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标题: 数学建模十大算法漫谈 [打印本页]
作者: 异一    时间: 2012-8-1 12:31
标题: 数学建模十大算法漫谈
数学建模十大算法漫谈
) \3 ^; D& I' v( i2 y( ]7 H" ]   ]( Q4 \7 G  m# B2 s( b! P  a% r2 a
作者:July  二零一一年一月二十九日
  O7 R8 L  c4 {8 v  I! o+ X5 T9 `本文参考：
% U( v3 [9 `# }! {" d7 {I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
, k( m( U" I. k) z# Z7 v: FII、 本BLOG内 经典算法研究系列
7 b. }' |: R4 b6 S, E1 [" X, \( RIII、维基百科
" O. s) R4 L7 N  ~) O------------------------------------------) W) @4 S: T. Y
博主说明:
1 Z) o# q, r5 B$ ?6 Y" ~; x1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
' e5 F5 Z  c/ }. e/ ]这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。( X  O) v5 O/ {+ ^3 u( F
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
. R  ]- B" e# [& P5 ?! X同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
/ U( C9 A0 P' [4 _1 z; ^毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
& g* `# y% I" Q& }- T且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
4 H9 g, i/ z' y3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
3 O' d# v( B4 W. y. K: N% a若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。- N+ i4 q) ~( k$ u
谢谢。: Z& [) A0 e) q- B
4 o$ k7 ^: q9 A4 Y

6 q2 r% Z! N' f+ P( i/ Z) c一、蒙特卡罗算法4 ?6 J( |! D4 x% f) j
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
: v& u, C; I6 H& j2 W共同发明了，蒙特卡罗方法。, R; h" E9 m7 B5 C% Y
7 {- Y" I( Y& N3 H" w
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
2 a8 H% n6 R* ^6 E) R: q" rhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx. A6 e7 E4 G2 \  V6 c; k* I  Y
/ y+ i7 J+ i$ n
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导3 \9 m$ k' }# q0 M$ U- H, D$ u
的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
: v8 _% W; V$ Y法。
  q' e0 o% b% y4 o6 P ; b5 z# q- x# U2 S. y
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
' b- X4 }6 \7 X' x实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
6 T4 Q, H' C0 s' V& a- x; }蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
2 j0 y2 J: y' O) X当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
; Z( A! d$ @0 t4 a. F3 F. }，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
, x* `4 W9 h- {7 l  a9 Q为问题的解。
# G% M. z3 a3 ^1 L
1 L0 l" {$ y( q3 [! n- H. |8 @9 a有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
% ^* n  h7 x+ M假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程7 C1 o& f# n) O6 u: a+ ^9 a; [4 y
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
4 `4 H  ]! C7 u7 v: a后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候* M, C1 f! I" P0 \; c3 k: I
，结果就越精确。
, E( P4 c# [; k+ ?: z& ~1 U; a在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
7 _+ ?  n: B. e- f# L
4 f; F- X& P8 L: c6 ]+ ]蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
% T1 p5 {% T9 i! L, J. ]- n拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
9 ~! o) S7 k' t7 y- }3 c! b3 n近似解。; a+ H) Z! W" g7 S
3 t/ n$ l1 Q% ^/ [) Q
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而) U0 ^, u, _! H3 d4 p9 X
蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
  V- E" [5 V. Y0 Q8 B' U. G8 jI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
  \6 b" b5 ]1 \# H: NII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。" Y- b" }- |1 }% l% Q
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
. @3 Q7 w5 y2 l/ d8 R等等。! D7 A# Q" m1 s1 i
此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。' k+ \. m2 K& p# e/ D$ v. l
+ |; M; K% ^9 }2 I9 n
* ]* H& @7 i9 U
二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法6 _% }- ?6 o( ~+ v0 Y+ w* W
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
; e) e6 A$ O' Z5 e, F& p数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
  }5 D9 ^0 [+ W, L) p学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有; [* j# n* R. R8 Q2 n3 V
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。9 ?. P8 M- ?6 F! \/ z

  z. ?3 a: z( R2 P6 T$ ~) E/ O此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。$ V9 q( B; P( n5 {
/ u3 z' n5 ^) R: a# y5 g
$ W, i0 j8 z% q/ f- K0 x
三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
- N5 U! \1 d2 _+ N数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
0 s$ Z& O+ q$ w1 O4 f2 V1 v& r、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
! [* s3 y' O6 w3 m- H! M1 S完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
1 }! t& x7 I' c) z( A" `/ c; ^需要熟悉这两个软件。
; ^( c' \( p. A" a) G& C' e 7 f; U9 b3 s  \7 p; l

