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标题: 哥德**猜想的证明 [打印本页]
作者: 蔡正祥    时间: 2011-8-26 21:32
标题: 哥德**猜想的证明
哥德**猜想的证明
4 f& x8 h0 A1 t% K* W, s    一、质数表示式
* C( g- o) ~* }2 d4 G1 Y/ I0 S, s8 }1、质数表示式的由来
" C% d2 |) d0 Z6 K" E7 ]1 U! x已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......1 ?: {2 Q) ~# [: B* t
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。* v, B/ u* N5 Z9 Q* ~& m( M
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)% O% y! h/ ?2 e
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+19 S9 k2 ~% W- `" B" {
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
& z5 @5 X7 S0 q则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。  h2 ]8 N5 A6 p  V: w
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
+ O4 n6 {4 ^2 n% N8 n0 I即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，0 [4 w5 C! X  l3 ?2 S7 ^
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
& C+ x6 s+ Q' _3 ?由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
9 }1 T* Z! y& e( y* i! P即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）( I3 c4 ^, d; s: x& g( s
（2）式为奇质数表示式 , S: O. N. {, E
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’. H: ]( k* f! c% l$ o% {
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
% }# Q( E. [: p  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）6 l4 w: o- j6 g" f. [' q2 H
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
8 }' L" R- ?# T/ k均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式7 j5 L: X) u8 ^/ O  J
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。 / O4 R8 N3 Z" B9 N5 n' K! a! K" y
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
# @/ R+ d& T9 F7 h5 _9 d- Z" \. e5 J设2n"=0、2、4、6、8……∞。( Q4 U  c# e# T0 K! u
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞" o% X4 m3 m$ E) u8 M
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）* L& W+ D. d6 G! n3 @
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n    ) T4 o* \; H# N8 u# F
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’5 D6 A' w9 B7 w) d- }0 k
                    + U3 x1 P% b4 A; w
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。# l7 F+ Q# }# C8 T
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
  {) C; N" N( v即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
0 R- `; b3 N7 H& p# ~/ z例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6/ r: I# t) h0 c  Z6 c; @& L
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=409 G. r. j4 N4 v
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=805 L- F' E! O4 d& B
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
1 D% E3 n- [( k3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明, ]' l( x4 H) C$ B) Q
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明2 F$ ?+ T1 ]# z- z
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
2 R( S0 D9 ^; G) B: G在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
$ i9 C1 m# R3 D代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
0 O& c9 k6 z; p! p: b5 p在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)0 {- c  h, w8 [6 H* j1 n' ]
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
% G$ H! ]3 R# w7 K- H代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，2 S+ d: S( q) k, D, F8 l- o, R8 ~
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
4 o9 Y& R$ U0 w: \  a或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
  D' T  H: X3 ]" Y5 }' P: ~+ z从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
) T, Y! x: m( C- j" F由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
- n  x& A2 D: }$ V% K4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
: P* g5 G1 a6 D- Y由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
9 b8 L4 k# n0 |7 A4 l（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
6 V% Z2 b9 e$ j- W$ h9 S, V二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
8 I8 k1 E( t/ h! Y' U$ ~6 }9 g% i" I1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数# F# v3 X" Q& ^* ~7 [2 ?5 M
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
/ _9 k' @0 @/ n" o9 O
" ~1 J/ \9 a/ I得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）& A/ p* F8 ]8 j
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
3 [9 s/ D- c' I7 O: h0 p+ ]同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
7 M  j& M; q& n& L% T: m5 m在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）+ z: R5 o' W4 Z) c9 ~" G* [+ Y
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’2 b2 K6 h0 x( |! Y6 m0 a4 }! u5 U( k- k
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
0 R3 t. _2 b! ]. L) a3 ]即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数' v- d0 }7 H$ \* H' q3 w5 P
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2). w3 O% e  q$ h. n% ^
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
- G! v( t7 i0 [3 m5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
8 b9 W1 a) O: \. t, m' ?- N( m- Z' v即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。; Z& ]$ o! B! x, d
例  
5 q: I/ z3 j% p& \n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
7 J9 J+ t, i( B" I5 Y0 z* j1 q( K2n        0        2        4        6        8        10        12        120        1224 {. K/ F* s& s$ o. l( y/ _
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
, z0 Q' ~# {1 D1 b4 N; p2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
1 c% l( F( h* q- n; ^5 w* RM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        645 r- |) a/ i: E; U
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
% w, G8 V$ h9 \% d) G# sPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67, t  q5 N$ D( h4 n4 W( n2 x0 ?
