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标题: 数学建模十大算法漫谈 [打印本页]
作者: 异一    时间: 2012-8-1 12:31
标题: 数学建模十大算法漫谈
数学建模十大算法漫谈$ d: E& ^6 K+ G2 k1 G$ b6 }

$ K, G6 o2 N% v8 F" c1 H. F作者:July  二零一一年一月二十九日
* y7 D  E! g- ^1 Q8 h! o8 o本文参考：8 g; }4 z9 |3 r% i
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]0 @! w( L: p% S$ X- J
II、 本BLOG内 经典算法研究系列. w6 S4 i) t: l6 [% B2 k5 J
III、维基百科
+ v5 n3 K) }+ ?% @8 O* @, {------------------------------------------; I8 _0 ^, l: Z. M4 m' J. C
博主说明:
, t5 p+ n: C% V$ A  R9 O$ |( P( N% w1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。# c+ f4 F. \8 J( a1 F9 @) }
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。9 P" I! @" ?  |) @
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
& L, B! n( {5 V# n同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。8 A3 \. {4 ?. |
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。0 N/ y- \% {0 V4 k1 ^; j
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
8 P- U7 t5 w' o3 K* O3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
: U4 f; n3 ~  o$ u* h若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
+ A) p% N6 B- i/ m; r谢谢。
- Q. x0 G. B- W9 s" T% R, @/ p
1 }: H& ]$ L( u2 I & ~# L& l& B& x( _! l1 f9 l3 G% o
一、蒙特卡罗算法7 U- z5 r' L7 U. ]  B
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
( c- X4 e' o; s% W共同发明了，蒙特卡罗方法。, o( A/ |# E% \4 L3 \: D
/ R, w. W) _( j* W, s
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：( K: v/ ?2 u9 ]+ ]6 }
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
5 O! q& ?" m7 W- L! a: a
: Y; g# ^0 `. }$ c蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
7 Y$ G' j- ?9 e3 i: Q) M的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方$ X* p4 d0 Y1 D1 }7 Q* b$ n
法。
, n; b5 `, U% R# v
0 u5 z8 e" P) V: J8 U3 w$ J由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
, o+ Y- o+ n5 A* g  _4 g实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
! b/ W% A- r" q# B. P# L蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
0 Q7 U: Y% t% Q- u当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
2 `& z1 R! N+ x，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
  ?" U" Y) ]6 N3 P3 n6 [  C$ Q为问题的解。- V+ \4 v2 d' D6 ~% f; g5 X: }
6 C1 `9 m; i* }! X# T& `% p
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
+ k* g! S( l. s$ `9 L6 t2 t假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
) K3 ~) T& I6 f: q- b& j% C# C度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
- H) `: p- x  S6 V  g; j后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
5 N8 S+ Z+ j+ A7 Z，结果就越精确。
' b6 b9 s% P% ~" C* h2 I7 j在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
4 D! E- L2 X- K
8 V' J: w6 H/ R  ^蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
0 l0 H3 S0 x  ~  o3 ?8 z拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的# U# k, J- C$ @. |7 P$ P
近似解。
& d) Y9 b" a7 \# |
/ w0 Q3 ^8 F& o' }& ^% c蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而+ w, s8 C+ m- h1 }: O& b8 |2 b6 o
蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下： ( [2 T9 `1 V$ A9 ^7 `: [4 i
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。 ! k+ F' n- D& h
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。) G4 H% b8 G4 e9 p4 D) k, R4 c7 D
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。, Y: L2 e! w  M* X1 o/ x/ ?# ~
等等。
) {* y  s/ o  p9 h: [此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
+ h6 t# T* \' p$ d. c) \ # h& c6 o; N$ d  |" o4 y

