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标题: 典型同态映射的实例 [打印本页]

作者: lilianjie 时间: 2011-12-29 14:33
标题: 典型同态映射的实例

三．典型同态映射的实例

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例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
???????????：R→R*,(x)= ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
   ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)

?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)

??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。

例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1

例11.23 设G为群,a∈G。令
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。

? 证 x,y∈G有
??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)

所以是G的自同态。

任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
所以是满射的。?

假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。

综合上述,是G的自同构。

??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。

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例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。

? 解设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：

??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b

??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c

??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a

??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b

根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

??? ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6

成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。

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