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标题:
哥德**猜想的证明
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作者:
蔡正祥
时间:
2011-8-26 21:33
标题:
哥德**猜想的证明
哥德**猜想的证明
: M3 r9 p5 E% \! j$ C, F7 O
一、质数表示式
8 U. s7 E" ^$ I8 ?# b+ d1 ^
1、质数表示式的由来
/ @+ e+ n Y2 W7 }) r2 p( c3 z; P
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
! T& o" w+ b, a, [, Y' o. q( ]7 ^
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
9 h4 y4 C2 P! R6 B" b
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
+ s$ b7 G% F N: ^, |* D: ~
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
$ X0 o* g3 C8 b
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
+ q% H4 {% a u$ \5 {; z( p( ^) a
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
$ Q; L7 p& A5 b7 R u0 ^2 t+ a
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
: n0 o7 K/ Q( x4 v7 n
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
3 v9 p5 u# s8 J! n ^; y
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
: x9 `: h" O" R/ v. T1 V
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
. Q! Y1 {! D9 k% Y: h
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
5 e# l) N- _2 d, a" Z1 }
（2）式为奇质数表示式
0 _3 e# ~* Q! L5 ~5 [
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
) c/ i2 @1 E: m" _% c5 d6 W3 D0 ^
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’ Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
/ S; t4 F8 H1 `% f. c
因pn=2n’+2N-1 则Pn’=4n+2N-1……（3）
" \9 W/ I' G* m+ C4 c
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
+ }6 O; O7 i0 p, k- g( z7 N: X
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
5 t- ?/ ~9 S8 d8 ~1 ~* _
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
: _: {% X8 x; S# l7 j
假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
* Z9 y) ^# d; k! J0 @0 T! c2 K
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
; k4 C4 |( z- G5 i" v: L: ^* o
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
" C, \ K( X' W+ D0 }" F- u' s9 v/ g
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2） Pn'=4n+2N-1……（3）
- ]0 g6 V9 _9 w
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n
; {0 p1 e2 a8 U* R: d# K, `: b
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ） Pn'- Pn=2n"……（4）’
$ I: N% @& s; l) @- h
' y1 o2 A9 `" u/ S
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
" K: F0 x1 S* ~' C
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
3 L5 ]( J j! k$ U7 u# ^# }7 V* U
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
6 x4 P' H- S: e' T4 {. l3 R2 O
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
5 C3 `+ ?/ v/ x
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
& K! i% N9 M: p: F2 m, r0 |
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
+ w' E2 ~1 Q( z' `- T! O/ A
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
8 Y5 ~' U6 o9 P0 [* Y9 M
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
$ y0 S( j4 o$ u+ s; r$ ?# f0 G
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
0 P7 Z! V5 Q, I! }
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
$ \) r4 Y, d2 s) \- `
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
3 y& Z {% ]* A. `' {( b! u4 C7 n) q
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
6 z7 O" ?4 `7 T6 z
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
( M% W/ S2 o$ e; c3 e
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
0 f& d. {' {! D/ Q
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
% K6 G5 R" e k. O- B9 H
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
; S7 g, }1 \+ e) U$ Y
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
/ g% Q! E! s G: I
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
8 \ j' g5 M' K* c) W, k
由此可以证明（3）式 ①为恒等式 ②等式左边或右边表示两个奇质数之和
7 G& `- ?6 Z, J V+ O7 e2 a
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0 3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4 5+7=2+3+4+3=6+6 7+7=4+3+4+3=6+8 5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12 3+17=0+3+14+3=6+14 5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120 61+67=58+3+64+3=6+122……