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
! M+ N0 t$ I" U8 O, X/ L; d
5 L% L* o) k% }由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。$ X5 g- W+ z% s. W" R; N/ u
又例如，2n=22222222222222222   n=111111111111111116 t! R! G# S& S% N
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  : F/ q3 Y( _7 A% \$ O$ c) B) x
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
+ t0 q% H% I" @8 t(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
: f3 _$ x% z0 t+ LM=11111111111111111+3=11111111111111114
! ?* Z# S7 O( f& @根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn! B$ J4 g: U+ @
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
/ s  ^* T. Q; n0 x5 Y已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=34 B' L  E7 P$ F* |  ^
Pn’=11111111111111114+3=111111111111111177 S. J$ q& [6 M
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=222222222222222281 D7 e% ^1 u. r& T* x5 }! R

# ]4 M9 {0 v) I% i       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228  }2 n* Z1 I) ~4 x, I
三，也可以这样证明, B' m# F% Q& u3 G# n& m
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
. j3 q! C/ g5 X& X设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数- ?0 Z$ _# ^+ U) `9 E
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
+ v4 B$ {) o2 O4 l2 c# E若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
( F& ~8 B0 P- ~! f$ F6 y$ J代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
9 ]/ ]) Z# L& t8 ]) ?（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
  F4 W$ P0 D- ^2 F! n! A或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  & ~% }( b* S( J
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
0 H8 H+ h" l2 Y# ~. v" g代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
  r1 s  p7 v8 G3 ?, P& z, O6 n或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)2 j% ^7 Y2 N7 }6 n+ a' u
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立" H/ l' L8 \) C3 z& [& M$ f0 O
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/23 c2 f+ r% e/ _+ N  O8 j! g1 z
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，' l2 W3 o0 Z- o* a* a3 @8 `
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]) r( v- \8 V7 _
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n% Q' }, b. F1 Z% \# N* H- Y  ^, R
或Pn*+Pn*+1=6+2n% p; w- V* ?6 V  s) d4 [4 ]1 l4 Z
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
" h: i" w% e# K$ ?即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
' J/ C4 \/ r' {& X5 _+ E: l在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数    ! L2 m# y# }. I9 v6 R9 E
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
3 A4 X: l; x  g0 f; ]4 |$ B设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
0 e+ g4 C: a3 ^1 I5 E& k若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
7 T, l9 g; `4 b% |8 F4 _得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
9 _* t2 i8 R* \: k若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
1 y4 U  S' {) v/ q  x' K同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn- k& r( c( U( [. `( D' g5 s
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）+ r4 T  |8 s9 c+ G
n为偶数2n=0,4,8,12……: o; [6 L# ?$ o- ?1 Y
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
1 V1 i- q, E9 `0 `2 i2n’=0,2,4,6……偶数集/ r) U. y0 F! O1 k1 y, [: @
n为奇数  2n=2,6,10,14……3 g! p/ {6 Q7 U9 d* R
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
! ~! _$ Z% F. D4 r  o/ T2n’+1=1,3,5,7……奇数集  , ~6 G5 B1 j, L7 V) ~
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
1 ?/ h9 w* C) V% \% tPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
( Z; ^  s, A" R( F! B/ t' Q0 M/ }设  Pn=2  或        Pn=3
* ]- e2 l1 l, \; M0 C7 B1 ^  J 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n1 z  k( D4 z4 ?) J- x; C8 ?( S0 `
四，奇质数定理三的证明
: e$ b9 D6 c; V（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集1 {( _* v' G5 u3 g5 [  d
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
