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标题: 数学建模十大算法漫谈 [打印本页]
作者: 异一    时间: 2012-8-1 12:31
标题: 数学建模十大算法漫谈
数学建模十大算法漫谈4 p+ K7 v) u; X
% M% M3 Z: E* X! g/ ^& L/ G
作者:July  二零一一年一月二十九日
9 i* R+ o. ^+ ^( b7 a  Y本文参考：
+ u+ e6 v2 T4 Z( J( K( O- ~5 e- }I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
# L4 j0 L5 @; L% K' ^8 u- n1 sII、 本BLOG内 经典算法研究系列+ ^$ j( O  T. s! {# R* |3 B; l
III、维基百科
5 e9 {# c3 x2 Q+ R------------------------------------------
2 [: \. x3 {5 Y+ B8 H: L# A博主说明:
0 ]/ L( n' y% O0 k, B' R1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。" o0 @; d% ~+ u1 b: c
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
) F7 s7 o( L" X0 k8 X, P) w9 s2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，4 e4 L% s- G6 e9 W+ N" |& {
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。, q- j  `* t- N' g5 C9 o( P1 _
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
+ e" D, b' Y  c5 C+ K0 M0 C3 S7 X且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。. K6 ]) a) `* U. J
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。+ b. u  V' ~+ p
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
2 q4 v5 J$ U( z谢谢。' ?3 b8 R' n$ Y

! _9 E" O# }- @! W; ~* `$ W: w% d% i / H7 [3 _2 r) z
一、蒙特卡罗算法
' ^2 y5 m. s/ T& G: g3 |% ?1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis, k3 y& c& u+ {0 e5 I
共同发明了，蒙特卡罗方法。
& `3 V4 z9 {3 e# x5 a4 `- _3 u
3 k. z8 i$ s0 L: H! k  q# b此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
  ^5 b: n( ^! H4 shttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
6 R+ t( _/ ~0 V( u
/ R+ m/ o8 _! \7 q蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
+ d4 f$ W- t0 j7 j, z% U的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方/ y" g6 g/ j' T  K1 r
法。4 v( a5 F) m" `& `

2 k/ K8 k; R5 p0 @* v9 \. C! I由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真, A4 l# j: Q8 u% @" M; a
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。/ C% B- n. H6 `$ X
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
2 d" n4 X0 Q+ T5 b9 Q0 @9 J( f当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法) m# M1 Y3 W8 ~. k' \* C; g4 u
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
5 G$ S' q. \- O/ k8 z# H& a为问题的解。
1 Q: B1 g/ `& ? ' z5 ]8 I4 Y3 i  ]
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：1 k) u1 X9 e, y% y6 K9 W
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
* H5 T- Y9 g( H& c1 ^度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
& W  a4 T2 \- c0 S后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候! P( b: m1 `7 u6 f4 Z
，结果就越精确。
( V  F0 u- _% {* K5 A' ?9 t在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。( s) W' ]9 H) P' E" i" P7 O8 o  h

0 m6 ?2 Q5 G' ~3 g, i+ t蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
0 S  P2 j; X' x9 A拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的8 M/ `9 \7 z6 ^0 K/ p& s2 k- u
近似解。# h- Y+ p3 C* [' g; n) m

$ N/ p$ H' _7 N蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
) `! f2 k  t. R7 r: K- @% D蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
! n) r- E: r% o8 qI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
1 V3 ]# h0 |, JII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
' B* [2 W! d# N7 n1 l$ p3 B. t; PIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。2 K: t+ W  d" c. `  j
等等。
; k6 Q+ }" {3 @  W此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
: d- W) f+ c; I- A0 b" j2 e% K
% P0 h0 f  O) F9 s9 T! V; s6 s+ R* N; y) |9 o2 Y. A- M
二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法3 ?. N3 h8 |4 P/ q( g
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。) c" h' p6 i$ X( z- X
数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
8 P$ B* H( y5 |, X& ^* e学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
9 W$ T) y% Z3 a* U. W吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
' L1 R7 s5 O& _! [$ n( f
- l  l# Y* g7 w0 G: c, I此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。" t) Z5 s9 s1 I( q" \" t/ {

