数学建模社区-数学中国

标题: 数学建模十大算法漫谈 [打印本页]
作者: 异一    时间: 2012-8-1 12:31
标题: 数学建模十大算法漫谈
数学建模十大算法漫谈8 t7 ]" A& W0 V0 P7 d8 \% N) t

* M" g1 s1 g2 J2 A) V& s$ o作者:July  二零一一年一月二十九日
% o. r1 m! f6 C, O; @本文参考：
0 q# T& Y* C1 [0 d  RI、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
0 `* `+ B+ q. O8 ]4 Y# iII、 本BLOG内 经典算法研究系列0 J" S3 m' v* L& R4 B
III、维基百科
+ J+ L2 e& }4 z------------------------------------------5 I" z6 H, p5 b& p6 A7 c. a7 l
博主说明:& T& A1 u+ h# e0 ?! h
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。. I* R! B. p3 Z8 g; v" b
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。2 N- j. w, \2 E% E
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，: ]& L) _. U2 g8 }# i+ l
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。9 }+ B1 T+ h! G8 g/ o
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。* P7 c. ~/ B% G( @  R
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
5 v% S4 [- T% j- f$ G( ?1 }, _5 [3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
3 P' G# G4 E+ z* Q2 [4 T% }1 c, k若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。* |$ l& Z$ c, d0 A$ X
谢谢。
1 G; l' S$ B: `4 ~) [$ S . O/ l$ [; q5 P4 \  B
- G1 @7 x& \, r2 v# U
一、蒙特卡罗算法/ @! I* W* u, x% ?. ^" l
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
! n$ V/ y0 v( \" i0 c  ]: X共同发明了，蒙特卡罗方法。9 J) I" p- g. a' T

- L- ~& P3 V: t此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
3 B% f# P" S* m; m* [http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
7 s. d3 W" H5 Z) l+ B* T5 U8 \ 3 y  E* L2 E+ S6 B* T5 S- z
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
! l4 M+ E) E7 ~' @* y的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方' Q4 b$ g2 u, v( p$ d; E/ g# k: K
法。% t% J! n9 M. C: F7 a
4 r3 S: A' U; w- Q' R; O
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
% M. H4 N& f0 H  h5 E& C  |, f# L8 G实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。; L& J/ G7 l3 n( C, _* F% B
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
* {# w- [- u. ^# d& k0 _当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
+ P4 R5 S" K1 |  R, k1 x，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
9 j" x- A0 {! i7 `3 Q4 b% S为问题的解。, l% o4 M% Z8 s- b

2 @, D9 R8 g2 L; q, B有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
: H9 p- o, p: U$ Q0 L) _, f: e* ?1 {假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程% t4 n# \* A* w( s7 i9 \
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然+ r! r, a" ?6 y+ j7 v
后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
2 V. u/ `' n: l，结果就越精确。$ r+ S6 V0 G6 t4 X2 E6 E4 u
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。: ~! T& v) e) {" I

5 G% H2 Q1 p2 Z% m' d! [( ~) ~( A蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模9 B9 J- i  {' m
拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
. H5 Q$ w* E: w) _: z近似解。6 P- k6 K) H4 @5 t/ O1 d# G3 X
4 t# C9 o% ~, U- d: O. G9 K6 X# b
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而& Z& t% r& M  {1 @2 M/ T
蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
2 {2 t: J2 H& z" LI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
; P( s7 u$ ~/ ZII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
3 h; n6 A4 K3 B1 g. aIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。$ b% j8 l3 ~5 N( p/ V7 t$ b+ J) k8 c
等等。
" k7 k1 _7 O" _0 l: L此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
( D& J; ]0 b% u# u' l' m
: S; ^7 a! Z( G
, B5 }& G7 F( L# R二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法6 l" e9 h% m: M
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
! Q" ?3 s8 l1 p4 Y$ @数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
9 P9 N1 X- Z" I0 U学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
. T5 o5 z* l: F; ~5 ?% U2 s吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。; _2 y: w  B; }$ ~# X

2 a. X# b1 T) M8 Z6 E# Z此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。( ^0 i% m$ I0 P* ^, X# a$ t" u