+ V- }8 ^+ G2 N3 I/ q8 K8 k, ^$ PPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
9 q2 L- t) J7 |$ ~) |7 dPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
9 U3 t9 `6 ~6 N; Y8 k7 u或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’9 s  l# N! c' V8 f
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
9 P: f! e7 x' N4 Q3 J（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……2 }  t  J/ _5 D) o2 p- z
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……% i. ~) h! r% _) H& z
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
3 A7 f3 F% g/ b. r2 u+ j- j0 K; U0 K     =4-1=3     =4+1=5    =4             =89 o. ]/ z+ }6 |5 u  T6 ]/ n& A
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
7 @( Y" u% M! y# U2 |     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
: d! k. u8 Q3 a0 ?     =7-0=7     =7+0=7    =7             =145 E; A9 D, j# e' h9 c/ M% t& m
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
% k3 R7 C( o. L' W9 m/ l    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
% \) W1 E$ E, B: d, v$ T7 u! q    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20! @- C: R5 V5 o, |! i
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
0 F0 @7 k4 v- u$ a+ m    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
( F1 `/ n2 r* m0 H4 H2 CPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……5 `: ^+ A$ `9 f9 v" q& V
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
4 a/ y7 @+ T: d( O（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’ # r* u. Z* P2 a3 p% A
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  6 K/ g* n: x, A# V: T5 a
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
2 D: |. z- c5 m% S存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）' p& L% `) o- F% H& k! |) R
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
' k& l% B/ _& H& h( ^/ F. \五、质数表示式的证明0 m9 f" f# F8 \) W2 P4 w1 ]' O) ]
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
: p$ {5 T2 t  F& `$ J在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
/ _; D. ~  b' {) ?7 s6 A1 N) e8 A第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+38 p; z3 c, V$ g6 W) }: i2 E! s4 w
                                             =0+3+2+3=3+5
; w0 y4 R, C4 i4 T8 E- e                                             =0+3+4+3=3+7
& z. Z4 }8 z. i$ T0 R                                             =0+3+8+3=3+11
" J4 V. a+ k. I$ Q  X- [% L1 z7 g                                             =0+3+10+3=3+13* F  q# q3 K# s3 @* x! d! Q& {; u
                                             =0+3+14+3=3+17
! R3 k) t9 Y" f& B7 R' H/ O                                             =0+3+16+3=3+19+ p, E4 y5 Q/ z& x. i& P
                                             =0+3+20+3=3+23
3 T: Y7 T3 l0 G5 O) Z) z第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22 8 c& N9 M( V. |& n! v, O
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
8 K! I% }2 x: R$ a1 j这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
0 i* x3 M+ Q8 [9 ?  w, bPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
! `# {7 q0 H' }1 h- ~1 [  v" h      =2+3+10+3=5+133 C! ?- J# T! z- T
      =2+3+16+3=5+19# g0 X0 X# E& H
      =2+3+20+3=5+23( M7 j2 X9 z, {+ t$ ?; \1 D
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+238 x8 ?( `+ f. i7 N8 G
            =4+3+28+3=7+31+ w0 A9 w4 h" x5 |
            =4+3+44+3=7+476 C) `/ N! F- |' h6 P
            =4+3+50+3=7+53
& j& n  W1 r  a" G/ Z2 O; G又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下( ~$ N  |. H  N& c6 }
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）5 ]2 Z- {  O- b7 D+ W9 ^- T' R
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）7 l0 a: r; X1 A% c4 n
它们的偶数公由数分别为24，31对。, U8 v& Z* O% [& u  c
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79 2 t9 `/ M: I( F$ \9 b# n* u) F
                                           =28+3+64+3=31+674 |2 z# u5 c% A" S+ b