; E3 O5 f4 T$ I2 D二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法5 j4 s1 ]: c& l7 J7 S6 c- x. b
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。  @8 V, ]& A* x: Z
数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
$ S/ Q6 ?4 [6 {; U0 V4 l学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有7 u) c7 M* W; X
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。8 q. m9 D+ T4 {
6 x1 t- q  V; ], G
此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
  T+ W4 @' h3 _; v
9 S4 u; P7 K, K* ~. F; h; L
$ c+ K& |$ s# }4 P  }三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题" ~, X0 n& G. v; B3 ?
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
! Q, J3 |* R) i' ]2 w% ?( b、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
2 \" Q. X* F2 Y完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
4 P7 W% W, b8 n, Y4 ?需要熟悉这两个软件。
7 u, V. t" c/ a5 Z9 s% q5 N ; b/ b& b7 a- F6 `
. t* w& c9 @0 X: p0 Q2 y
四、图论算法
4 \, }8 Q8 u& y- T# r7 f% o5 u; h这类问题算法有很多，
+ H8 U& H6 @0 _7 i6 u包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。# ?; E: u9 B, T2 X( ~8 ]+ b  ?! ~; |. p
3 r; \; ^' \! S8 H9 I5 N' @& e
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。  Y$ T  T0 i( p4 t
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，" N4 l  ~$ h; @( [0 K1 H5 ~
-----------: }2 ?# y9 D" {: C
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探4 {/ x5 E8 W+ ^5 q+ Z
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx: B" L- c. b# s% k6 T! v; R2 O+ c
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
3 w. f% ?- A, s1 W. s 2 b( j, B2 `% j- ^* ?: ?
  v) t0 e) d- @( ]: ^
五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
2 j, O, Q  N' K+ c, V在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
8 e0 x1 `- K9 I: q此外 98 年 B 题体现了分治算法。
9 T) k4 B" w& ]3 n
& k  Y' S7 ?5 H' u8 X) H这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
" I& W5 z6 q. a/ y0 X( J推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。3 l4 ]5 L7 G) n5 p! f

7 R0 @8 K5 x- C+ ^$ f9 Q
) F. t) {  J' q4 L六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 6 }3 P4 p" V' x
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
& r6 c3 v- L& D4 g3 V在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
: E- j2 u8 m) |" x以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，- S0 s) \- m3 w4 t' N  c! }: v
说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
$ f  k/ d+ ]: r0 n) D. ^4 ~$ ]03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。! _( H, F, K. w# o$ Q# z; n

  H. f. [. P7 r( |: _另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。, u" T& c, z0 T% e! e
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& O9 J0 \5 v3 N/ F" B/ M* u: {经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质+ S9 }# L5 J8 f' l0 r4 [5 L+ [8 d
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx8 i/ O0 g) I" A
" b6 |& P2 h" V
其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。3 N% V  h, o) w' I" |  A, Q
# `. F4 Y1 J- \  I! Y4 v
6 K; N) l: V/ B0 }) k
七、网格算法和穷举法
4 L" ~0 F6 o4 L0 \' L网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。: W2 E( c% o8 J5 g, X
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，% g+ {& [+ r2 A' u
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b3 y& v1 I& Z! q9 D- g
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。* x- q! _0 M, d' X$ Q, h
$ y6 x. _/ X  p( t
在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较3 H. Q  s$ T" _: K2 K- m: X% B
快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。; H- Q+ u& x0 k: x% t
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  9 x( f0 ]: x2 K/ r- _

2 P" c% }2 v0 @6 P7 B, |* [; ~% V8 R% `! \: n: X
八、一些连续离散化方法
- X  H* W2 X, E" I# p% a0 u8 U大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
8 W6 c, u. a- U& J) ~+ n: N中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
3 Z2 ^8 t( @' o6 ?
& P1 V& g6 I3 y$ o" z. Q& q这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
) r! [: N0 |8 e/ G- V/ L事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。 + Q3 E& d! z$ p$ X5 e" l0 n: E

' X1 {; p- y# j! Q8 \' k% i$ Z' X  W; R; x8 A1 r, v7 m, t- h
九、数值分析算法% m$ P9 a  T  p9 s. ]' e7 |) U
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的' N; {; [7 o: H$ g% T; L$ W
算法。7 s0 e# D( K; B
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、$ [$ {6 [# J4 @* K  }( X, ~8 \5 t! G% u
函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
. S6 _3 |' D4 y+ S2 @2 l' a0 I) o这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
# a- |* R4 h1 S: O因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
+ D6 q" |$ s1 {3 @  f9 m9 j 5 U$ D, x/ h# ^) R) G# ~4 X

