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标题: 求证明一个有关delaunay三角剖分的几何问题 [打印本页]
作者: blldw    时间: 2012-6-7 11:15
标题: 求证明一个有关delaunay三角剖分的几何问题
如题。已知四个点A，B，C，D，形成两个三角形，即三角形ABC和三角形CDA，其中三角形ABC的外接圆包含D点。问以下命题是否成立：若交换交公共边AC为BD，则新形成的两个三角形ABD和三角形BDC的外接圆都不包含第四点，即三角形ABD外接圆不包含C，三角形BDC外接圆也不包含A。
6 a+ i# T+ Q" ?* w7 |若成立，请证明，谢谢！2 e( Q: z+ w4 V2 B
delaunay.png
作者: wssl103050    时间: 2012-6-7 20:40
作者: 1667156702    时间: 2012-6-9 07:47
作者: 数学在辐射    时间: 2012-6-11 11:14
其中三角形ABC的外接圆包含D点——指的是D点在外接圆上面，还是如图上的在外接圆内？
作者: 数学在辐射    时间: 2012-6-11 11:19
顾问团的楼主，附件怎么就一个图？
作者: blldw    时间: 2012-6-11 15:17
三角形ABC的外接圆包含D点——指的是D点是如图上的在外接圆内这种情况.
作者: Create_our_futu    时间: 2012-6-11 23:28
作者: Create_our_futu    时间: 2012-6-12 00:10
作者: 数学1+1    时间: 2012-6-12 21:10
本帖最后由 数学1+1 于 2012-6-12 21:13 编辑 # m8 Y+ @6 F2 G7 ]  O* ]) l/ [

; c" v1 q; d9 A# I$ q, f  a: f3 N5 r题，图见一楼。
7 k3 H" p9 O- e# h    证明:作AD的延长线交圆于点E，连接BE。- D" m  a2 }, e$ L+ H
    因为点E在三角形ABC的外接圆上，所以，三角形ABE外接圆的半径等于三角形ABC外接圆的半径。
; n* |: ]8 |2 F/ g! U& F    因为    1/2 AE>1/2 AD
4 R6 z: H: d8 `      所以三角形ABE外接圆的半径大于三角形ABD外接圆的半径，7 M; X  M) R" O" q0 _+ i8 n
    所以点E在三角形ABD的外接圆外,
$ s) }+ ^+ m# _# S( I1 Z       所以三角形ABD的外接圆不包含点C。
/ ^+ K% U  `9 V/ {7 e2 `% e9 D    同理可证三角形BcD的外接圆不包含点A.
作者: 数学1+1    时间: 2012-6-13 00:37
http://www.madio.net/forum.php?mod=attachment&aid=MTA5NjA0fDRiNDYyMDlhOWQ4MWM5MGVjNzNjZmIwZDI3NDY2NzA4fDE3Nzk4MDA2MDM%3D&request=yes&_f=.gsp
作者: blldw    时间: 2012-6-13 11:31
谢谢"数学1+1"的回答,但是你的证明还不能令我信服
作者: 数学1+1    时间: 2012-6-15 01:09
题，图见一楼。. k( O8 o; |6 }9 m$ \$ D  \
      证明   设三角形ABC外接圆的圆心为J,作AD的延长线交圆于点E，连接CE过点J作AE的垂线交圆于点F，交AE于点L。过点J作AB的垂线交圆于点G。作AD的垂直平分线，交圆于点H，交AD于点K，交GJ于点I。连接EJ,AJ,BJ，CJ% t) s4 A* x5 H6 [6 S
      因为    AJ=EJ，
: P9 j% y4 Q( K4 W9 B      所以FJ是AE的中垂线。
: Y4 {# l$ q3 Q      因为    AJ=BJ，
$ u+ m! k/ y) Z+ h) Z      所以GJ是AB的中垂线。
2 R% M" K* v* a1 C# j      因为HI是AD的中垂线，所以FJ平行HI。$ a; _# V& N7 Q: x1 j
      因为    AE>AD，
  c0 H" N9 e# x7 Y: }         所以    AL>AK，
5 A3 H1 O1 P' I' ^" a. B; a4 v" ]      所以FJ与HI不重合。, _6 D; n, ~/ q+ v$ Y3 ^. {
      因为GJ是AB的中垂线，所以GJ与HI 交于点I 。且点I 是三角形ABD外接圆的圆心。
5 w6 h2 f. L5 g' ]& f$ a8 H      连接AI 。  C/ u3 O8 J8 g
      因为     AJ — AI < I J < AJ + AI ，
/ B/ F7 A$ b' N  [" U      所以圆J 与圆I 只有A,B两个交点。$ F6 t8 r) n) a, g) ?0 G
      因为     AJ>AI，AJ=CJ,/ w* H, f5 A6 p0 [/ t
        所以     CJ>AI .
& Q7 c3 V- i" J9 b! R! x: b$ K     即三角形ABD的外接圆不包含点C。
! {, `1 A  S- O0 P: F+ J% s$ g) q. Q( X1 I& ?+ A6 P- f
作者: ccmmjj    时间: 2019-2-21 21:12
这么简单的问题也要问？由已知角Ｂ+角Ｄ>180度，所以角Ａ+角Ｃ<180度。证毕。5 [2 `: V4 b/ X+ w" l/ g. ?




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