* [, e0 g& D. U7 a
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
6 M! r. Q( l7 }1 W, Y5 z
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式 在（3）*式中 Pn* Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’ 2n’’为2n的公由数 Pn=3或Pn=2 （注3）
# ~9 F, Q* W* G' N
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
( Z: K( Z- J7 S
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
- a$ u2 D; g( W7 {( C
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
2 U& H! T: g" d! C8 E
- G0 U. @4 b+ H/ D9 q- g' R/ K
得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
! ^* _ Q( l0 }$ a. L
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
8 S1 L b' F& ^: b( g. \5 o. C) }7 g
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
+ T3 P9 z" x5 t
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
0 c0 J6 u2 `" ~6 H3 n/ A. \) T
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
. n- Y; P; ^: [' z5 P/ b9 s# \0 _
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
+ P# \: B- K' J
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
; v& A# g0 w# j7 E+ P; [3 n5 N' \
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
! H; l( W% M% u0 v I0 o7 Z
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
$ S! w' H! x3 f" N/ i
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
! X5 r7 a+ H* G
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
6 ^3 x$ w7 \ }
例
2 H j( k3 p5 E0 ^
n 0 1 2 3 4 5 6 60 61
* _9 u* ?% t$ O) P& h
2n 0 2 4 6 8 10 12 120 122
. C5 U! Q4 U- `: D
2n’ 0 0 2 2 4 4 6 60 60
! R2 ]1 S- A, i; d' A
2n’’ 0 2 2 4 4 6 6 60 62
* S" Y( z8 c) M1 O: I5 R2 {( f
M（2n’+3或n’+1+3） 3 4 5 6 7 8 9 63 64
& H$ v, _! O1 N% C' S
Pn 3 3 5 5 7 5 7 59 61
0 K3 f( z5 G( f* ^
Pn’ 3 5 5 7 7 11 11 67 67
) I* ^2 ~* |. f" U+ k+ _; Z5 i
Pn+pn’(2M) 6 8 10 12 14 16 18 126 128
7 s9 J4 o; B' j4 j6 Y
3 t8 Q7 w" U _" P
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
+ ~* _, o4 |( m, S% l# y& u6 _
又例如，2n=22222222222222222 n=11111111111111111
/ {; \$ T. F( f6 B, y }7 H
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n 2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110 2n’’=11111111111111112
) v4 Q# ]6 @2 d) @! }8 q: j
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
3 J0 `. h5 {8 q7 `
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
! D4 a- ^! ?0 }2 ?
M=11111111111111111+3=11111111111111114
$ }, U+ W7 ^8 z" l- K0 r
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
2 b7 Y5 ]+ y2 [# Q7 N2 \' m
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n 求得 Pn’
" G' m. |) V6 ~8 t# Z4 B
已知 M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111 n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
. ?: S6 I( Q& w% v' Z
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
3 Y4 b! Q1 W7 l8 x( t! c% {
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
7 R7 V6 e! i# O) p
) v# T, N6 w3 m9 N( P1 J' _% }
=2M=11111111111111114X2=22222222222222228
% V( E* w- y/ z0 @8 ?
三，也可以这样证明
1 |: L) b. }; N. C% k7 h
1， 在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中
: f; c5 Y( ~0 ` U5 x% j3 U4 g
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
$ D' Q# @/ c' v7 c0 n0 T
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
- d5 n) i. N; q8 H# M
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
! o/ A# l( g: _# m4 s
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
" F/ R( X0 C& t% [% \1 H$ Z5 Y) ^
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
4 Y R: ~6 h% M3 ?: Y
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1
2 N) P" `, \9 p) j
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1 得Pn=2N-1
+ u1 i& u) i& D2 V9 {( b) H
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
( B% b- B+ f: Q. |# [, e3 H9 F( R
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
' O) H; A- m3 p9 N4 a5 i' |
由上证得 Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1） 在理论上成立
