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标题: 尺规三点分60°角的代数模型(pdf) [打印本页]
作者: 数学1+1    时间: 2012-2-2 23:28
标题: 尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
                                        尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
  U: L2 {/ {) R                                                      苏小光
& v: ]/ @  Q; x" l4 a- I. m             一  背景资料
4 j0 z+ ~; H% |: c8 c  尺规能否三等分任意角，是古希腊人提出来的一个几何难題。有人证明尺规不能三等分任意角，是因为" J0 v& c' F# G' c' X7 i
         cos\alpha =4cos^{3}\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}
2 F; A( V. q7 k       当 \alpha =60°,cos\frac{\alpha }{3}=x时，5 V0 x/ I) P0 ?) V' ^
         8x^{3}-6x-1=0,; F( u* c) Q+ [1 h3 L$ k0 k
这个方程没有有理根，认定尺规不能三等分60°角，从而推导出尺规不能三等分任意角。[1]: S; |( U: d# T6 i$ G1 `' A8 {
要否证尺规不能三等分任意角，就必须证明尺规能三等分60°角。若尺规能作出$ X7 I9 w+ }$ x; ]: w: @: X
        \gamma =20°,( g% A/ ]. m& w( `
则尺规能三等分60°角.% `- M+ s; [: ^" z4 I8 b! ~. W
二  代数模型' a4 _6 ?3 t- I: V" ?* `
      tan\theta =\frac{sin\beta }\left (  \right {1-sin^{2}\beta })^{2}}
" L! m9 Z: F6 D  z. B当sin\beta =\frac{1}{6} 时,; o- }9 Y/ d0 S) ~: `
  tan\theta = 0.1763265306+ z7 Z' a5 a; f, h
所以  \theta=10°, 显然  2\theta=\gamma, 所以尺规能三等分60°角。5 u3 ?/ |/ Y+ x3 y+ J8 E
三 代数模型的几何解释(或作图)
( x0 T" B. |4 c4 _9 F- I作线段BC=n,AC=6n,∠B=90°，得到Rt△ABC，令\beta =∠BAC, 则
' x9 L" d8 ]& Y& Q+ Zsin\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{n}{6n}=\frac{1}{6},3 Y. ]& d/ J" i( }0 g
Rt△ABC绕AB边旋转一周得到的圆锥体，其底面圆周长
  G5 ~: |5 F; k6 }2 ^  l=2n\pi,3 i6 X$ r6 p! K, X- H. M/ A
圆锥体的侧面展开图为扇形，圆锥体的底面圆周长与扇形的弧长相等，扇形的半径R=AC,设扇形的圆心角为a,则( w' v+ s+ M( W8 t# }0 P0 {2 a
l=\frac{aR\pi }{180},
- B+ O" z! V, X2 J- j4 @2 D) n- s即
. j5 @7 A! {1 o0 I    2n\pi =\frac{6na\pi }{180},7 |, c/ B( x' U8 k( {0 ?
所以，a =60°., K6 R" |7 W5 a, H0 j& u
在Rt△ABC中，
: Q5 _3 n' @, J3 u$ Icos\beta =\sqrt{1-sin^{2}\beta },
- d7 Q: w$ G% T& P所以! j/ |8 d1 c0 v* P
AB=6n\sqrt{1-sin^{2}\beta }.4 B( J& X2 x$ `3 H+ t
以AB为斜边, ∠BAD=\beta,∠ADB=90°, 作Rt△ADB,则
! y3 A* b( t" q) s$ C" W8 RAD=ABcos\beta= 6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ).* v/ r8 S: Z+ R4 k7 q) t. s
以AD为斜边, ∠DAE=\beta,,∠AED=90°, 作Rt△AED, 则5 \: n4 p3 o$ s5 t! U# }& P9 p
  AE=AD cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ) \sqrt{1-sin^{2}\beta }
8 A* q9 G5 F0 d以AE为斜边, ∠EAF=\beta,∠AFE=90°, 作Rt△AFE, 则6 o! E# M4 w8 _5 c! M' P
AF=AE cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}
, `* g4 k9 T, m5 S6 w以AF=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}, FG=n, ∠AFG=90°, 作Rt△AFG,
2 z* S+ }  U3 Z! ^/ @# e  _  q令∠FAG=\theta,则
: u3 y, O) `8 C6 T1 `# k( D1 Atan\theta =\frac{n}{6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}}.; }1 }! g) W9 ~. B
注[1]: 初等几何研究，朱德祥编，高等教育出版社，1985年2月，177-179.
+ M4 u5 s) ~' p% N) _1 e" h' F* e( r, k6 T& ^- F' z, x
作者: 数学1+1    时间: 2012-2-3 12:00
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作者: 数学1+1    时间: 2012-2-3 12:19
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