% ^1 V0 U2 u/ [+ F! u: B! Q) o9 N0 _2 G. H- S+ i& X
例11.23 设G为群,a∈G。令8 V h8 G+ W' ^, n, z
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G5 o# t5 _3 O) [$ ?0 |& A: y( T
则是G的自同构,称为G的内自同构。& w5 ?' O2 T+ q& S U
7 M5 [8 D) p! z* ^3 ]? 证 x,y∈G有 3 @ t0 y- B: `4 R( R: m??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y) 6 a( l. q, A5 d( u; y+ q0 x6 ]0 @" c' O9 y& d% r1 G7 D% [9 E0 b. W
所以是G的自同态。 6 G9 ]& q- J" {' D/ m3 R9 G0 Z) z* c, _$ Z6 a
任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足: `" C7 a/ C a: v- P
??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y % \9 S6 o! E) I- s所以是满射的。?( c" m) ]0 u4 [6 N7 I
$ v8 s6 P7 |: J q8 ^2 L 假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。$ i9 e+ B( n; k9 p6 {8 { e
5 L8 W# i* o; K" j# X 综合上述,是G的自同构。 ?5 ~' N2 w1 v; j3 n# d" K4 q( @- K: m, d& p# T v) C" V
??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有0 K- q ^) e$ w0 W+ ] @6 i
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x7 p& q7 S$ [" z
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。 3 L5 K2 |( q) P3 s) V2 \" }5 x# t3 Q5 D. G; Z/ V
??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.6 c3 h" T& {5 a6 l
???????p=0, 0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}5 K4 Z7 r1 N3 |( E% U, i$ y! W0 x
???????p=1, 1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}0 i% |' k4 c& x9 F8 V' b
???????p=2, 2={<0,0>, <1,2>, <2,1>} 0 O+ y0 a7 x# L& e! w1 H在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。 + ^ Y0 U+ o0 v: s0 ] K2 K7 z8 N9 |" c- c3 g; L
--------------------------( g+ t! B8 p3 M. A) c
: o; O+ r! r1 R1 b; ^* y
例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。 # `, [/ k/ D7 R - c1 D( i) L' F6 i2 ^1 f* o/ ^: f% D3 ~6 O? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：3 A3 D I+ i* `4 Q
6 C3 D- w+ d7 \' G??????1：e e, a a, b b, c c ! t5 U3 y. e' e0 Y9 v; \0 {9 t
7 T5 F% o1 v, r. G6 K??????2：e e, a a, b c, c b ! X- b" m( [ c* G0 f% B5 A 4 X9 t/ r% ]% ]" @??????3：e e, a b, b c, c a * h3 |! p, Q( N/ p% s
0 o' { r- _, k??????4：e e, a b, b a, c c & ~$ n s4 ^4 K" o0 I6 x7 S& \+ S d- m8 a
??????5：e e, a c, b b, c a # b; m/ \. [! j+ @# q
+ D$ ^2 g8 g8 |- Z' b
??????6：e e, a c, b a, c b2 H( ` ?1 K) N. A