* d H8 c w3 B( p2 e. h) A
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
' b" L% B- L$ a3 b2 a
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
" ~2 d! G6 c; Q8 u
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
b6 e/ o6 r l
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
8 e/ x- D( Z& C+ e
或Pn*+Pn*+1=6+2n
0 p! c4 { a9 H1 |
2， 因两个奇质数之间的距离为偶数 用2n表示
+ _; e/ m5 V! V6 T2 p# Q! o
即 Pn’=Pn+2n 得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）
7 {, n& O% W+ W; y y
在（1）式中 设 2n’+2n’’=2n 即 2n’ 2n’’为2n的偶数公由数
# A9 p6 O* @2 ]6 o; v% E
代入（1）式得 Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
" Q& T& O+ f! N3 \9 Y# ?2 Q
设2n’ 2n’’为2n的最后一对偶数公由数
% x9 S5 G8 q9 p$ O3 b3 P
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
$ D$ n) v. P8 s8 o# z9 K
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
1 W/ u3 E; h$ o& A0 \$ [. k
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
7 S& u1 T2 \! j) P) x% p
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
2 y5 t3 Y6 J& Z: i; P( x
即 （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
6 {( O' I3 M; S3 {
n为偶数2n=0,4,8,12……
+ J$ s7 B! t0 M O
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
8 b; [# G6 B( ~9 q- ~
2n’=0,2,4,6……偶数集
7 |1 ], e+ \ B k
n为奇数 2n=2,6,10,14……
& b5 u8 V6 v& K7 o
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
* G1 {5 i8 Y, ~' J( h5 I& | Z
2n’+1=1,3,5,7……奇数集
- I1 F, G* A5 c! I( ^
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
9 x- p0 P( F7 a- _0 c1 f' M* Q: i$ |
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集
9 C. o- A% {, r, Y% k
设 Pn=2 或 Pn=3
. L! j! Z; j4 w
代入上式得 Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
' H( T1 h# j4 Q6 t" N
四，奇质数定理三的证明
* B' \# H. _, @ h$ v
（1） 已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
- o$ G# q9 F: Z. \! W( m% H9 C
又已知Pn’-2n=Pn Pn’-0,2,4,6……=Pn
, Y- q9 \9 z& J6 A! E
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
7 _! V" h% W" O+ b, I( v
Pn=M-0,1,2,3…… Pn’=M+0,1,2,3……
( H( ]* Q5 } y! l
或 Pn=M-n’ Pn’=M+n’
1 V5 [' ]+ v( |$ x
由此证明了 Pn=M-n’ Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M 成立
0 w* V b* C+ A
（2） 实例说明 Pn=M-n’ 即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
0 i8 U s8 ?5 a: [2 g2 `' [, }: L$ @
Pn’=M+n’ Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
* g7 n* I( T/ z# N' E
得 Pn=3-0=3 Pn’=3+0=3 M=3 2M(Pn+Pn’)=6
# Z& z0 i/ M* o) G
=4-1=3 =4+1=5 =4 =8
+ ~8 v' ^- M9 u. i( {5 N4 u" _
=5-2=3 =5+2=7 =5 =10
7 O7 K3 {: Q; t8 X% V4 j8 R' r! N
=6-1=5 =6+1=7 =6 =12
3 [2 m" d1 S5 ]. O! ?
=7-0=7 =7+0=7 =7 =14
9 e+ H; b$ j) W* T" r' k+ Q6 e
=8-3=5 =8+3=11 =8 =16
/ _$ C+ l q5 u9 y* S
=9-4=5 =9+4=12 =9 =18
. q r h G! f, i1 j9 b
=10-3=7 =10+3=13 =10 =20
7 M4 k3 g0 q }
=11-6=5 =11+6=17 =11 =22
. Y/ L- U. k X; F* {6 t
=12-5=7 =12+5=17 =12 =24
R7 q6 M) g) Y! @$ u( ~1 W
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
4 J- a# S( Y) t
=3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
9 y6 ]0 s& a, e. l5 a
（3）已知M-n’=Pn M+n’=Pn’
, v) E; A) {4 I u
或 M-0，1，2，3……=Pn M+0,1,2,3……=Pn’
3 U. ]5 {" @) p( _3 m7 Z
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
- q# l1 ]3 v6 u% |) O
存在着奇质数Pn M的右边n’处 存在着奇质数Pn’ 且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’ 例题见（2）
3 w" R/ |' O' c$ Y' `! X
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
6 Y$ e' `" a4 O, v5 Y8 N
五、质数表示式的证明
! ~7 l( o" m/ `, ^- O0 }8 g
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2） 在式中 Pn Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’ 2n’’为2n的公 由数 Pn=3或Pn=2
, f9 \0 i9 T- x6 n+ d: X
在（2）式中2n’+3 2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3 Pn’=2n’’+3
6 p1 \: Y# n: J5 t- H
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’ 2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
9 r8 J, _& e7 A9 H% B) {% `4 A" {
=0+3+2+3=3+5
7 b; r- \) }* s8 N! A
=0+3+4+3=3+7
; Z6 s- [. h9 i- Q
=0+3+8+3=3+11
& E1 J$ l8 l4 _+ X
=0+3+10+3=3+13
! G! a7 ]" S) U/ a$ Z$ d1 @' Z
=0+3+14+3=3+17
. p( K# i& J( Y5 z3 @. t u7 ?