0 [: w" S/ l. R; N  h3 k; t! Q; N" I, g, J% L
三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题3 l; B3 e1 k! ^# R5 Y4 @8 e
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件5 ^+ Z7 s; _  x8 y& c# Y- a! P" {
、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式+ M8 \7 h6 A" y' a. ^# L* w
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
8 U3 H. \3 D- P; _% H需要熟悉这两个软件。, {$ R1 L; Y) D- C- P. Y) g

8 ]5 r) ?% U; h. h, @4 I" x0 _7 E2 C) O) N/ k: r
四、图论算法; j# L  ~1 u0 z' i, }7 A. _# @
这类问题算法有很多，
( G; A) @: r, E" x. Q: r包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。# M& p! o1 A1 ]5 ~
! c! s0 j1 P/ r
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
2 ]4 R6 Y0 \( `* r0 M9 ^$ W同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，2 p; R/ ]- U9 p' y
-----------: v( f! @8 c4 n- [  y4 J
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探* Y' Z* ?- G7 @( p  k3 N/ p% }. K
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx3 F3 b8 J& s6 b3 e. m
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
0 y* X1 s6 e' ?1 u8 s9 u 3 _3 {, f  d9 ]+ [5 f

' b7 j% k" m3 Y  U( l) S7 _五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
% T3 e* p2 Q/ M在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，* _( D3 A  p% a4 {+ H( y
此外 98 年 B 题体现了分治算法。+ K+ j* X0 ^3 }3 A* S% R2 O4 ]

4 l) Y8 I% _2 _" Z- A这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
# C  A1 O7 }; u推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。' l* O# b  }. q. j3 m0 [* O0 m
2 l: K; T: `9 p

1 k) @: J- f7 O3 ?: K. J六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 6 ~1 [7 G6 a5 R
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。, C  I" t/ I) \! }, E1 ?
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
9 F) }' o; D3 e! k: o. D( j8 h以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，9 e9 h* g1 V' z" t9 e
说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
% r: ^% f5 ^, X. O03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。+ R5 o- {: X2 ~4 k
; O+ z: S% b- e6 h
另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
. G. y: y3 i- n----------
/ \# \5 z& ^  t# ]( w5 B7 L9 Q3 c) J经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
1 X- S0 U" h' Ghttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
! H% x* g& r! v, Y- i ; V2 g3 R' r; X: v5 Y
其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。7 J8 p* N6 }) U
5 X5 ~" y4 |, i7 R: @9 w- y
8 U( d/ q5 W) b( ?
七、网格算法和穷举法9 E) z6 R0 h$ Q( Q4 T8 G5 g( z
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。7 z7 z( w/ a+ p) R/ ]; S4 c
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，- Y( x& X3 f5 Q
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
- ]' h- t8 E+ _+ r" w" |那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。# S5 b$ Z! V5 F" A& z

8 t# t0 P' {% |3 i6 A在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较! s, @4 f- _& n$ M1 u" f, v
快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
3 K# e2 \* K9 \. Y/ n1 @# ]穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  5 U# S. L1 Z  N7 z

- b% t0 w6 U/ h* W, ^& P: d) B$ L. ?, C! C
八、一些连续离散化方法+ v; B  E" K* y& C
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界% z6 K+ n' r# g7 J2 g
中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。* E0 h3 a& {- x* C

! v2 y# ^3 W  I$ t  k4 G这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
9 |7 r$ l/ d9 ^0 L2 I事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。 0 `  b5 Y) F0 M2 D+ f& \) H
$ Q, I) T- I9 P) E3 v3 G

