34      58        37        61         98
' o, K" u' O( I: U& X8 l     122       32      90        16      106       19        109        128
( d, ^) v& d+ S$ o5 d% `     122       56      66        28      94        31        97         128        
4 D! V9 a# h8 }0 n) A2 J     122       116      6        58      64        61        67         128
% s' ^2 f: e) k' _' E" b9 S0 G 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
( y( C- ]; `9 \  S, I7 w2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228% b" X/ ~  L  C( V! [) C2 C$ V
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
- G- q3 S* E/ }4 G' h0 b6 ^1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
& D$ @2 a/ k/ _2 W(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n) ^/ k1 t8 t8 N% V" F4 U
(3)，它们的分布是不规则的
% o% i2 T8 h% v0 i6 R: c由上述三个特征得到三个定理（见注2）+ q- M# p# `: W3 l
即奇质数之间的共同规律
1 ?4 L' B4 a/ X- P2，以上证明涉及到五个问题
; h' t" N* X2 C* A8 T, W ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验' ^6 g6 b8 E* l
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
( A  D1 v- f6 j8 I# b/ C③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的0 K/ i5 }8 R  t1 k. @
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的- c0 s* k4 {2 R, l$ D
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。# \3 Z2 t2 {& w+ D" ?, Q! g
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
* I( _* w/ Z7 T- T7 e鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。" v! n: H" N* _. h
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
" F% l6 R! ~6 v3 d, U因为因素与理由意思相近或相似# u" r6 X2 G( Q/ Y* R/ J$ B
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
  `- }4 a. r2 p, X; W: N' n: _& j公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数% c( U* |4 y; A2 n
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
( z( ^& E0 b: ^  ~5 X这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）. a' B  A( W4 j* _' c
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
0 |1 {1 |& N5 m* T" t6 ]０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
' ]) X! V: i6 y: t( ~9 @! L因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
0 Y! K3 [$ Y4 p8 q9 U& Z0 h" n% K1 W 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数5 @1 j" h/ L; m. ]
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
( X9 L5 v: `  R+ S5 |2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示8 k  V0 M* V- Z+ Q0 H/ [
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。% U/ O% I' B0 g& q% k  m
下面来证明定理一：0 u0 e+ ?5 O% r- I; L: q
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。2 P# v0 l2 z8 j3 [
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
3 g) g  {- E6 z' A3 NPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
1 t9 ?8 D* R9 N$ ~& p1 y  i; Q即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）; j$ I0 l+ e. @# C3 {: V
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’4 X# h4 ^5 e3 w; d
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
7 e$ f+ Y# N  r& p7 ]/ _由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）, U& ?3 {2 ]! E; ]' z" }) s9 P
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
* p5 c$ P) c5 z. W9 s即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
* S, r6 [: P+ f4 w3 _得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’7 A8 Y& i, W4 M: E  H
例 7 O0 C3 m" M, t
pn        3        3        5        5        59        61" Z' a; m' \( r# k/ _
+ A( @0 `% l$ ]: t3 w8 b6 I
Pn’        3        5        5        7        67        67
  W* b/ t: W' `, B5 S0 N/ W2n’        0        2        0        2        8        69 p, k1 U" Y) H6 m/ k
n’         0        1        0        1        4        3, |$ q# f5 F& ~( V) }
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64" F, g1 E- W& A, p$ J
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128/ w! b9 R2 \2 w% M* g! q/ D  y6 q
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）; ?) d" L2 |/ d2 v+ Y. E
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
* T% j2 G" t3 g( b: K" n  F0 @Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M/ o7 z& B+ r7 z
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
' }- q$ n( B+ [) x2 Q9 x' [8 `- U2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        1281 W* y) P' N/ [" k$ B+ J  h& H0 p: d
2n’        0        2        0        2        8        6% U, k8 I8 ^5 ]
n’        0        1        0        1        4        3, M- Q* D& d+ I" z3 R+ T
Pn        3        3        5        5        59        61
' y0 A' I* \4 ~) Q6 l* Y$ J! c9 nPn’        3        5        5        7        67        67  F* R% A6 f; m( d4 i; n+ C

' T) {3 W5 d' U3 d0 y  ~注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中 $ [: K2 w% s7 \0 ^/ Y
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
' `8 }7 H2 _4 S: S; h; I式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
8 Q+ n6 E( q* d* p9 ]例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
8 {) ^5 b& t3 k" a" {                                          3+3=1+2+1+2=4+2- _9 l: I/ |9 ^# B7 R3 j
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
% ?. C( c( q6 f& h0 a% i( m                                          5+5=3+2+3+2=4+6, B; C4 O! j7 _% D1 ]- ^
5+7=3+2+5+2=4+8
# n' q. Q6 |( D7 c7+7=5+2+5+2=4+10' l) m3 ?0 S! n1 A" a; K6 e
59+67=57+2+65+2=4+122
4 X) ~+ }( P/ M+ M) F1 ]6 ?61+67=59+2+65+2=4+1243 E0 r/ [; t/ r' F1 X
…………………………- t5 [( r' }7 c
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
* I  J9 V( p' w* u" G0 R% e当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。# }7 y# C4 N0 \' h# a* a$ E) @3 [8 y
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
) l& }) R. L* G( J: @, w5 z9 S+ S, b) ^若n为奇数时  2n’=2n’’=n7 _. w4 M9 ?3 D
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M9 {- w1 [$ |( W
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)  }8 H  K2 a5 Z, `! z) D
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）" \: ^  Z$ y( }) @& h5 B
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
8 @& m) E3 S4 L9 J7 P4 g# f再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
3 m& j: |, q# K7 L; ~; b即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。6 o2 }# g# k. v
笔者   蔡正祥$ n; r, v2 `5 Y
        2011-8-6
9 r6 I. Q5 d9 e& S+ o通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
: k3 Z& `  U" X/ _" ~" j6 X$ [8 A2 @邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856. S0 N) R6 P8 f2 o. s& x
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府, T" K1 A; N7 S) p# o3 }

% s; @# X6 z/ @, ?! p) j. l9 D! G
5 b1 g! W1 T) \8 t% q3 G0 d) ~% R




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