=0+3+16+3=3+19
- v2 _( L. z3 }) O& D* o5 ]
=0+3+20+3=3+23
( Z. K) Z. l" l0 x$ o5 h
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
7 L6 L) g9 Y3 ^
即6+3=9 12+3=15 18+3=21 22+3=25
/ s) E4 y, z3 m) l8 M
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
' P' \: c$ B2 ]3 j
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
* p" J4 F( Z( y
=2+3+10+3=5+13
, ^" u! W- u" s6 x
=2+3+16+3=5+19
+ J/ i5 ^2 r) T
=2+3+20+3=5+23
: ?% `# `0 d. | g1 p9 u* A Y# _
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54 它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27 22+5=25 32+3=35 30+3=33 48+3=51 46+3=49 54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得 Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
& R- O' k' c3 z- j6 e
=4+3+28+3=7+31
3 N+ f7 ~$ g, V+ ?* k$ `: c3 [
=4+3+44+3=7+47
9 p7 F/ s1 Z0 B: ^0 J6 {% N# [) M
=4+3+50+3=7+53
_9 P6 ~$ ^' \+ S' O
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
: L* I, b- d. n. A. S X8 F
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
: K+ C) v Y, x: A" v4 O4 q
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
0 X$ M3 G4 e! j$ R- n' f
它们的偶数公由数分别为24，31对。
, V+ n4 }# p7 w# ~" R: N
2n=92的有第 9，15，18对能用 即 Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
) F4 i6 k8 v: [
=28+3+64+3=31+67
% f0 D+ i- h3 v* w1 ^
= 34+3+58+3=37+61
' K: s' v& q$ `7 W% X7 e
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109
: |8 Q' U8 \4 d! k7 I
=28+3+94+3=31+97
7 E' h: d, E5 V1 I
=58+3+64+3=61+67
- T# [, V; E" W7 k4 Z! ]/ k
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’ 2n’’ 有一对以上使2n’+3 2n’’+3 均为奇质数
! l8 G# n# N2 V
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
0 g: \ T( `6 H4 D# c3 M
=2n’+1+3=2n’’-1+3
' L" B1 s( r) O' d; K4 @" W
=n+3
6 R: ~9 W9 b7 @3 q+ ~( n }- o; H
=3,4,5……
& a! D+ \; e& V D/ `- @) e
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集 根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
0 e/ a+ K4 R8 o( ^
2，质数表示式的证明
% c7 ?1 e$ J5 ~# u& r2 [. J* Y' r
(1) 已知 Pn=2n+2N-1
; x5 X3 k. I+ `- K% a
设N=2 2n’=2n 代入上式
+ R$ m8 F; J; y1 F1 a. @
得Pn=2n’+3
% z! |. [3 \+ t* V
Pn’=2n+6-(2n’+3)
. Y$ l: J: q, A4 `
Pn’=2n-2n’+3
2 m+ m/ J) @+ Q2 J5 _1 v$ ]( t' [ u
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
9 O7 a0 U9 V' x% q$ _ u
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’ 2n=4n’+2n’’’
) c2 J9 g7 s3 S% [) i
Pn=2n’+3 ……（1）
- _' Q7 M1 c8 m3 @3 ~
Pn’=2n-2n’+3……（2）
: G K1 m# `( k/ U% {- B5 J5 E9 O
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
) G& j" k. D2 B9 v; f, |
上式中 n=0,1,2,3……自然数集 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’’’为Pn Pn’之间的距离 Pn+Pn’=6+2n
~% a; ^ A( d% g
2n=0 2n’=0 Pn=0+3=3 Pn’=0-0+3=3 2n=0+0=0 2n’’’=0
- w/ X, l [ k/ O8 j* A$ m& o
=2 =0 =0+3=3 =2-0+3=5 =0+2=2 =1
/ l; Q( P- Y- \. q9 }: b1 Q
=4 =0 =0+3=3 =4-0+3=7 =0+4=4 =2
% g- ^/ z& j" h5 g9 Q* ~
=6 =2 =2+3=5 =6-2+3=7 =4+2=6 =1
" @" x: H4 n% k: K
=8 =0 = 0+3=3 =8-0+3-11 =0+8=8 =4
+ \/ B- N: Y* n: M8 X
=10 =0 =0+3=3 =10-0+3=13 =0+10=10 =5
