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标题: 关于任意四边形面积的问题 [打印本页]

作者: yisongchina 时间: 2011-11-19 18:39
标题: 关于任意四边形面积的问题
题目如图所示。求解。

平面几何题.jpg (77.15 KB, 下载次数: 411)

平面几何题.jpg

作者: 不明白 时间: 2011-11-19 19:16

作者: Nepol 时间: 2011-11-19 20:16
1/3 过A点作cd的平行线

作者: yisongchina 时间: 2011-11-20 08:31

Nepol 发表于 2011-11-19 20:16 1 R' h' S# n' i4 G" z
1/3 过A点作cd的平行线

不对啊。设CD的平行线JK，交EG于J，交FH于K，交BC于L。因为EG、FH、BC互不平行，所以在三角形ABL中，J、K并不是AL的三等分点。所以不能得出四边形JKEF的面积为四边形ALDC的1/3。然后在三角形ABL中，更得不出四边形GHKJ的面积为三角形ABL的1/3。

作者: 心我所想 时间: 2011-11-20 11:40
1':    1/2*a*(h-b*sina)          1'':    1/2*b*h                         1’代表△ADG以此类推。。。
2':    1/2*a*h                      2'':    1/2*(h+a*sina)
3':    1/2*a*(h+b*sina)          3'':    1/2*(h+2*a*sina)

{2'}:{1'+2'+3'}=1:3                {2''}:{1''+2''+3''}=1:3
{2'+2''}:{1'+2'+3'+1''+2''+3''}=1:3       S阴影：Sabcd=1:3

未命名.bmp (949.27 KB, 下载次数: 311)

题目

作者: 心我所想 时间: 2011-11-20 11:44
h为△DEG的高

作者: lmmiao 时间: 2011-11-20 13:30
高等几何，仿射变换。。。通过仿射变换，将ad与bc的交点仿射成无穷远点，仿射后的像ad平行bc,此时S阴影：Sabcd=1:3，又两个封闭图形面积之比是仿射不变量，得到一般情况也成立。。

作者: jt202010 时间: 2011-11-20 19:17

作者: yisongchina 时间: 2011-11-21 01:40
感谢“心我所想”清晰的解释。不过，在计算1''、2''、3''面积时，应该作2''在b上的高h''，然后1''的高为(h-sina)，3''的高为(h+sina)。

也感谢“lmmiao”，使我认识了仿射几何，通过扩展学习又了解了更多高等几何的知识。

作者: zhenglingming 时间: 2011-11-26 14:59

作者: gundamndsi 时间: 2012-11-8 11:54
服服服，怎一个服字了得

作者: 蹶腿的圣徒 时间: 2012-12-21 12:13
hG=0.5(hA+hH）,hF=0.5(hE+hC),所以S阴影=0.5*(1/3)DC*hG+0.5*(1/3)AB*hF=(1/12)DC(hA+hH)+(1/12)AB(hE+hC)
S四边形ABCD=(1/4)DC(hA+hH)+(1/4)AB(hE+hC)
所以S阴影=(1/3)S四边形ABCD

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