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标题:
尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
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作者:
数学1+1
时间:
2012-2-2 23:28
标题:
尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
! ?. I& v; H5 L2 ^6 Y: Z. |
苏小光
/ T* ?7 V: g3 h# s
一 背景资料
& L+ N0 ]5 {- S$ y! G# @5 Z
尺规能否三等分任意角，是古希腊人提出来的一个几何难題。有人证明尺规不能三等分任意角，是因为
) P/ m5 W, ]- ~3 `, |- x8 O, @
cos\alpha =4cos^{3}\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}
- o! }: v4 K T, W# K
当 \alpha =60°,cos\frac{\alpha }{3}=x时，
+ O" W. V1 w2 b: \ `- ?
8x^{3}-6x-1=0,
9 N, Y) S# i* F) E
这个方程没有有理根，认定尺规不能三等分60°角，从而推导出尺规不能三等分任意角。[1]
# ]6 h5 W8 T4 H" ]
要否证尺规不能三等分任意角，就必须证明尺规能三等分60°角。若尺规能作出
: J3 y* e0 D& t3 ~- k
\gamma =20°,
* Z% W) c" Y) m: Z U( {' R* [
则尺规能三等分60°角.
6 a, z( `5 Y0 |1 H' b }5 _' F
二 代数模型
7 r: Z, M# q% J( j7 b
tan\theta =\frac{sin\beta }\left ( \right {1-sin^{2}\beta })^{2}}
& {& s: D- i" q. i' }. E
当sin\beta =\frac{1}{6} 时,
3 ]8 {+ t" q* E: a. _- w2 O
tan\theta = 0.1763265306
0 M1 v$ g; f3 h# h) h* ?: W l9 N* N B
所以 \theta=10°, 显然 2\theta=\gamma, 所以尺规能三等分60°角。
7 I* a( W/ c8 z( r* _8 m
三 代数模型的几何解释(或作图)
4 D5 `5 g x" j! \; f
作线段BC=n,AC=6n,∠B=90°，得到Rt△ABC，令\beta =∠BAC, 则
' n! Z; r: K7 A
sin\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{n}{6n}=\frac{1}{6},
; R; J, r0 I' D
Rt△ABC绕AB边旋转一周得到的圆锥体，其底面圆周长
( |( R$ ~$ N/ _# J4 r7 ^
l=2n\pi,
6 F, E6 K/ f3 m! @+ x/ }/ V
圆锥体的侧面展开图为扇形，圆锥体的底面圆周长与扇形的弧长相等，扇形的半径R=AC,设扇形的圆心角为a,则
6 g6 A# I, _) N
l=\frac{aR\pi }{180},
. S+ f' u+ L% [0 a, {
即
$ ?5 i7 C4 L' N7 D5 g$ V
2n\pi =\frac{6na\pi }{180},
4 ?9 n6 J6 e) q! Y3 e' H
所以，a =60°.
* ~' E# _4 P+ g9 u
在Rt△ABC中，
8 o/ \2 {( M) C9 k
cos\beta =\sqrt{1-sin^{2}\beta },
) z3 e* b; j, w
所以
( u* Y# e! C( M' a |# {4 n
AB=6n\sqrt{1-sin^{2}\beta }.
$ {. Y: ?& ?6 I: K! s2 v+ i) }
以AB为斜边, ∠BAD=\beta,∠ADB=90°, 作Rt△ADB,则
6 b+ }; B* T d; ^/ @3 }' i: k
AD=ABcos\beta= 6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right ).
. F3 p3 S, J2 f; E/ \4 I+ \
以AD为斜边, ∠DAE=\beta,,∠AED=90°, 作Rt△AED, 则
4 G* T6 e) L; _' E) ^ P
AE=AD cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right ) \sqrt{1-sin^{2}\beta }
* \& q3 h! W2 j2 J2 \
以AE为斜边, ∠EAF=\beta,∠AFE=90°, 作Rt△AFE, 则
& P% s1 j/ W7 X- ~0 F) v0 z% F
AF=AE cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right )^{2}
$ k, f/ T/ c8 X7 i' m
以AF=6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right )^{2}, FG=n, ∠AFG=90°, 作Rt△AFG,
1 z9 g2 u8 a; n; s1 G
令∠FAG=\theta,则
$ I5 P3 l3 \7 P3 v. z
tan\theta =\frac{n}{6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right )^{2}}.
; s% f7 {/ ~# ]& t! i: m
注[1]: 初等几何研究，朱德祥编，高等教育出版社，1985年2月，177-179.
* n. x# |, e; P8 S# {* T
7 u, v2 }* _' Y: m
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数学1+1
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2012-2-3 12:00
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数学1+1
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