: V/ n: v: L) m ]. `
=112 =16 =16+3=19 =112-16+3=109 =32+90=112 =45
" N3 h, ~ Q+ J5 l3 g% Z2 M
（2）方程组
8 y& Q1 x2 d# Y6 r
Pn=2n’+3 ……（1）
: `7 O1 x" s4 u) m8 g
Pn’=2n-2n’+3……（2）
- W& q8 |, e* B
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
7 T d6 f3 R! r2 R; @
① 方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
$ k* M n" N: ?0 f9 ^" k: z, s+ p
2n’+3 2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
5 M I# L$ i- |8 L
②解方程的步骤
L* n$ L( T8 h1 W# N
设2n=0，2，4，6……偶数集 根据2n的偶数公由数2n’ 2n’’ (2n=2n’+2n’’)
0 Z. d6 t O, f9 Z; r' d
确定2n’ 求Pn=2n’+3 Pn’=2n-2n’+3 根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
/ b& ]& h( [; k7 |+ X2 }* k
③证明方程组成立
+ S8 @! t: M( Y
即证明Pn=2n’+3 Pn'=2n’'+3
8 A7 g7 S4 R% Z. t. U
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
# ~% a5 W7 n0 h5 c; p# v+ q
又已知Pn’=2n-2n’+3 2n=2n’+2n’’ 2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3
, `; Q' l- N$ N2 {/ C& D
5 g4 J ]" {8 t) s5 o* @
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’ 2n=2n’+2n’+2n’’’
; h4 W b3 a/ O- K9 w8 a
得 2n’’=2n’+2n’’’ Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
* k6 E( y1 L7 _4 t" F
Pn=2n’+3
. @) l" C# }9 }
Pn’=2n’+3+2n’’’
+ X ~; W7 v# s7 b6 q
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
: g2 l1 ?5 g4 S3 o1 S
即Pn=2n’+3成立
. s9 T$ g8 [4 ^ T' h3 [
Pn’=2n’+3+2n’’’
4 `" O8 X! U" b* s- E
=Pn+2n’’’
. o. J7 d+ F/ p: q7 V' y& N0 d+ T* h
=Pn+0，2，4，6……
, V& k5 f; q! \0 d1 r9 t- [- t
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
Y0 J0 V- B, Y' Y% }
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
7 h0 V; I9 C% B
即Pn’=2n’’+3 也成立
I5 J2 h3 N& S. Z$ N
3 用数字来检验质数表示式的成立
/ S% O1 O% d! X0 r
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n Pn=2n’+3 Pn’=2n’+3+2n’’’ 2n=4n’+2n’’’
1 m: W8 b& B1 ?" l5 x7 U
设 n=0,1,2,3…… 2n=0,2,4,6……
7 i6 I5 n1 Q9 S. e; P# u: ^% q5 S
2n=0 4n’=0 2n’’’=0 2n’=0 2n’’=0 Pn=3 Pn;=3 Pn+Pn’=6
& ?, F5 a, ?$ D0 o( y9 e, J1 \
=2 =0 =2 =0 =2 =3 =5 =8
, c" x0 i: T& Q, [
4 4 0 2 2 5 5 10
- m) y! R- M: l5 @) W
6 4 2 2 4 5 7 12
/ @2 Q; z" b7 g- P5 |
8 8 0 4 4 7 7 14
% w u; F7 v( v+ _
10 4 6 2 8 5 11 16
, T) _: k$ [+ z( u) t
12 8 4 4 8 7 11 18
) L! g$ i: T( {* ~6 D
14 8 6 4 10 7 13 20
4 _" W7 z% g, A$ y9 w3 f7 O, |
16 16 0 8 8 11 11 22
3 D5 B' V$ x4 w- v8 l: I. j) u
18 16 2 8 10 11 13 20
6 L% ?& ]/ d# Y: Y2 s) b( J6 u
20 20 0 10 10 13 13 26
9 T& ~. G/ f0 M/ n3 L; w+ h
92 32 60 16 76 19 79 98
+ C R' D9 ]4 Z' H8 f
92 56 36 28 64 31 67 98
' C5 }% z8 }7 a' U' }' s
92 68 24 34 58 37 61 98
, K; m( ]+ ?4 Q6 k. V
122 32 90 16 106 19 109 128
& u. G3 s" \' C. a, J1 g8 B/ B
122 56 66 28 94 31 97 128
. I. y" A" F4 A+ c0 z3 P. M; e) r
122 116 6 58 64 61 67 128
5 H% ?; {7 Z3 w; b
2n=22222222222222222 4n’=22222222222222220 2n’’’=2
3 S6 s; f' I5 H% p
2n’=11111111111111110 2n’’=11111111111111112 Pn=1111111111111113 Pn’=11111111111111115 Pn+Pn’=22222222222222228
. b) ^! ]. p/ c: F- n& a' S7 X
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
$ A$ y$ ^0 K9 d. [; e
