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标题: 有个关于二次函数的问题，有点麻烦 [打印本页]

作者: JohnQ.Public 时间: 2011-11-26 18:26
标题: 有个关于二次函数的问题，有点麻烦
我在几何画板上曾试着固定a和c的大小，设置b是动点，在移动b的过程中，我发现抛物线顶点的移动轨迹似乎是另一条抛物线

求证明
我在很多地方都发了类似的贴，毕竟对我来说这个问题比较困难

作者: JohnQ.Public 时间: 2011-11-26 21:07
本帖最后由 JohnQ.Public 于 2011-11-27 12:29 编辑

文件在这里

二次函数顶点.gsp

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作者: wangxun2010 时间: 2011-11-26 22:34
很简单的证明啊，设顶点为（x,y）, 由顶点消去b，得到y关于x的方程，为抛物线方程

作者: JohnQ.Public 时间: 2011-11-27 12:34
麻烦写下过程好吗？我觉得如果设b是动态的点，那加上x和y就有三个变量了

作者: ehi28 时间: 2011-12-2 09:27
看贴回贴是个好孩子,围观中............LOGIN..........................

作者: wangxun2010 时间: 2011-12-2 11:44

JohnQ.Public 发表于 2011-11-27 12:34 1 t: ]' ^0 Q" Q" ]
麻烦写下过程好吗？我觉得如果设b是动态的点，那加上x和y就有三个变量了

用x表示出b，然后把b带入y中

作者: yinbaoli 时间: 2011-12-12 23:08
可能你的结论是错的，因为顶点的轨迹应该是条直线。证明如下：
适当建立坐标系，使a，b，c三点的坐标分别为（a,0）,(0,b),(c,0) （过a c点做x轴，过b点做y轴）
设经过三点的抛物线为：y=k(x-a)(x-c)，代入（0,b）,求得k=b/(ac)
抛物线的顶点横坐标:x=(a+c)b/(2ac),纵坐标：y=-b(a-c)^2/(4ac)
用y/x,可知b被消掉，a，c为常量，轨迹为直线~

作者: 牛勇 时间: 2011-12-28 13:09

yinbaoli 发表于 2011-12-12 23:08
' e1 f0 D) S% }" y: v可能你的结论是错的，因为顶点的轨迹应该是条直线。证明如下：
: l) k; r4 U) o9 b) g( a( B适当建立坐标系，使a，b，c三点的坐标分别为 ...

如果按你那样建立坐标轴的话（适当建立坐标系，使a，b，c三点的坐标分别为（a,0）,(0,b),(c,0) （过a c点做x轴，过b点做y轴）
），你答案的第四行（抛物线的顶点横坐标:x=(a+c)b/(2ac),纵坐标：y=-b(a-c)^2/(4ac)）就有问题了，开口在上下方向时，顶点的横坐标：X =a+c/2,纵坐标：y=[-b+(b^2-4ac)^(1/2)]/2a或y=[-b-(b^2-4ac)^(1/2)]/2a

作者: yinbaoli 时间: 2011-12-28 13:57
这道题我确实搞错了，但不是你所说的错误。错误如下：b是个动点，而我建立的坐标系实际上是一个因b而动的坐标系，所以最终得出直线的结论不可靠。
先下载个几何画板看看吧

作者: yinbaoli 时间: 2012-1-3 19:42
谢谢论坛里的朋友上传的几何画板，很强大！
几何画板默认选取的坐标轴方向分别平行于屏幕的x,y轴，所以我前面的做法是错的！
但是，坐标轴的平移不会对这道题的结论产生影响（坐标轴旋转不可以）
所以，可以选择适当的坐标系，让a点位于原点.这样二次方程就是y=mx^2+nx;代入b,c坐标，求得m,n，进而求得顶点坐标，可以看到，顶点坐标的轨迹是不确定的，因为b的横纵坐标没有必然的联系！当规定了b的轨迹时，就可以求得顶点的轨迹。
楼主觉得是抛物线，应该也是目测，在b的轨迹不确定的情况下，顶点的轨迹只是一条不确定的曲线。

作者: yinbaoli 时间: 2012-1-3 19:54
看了你的gsp文件，才理解你题的意思，

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