                                           = 34+3+58+3=37+61. r% Z$ V- k' b1 L3 P; c' l
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
' N$ {/ i0 t# c0 W. }* A- A% q                                   =28+3+94+3=31+97  u$ d# S+ q, _3 a+ Z
                                   =58+3+64+3=61+67
. C5 F4 H$ g, P综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
1 K5 N/ G6 b: H: b+ m9 W2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）8 {5 z8 ~& N/ ~7 z9 _% w
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3' J! a9 W. E/ n
                                                   =n+3* p7 H4 C+ U- {" m* c$ J
                                                   =3,4,5……7 e2 Y- K2 Z1 E* a: ]) I
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n8 V, {' W8 W! [$ o) Y+ m/ l. K* M
2，质数表示式的证明
, l3 p$ l: _3 z& w' k1 u(1)        已知 Pn=2n+2N-1  + G7 K7 z1 B- I1 x& X
设N=2    2n’=2n  代入上式- d$ z5 C: K, A) D
得Pn=2n’+3  % @0 I& F$ E+ i/ W
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
, [: n, x, {2 Y( }' F      Pn’=2n-2n’+3
8 ?5 }4 z) `/ Y1 t8 ^" c, `又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’* v, \+ N) T( {- O9 G8 n% m
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’: b- J2 p  C5 P6 z6 ]
Pn=2n’+3   ……（1）& w8 b$ M5 ^+ d
Pn’=2n-2n’+3……（2）* d( B  ]$ ~: s
2n=4n’+2n’’’ ……（3）" I, q$ `' @+ ]& [
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
! S5 E  }6 a; T, E' R2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=07 d. ~+ G+ q2 u% y! h! D  q! }
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1- z# X* ?- S2 h
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2" c$ @7 X! S3 k0 V3 L0 O3 H
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
, ~, b+ d$ o! l/ c& G  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =44 E  V5 E) x( k1 B1 A
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5+ ]* w' u! n, _; g. }6 m' p
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =454 G6 h- }) K6 V& d6 i
（2）方程组# C. M, t  ~3 h3 K/ a0 E8 a
Pn=2n’+3   ……（1）: k  y' q' W. Q# E
Pn’=2n-2n’+3……（2）
' D6 I$ u9 @2 r# X+ e  w2n=4n’+2n’’’ ……（3）! d" L2 n% T# Z, {2 U" F9 Y  ^
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2 [$ T  s% M1 i" u+ j8 u! r2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对( O' m# ?1 w; g: H6 y
②解方程的步骤 ' \% q! S5 E* I
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’): N8 V0 D) d7 c
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’8 V# P( ~! y# z, L0 ~; n8 z
③证明方程组成立   m5 S* g; D/ I2 y8 w& u* B6 D" s8 T
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
5 ^8 l$ C5 ~5 V% A2 a已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
4 H* n' D6 ~) v2 R" d$ n又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  3 v& y- g9 t' v6 z$ W
   
8 g' ?% y8 u2 w# e! Y2 i; P2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
6 G6 U+ ?( r0 g8 ~" j& G+ O  T% F得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……# x& C# F1 `  p( H5 o
Pn=2n’+3
$ i  G2 G' k. p5 DPn’=2n’+3+2n’’’+ g7 Z" D5 p1 d" o
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
' `- M# n5 X. U: W即Pn=2n’+3成立
2 W6 Q6 T2 [' W# p+ qPn’=2n’+3+2n’’’
7 ?/ [6 ]& e- C% T* }  =Pn+2n’’’; C1 D5 @% f( z) B# K
  =Pn+0，2，4，6……3 ?, `6 d) I1 d1 A: u& F
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
. V0 ]/ |" A& \& Q则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立5 ?: B( p4 J2 V( Y5 J; r
即Pn’=2n’’+3 也成立
; n, b- z' u$ n2 ?6 R! m3 用数字来检验质数表示式的成立
& k9 ~7 N# |3 F6 r6 y# W8 j1 L已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’8 c/ T3 [2 U3 V, [
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
9 Q9 x! h( Q# B8 e   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
0 f6 y! ?  U$ M. u" x     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
5 ~2 z- b) Z$ n, h' F4 e      4        4        0         2        2       5        5           10( N4 U- b$ R$ [& w% S! Z5 y: a
