数学建模社区-数学中国
标题:
序理想
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作者:
lilianjie1
时间:
2012-1-9 15:36
标题:
序理想
序理论中理想的最一般的定义如下：
$ F0 E( ]8 m0 ~# I1 X$ C
: s, _ b9 i5 k$ c& u# }
偏序集合(P,≤)的非空子集 I 称为一个理想，若 I 满足:
7 I2 m( I4 `/ |- j- N* S$ i- W6 X/ i
% C! X) P+ v2 l& b0 W
I是下闭的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
" z; s# ^5 k1 ]& ^' V
I是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使 x ≤ z，y ≤ z。
! E% L. J" J: }3 Y0 z A
理想最初只在格上定义。与上述定义等价的定义如下： 格(P,≤)的非空子集 I 是理想，当且仅当：
" D6 h/ H6 I/ t5 u
( A- k( Z5 O$ d, p/ L& |
I是下闭的。
: X! ]: c E& H& U( T' D
I对于有限并(上确界)运算封闭，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。
$ l+ {$ v5 |5 n" y( M
- q5 U% a8 k+ B, b; d/ r
理想的序对偶概念（用≥代替≤，用∧代替∨），是滤子。
% G+ b8 n5 E. n( `8 }1 |
术语有序理想或有序滤子有时用于任意的下部集合或上部集合，本文只使用“理想/滤子”和“下闭/上闭集合”来避免混淆。
5 [- Q4 d% i8 `; b
真理想：偏序集合(P,≤)的理想 I 被称为真理想，若I ≠ P。
" k0 P, f) U+ Q+ R2 f) ^( e
包含一个给定元素 p 的最小理想称为主理想，p 被称为该理想的主元素。主元素为 p 的主理想 ↓p = { x ∈ P | x ≤ p }。
0 I B' o2 Y* W0 e
作者:
lilianjie1
时间:
2012-1-9 15:38
滤子的最一般定义是：
; x3 W, |& W+ B+ z) e
6 [2 N! B$ ?) T. K$ l( i" X d6 ~
偏序集合 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，若 F 满足:
" n( ]) }4 E+ r/ @% @- `; D
1 n O/ f* Z4 P. w1 S6 @
∀x, y ∈ F，∃z ∈ F，使 z ≤ x 且 z ≤ y。(F 是滤子基)
" @7 N, d N/ ]
F 是上闭的：∀x ∈ F，y ∈ P，x ≤ y ⇒ y ∈ F。
4 e5 i3 y1 v1 f: i) I b1 W
滤子最初只是为格定义的。在这种情况下，上述定义可以被特征化为如下等价陈述: 格 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，当且仅当它是闭合在有限的交(下确界)下的上闭集合，就是说，对于所有在 F 中的 x, y，我们找到 x ∧ y 也在 F 中。
# Z- O( K2 ?1 W; Y9 O# \
( T: N) v: I2 f0 W
* N) [7 h# c4 i
滤子的序对偶（交换≥和≤，∧和∨）概念是理想；
6 z0 ~+ K7 m$ Y1 @" j
真滤子：偏序集P的滤子F称为真滤子，若I ≠ P。
& D# z: q, U2 a, x
作者:
孤寂冷逍遥
时间:
2012-1-9 17:47
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