0 n/ n, B: m$ U1 N: E$ ?2 u' n四、图论算法5 d! n2 ~- Q* a, C3 D1 J, R2 C
这类问题算法有很多，
) r* m; q3 V& |0 {7 V" w5 E包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。1 g% \( }( M6 q! K

" {$ Q  R3 ^3 W0 X, q8 N$ `. r关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
! l1 n2 w7 `5 K7 L8 T) Y5 a' j, [同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
' N* _$ [5 z; Y$ t/ f$ M* ?-----------
$ N% J) W" t; I5 _0 E经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
! f( n( U, L7 k4 {* D2 f2 R) |8 ghttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx3 M7 c! E# T! B9 V% B8 B
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
* R( K# @. P, d3 g ! ?0 o% Z/ r3 F" Q# e+ @0 z
) y" Q: p+ t3 T( ^2 P! H, [& z$ H
五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法+ }' R- S# h( y
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
) g- C( n4 z1 E6 P; `此外 98 年 B 题体现了分治算法。
  |; ]  m& \5 Z0 @8 H4 f8 d- A0 m/ D+ `5 n& e! G
这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，; ?2 x+ [, C8 X! n6 p
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。* c- z6 \, O/ i9 P& Q

9 o  z* l8 [5 D9 {- S( W; Y4 L7 @/ x
六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 7 i" g# D9 t, _3 J
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。( B- |7 Z0 j" X& D4 [, A: o% W
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可9 w9 v/ Q9 l7 ]# f5 @4 p8 r, ^
以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，4 O4 J6 ]8 T& e7 g, j, r( W. s
说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。   \/ b( \: s+ G! [- m) q
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
# Z6 Y6 u6 j5 j8 _; M9 o7 b
' s% m% r* g6 \6 p" R& F- y" E另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
+ B4 Y3 L" Y3 P----------
: U! K& E7 T# o5 e经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质8 S$ L; |. L, A% e: j
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx6 g( R9 T- j4 {
: l5 y$ o  U# ]6 }7 @
其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
- Q: _& x( r( t8 C  u 2 N" S# g$ k7 c, e: V* \
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七、网格算法和穷举法# ^( `& k( Z+ o* p0 a# G
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。0 }: e9 P9 u, ~3 H
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，0 g( {+ e8 v$ f$ A# a3 J4 Z
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
" ?- r6 H1 A' u, R4 ~: G2 y那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。( G; W% l, N+ @7 c

, Y' ?7 ?, V8 g2 n3 _! |, ]在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
! ^- [9 u/ m. a' z; z快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
7 `% M! @( Q( ~9 `0 j5 h$ q穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
6 K% U- K( p) C! v) l
" P/ i% b+ L- u  [  w- ^5 |) k: X
) q7 v  R1 A* ?* E4 I9 d; \: p- {八、一些连续离散化方法- E) H  f- I! g
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界6 }# B5 Q: e# l/ o
中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。4 W& u9 ~9 ], n( s9 A3 \# T

+ Z" h2 H+ v7 y9 b* a4 e' y* Q这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
* Z7 k  K; A' C/ r$ ^8 v事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
/ ?% G0 [- Z  U& j. B* v 3 H2 N' n' y  i% O; g

) \4 X% S: g; H9 s, [$ c九、数值分析算法
& Q% ]8 s9 @9 B3 z9 A. N5 |数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
& Y2 `; S. @: M算法。
" N0 _' L5 r' L, ?' d* g! y如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
* S9 H8 {, U( I8 m0 v函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。% x) a; Z8 y  O# k! T7 w
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
, i; a5 p% c. J. i! H' @因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。( ~  S# x9 U" a& P0 i+ e6 @
4 w' X9 I7 ^; o" E. ?& M/ t

