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标题: 数学建模十大算法漫谈 [打印本页]
作者: 异一    时间: 2012-8-1 12:31
标题: 数学建模十大算法漫谈
数学建模十大算法漫谈3 k2 O, P; W8 D6 H7 ~' R' ]/ w

. f! {4 u% v7 q4 x作者:July  二零一一年一月二十九日9 T( Z/ c( x, U( f6 _- B  _1 e9 I0 b
本文参考：
. o: A! W: U3 n( r. M* A: |( cI、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]3 t/ e' A9 E% Q2 J
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
% {8 x# E9 k/ c) N: ~4 s) HIII、维基百科
: V2 R% K1 u3 C------------------------------------------/ l6 c  U* ?8 Q( U$ g
博主说明:! K  k7 p+ a8 r, ^' {% M7 v
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
" K. j  E6 V! ~; |5 x这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
# J8 ]/ i* `; T2 }- o$ V2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
, q3 f5 C& y" B0 n5 g同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
0 Q1 O- z; C' {" D3 I/ l! i毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。# x& S1 D' I, Y7 p. S3 ^/ f  |! P9 V
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
9 v5 w0 E* t  X% J! g4 {: L3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。" g6 Y) A/ g) C0 e) Y+ Y4 i% z2 l
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。- c5 ?8 Z. f  P0 D7 ?8 X2 p3 p1 q
谢谢。
6 A/ z2 C+ |/ V7 S$ p1 M
) y+ K2 S9 d; c$ F, `; ? 7 [2 C' r) d* h0 Q  j( Z6 ^9 g
一、蒙特卡罗算法) _+ A: D. `7 S' ~/ J- X, b
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
# E$ x! a, `2 p( y& S共同发明了，蒙特卡罗方法。7 z7 ~6 X0 B% w4 ]& ]7 ^- {( k' u* v
) z9 I; b; {$ n& `# w
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
  {, _" {! ^2 Y/ o# mhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
+ O. z9 b9 Y5 V % E: h5 }, c0 H, P; U
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导  o+ H: f0 m4 ~: T! R+ m1 k
的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方0 I/ d% L3 V0 b' V( t
法。  V( X2 \# v, C

9 R' M; n0 d9 q由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
: \5 Z" X, F- I; h& n6 {7 _实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。. f# f; G+ e9 _1 c# C' k7 {
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
- {6 x) L) I, M+ E7 y当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法/ c" X7 U5 N3 l/ x0 B3 `6 W8 k  ?) E* z8 g
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作+ s2 f3 A9 c  P' W
为问题的解。
! I! Q3 U2 j+ s5 t& p, k
- C  b% @, s+ W有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：! Q5 V# j- E7 L/ A) s7 P$ h8 L$ ]- Y
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程2 n/ b$ M/ C2 L! C
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
; k1 }3 z' r0 f( o" M* i$ a2 b后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候9 O$ g% f9 d/ [) _
，结果就越精确。6 a2 D! y" Z# t, Q
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
' u" g8 n) K* b/ L
. O; R# H: o3 s% H' ]' [蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模2 J( k6 o2 P, {. F2 u1 ^
拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的- s3 m9 c( x% Y9 L6 ]2 b& \* Q
近似解。8 r5 O0 Q" e' ^

/ \+ [6 H/ E1 a0 X. @( A蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
: H, A6 M1 v6 c: A: h: P% ]/ w蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下： . k8 a# L) X% i0 j/ r; H7 {( N2 o. W7 Q
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。   ^" U$ j" y8 }( g& c! u
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。- X/ {  l0 V& Q; j
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。+ h6 X& [: y( R9 J2 y
等等。2 f: H' q# l0 h; ^$ h+ o: `6 N
此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。: t( L* v+ E; L9 Q  Q' t
- N+ G& H- b  E# e

