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标题:
百鸡问题
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作者:
marchboy
时间:
2012-6-9 00:10
标题:
百鸡问题
百鸡问题
% J( @2 T1 x2 h% Z1 F
0 g" x, ^# h& M0 N6 T. n2 \
今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
5 S" f: C: {( J9 Z
编辑本段
" l U! }5 T0 Z5 d d
原书说明
& |! _" c( m% M# C, q5 J
& f# C' X5 f) v: {- ~4 m
原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
/ Y1 j0 v2 b( U5 c( J9 M
编辑本段
! J; r% ^7 l6 m% Z. g- j) |
解法
; n, W$ o( D. Q! v t
/ i7 L+ ~7 U& |( A3 B
中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
1 y1 I* ?, w$ h& ^$ G1 @6 J! y
这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
& M$ D; g. |% E: l: d
设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
* b% T' q$ \" R3 N! x# Q/ k
①……x+y+z =100
) j) y2 {# P) v3 k X/ a7 _
②……5x+3y+(1/3)z =100
7 t# t# z9 i Q# D; j
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
4 q1 P/ U5 [; j( L) I$ d
令②×3－①得：7x+4y=100；
0 ^: l! B# j6 z/ C
所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
/ ^- [; g, ?# |- p
令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
/ P- Q, ], d5 m7 X. Y
把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
/ p! {5 W5 }. w. i
易得z=75+3t
: K, q. u9 z! E: }
所以：x=4t
5 Y1 A% Z) l! i e, }
y=25-7t
; p ]. O& E+ p" t( v5 U1 F9 D
z=75+3t
5 J, G: Q3 t, l9 q' j
因为x,y,z大于等于0
9 E. H: u) n# }6 f
所以4t大于等于0
* ~9 w( b. ]( k3 p
25-7t大于等于0
0 ~3 q$ _6 J0 M. L2 c$ _( b
75+3t大于等于0
% d- H( j" R' c+ |. g4 n
解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
" E+ Q) o" ]( r4 u: p
所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
3 w# h/ w, D2 M; n) {& t
当t=0时
$ r% M# q, h! U3 k& A% H
x=0,y=25,z=75
% ~6 c* `. A- i( [3 \
当t=1时
& ]$ a8 B! P; j1 k
x =4；y =18；z =78
3 w V' x# d Y" U) p
当t=2时
7 F6 a0 G1 ?% k( S: T6 k
x =8；y =11；z =81
$ s3 A: X# r( Q) y
当t=3时
8 w- H- ]3 P" q( W+ N- F* K" P
x =12；y =4；z =84
, s* _8 ?0 [* z) v& {) R1 x
编辑本段
) r( v$ o% L5 A9 `
C语言解法
% ?, Z4 W! Y% v0 c2 \
6 H1 h) h* R, `0 _( N7 t
# q2 E8 F' o+ F2 D K* u, |
#include <stdio.h>
9 W6 F, G0 _3 d( p4 p$ c# W
void main()
6 V- P. }( {8 Z2 a# ], f; I7 Y; v
{
" l7 l- C E: k5 ^+ e
int cocks=0,hens,chicks;
: }" Z! Y2 e! ?
while(cocks<=20)
) k/ c" Y. w h, P
{
! z5 L9 Y4 L9 Y4 F
hens=0;
, O8 N# A: Q/ f& i0 [. \7 t
while(hens<=33)
5 c, Z+ ]. C' T& y( \+ }
{
0 \2 Y) b4 _1 X1 c% f/ ]
chicks=100-cocks-hens;
- h: a+ n: g+ w5 h- T: k! u" e$ J" M
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
: G5 |! N; U& B; t6 V- J
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
5 I1 ^) }. \* c
hens++;
5 ~( K* M8 Y' D& I) L$ E
}
% g9 m* K+ L0 P$ T/ T) `
cocks++;
6 X p4 L, H& d) B: d
}
4 W' A5 f- \% q+ z/ T: L$ }- I F
}
5 x, m- ~4 U0 T) I
输出结果为：
+ ^9 M4 C& f; q1 Z4 e8 A
公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
( ?5 B9 L( Y$ v. ?
公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
8 R7 M- I8 @& \% p& c a
公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
, |) J# M0 z5 M K t& h) P
公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
r3 Q( ~/ d0 ]& I
编辑本段
0 [1 C- O4 h x2 q+ c
java语言解法
) C% c" i% b2 ~$ c) I% r1 a, L: D
$ j+ Y8 {& F8 X4 W, z
public class BaiJiwenti
+ c' J, C+ O: B0 J
{
3 R$ J% g5 l* ^1 g( U+ R2 D
public static void main (String [] args)
1 b. ?- ~0 y9 u) v& K
{
( |5 I# N& a1 }' s; j7 l8 P# ^
for (int x = 0; x <= 19; x++)
! c2 L* p, D w" d
{
3 Q+ }! g5 m% g6 D `9 u& t
for (int y = 0; y <= 33; y++)
, ~& T0 C2 f' w
{
& X" M$ O& w/ V& T/ I, k
int z = 100 - x - y;
1 _+ ]6 e/ b7 N9 `4 D* m) E
if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
n) y+ b# K9 J4 O
{
7 {1 X1 r- h3 f% A* }4 y. V8 ~
System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
% I: B% x; d5 ~/ h# P
System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
% v' e6 P. @9 u& X/ A( ]+ T+ k
System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
$ R" k+ Q/ i1 k$ T$ x: r
}
5 \/ O5 B3 i5 d E
}
6 @+ ]: K$ n7 V) v$ w
}
0 M' w: }: ?. K' H1 V
}
+ L' `7 g8 S# W7 g' i3 m
}
5 J2 K! m( a6 H! k9 ^
作者:
wssl103050
时间:
2012-6-9 06:46
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