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标题: 求证明一个有关delaunay三角剖分的几何问题 [打印本页]
作者: blldw    时间: 2012-6-7 11:15
标题: 求证明一个有关delaunay三角剖分的几何问题
如题。已知四个点A，B，C，D，形成两个三角形，即三角形ABC和三角形CDA，其中三角形ABC的外接圆包含D点。问以下命题是否成立：若交换交公共边AC为BD，则新形成的两个三角形ABD和三角形BDC的外接圆都不包含第四点，即三角形ABD外接圆不包含C，三角形BDC外接圆也不包含A。
( [# T5 k  f; O; c  Y若成立，请证明，谢谢！
3 a6 j; @- p' F; b" q delaunay.png
作者: wssl103050    时间: 2012-6-7 20:40
作者: 1667156702    时间: 2012-6-9 07:47
作者: 数学在辐射    时间: 2012-6-11 11:14
其中三角形ABC的外接圆包含D点——指的是D点在外接圆上面，还是如图上的在外接圆内？
作者: 数学在辐射    时间: 2012-6-11 11:19
顾问团的楼主，附件怎么就一个图？
作者: blldw    时间: 2012-6-11 15:17
三角形ABC的外接圆包含D点——指的是D点是如图上的在外接圆内这种情况.
作者: Create_our_futu    时间: 2012-6-11 23:28
作者: Create_our_futu    时间: 2012-6-12 00:10
作者: 数学1+1    时间: 2012-6-12 21:10
本帖最后由 数学1+1 于 2012-6-12 21:13 编辑 5 G2 F4 M6 N% R* |6 ^

0 x' k* U! }1 {2 c# i2 ^6 f3 {题，图见一楼。
3 r% c* V7 u6 T/ T/ s    证明:作AD的延长线交圆于点E，连接BE。/ ]2 ~+ Z; S, }8 Q3 R" L; M
    因为点E在三角形ABC的外接圆上，所以，三角形ABE外接圆的半径等于三角形ABC外接圆的半径。
; o$ L! I9 ~7 B3 [/ U    因为    1/2 AE>1/2 AD8 a) Q2 N: m- N' R7 b% T
      所以三角形ABE外接圆的半径大于三角形ABD外接圆的半径，6 _. @4 X; E( ^- t2 \8 O
    所以点E在三角形ABD的外接圆外,
5 Z9 e' q0 ]( |6 i       所以三角形ABD的外接圆不包含点C。3 L. ]8 a0 D( u4 m( L
    同理可证三角形BcD的外接圆不包含点A.
作者: 数学1+1    时间: 2012-6-13 00:37
http://www.madio.net/forum.php?mod=attachment&aid=MTA5NjA0fGI4MDNhY2NkYzY0YTc4NDg2ZTZkOTJkMGViNGZlODA1fDE3NzU4MTU5MjA%3D&request=yes&_f=.gsp
作者: blldw    时间: 2012-6-13 11:31
谢谢"数学1+1"的回答,但是你的证明还不能令我信服
作者: 数学1+1    时间: 2012-6-15 01:09
题，图见一楼。' c5 o* s' M/ J$ \" p! S: I9 b
      证明   设三角形ABC外接圆的圆心为J,作AD的延长线交圆于点E，连接CE过点J作AE的垂线交圆于点F，交AE于点L。过点J作AB的垂线交圆于点G。作AD的垂直平分线，交圆于点H，交AD于点K，交GJ于点I。连接EJ,AJ,BJ，CJ
  M# I" q1 {' z3 b: I5 X# s8 S      因为    AJ=EJ，
* [" h4 t& S( O. S9 k; C0 ?      所以FJ是AE的中垂线。
+ b% {2 u% J) y+ o; g      因为    AJ=BJ，
; k- x( a! Q1 J. `/ {      所以GJ是AB的中垂线。! S3 q' d/ j' U8 ?
      因为HI是AD的中垂线，所以FJ平行HI。1 v* T( G: ]9 O0 R: J6 d
      因为    AE>AD，* i0 ?  {* H. y
         所以    AL>AK，
8 c* A+ t& T1 w" A, I      所以FJ与HI不重合。
8 \: y( s& v7 s' {- |      因为GJ是AB的中垂线，所以GJ与HI 交于点I 。且点I 是三角形ABD外接圆的圆心。) R3 C, h+ i) _2 S; A) t6 u% r
      连接AI 。
: j) ~; {0 b4 l  h, A4 ?      因为     AJ — AI < I J < AJ + AI ，9 J# }) j) ~& C8 p! \
      所以圆J 与圆I 只有A,B两个交点。! E/ L1 k9 O# h; M# W. A; A$ A* H
      因为     AJ>AI，AJ=CJ,5 w8 d3 G9 q' o& x. Z2 V5 |# o
        所以     CJ>AI .
! |- B$ v% g1 I" X, a* l% T- n     即三角形ABD的外接圆不包含点C。
0 Y9 I* H6 C8 d3 V# Q% l9 o- \
作者: ccmmjj    时间: 2019-2-21 21:12
这么简单的问题也要问？由已知角Ｂ+角Ｄ>180度，所以角Ａ+角Ｃ<180度。证毕。) d/ q1 \" |9 G! y4 T. l7 V8 \( P4 V




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