1 S7 `1 e: c( n4 A/ q( y; T- H) L2 ^& X7 ?. F
三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题9 W4 l' W5 x1 h, P
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件; V/ S: t/ P# B$ u  d0 l1 i
、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式- X; @4 R. Z: t6 @& }
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
  _1 T; A+ E; h4 N  b$ V需要熟悉这两个软件。. }+ N% P! u1 M
  }" P$ a) K  u1 f* T& U$ F/ ^' i/ }
1 G# a# j" v8 x2 \; V$ V* ], g
四、图论算法
( X" D7 M: b+ {这类问题算法有很多，0 U( `2 }' Q9 L% W$ `! v
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
8 e, Q$ J- G8 y1 B- f# x9 }- W' @& `
# }* j& `+ N2 ]* ?+ q0 {5 D关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
* Z' B$ U9 C$ p2 `, n同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，5 N8 `4 D( M! m. u! V/ I3 P
-----------
7 G# w8 w2 i8 E8 @经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
: f. R1 y) Z. e1 z% k6 F5 ohttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
6 r  @3 J6 q( ~7 J更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
9 H: t( F% l! p/ \/ ~. f % c' Z  i4 E1 E8 z

5 b1 _/ d1 ?7 `五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
5 e- j; q; A# V; T5 o在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
1 S! {) K9 f0 s) ]' d/ [此外 98 年 B 题体现了分治算法。7 t- ?; X' D7 c. A# G5 _: P- O, ]

- T$ e, _: m  h5 u这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，& v$ z7 }  i! a$ ^
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。/ @3 X1 v9 k9 K$ X! W  w2 s

# T: T: e/ v' D/ M3 m- T. s# p( \4 P) Q! J( b/ ^
六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 & z  w. N0 Z5 a" P. t7 y* G% n
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。3 I  u6 `1 J  ]1 _( J4 x4 ]8 ^* J3 I4 d
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可5 v; l- b3 I7 _3 R
以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，+ D% w  M6 ?9 X& K
说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
0 [1 K& q8 y$ x' b9 h3 }; T) n. \/ P03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。6 o6 N8 q# c. q4 j" W: o- Z
( |+ D6 s( k3 x
另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
4 J: l! l1 p5 U- z----------  O4 v% M8 a, h, q* `3 L
经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质  q! q; g5 Y2 E) l
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx; E  ~$ N/ q" S$ m9 l
6 p9 o& h7 d2 k
其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
) a8 p5 o: l) t3 g" | 1 {- Z# x" N" i' O

7 F8 W% p0 m8 l( c6 [4 b七、网格算法和穷举法/ Z5 E- {  {5 e1 t: }* q1 S* V4 i
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。: r8 g3 D! f# x
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
4 c% V7 R; T: S( Y. {9 M比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
$ {& S9 W3 S. Q  ^那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
, R8 g& m( R; x" L( f) ^( g1 x2 a: U
在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较% O$ c7 V: Z; l4 C# o6 m" V
快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
9 N9 |5 R( z* t2 @2 @3 e$ y穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  ! c1 u9 c$ {, C- c7 K$ h
% p+ ^" W' L9 n# Z) R: I- s
3 p) g9 u# E8 @% ~/ s3 L1 r
八、一些连续离散化方法' ~' k" N2 I' \4 ~' r8 f! h2 d
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界9 d. a# H# T* `
中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。. l; L3 z' ]6 \4 ~, R0 A8 M8 H
4 ~. u+ j$ J: X" q2 G" p* G
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。% [: m  l, @- c/ G' c% |  j8 V" J
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。 % K; q0 I; t: s! z/ V! @

; @1 k1 p$ {, p) C; t4 S
, ]9 n8 _2 {" F九、数值分析算法
) Q" l* H6 @, L4 \* o8 @5 d+ i! J数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
3 ?4 K: C8 @% n算法。
1 e& j, `" X  B) q$ `+ o如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
" O$ \" a$ Z  P9 v函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
0 \1 Y6 ?+ J1 Q这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，: n8 Z! F2 a* z" _5 V7 h% r$ @
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。! }. t/ L; S4 T" x) e: O2 W$ E
3 t& J+ m5 e; C$ R