3 J8 ~) z: `4 p# }3 Z+ @% F0 U; L- m6 d十、图象处理算法
. y7 i4 o/ m# r& _) u; A& M: g) j! n! S在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
: }# n1 c3 k# `% W: f% R4 g, L2 G计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
4 o* U! V; o2 H因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
0 C5 T  w2 N: u# m/ C * n$ E& S% |' z$ a5 }/ z$ `
此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：- a# D" i0 z* W+ y* ], [
http://download.csdn.net/source/3007336
) h  r1 a0 \% G  e, k$ [   o7 _7 W) D/ B* w+ H
本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，. w/ ^3 s8 X% _
日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。2 B& t; W, u7 F: E7 P1 `: H
完。; C0 n3 ?8 ^' W( L
0 B1 W: R: r/ {
) q7 {5 [, X% K/ P0 K6 A) ^( V0 c
作者声明：. d! a4 W" ~  _- A4 K$ }  Y: u6 I
本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，' Z* e5 f/ A! j* Q5 d) U* ~5 p
转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 14:50
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
作者: 异一    时间: 2012-8-1 15:41
shicahju 发表于 2012-8-1 14:50
- H: u* G7 v* t6 \7 a* H+ |2 h别人都说过了 你再说一遍有意思吗？

7 X5 Z! }; b1 E9 {9 b/ Z是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
- n4 u3 L8 s. N要不然就删帖吧？话说我也不知道怎么删来着。
0 J. w" `  c1 ]* p/ g# W, X不过，好文就算别人说过我再说一遍，意义还是挺大的吧。
/ }4 \% C7 C* A4 X% f  R
2 H6 D2 I6 ^5 y最后，你今天“难过”啥呢？珍惜美好时光吧~~  d4 S- w# C3 S! |( R( H5 T( h
据说笑会传染，多给你几个笑脸。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 16:03
异一 发表于 2012-8-1 15:41 ! p( I" \# Q3 w/ p5 t$ R8 E' Q
是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~6 W2 Z8 A# N- u  C$ z
要不然就删帖吧？话说我也 ...

  Z7 N* q& K6 L# B" D% M; D# @) J( l~~~好吧  刚进来就看到了很多算法
作者: shaox    时间: 2012-8-1 18:56
太多了~~
作者: 沧海浮萍    时间: 2012-8-2 11:13
挺好的~~~觉得挺有用·
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:29
谢谢你
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:31
。。。。。。。。。。。
作者: 炎~黄    时间: 2012-8-10 18:28
我感觉挺好的......
作者: lingmo    时间: 2012-8-11 11:08
哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈
作者: qzwqzw    时间: 2012-8-11 16:07
正在学数学模型，看了这个，虽然还有很多不懂的，但是受益匪浅
作者: Teng_guanguan    时间: 2013-1-20 15:10
不错，很有用啊
作者: 取名字真麻烦    时间: 2013-1-20 18:18
本来就是这么十大算法，必然会重复的....
作者: xiaoyaosharenfa    时间: 2013-1-20 23:21
谢谢楼主了
作者: 鱼戳戳    时间: 2013-1-23 10:39
压力好大呀~~~怎样能较迅速的掌握呀？？？
作者: 541087864    时间: 2013-5-19 11:03
非常有用！！谢谢
7 @2 m' a* I5 y3 }: ?. r; ]! u3 \
作者: 1617886226    时间: 2013-5-19 22:51
说得好精辟，这才是真正的高手啊！不管是不是别人说过的，好东西拿出来分享是值得鼓励的，支持楼主！谢谢你！
作者: sdccumcm    时间: 2013-5-20 00:03
分享      
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: famacat    时间: 2013-7-25 15:57
作者: yufeiyang    时间: 2013-7-29 10:41
虽然早已经看过了，但是还是谢谢楼主的分享
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
。。。。。。。。。。。。
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
，，，，，，；
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
来了来了来了来了来了来了来了来了
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
长城长
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
的顶顶顶顶顶的顶顶顶顶顶顶顶顶顶顶
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
啊啊啊
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
还好还好还好还
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
好、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:47
，，，，，，
作者: jiajinshan110    时间: 2013-8-7 10:18
多多学习吧~！！！



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