" M% n: A$ }) }  q% K& |二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
) T8 z7 R' d* k: M+ o: m6 w, F+ B# h我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
7 M: y# y; f  a3 _: w数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数' G" A- \+ q* f4 O
学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
& Q' d0 b- n3 `# j$ F4 W7 E吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。6 E5 a% P7 v( S, W
  S) Q6 T( r2 ^  l; }! n. ?
此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
1 T4 ?, X3 t- g/ H8 F0 U% Z
6 _) m, {" W* ?; B  ~, t% u. E; [$ z: G; @
三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
7 m1 M$ w8 e( ?% z数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
. \3 {) K, I9 z、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
- ]" O5 b$ C$ ~) p1 I6 c完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
, O+ X3 v& r# l* c& t) E需要熟悉这两个软件。$ b' V' X; _; V' S( w8 e, g3 K0 d

9 V7 F0 O& ~5 s: ^! t- c& Y: e
  \# g4 H% B8 h: t7 j四、图论算法3 \5 g3 U# ~' ^$ `& a4 V6 m# |
这类问题算法有很多，3 @" }9 M9 }* V* w: _4 e7 p
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。  O$ e# ~: U9 v. m0 o
7 x  c6 b1 }/ B
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
- z, n& i1 J7 ~* \( s6 u同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，5 P: |, ]4 _. N- N! o/ Y# ?) v
-----------
$ `( f, R$ k0 f1 I+ @) r) |. o经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
0 U: M9 ?( v' [( K9 l/ i9 Vhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
3 I! W' ~) o4 q9 J$ Y, i更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。2 A5 X* e2 W- G4 D
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8 k+ x( H) X9 a/ K2 L( }5 o
五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
3 v* W2 D; }% j8 n8 L- v5 e在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，" `$ ?! W: o) W! u* c
此外 98 年 B 题体现了分治算法。$ s3 W9 t! r! A9 ^, q" d- ~

1 O* r- U# e9 n$ s这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，4 }  h" g! @  P+ @, w1 `3 f" x
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
) w& a- n* c0 C5 {+ t0 m4 k5 x
( g+ @: J$ k7 c& `' _$ P& V' a% A4 r
六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
' E: q5 y) w- U. k4 Y( n这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
( Y7 v: D9 I) n! }6 Q在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可  Y2 b8 C4 X. Q! f, q
以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
' Y& e# P* m$ \9 f4 O说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
/ k6 w9 ^. c: ?! z03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
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另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质' m' C# L  e* h' I5 v* k
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
) }; [  S' F* n  i
1 k/ V2 p* t5 w其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
( r" Y, j) Y3 r! U2 C& O 3 s+ B& F) S+ [" e; w
0 i- B, ]2 X/ ^: W# D
七、网格算法和穷举法0 u: [% t3 J7 \7 b
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。7 S# b* U! F1 G& i% q2 K! C8 s
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，- d; A" q# _! N1 F. T
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b* C! o( Z& k. o7 v% F7 l
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
! }; m& `9 p3 B0 N1 ~% [9 }6 ]; ?* z
在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
: p) |1 ~) s' O* b' B快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。- V5 S: T& X% k
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  # D9 W8 W2 C. ~9 {3 q/ j

" ]0 g4 j% y  \6 ?
8 _! c7 T: q- r0 I3 N八、一些连续离散化方法
2 D( J% z! ]1 ?6 i. {+ z/ l大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界& F# X& h# h1 Z" {2 n
中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。% f- v8 S2 m; N: R) E7 H0 n

, ?) f& L, f1 x9 i" u- g这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。/ }* M$ w2 G* a* L2 B
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
! F0 Y+ C7 Q& D) j4 A 8 Q: k! w: _# Z* r# H( _

4 o& G. w, v  P% I( e& k6 W8 d9 k九、数值分析算法; k7 ^' j7 S% Y! k. m
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的* ]+ K3 i! }! W1 E9 ?) A! k! \
算法。
/ h/ c! x) K- c( `# H1 y如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
  ]  Q3 t' |. \, G' Q函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
  `9 J8 q$ h0 z; x这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
1 x* u* L2 E4 l" o& z因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。- {' y& i4 P  Q* C
/ x$ p0 P6 y# ], x! d/ D