6 O3 J0 \/ O0 Z: S, b十、图象处理算法  f0 ]* N  Q. V' _  h: ]8 R5 C
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值) N* p2 N6 _9 \( u. _" g/ w# K4 T
计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，0 p4 f0 c, ^' v/ D
因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
- u9 P- \+ Q: @5 c1 T' u : G- |! K9 \& ^" I- q
此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：( r6 b+ }4 K  ~. Y6 R& A
http://download.csdn.net/source/3007336
" X$ j7 M# J8 f' `) f+ R+ o# w) y . p  Z# V) @7 S9 p, O9 D9 `$ m
本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，$ ]9 Q! r! w  N7 P% `1 F
日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。- F: d* |, ]6 {" f
完。
7 {6 R; D0 |4 v' }, [3 s0 I! U ) k1 ^" C$ ]9 [! H' z1 v8 }( l5 T  j  X
: w2 W4 \" Y8 S. j
作者声明：
& G: y+ I5 r6 d( z. S本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，  @( Y  P$ a4 P& O9 P
转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 14:50
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
作者: 异一    时间: 2012-8-1 15:41
shicahju 发表于 2012-8-1 14:50
4 n) q8 k( f4 u) g别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
; Q# M1 ]' z4 @
是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
4 ?) b: Q% n! q4 F& S. D要不然就删帖吧？话说我也不知道怎么删来着。  Q( U* e5 v. t& V7 y- U
不过，好文就算别人说过我再说一遍，意义还是挺大的吧。
2 }& c& x8 j$ p. i" s) r" a7 x5 k2 Y/ @8 D1 k9 A" b: U5 k' _( h
最后，你今天“难过”啥呢？珍惜美好时光吧~~
+ i' p8 q7 z, A$ h/ g据说笑会传染，多给你几个笑脸。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 16:03
异一 发表于 2012-8-1 15:41
3 b/ z/ _% j3 t! j+ V# d( w; }是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~' O1 C& i9 _& ^: ~2 {" d! B! C/ j
要不然就删帖吧？话说我也 ...
% v8 B  Z( p/ |' y' u5 R
~~~好吧  刚进来就看到了很多算法
作者: shaox    时间: 2012-8-1 18:56
太多了~~
作者: 沧海浮萍    时间: 2012-8-2 11:13
挺好的~~~觉得挺有用·
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:29
谢谢你
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:31
。。。。。。。。。。。
作者: 炎~黄    时间: 2012-8-10 18:28
我感觉挺好的......
作者: lingmo    时间: 2012-8-11 11:08
哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈
作者: qzwqzw    时间: 2012-8-11 16:07
正在学数学模型，看了这个，虽然还有很多不懂的，但是受益匪浅
作者: Teng_guanguan    时间: 2013-1-20 15:10
不错，很有用啊
作者: 取名字真麻烦    时间: 2013-1-20 18:18
本来就是这么十大算法，必然会重复的....
作者: xiaoyaosharenfa    时间: 2013-1-20 23:21
谢谢楼主了
作者: 鱼戳戳    时间: 2013-1-23 10:39
压力好大呀~~~怎样能较迅速的掌握呀？？？
作者: 541087864    时间: 2013-5-19 11:03
非常有用！！谢谢
  s$ B1 w5 D" X6 M; y$ n- r+ s
作者: 1617886226    时间: 2013-5-19 22:51
说得好精辟，这才是真正的高手啊！不管是不是别人说过的，好东西拿出来分享是值得鼓励的，支持楼主！谢谢你！
作者: sdccumcm    时间: 2013-5-20 00:03
分享      
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: famacat    时间: 2013-7-25 15:57
作者: yufeiyang    时间: 2013-7-29 10:41
虽然早已经看过了，但是还是谢谢楼主的分享
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
。。。。。。。。。。。。
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
，，，，，，；
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
来了来了来了来了来了来了来了来了
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
长城长
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
的顶顶顶顶顶的顶顶顶顶顶顶顶顶顶顶
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
啊啊啊
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
还好还好还好还
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
好、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:47
，，，，，，
作者: jiajinshan110    时间: 2013-8-7 10:18
多多学习吧~！！！



欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/) Powered by Discuz! X2.5