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标题: 尺规三点分60°角的代数模型(pdf) [打印本页]

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作者: 数学1+1    时间: 2012-2-2 23:28
标题: 尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
                                        尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
                                                      苏小光
5 h) ^; J) {  P4 l) a             一  背景资料
  尺规能否三等分任意角，是古希腊人提出来的一个几何难題。有人证明尺规不能三等分任意角，是因为
         cos\alpha =4cos^{3}\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}
       当 \alpha =60°,cos\frac{\alpha }{3}=x时，
         8x^{3}-6x-1=0,
这个方程没有有理根，认定尺规不能三等分60°角，从而推导出尺规不能三等分任意角。[1]
, W0 x1 i7 a+ ]9 ~( H, a: [要否证尺规不能三等分任意角，就必须证明尺规能三等分60°角。若尺规能作出
6 K' t- b& X1 i        \gamma =20°,
! W+ L2 Q( L/ g  t' w/ l则尺规能三等分60°角.
5 X' e3 n! c; p& M; d! I二  代数模型
% ~3 g! @, @4 C* S9 B      tan\theta =\frac{sin\beta }\left (  \right {1-sin^{2}\beta })^{2}}
) C1 q% h' }1 B- Q当sin\beta =\frac{1}{6} 时,
/ f0 j" l2 H  P/ w* p  tan\theta = 0.1763265306
所以  \theta=10°, 显然  2\theta=\gamma, 所以尺规能三等分60°角。
# D# `- q! t/ h三 代数模型的几何解释(或作图)
1 v, G+ d, L4 w% d; t+ q3 J作线段BC=n,AC=6n,∠B=90°，得到Rt△ABC，令\beta =∠BAC, 则
sin\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{n}{6n}=\frac{1}{6},
9 O2 s0 n0 N* r' v2 {5 a- c) yRt△ABC绕AB边旋转一周得到的圆锥体，其底面圆周长
  l=2n\pi,
$ J# J/ f3 |: h0 _% E圆锥体的侧面展开图为扇形，圆锥体的底面圆周长与扇形的弧长相等，扇形的半径R=AC,设扇形的圆心角为a,则
6 O; f3 h+ m$ j3 ]+ L2 l, v; Tl=\frac{aR\pi }{180},
即
2 D( N5 _3 e1 D4 O    2n\pi =\frac{6na\pi }{180},
所以，a =60°.
在Rt△ABC中，
% W& J: I' M3 y0 a" Y7 |cos\beta =\sqrt{1-sin^{2}\beta },
0 J/ [% v4 S% _所以
( n/ x" F. e/ e$ x/ B1 jAB=6n\sqrt{1-sin^{2}\beta }.
# I0 h$ v! z# R, k5 A  S以AB为斜边, ∠BAD=\beta,∠ADB=90°, 作Rt△ADB,则
9 |+ O0 p- k9 v" I- V& R$ kAD=ABcos\beta= 6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ).
% I. O* T, e* n0 K以AD为斜边, ∠DAE=\beta,,∠AED=90°, 作Rt△AED, 则
4 V6 ^4 q5 @# I* ^  AE=AD cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ) \sqrt{1-sin^{2}\beta }
以AE为斜边, ∠EAF=\beta,∠AFE=90°, 作Rt△AFE, 则
AF=AE cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}
以AF=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}, FG=n, ∠AFG=90°, 作Rt△AFG,
令∠FAG=\theta,则
tan\theta =\frac{n}{6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}}.
注[1]: 初等几何研究，朱德祥编，高等教育出版社，1985年2月，177-179.

2 w7 m) J5 U6 s9 }8 M7 y

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作者: 数学1+1    时间: 2012-2-3 12:00
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作者: 数学1+1    时间: 2012-2-3 12:19
  

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2012-2-3 11:45 上传

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