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标题: 关于任意四边形面积的问题 [打印本页]
作者: yisongchina    时间: 2011-11-19 18:39
标题: 关于任意四边形面积的问题
题目如图所示。求解。

平面几何题.jpg (77.15 KB, 下载次数: 469)

平面几何题.jpg

作者: 不明白    时间: 2011-11-19 19:16
作者: Nepol    时间: 2011-11-19 20:16
1/3  过A点作cd的平行线
作者: yisongchina    时间: 2011-11-20 08:31
Nepol 发表于 2011-11-19 20:16
1 p7 _4 A- x! ?- `- X7 s1/3  过A点作cd的平行线
* \- E* p% K& L, V
不对啊。设CD的平行线JK，交EG于J，交FH于K，交BC于L。因为EG、FH、BC互不平行，所以在三角形ABL中，J、K并不是AL的三等分点。所以不能得出四边形JKEF的面积为四边形ALDC的1/3。然后在三角形ABL中，更得不出四边形GHKJ的面积为三角形ABL的1/3。
作者: 心我所想    时间: 2011-11-20 11:40
1':      1/2*a*(h-b*sina)             1'':     1/2*b*h                           1’代表△ADG以此类推。。。
0 }! h% H/ k3 \, g  v2':      1/2*a*h                         2'':     1/2*(h+a*sina)
1 k4 B1 e: x! b! U7 [1 _3':      1/2*a*(h+b*sina)            3'':     1/2*(h+2*a*sina)
( z& U- C+ m# r# h
) G/ {8 S: Z! }3 o {2'}:{1'+2'+3'}=1:3                 {2''}:{1''+2''+3''}=1:30 `9 v6 }; V  i
{2'+2''}:{1'+2'+3'+1''+2''+3''}=1:3        S阴影：Sabcd=1:3

未命名.bmp (949.27 KB, 下载次数: 363)

题目

题目

作者: 心我所想    时间: 2011-11-20 11:44
h为△DEG的高
作者: lmmiao    时间: 2011-11-20 13:30
高等几何，仿射变换。。。通过仿射变换，将ad与bc的交点仿射成无穷远点，仿射后的像ad平行bc,此时S阴影：Sabcd=1:3，又两个封闭图形面积之比是仿射不变量，得到一般情况也成立。。
作者: jt202010    时间: 2011-11-20 19:17
作者: yisongchina    时间: 2011-11-21 01:40
感谢“心我所想”清晰的解释。不过，在计算1''、2''、3''面积时，应该作2''在b上的高h''，然后1''的高为(h-sina)，3''的高为(h+sina)。
& j$ |9 p* e' T4 i# ]6 a# J, V; N3 W; V. f* X0 `* u
也感谢“lmmiao”，使我认识了仿射几何，通过扩展学习又了解了更多高等几何的知识。
作者: zhenglingming    时间: 2011-11-26 14:59
作者: gundamndsi    时间: 2012-11-8 11:54
服服服，怎一个服字了得
作者: 蹶腿的圣徒    时间: 2012-12-21 12:13
hG=0.5(hA+hH）,hF=0.5(hE+hC),所以S阴影=0.5*(1/3)DC*hG+0.5*(1/3)AB*hF=(1/12)DC(hA+hH)+(1/12)AB(hE+hC)
! t  _) v$ V3 A! rS四边形ABCD=(1/4)DC(hA+hH)+(1/4)AB(hE+hC)' s- l) g6 y# j# Y
所以S阴影=(1/3)S四边形ABCD
, G) R" o0 W% |/ V9 o) V



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