      6        4        2         2        4       5        7           12
- T6 h: |% T% l+ ^0 ^: R4 D7 @3 U      8        8        0         4        4       7        7           14! l$ x7 H. l8 ]$ s5 J2 ?$ l! i
      10       4        6         2        8       5        11          16
; f# b) ~  i6 s0 O& L      12       8        4         4        8       7        11          18
& r6 R# N4 G, j1 e8 ?5 G# v! z      14       8        6         4        10      7        13          20
3 B. u6 i  E* s, r: I# \: }4 l5 B      16       16       0         8        8       11       11          22- `" Z$ R8 j8 Z; j2 l
     18        16      2         8       10        11        13         204 Q, Y5 w7 G4 o* _% o: |- q
     20        20      0         10      10        13        13         267 l/ u7 C& p# @) E
     92        32      60        16      76        19        79         98 ) H' h! Q4 S5 Z2 ~6 k' c  Z
     92        56      36        28      64        31        67         98, I  z# C* {7 H: n
     92        68      24        34      58        37        61         98
  P) Y* X" W( z5 y     122       32      90        16      106       19        109        1287 r4 J( m( R; I) m1 `3 M" I
     122       56      66        28      94        31        97         128        $ N. }+ [% q. g- J, K4 L4 Y7 |
     122       116      6        58      64        61        67         1284 c- @- r. ?7 ?+ Z0 k" U! |- f
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2: Z  R) O; B$ f# B
2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228( y  P! G$ B7 h& I) d3 z: v" V
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法5 t, I- G( e' P. F! ~" j4 G" d
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数  D4 _/ ?4 M- G; p) p7 ]7 F
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n9 y. X+ }5 ]& s6 w
(3)，它们的分布是不规则的; f* C3 r( E/ Z! ~% n& [
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
: }  ^3 H, U' Y( D$ ?: r9 p% ?2 b  _即奇质数之间的共同规律6 Q5 P  P1 ^, r" x* ~2 S4 Q
2，以上证明涉及到五个问题
$ M$ u, U) r2 j ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
8 {6 ~5 C( u. Y4 M2 F4 `2 s ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
1 Z- y/ I- q' b) w9 h4 ]2 a+ q: f. s③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
+ Z& a% U& v/ |" [, p: A( ? ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
" B3 C, h: o  e ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
0 a9 Y) A0 N5 R& E8 x7 P3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
  R* v' b- v9 X6 ~# L鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。, H; ]6 R" B) e* q( X
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论! f4 x; y- }# y4 t. V7 H
因为因素与理由意思相近或相似- o/ @* ?+ M1 M7 y8 C
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
9 r* b$ T: c0 O公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数; e2 \$ \) L! H& m3 ?: f/ g
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
& J+ J; h1 s# K3 b2 M! ^1 Q; k4 H这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
; y8 q6 B7 v" c- @* X又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３  _# j% t! h, s' `/ D1 g
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６6 i4 J0 |  N0 i: w, k
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认2 O& j( |' p1 x4 u
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
6 L2 b  e; b$ G+ `& s: B   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’. d% N$ j1 M! y; q' C' o* `
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
+ H4 `* ^6 X! H, b! W. p2 O注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
) N; \$ P2 `4 [7 M  D下面来证明定理一：
: P# S8 Q1 g, ]1 _已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。) L4 S- @; y' Y
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
4 y. {+ z- N0 D  N; t1 EPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立* B7 L# g  N8 w/ t7 v# l
