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标题: 求证明一个有关delaunay三角剖分的几何问题 [打印本页]
作者: blldw    时间: 2012-6-7 11:15
标题: 求证明一个有关delaunay三角剖分的几何问题
如题。已知四个点A，B，C，D，形成两个三角形，即三角形ABC和三角形CDA，其中三角形ABC的外接圆包含D点。问以下命题是否成立：若交换交公共边AC为BD，则新形成的两个三角形ABD和三角形BDC的外接圆都不包含第四点，即三角形ABD外接圆不包含C，三角形BDC外接圆也不包含A。( M/ u8 e3 q) `: \; {( k5 n
若成立，请证明，谢谢！
) V& C8 j+ j, t8 L- l- g) K: [ delaunay.png
作者: wssl103050    时间: 2012-6-7 20:40
作者: 1667156702    时间: 2012-6-9 07:47
作者: 数学在辐射    时间: 2012-6-11 11:14
其中三角形ABC的外接圆包含D点——指的是D点在外接圆上面，还是如图上的在外接圆内？
作者: 数学在辐射    时间: 2012-6-11 11:19
顾问团的楼主，附件怎么就一个图？
作者: blldw    时间: 2012-6-11 15:17
三角形ABC的外接圆包含D点——指的是D点是如图上的在外接圆内这种情况.
作者: Create_our_futu    时间: 2012-6-11 23:28
作者: Create_our_futu    时间: 2012-6-12 00:10
作者: 数学1+1    时间: 2012-6-12 21:10
本帖最后由 数学1+1 于 2012-6-12 21:13 编辑
1 T( F* b* F/ x" m
, Q% J0 h! {. p/ D题，图见一楼。
3 c  A1 B% t8 U- r; c! ~    证明:作AD的延长线交圆于点E，连接BE。! @; q2 o6 T# O
    因为点E在三角形ABC的外接圆上，所以，三角形ABE外接圆的半径等于三角形ABC外接圆的半径。
+ @9 i' q" ~8 h4 x+ z    因为    1/2 AE>1/2 AD
: O3 w$ o# z# M$ Y) H( Q      所以三角形ABE外接圆的半径大于三角形ABD外接圆的半径，5 n0 K2 S' q7 j8 U! m5 h
    所以点E在三角形ABD的外接圆外,4 h3 G- J4 p( z9 O
       所以三角形ABD的外接圆不包含点C。
% w$ J: v) ~' m2 q6 p5 y+ e4 Z    同理可证三角形BcD的外接圆不包含点A.
作者: 数学1+1    时间: 2012-6-13 00:37
http://www.madio.net/forum.php?mod=attachment&aid=MTA5NjA0fDIxMTMxNDQ3MmQ4YWJkMzdkZDYwNTBjYjI2ODJjYjNlfDE3ODgyODk1MjI%3D&request=yes&_f=.gsp
作者: blldw    时间: 2012-6-13 11:31
谢谢"数学1+1"的回答,但是你的证明还不能令我信服
作者: 数学1+1    时间: 2012-6-15 01:09
题，图见一楼。
/ r. D' Z: |/ q# r      证明   设三角形ABC外接圆的圆心为J,作AD的延长线交圆于点E，连接CE过点J作AE的垂线交圆于点F，交AE于点L。过点J作AB的垂线交圆于点G。作AD的垂直平分线，交圆于点H，交AD于点K，交GJ于点I。连接EJ,AJ,BJ，CJ) `) I9 u9 E0 Z$ N/ \
      因为    AJ=EJ，1 r' p1 E2 S: @9 G( j; L
      所以FJ是AE的中垂线。. l( e& i+ ?7 z: w
      因为    AJ=BJ，
- m* p& V3 |" [+ X4 Z      所以GJ是AB的中垂线。* Q0 a0 I7 k/ \" z, e. R
      因为HI是AD的中垂线，所以FJ平行HI。! i7 y" t1 h4 w' X* Z
      因为    AE>AD，8 X; T- x0 k# e; m3 {) o3 R
         所以    AL>AK，
) ]3 d. W+ k' a      所以FJ与HI不重合。' c9 P, j. I7 ?8 y! o' [1 J' m
      因为GJ是AB的中垂线，所以GJ与HI 交于点I 。且点I 是三角形ABD外接圆的圆心。0 P& [* J/ `2 Z5 T9 L: b4 l
      连接AI 。
. g& D. r1 E( F# n      因为     AJ — AI < I J < AJ + AI ，
) w, |  u. z% Q- {) P      所以圆J 与圆I 只有A,B两个交点。
0 V- B' ~1 y5 Y* z      因为     AJ>AI，AJ=CJ,
+ Z: m) E7 l8 o. J+ P: N  ^# e        所以     CJ>AI .
6 p1 e" C4 @4 |. S9 a     即三角形ABD的外接圆不包含点C。
7 r( f: `* a1 Q. `: l4 G) E) ?5 G; t0 k7 Z/ c
作者: ccmmjj    时间: 2019-2-21 21:12
这么简单的问题也要问？由已知角Ｂ+角Ｄ>180度，所以角Ａ+角Ｃ<180度。证毕。; Y$ j* l4 N  ]# _' l




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