6 M2 b4 _' V7 p' ^+ B, J4 J十、图象处理算法
2 u4 g% v; C9 L2 M' k在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
0 v* G) q- c( U9 h" c  B  z计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
( c  T5 U5 D" D* r4 d8 y因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
5 Z( H# D$ Z. y9 B5 C" E  l! J
, [1 u; N7 j$ J  k) r此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
6 |; @* F( m- N3 ^+ x8 Jhttp://download.csdn.net/source/3007336
3 u) U+ v4 k& s  v. Z' h) K
+ L, d5 Q( ^0 c3 m本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，2 ]* @  \; A% w% ^5 p. n" c; e
日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。  w2 v. Y/ h" m* u5 d8 [) k6 ]  v
完。" ]8 Z2 b0 S3 N( v; f1 X% ^8 T5 _
/ W* B1 o& v, _" b
, v+ R- e2 j3 t) G
作者声明：
$ _3 E1 P; ~2 L本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，/ I4 Z$ x' H8 U; G
转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 14:50
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
作者: 异一    时间: 2012-8-1 15:41
shicahju 发表于 2012-8-1 14:50
- v& O) m3 H6 ?' f% T" b" r0 `别人都说过了 你再说一遍有意思吗？

- j. r' S3 W! d5 [7 V是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~& Z* D; U2 B; s
要不然就删帖吧？话说我也不知道怎么删来着。
& X4 i+ _& ~; w2 Q不过，好文就算别人说过我再说一遍，意义还是挺大的吧。* [: I' W( K; A/ I1 v
1 C& c% t7 u4 q; e
最后，你今天“难过”啥呢？珍惜美好时光吧~~, }4 Z; o1 b/ w
据说笑会传染，多给你几个笑脸。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 16:03
异一 发表于 2012-8-1 15:41 ) u' f2 l" `% _! D, z
是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
- j- z# M& U! o; L9 m) i" a要不然就删帖吧？话说我也 ...
1 {1 m! V5 |4 g' l: e3 a$ B$ g+ r
~~~好吧  刚进来就看到了很多算法
作者: shaox    时间: 2012-8-1 18:56
太多了~~
作者: 沧海浮萍    时间: 2012-8-2 11:13
挺好的~~~觉得挺有用·
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:29
谢谢你
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:31
。。。。。。。。。。。
作者: 炎~黄    时间: 2012-8-10 18:28
我感觉挺好的......
作者: lingmo    时间: 2012-8-11 11:08
哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈
作者: qzwqzw    时间: 2012-8-11 16:07
正在学数学模型，看了这个，虽然还有很多不懂的，但是受益匪浅
作者: Teng_guanguan    时间: 2013-1-20 15:10
不错，很有用啊
作者: 取名字真麻烦    时间: 2013-1-20 18:18
本来就是这么十大算法，必然会重复的....
作者: xiaoyaosharenfa    时间: 2013-1-20 23:21
谢谢楼主了
作者: 鱼戳戳    时间: 2013-1-23 10:39
压力好大呀~~~怎样能较迅速的掌握呀？？？
作者: 541087864    时间: 2013-5-19 11:03
非常有用！！谢谢# _- ^- H  n( {1 a; ~
作者: 1617886226    时间: 2013-5-19 22:51
说得好精辟，这才是真正的高手啊！不管是不是别人说过的，好东西拿出来分享是值得鼓励的，支持楼主！谢谢你！
作者: sdccumcm    时间: 2013-5-20 00:03
分享      
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: famacat    时间: 2013-7-25 15:57
作者: yufeiyang    时间: 2013-7-29 10:41
虽然早已经看过了，但是还是谢谢楼主的分享
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
。。。。。。。。。。。。
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
，，，，，，；
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
来了来了来了来了来了来了来了来了
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
长城长
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
的顶顶顶顶顶的顶顶顶顶顶顶顶顶顶顶
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
啊啊啊
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
还好还好还好还
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
好、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:47
，，，，，，
作者: jiajinshan110    时间: 2013-8-7 10:18
多多学习吧~！！！



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