~/ a1 P$ C+ Z7 ^7 F0 o ) T, G$ i1 a7 g9 w: ?: E! A: ?0 ?+ O9 F9 Z9 i
例11.23 设G为群,a∈G。令 - |$ ]0 r2 J+ ?8 v7 w* b& X) f????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G ! D. d& w; U6 G则是G的自同构,称为G的内自同构。 " |) u C. o8 `4 w6 _ 3 ~" w5 e/ n* ^& y3 d? 证 x,y∈G有 " E' d0 R Y. [: V, u0 i3 A??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y) ( I j. P$ H7 W+ D " m: r2 e# x7 W1 ~; l) P所以是G的自同态。- [7 ?; s7 d5 ?) {$ [0 A% T
+ D2 U7 o5 G, T
任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足 / v1 ?3 C4 k0 u; E" w2 a6 D* l5 K' G??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y 4 A, {4 V- D% ~' Q所以是满射的。? 3 B* D1 s) Q$ @( n3 S 0 W' j' L6 T8 \5 z* W 假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。+ a9 y# L. ^0 S: t8 C+ w- b& E+ p p
! Q" W) m" O! x3 C0 n& K* L 综合上述,是G的自同构。) a+ e9 P1 A: S* {! O
' ^- o) `3 K3 N7 q' J0 ~$ {
??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有8 P2 g" @8 k7 A8 |( p* i
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x$ U7 e% @$ n/ W3 t9 [
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。( v- m y" b, ~/ A0 {6 _% E& J
2 [" _- }: o: Z$ R. K3 S. N) @
??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2. 2 M- }4 ]2 e( |4 ]???????p=0, 0={<0,0>, <1,0>, <2,0>} + c) H6 e" w7 W% s5 f???????p=1, 1={<0,0>, <1,1>, <2,2>} ( _( t0 h7 b- `- R5 {& X???????p=2, 2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}5 {4 S, O2 J9 X2 b" [
在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。 " i c: ^2 `. B/ Y: W. s9 V # ]6 `5 E, |; V u--------------------------8 z( g6 L* I, d5 K! @$ D2 Q& Y
& }& T* t( t8 O
例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。 5 H9 a) n! i. ^8 J; n 8 q" N2 J& R$ S }: m/ r? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：( N8 V; U7 |# g0 b/ l
! v+ Y9 E! u% D0 u
??????1：e e, a a, b b, c c 4 m$ {, H% a( i8 A, ?; v0 K% M/ }8 c, A4 P6 M; A/ O
??????2：e e, a a, b c, c b * [2 w/ f! w6 O. k6 _, B: g: n
9 z& v( \ x8 o2 @2 A: M??????3：e e, a b, b c, c a % h" K! F' K3 A7 x8 X; l/ m* F: {' O0 ^7 q. \
??????4：e e, a b, b a, c c # P, [- C a; p! F' U" n$ h0 E6 W" O* H3 ^5 _ r8 E
??????5：e e, a c, b b, c a , v3 e2 ^: d0 r" [
5 D% R, l2 y. L4 `: G9 N/ }5 m3 [??????6：e e, a c, b a, c b - r9 _4 h9 {8 |/ s6 A8 H5 L ~8 `9 b8 c
根据同态定义,不难验证x,y∈G都有& d* E4 O/ C5 c+ S- a5 Y" ~9 z