9 Z2 G% t3 q% ]6 }' b) u FCn表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下:令w = unv,其中n为w的最大元素,u和v为更短的数列;再令S(w) = S(u)S(v)n,其中S为所有含一个元素的数列的单位元。 7 d2 L9 Q, b" Y! }$ z8 V4 ]! y
Cn表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数. 那么, Cn 永远不大于第n项贝尔数. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数,其中每个段落的长度为2。综合这两个结论,可以用数学归纳法证明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices. ! N0 s$ L0 C" L' qCn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况: 8 G J2 U/ [6 a$ T; Z
7 S* X% s; d4 _
" l6 l( ]1 D, t. ]; ^9 y1 V) U" t8 z . o. e3 e" b: v7 @9 o7 @卢卡斯数是一个以数学家爱德华·卢卡斯命名的整数序列,他既研究了这个数列,也研究了有密切关系的斐波那契数(两个数列都是卢卡斯数列)。与斐波那契数一样,每一个卢卡斯数都定义为前两项之和,也就是说,它是一个斐波那契整数序列。两个相邻的卢卡斯数之比收敛于黄金分割比。- W w" B/ A# w
" _7 r2 t3 \- h8 v2 ]6 g6 U: L6 C6 t s但是,最初两个卢卡斯数是L0 = 2和L1 = 1,而不是0和1。所以,卢卡斯数的性质与斐波那契数的性质有些不同 8 Y+ H( G. @7 O 0 i6 O9 H( C* M3 [0 ~4 p3 u2 V2 {/ u( D4 r% h
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n:=100;n; / A( ^/ \/ H# r* xa:=Lucas(n);a; : C; h" N i" l. X* u# w7 nb:=Fibonacci(n+1)+Fibonacci(n-1);b;8 F" i! J) B+ N5 e- l! P
Lucas(n+1)+Lucas(n-1);5*Fibonacci(n);& l6 P* A3 y) u" e# q( W
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100 ) e) |+ T6 N6 v792070839848372253127 : _) k: o& g" _4 B/ u792070839848372253127: s0 a; s+ V5 W- m
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