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
* W* b' w2 ^/ o& _8 H0 Z) k
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数 即Pn’-Pn=2n
5 Q2 B' q) _% b1 O
(3)，它们的分布是不规则的
& s' g. P7 c& d8 n" f$ p! p
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
9 p; [$ y7 {% K$ g
即奇质数之间的共同规律
. Q0 K8 s, U& `3 @
2，以上证明涉及到五个问题
' {& S5 e- x" A: B' J
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
) t1 |5 Y3 x4 R
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
9 E: s6 t: C; h* u+ G
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
$ e1 n- E( ^5 E7 A: P1 ^1 w) {
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
& v% |" {' ^3 {
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
, J3 ^5 W# b9 ]5 I
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
' Z# b1 N8 U/ R* {
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
! D$ s! x Z0 M# N( L j" ?
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
' T3 T+ z+ Z1 K& U5 j
因为因素与理由意思相近或相似
* d5 L& J- T/ t0 i
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
! I1 n% k8 X: O& }2 e# A
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
$ j# H$ n+ s& H9 y0 m
如：1、2、3、4、0 可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
& j0 D) ^& k9 t. G, L# k# n# G2 q
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
" a+ t! ~& ]0 l) P: F9 J9 ]
又如，６的公由数为０，６ １，５ ２，４ ３，３
, p. B! g9 A$ n j+ `' o0 `% F
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
/ f8 i! Q+ O6 T: p0 V# X, ?# T
因，2n’ 2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８ ２，６ ４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
' ^& K9 T+ X$ }7 [/ e) d8 P0 X0 s8 A% o
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
W0 a, ?0 t/ {: ]
设2n’ 2n’’ 为2n的偶数公由数 则 2n=2n’+2n’’ 或 2n’=2n-2n’’ 2n’’=2n-2n’
3 Z2 z3 f$ P( O! t0 Z
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’ 2n’’=2n-2n’ 来表示
; t# Q6 M% u' `. }/ D: s
注2 在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
. _: {, _* s1 ~: n
下面来证明定理一：
$ H3 T; `+ u6 x o
已知：Pn’-Pn=2n’ 因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
1 u& n" P9 R; s% ~
则Pn’=Pn+2n’ 将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
6 Y% y, ^ O7 `& _: g
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’ n’=n’ 定理一成立
4 _; W, }- {( c: q
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
) p: W2 m" h6 Z6 K$ {* _- S# u8 P2 w2 c
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M 即M=Pn+n’ 2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
6 s+ c4 v8 S( R6 Z! L3 Z, u& D {
M=(Pn+Pn’)/2 即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
8 Z6 N+ Q% @, Q9 g1 }6 H
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
6 ~$ L7 Z O3 a' {
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
7 z5 A) s+ Z1 T8 h4 ]5 r
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
/ ]; b7 L# T( `# f9 i2 B3 E3 S
得Pn’+Pn=2M. M=Pn+n’
6 t& a8 o2 _1 V- @4 b2 c
例
+ U: p" e* t$ H1 e9 I$ n3 \
pn 3 3 5 5 59 61
3 t8 ?6 a% H0 y2 G2 c. ?