, A, i* f1 p4 L9 X& Q8 J- ?& K5 M9 b十、图象处理算法9 Q; Q+ A0 a; H
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值2 c7 r4 ^2 |# E, N
计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
( {. t$ Y% A4 p5 W% o1 f% r因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
6 D" Y6 C4 g$ Q6 W
  k  O5 X6 W  c! v此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
; U' C) X2 A! [, `4 |4 l% x; Hhttp://download.csdn.net/source/3007336" j- f3 {, j" C. F

1 A' w8 X7 @8 x本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，" P5 }; u3 N% ^( n
日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。, ]+ t, J3 r: G6 }( P6 r
完。
1 B# `5 u) }0 ^; M0 D8 A1 [
0 p. L' t7 G' Q! A# u
- s5 H9 `% ]9 o% a" T6 I2 A作者声明：: I0 Z$ E: d5 p
本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
9 {9 E' Q8 z2 {# m  `转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 14:50
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
作者: 异一    时间: 2012-8-1 15:41
shicahju 发表于 2012-8-1 14:50 4 D% C6 l& D2 U
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
) C. l" _9 k5 ?
是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
" m  I. {9 q/ i) u- X# F6 B! a; Y要不然就删帖吧？话说我也不知道怎么删来着。" o! j- p- H0 b4 v% Y. j
不过，好文就算别人说过我再说一遍，意义还是挺大的吧。
1 [% G6 P+ W+ C
# `( B+ \9 g4 }1 T4 ?0 ^最后，你今天“难过”啥呢？珍惜美好时光吧~~
* }7 D* G* W0 j据说笑会传染，多给你几个笑脸。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 16:03
异一 发表于 2012-8-1 15:41 ) I. z8 L+ L3 v; K4 @- D7 T7 n
是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~) U+ P5 \& u/ Z, K( `' b8 s
要不然就删帖吧？话说我也 ...
9 @" e2 m0 \' J
~~~好吧  刚进来就看到了很多算法
作者: shaox    时间: 2012-8-1 18:56
太多了~~
作者: 沧海浮萍    时间: 2012-8-2 11:13
挺好的~~~觉得挺有用·
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:29
谢谢你
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:31
。。。。。。。。。。。
作者: 炎~黄    时间: 2012-8-10 18:28
我感觉挺好的......
作者: lingmo    时间: 2012-8-11 11:08
哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈
作者: qzwqzw    时间: 2012-8-11 16:07
正在学数学模型，看了这个，虽然还有很多不懂的，但是受益匪浅
作者: Teng_guanguan    时间: 2013-1-20 15:10
不错，很有用啊
作者: 取名字真麻烦    时间: 2013-1-20 18:18
本来就是这么十大算法，必然会重复的....
作者: xiaoyaosharenfa    时间: 2013-1-20 23:21
谢谢楼主了
作者: 鱼戳戳    时间: 2013-1-23 10:39
压力好大呀~~~怎样能较迅速的掌握呀？？？
作者: 541087864    时间: 2013-5-19 11:03
非常有用！！谢谢
7 e0 |6 \6 E4 k9 _
作者: 1617886226    时间: 2013-5-19 22:51
说得好精辟，这才是真正的高手啊！不管是不是别人说过的，好东西拿出来分享是值得鼓励的，支持楼主！谢谢你！
作者: sdccumcm    时间: 2013-5-20 00:03
分享      
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: famacat    时间: 2013-7-25 15:57
作者: yufeiyang    时间: 2013-7-29 10:41
虽然早已经看过了，但是还是谢谢楼主的分享
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
。。。。。。。。。。。。
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
，，，，，，；
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
来了来了来了来了来了来了来了来了
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
长城长
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
的顶顶顶顶顶的顶顶顶顶顶顶顶顶顶顶
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
啊啊啊
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
还好还好还好还
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
好、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:47
，，，，，，
作者: jiajinshan110    时间: 2013-8-7 10:18
多多学习吧~！！！



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