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标题: 求证明一个有关delaunay三角剖分的几何问题 [打印本页]
作者: blldw    时间: 2012-6-7 11:15
标题: 求证明一个有关delaunay三角剖分的几何问题
如题。已知四个点A，B，C，D，形成两个三角形，即三角形ABC和三角形CDA，其中三角形ABC的外接圆包含D点。问以下命题是否成立：若交换交公共边AC为BD，则新形成的两个三角形ABD和三角形BDC的外接圆都不包含第四点，即三角形ABD外接圆不包含C，三角形BDC外接圆也不包含A。! Y/ x$ _5 Z; l* _, r% I
若成立，请证明，谢谢！
, g) P6 N7 [2 S delaunay.png
作者: wssl103050    时间: 2012-6-7 20:40
作者: 1667156702    时间: 2012-6-9 07:47
作者: 数学在辐射    时间: 2012-6-11 11:14
其中三角形ABC的外接圆包含D点——指的是D点在外接圆上面，还是如图上的在外接圆内？
作者: 数学在辐射    时间: 2012-6-11 11:19
顾问团的楼主，附件怎么就一个图？
作者: blldw    时间: 2012-6-11 15:17
三角形ABC的外接圆包含D点——指的是D点是如图上的在外接圆内这种情况.
作者: Create_our_futu    时间: 2012-6-11 23:28
作者: Create_our_futu    时间: 2012-6-12 00:10
作者: 数学1+1    时间: 2012-6-12 21:10
本帖最后由 数学1+1 于 2012-6-12 21:13 编辑
- N6 i, ^1 y% F4 Y' @% Z. @) A
3 R; }: L8 P. I  R. o( O题，图见一楼。) Z( ^$ R4 Y. e  b
    证明:作AD的延长线交圆于点E，连接BE。! k, X' G# V  E( D) U/ {  i$ w* L
    因为点E在三角形ABC的外接圆上，所以，三角形ABE外接圆的半径等于三角形ABC外接圆的半径。1 a' q( n9 B" v3 g
    因为    1/2 AE>1/2 AD
& w! R8 r1 N' _9 D( v' ]. S- {  d      所以三角形ABE外接圆的半径大于三角形ABD外接圆的半径，' o. t/ i4 T! W; p
    所以点E在三角形ABD的外接圆外,
/ j$ g: l2 e0 |& A       所以三角形ABD的外接圆不包含点C。4 A! O6 b3 Q, U) E1 v
    同理可证三角形BcD的外接圆不包含点A.
作者: 数学1+1    时间: 2012-6-13 00:37
http://www.madio.net/forum.php?mod=attachment&aid=MTA5NjA0fGZmZDFlZGNiYjYzY2FhMTI2NDQxZWMxM2FlM2RiMThkfDE3NTM0NTk1NjQ%3D&request=yes&_f=.gsp
作者: blldw    时间: 2012-6-13 11:31
谢谢"数学1+1"的回答,但是你的证明还不能令我信服
作者: 数学1+1    时间: 2012-6-15 01:09
题，图见一楼。9 F6 N0 d5 j1 x) `
      证明   设三角形ABC外接圆的圆心为J,作AD的延长线交圆于点E，连接CE过点J作AE的垂线交圆于点F，交AE于点L。过点J作AB的垂线交圆于点G。作AD的垂直平分线，交圆于点H，交AD于点K，交GJ于点I。连接EJ,AJ,BJ，CJ; H4 H' a. p1 t2 h* ~, H! \. p
      因为    AJ=EJ，2 U) A1 k$ }& ^# o6 t& J! e
      所以FJ是AE的中垂线。* i  Q/ b5 P7 W7 ~: f2 e# d( v
      因为    AJ=BJ，
2 e+ k3 T. i* P! W8 t1 Y3 X      所以GJ是AB的中垂线。9 E7 g* t/ {( I, ?. A
      因为HI是AD的中垂线，所以FJ平行HI。
& u: |% o8 r1 L' U( {/ u      因为    AE>AD，
5 X! R% g9 A3 b( G1 x         所以    AL>AK，+ g  i; p% k2 {4 B! y& o6 V  \
      所以FJ与HI不重合。
- U4 q% |  o/ A" ]& B! S      因为GJ是AB的中垂线，所以GJ与HI 交于点I 。且点I 是三角形ABD外接圆的圆心。
% N2 A# X7 b/ x$ B      连接AI 。1 ^# H8 m9 w1 D0 \+ J3 Z( X
      因为     AJ — AI < I J < AJ + AI ，! _+ V" D+ A' a1 M
      所以圆J 与圆I 只有A,B两个交点。
2 N( q! Z0 N6 U5 b/ q2 k% [( q$ Y      因为     AJ>AI，AJ=CJ,2 ^  \2 A6 L  ^# T5 m6 T  o
        所以     CJ>AI .
. ?! {: L* l9 Q  B+ U     即三角形ABD的外接圆不包含点C。$ i( T/ F+ j% ]/ T
% k* v. X6 k: B5 h" Z8 y
作者: ccmmjj    时间: 2019-2-21 21:12
这么简单的问题也要问？由已知角Ｂ+角Ｄ>180度，所以角Ａ+角Ｃ<180度。证毕。9 X7 m1 Q9 f# ~+ P* j




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