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标题:
尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
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作者:
数学1+1
时间:
2012-2-2 23:28
标题:
尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
% S- M5 P) _ \
苏小光
& P% H) k5 x' t! y& p
一 背景资料
! ~0 L9 }- k& i: d R1 A" C6 P
尺规能否三等分任意角，是古希腊人提出来的一个几何难題。有人证明尺规不能三等分任意角，是因为
1 h8 H7 p$ d. r. I
cos\alpha =4cos^{3}\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}
8 b: {5 X: P8 N. T+ @ T
当 \alpha =60°,cos\frac{\alpha }{3}=x时，
7 e* u0 B3 i2 a4 p# m" J0 w
8x^{3}-6x-1=0,
) h7 }7 }5 X; ^) f
这个方程没有有理根，认定尺规不能三等分60°角，从而推导出尺规不能三等分任意角。[1]
. Y. f8 K6 W6 U8 m& m
要否证尺规不能三等分任意角，就必须证明尺规能三等分60°角。若尺规能作出
7 `7 ]+ C' H6 Y3 L6 L$ a
\gamma =20°,
! z% D* [! t' U. A1 N% J! s
则尺规能三等分60°角.
. f2 V. g+ C( r+ X) c
二 代数模型
2 k( d9 g0 ~- I8 h8 p
tan\theta =\frac{sin\beta }\left ( \right {1-sin^{2}\beta })^{2}}
% f9 |5 r0 X6 E0 P! G
当sin\beta =\frac{1}{6} 时,
2 d' _2 h+ t: I) j' g+ @% t
tan\theta = 0.1763265306
6 u, R' b1 Z9 B `6 s3 V
所以 \theta=10°, 显然 2\theta=\gamma, 所以尺规能三等分60°角。
/ ]+ D& C8 R$ u3 j) f. q3 d
三 代数模型的几何解释(或作图)
0 f: z% N- Q+ M# Y- Y
作线段BC=n,AC=6n,∠B=90°，得到Rt△ABC，令\beta =∠BAC, 则
; O4 U4 M9 y q9 q
sin\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{n}{6n}=\frac{1}{6},
$ j, q- m, v6 w4 j+ A& q
Rt△ABC绕AB边旋转一周得到的圆锥体，其底面圆周长
) P, T' r7 b( g! {2 n) h
l=2n\pi,
' E9 P7 x+ H" v9 M( X5 [. y
圆锥体的侧面展开图为扇形，圆锥体的底面圆周长与扇形的弧长相等，扇形的半径R=AC,设扇形的圆心角为a,则
" F6 x+ F# h/ R4 D, `
l=\frac{aR\pi }{180},
& ~5 ]7 x. k# W# y* ]% @" I8 Y) A' x
即
) y5 o5 f# s1 v9 X/ }/ G8 A& s$ n; X( B( i
2n\pi =\frac{6na\pi }{180},
" E9 v) Y7 q& }7 t
所以，a =60°.
; ?, ]. I% i+ K- E. p
在Rt△ABC中，
! ~, _7 s5 g+ s8 V' `9 ]+ s
cos\beta =\sqrt{1-sin^{2}\beta },
: g; x8 X7 Z( V I1 J& w& }
所以
* [* u& S; c6 W1 h, W, Q
AB=6n\sqrt{1-sin^{2}\beta }.
5 U4 l; ~- H; T: D3 s. Q4 m) P
以AB为斜边, ∠BAD=\beta,∠ADB=90°, 作Rt△ADB,则
$ R% A" u) S4 g; r0 @
AD=ABcos\beta= 6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right ).
4 F/ g( ~4 r: k
以AD为斜边, ∠DAE=\beta,,∠AED=90°, 作Rt△AED, 则
, I+ f; C. h O1 }
AE=AD cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right ) \sqrt{1-sin^{2}\beta }
% d V; y5 a& h9 M
以AE为斜边, ∠EAF=\beta,∠AFE=90°, 作Rt△AFE, 则
9 ^; g$ J' z! |
AF=AE cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right )^{2}
/ N# J0 X2 M- G# E, w) Y
以AF=6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right )^{2}, FG=n, ∠AFG=90°, 作Rt△AFG,
" o& i& B- C) N3 L3 f
令∠FAG=\theta,则
( d% i& R8 i% V; {9 r' S
tan\theta =\frac{n}{6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right )^{2}}.
# i2 w$ n* X! ^
注[1]: 初等几何研究，朱德祥编，高等教育出版社，1985年2月，177-179.
; b2 y# y- y. y( u
: P* F, q$ }! o$ m" D0 M
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数学1+1
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2012-2-3 12:00
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