2 U. t' v4 q% Z
Pn’ 3 5 5 7 67 67
1 ?( x: B% ~7 R" h
2n’ 0 2 0 2 8 6
- M- m' y* o# Z# e/ f) m1 U
n’ 0 1 0 1 4 3
# ]) |7 E/ I' |5 h
M(Pn+n’)(pn’-n’) 3 4 5 6 63 64
: y$ q/ [6 g) m0 I( K; `* l- X
2M(Pn+Pn’) 6 8 10 12 126 128
/ a% W. A' N; j5 d
由上得 Pn=M-n’ Pn’=M+n’ 由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
4 @5 p6 s/ h7 X- E% r* T% Q; l" j
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数 pn pn’且 pn=M-n’
" ]6 j# B; L( l5 _& C7 R! _
Pn’=M+n’ 得 pn+pn’=2M
* h1 K. {$ ?: }5 P- f2 l
M(Pn+n’)(pn’-n’) 3 4 5 6 63 64
+ u' M5 s! u7 K, t
2M(Pn+Pn’) 6 8 10 12 126 128
7 h6 s) Z- e+ y8 @+ G1 D
2n’ 0 2 0 2 8 6
8 Y! P9 @& x8 g- l
n’ 0 1 0 1 4 3
9 V" Y5 p$ L# f, K* j2 p
Pn 3 3 5 5 59 61
8 O" A+ m3 d+ ]7 f7 Y" v; i
Pn’ 3 5 5 7 67 67
' G" W# R5 T6 G; O9 b0 |5 U+ f) _
* T `1 ] X5 ]$ G/ n
注3：在（3）*式 Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
: \* F9 [3 z- t7 B' |. Y
若 Pn=2 代入得 Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
) ^0 I, `* m, |# R+ @6 J- ^
式中 2n=2n’+2n’’ 即 2n’ 2n’’为2n的奇数公由数 （这里0既是偶数，又是奇数）
$ ]7 }& K& m8 o, u( R9 W _" M
例 当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
) l+ k8 m1 J; Y- R
3+3=1+2+1+2=4+2
/ ?7 A, U, u, o# h/ `+ c* Y
3+5=1+2+3+2=4+4
& [# x q- X1 E. i m7 ^; c: ?
5+5=3+2+3+2=4+6
* |# C! H0 j- ]0 p& D
5+7=3+2+5+2=4+8
& x. u9 t/ T0 w( d9 \4 p4 t# \
7+7=5+2+5+2=4+10
1 N5 [# Q5 x, n8 ^/ w- Q9 @/ u& F
59+67=57+2+65+2=4+122
9 ?1 w5 s# b8 T' n, E
61+67=59+2+65+2=4+124
( @* a2 }' B/ B& n% l* a d8 i2 F
…………………………
1 E% t+ I8 i7 \
在(2）’式中，设 2n’ 2n’’为2n的最后一对奇数公由数
: _+ z+ o' |, S! v' Q1 |0 m
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
# ~; w3 h6 [+ ?0 i& G5 F/ G$ N
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
' I- j% f! a2 I- ?
若n为奇数时 2n’=2n’’=n
; T# @- P. V6 T3 l. v) n, r; p0 {
若n为偶数时 2n’+1=2n’’-1=n 代入（2）’式 再根据奇质数定理 得 (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
/ l* T6 ~. b, O; f2 x
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
+ ~& D( P" K& w
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
5 o: c0 Q3 g- s/ E1 ?
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
; ] w1 o0 i9 |. n; F# T. f
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
- }$ k, ]2 g1 p% n8 ^
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
8 } g# ~4 ^4 Q' I; A }+ F
笔者 蔡正祥
# D: @0 J9 x+ y
2011-8-6
6 e0 I. K! i4 ]; Z% a0 q- |7 |: e
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
& O* ~( Q( v$ E" j/ r3 ^; w
邮政编码：214206 电话：0510-87062749 18921346656 15370276856
. Y/ T$ P$ i8 K6 I' L0 f
籍贯：江苏 宜兴 工作单位：宜兴市张渚镇政府
( C1 I2 c& ^) \5 M. C2 C8 P: _
( } a @# H% v" d
) t4 b' ]' ?5 d* o# b
+ I6 h ]% t) O3 ]/ Q0 _: T
作者:
蓝色琉璃
时间:
2011-8-27 08:07
看起来不错。。。。。。
作者:
wangxun2010
时间:
2011-8-27 16:33
好，不错
作者:
学会适应
时间:
2011-8-27 16:40
真的很不错的！
7 C0 f2 F# @8 S9 E) ?# J
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