' O, I) Y" y% i( p  v: D九、数值分析算法5 c% A1 |9 A- r$ |7 j/ d2 I. K. _: B  U& {
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
! Q7 F/ q* ^- T9 l8 j- X算法。3 O) _8 |: y, b- U# W, U. E/ U
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
( V3 i7 T* e' M+ e7 y- e5 ?函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
' @! r% {% Z# s  Q这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，* x, ^9 b: o% E3 q9 O- n
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
1 M' n6 f* t1 ~' n  E, T # W* W* P; o# m/ ]. h
: R* }* N! X& t- j/ i
十、图象处理算法: E5 C/ l  _: G& i& s
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值0 Z& _' z4 s0 N! \
计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
" f7 }$ V+ E" P, S* W0 q4 C因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。/ R! R4 ^% e( m8 w5 O. N* O
2 Z( Z! P2 L; c+ z" q, m
此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：+ I5 v. b9 K: M
http://download.csdn.net/source/3007336( e& z2 a( o4 m6 t1 _& o  Z

7 X. l5 }# g$ O- H; V  X4 K8 G$ ?2 E# f0 X本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，$ [6 F0 b% ?  c1 q: j
日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
% j2 [5 ~; D+ L" p4 ]完。" C4 _# F5 s3 \# `+ m& Q
  k& E7 W5 i5 v

: F6 u) Q3 k& q2 D+ ^作者声明：* Z. {. K" M3 R$ o
本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
" D* F; [) R0 Y$ u转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 14:50
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
作者: 异一    时间: 2012-8-1 15:41
shicahju 发表于 2012-8-1 14:50 ' v: w! S! l) F0 j9 w- T8 `$ ^' Z
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？

" {. H1 S- o2 A/ J, e是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
3 Q* L7 j* K. X要不然就删帖吧？话说我也不知道怎么删来着。; V# F/ F8 A& v8 L" |8 Y3 `. N
不过，好文就算别人说过我再说一遍，意义还是挺大的吧。/ D! l2 [, }* q: T+ s8 @! J% M( H

0 \. w- O0 H9 E+ i最后，你今天“难过”啥呢？珍惜美好时光吧~~4 r9 X# ?7 Z7 T* t5 H
据说笑会传染，多给你几个笑脸。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 16:03
异一 发表于 2012-8-1 15:41 ; ^# @/ u  w& a6 W8 |
是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~0 y* Z8 {8 @/ i/ u
要不然就删帖吧？话说我也 ...
1 z# e& k- [( J8 R8 A0 X4 b% V
~~~好吧  刚进来就看到了很多算法
作者: shaox    时间: 2012-8-1 18:56
太多了~~
作者: 沧海浮萍    时间: 2012-8-2 11:13
挺好的~~~觉得挺有用·
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:29
谢谢你
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:31
。。。。。。。。。。。
作者: 炎~黄    时间: 2012-8-10 18:28
我感觉挺好的......
作者: lingmo    时间: 2012-8-11 11:08
哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈
作者: qzwqzw    时间: 2012-8-11 16:07
正在学数学模型，看了这个，虽然还有很多不懂的，但是受益匪浅
作者: Teng_guanguan    时间: 2013-1-20 15:10
不错，很有用啊
作者: 取名字真麻烦    时间: 2013-1-20 18:18
本来就是这么十大算法，必然会重复的....
作者: xiaoyaosharenfa    时间: 2013-1-20 23:21
谢谢楼主了
作者: 鱼戳戳    时间: 2013-1-23 10:39
压力好大呀~~~怎样能较迅速的掌握呀？？？
作者: 541087864    时间: 2013-5-19 11:03
非常有用！！谢谢
4 \7 }* S% m3 {7 {5 p* X7 y0 i; A) E
作者: 1617886226    时间: 2013-5-19 22:51
说得好精辟，这才是真正的高手啊！不管是不是别人说过的，好东西拿出来分享是值得鼓励的，支持楼主！谢谢你！
作者: sdccumcm    时间: 2013-5-20 00:03
分享      
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: famacat    时间: 2013-7-25 15:57
作者: yufeiyang    时间: 2013-7-29 10:41
虽然早已经看过了，但是还是谢谢楼主的分享
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
。。。。。。。。。。。。
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
，，，，，，；
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
来了来了来了来了来了来了来了来了
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
长城长
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
的顶顶顶顶顶的顶顶顶顶顶顶顶顶顶顶
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
啊啊啊
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
还好还好还好还
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
好、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:47
，，，，，，
作者: jiajinshan110    时间: 2013-8-7 10:18
多多学习吧~！！！



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