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）$ `) r& c5 D. w  |) V5 e
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
/ Y$ b4 \3 ]7 K% Q7 r5 {4 G. vM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。$ t$ Y3 R) u2 f* U; D' e
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）5 X( z; g2 Y  F8 b. s; [' A( ]4 L
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
2 ~, W1 V+ Y4 {; v即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）: i6 J1 k& P* m. V$ [( @0 M1 Q
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’$ w7 f* ~' b6 a
例
' C  D/ _  B, ?# o& l: @pn        3        3        5        5        59        61' A6 @+ W2 k5 W5 E* W
+ F7 H, B2 f- ]" @$ g1 k
Pn’        3        5        5        7        67        67
; \0 d/ P/ x7 L7 T) V2n’        0        2        0        2        8        62 j. c: k0 y  J8 B, G+ o
n’         0        1        0        1        4        38 e1 L& l" v# F, q+ c7 d; M9 H+ F1 v
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64/ x9 f4 R- T0 L6 x7 S( m% ^
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        1281 v+ c* l$ L( W4 Y
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
* X9 \/ ?4 v0 F1 e即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’* G$ R) u0 f2 y" G
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M- c- A$ f, v4 O4 @6 A. L- n/ ]$ @2 h
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        644 I) j, i2 s! W2 Q# @6 y; \
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
( G6 w' U+ S1 o  @* O2n’        0        2        0        2        8        6+ \8 J: m6 D. c0 y# u7 O
n’        0        1        0        1        4        3
6 j. }# L3 O4 L. E; uPn        3        3        5        5        59        61) E5 i; c3 X# Q# v0 X
Pn’        3        5        5        7        67        67. U* n6 T8 w$ W/ ~) I0 g& M

  o1 l9 k2 J1 S/ w3 N" Z5 h注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中 5 s- q: C2 ?1 H1 O& E) |" J% Q: O
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’; W2 O+ G- j2 K+ `  s  G: l8 t+ Z( I
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）3 T( p$ y6 {  Z, B& k
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
: `: V2 \& f4 n                                          3+3=1+2+1+2=4+22 P* U0 n. R5 _/ z0 |% S. i
                                          3+5=1+2+3+2=4+45 Q0 Q8 F, O3 \) n2 g
                                          5+5=3+2+3+2=4+6: x& _0 g& p0 ?% j. j3 Y6 F0 ]2 \
5+7=3+2+5+2=4+8( r- p7 P! g2 c  i
7+7=5+2+5+2=4+10
" v% Y# Q. i8 n5 d% j, V59+67=57+2+65+2=4+1226 v3 `' X& E) _) _! n( c0 c
61+67=59+2+65+2=4+1248 s# E- t, j  A8 t, |
…………………………8 ^  Q" S& A- e0 ~* d
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
) z$ _- M- }. q, {2 f3 f' \( s当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。; W$ w7 T; ~& j0 V' t, h
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
' s. |1 f7 B# C若n为奇数时  2n’=2n’’=n
, n3 g' {: ?8 H, i4 t若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
: n& |! v0 b2 |2 i- N* ZM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
3 Q! A2 i, a. R4 O =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
" O0 Y- \! s3 |+ X5 A =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2! J7 P4 J! [5 ^
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n; b: ^' r# ^2 L; _9 a# n; x- p
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。) H, O& y- `/ C+ @* U8 W- w4 q
笔者   蔡正祥
$ C6 L2 o/ z" G( c+ a        2011-8-6
, T8 H9 L% D3 U8 j. G% c+ j通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
4 o, Y* L5 P0 x) c: v9 N# X邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856/ ^5 b, m' j5 w$ \5 @
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府& C4 c+ W2 ~7 d% Z' d; [

8 c! g9 a8 i( G; Z: O* I7 l* [, w' H5 @; J

1 Z: {0 Q: k9 l0 Z6 u, p



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