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标题: 数学建模十大算法漫谈 [打印本页]
作者: 异一    时间: 2012-8-1 12:31
标题: 数学建模十大算法漫谈
数学建模十大算法漫谈
* d5 h& x* f. y6 |4 B& w
9 }7 X* a; g' E+ Y+ b作者:July  二零一一年一月二十九日" I6 ~0 Q9 v, {; O1 d+ h8 q! W
本文参考：  P* r( B! |4 D9 M  @
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
2 \1 B' ]; |# I9 y& I1 eII、 本BLOG内 经典算法研究系列
# @' k# @( n$ k# qIII、维基百科
' e) k9 i/ X0 H, ?: x  Z------------------------------------------' @1 Q2 }6 o; c
博主说明:
# S, |; Z0 ~) O( ^3 T2 H3 n1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。2 U. @" f  x  \% P
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。- U: z7 r, o! `4 ~9 X- F$ a
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
+ i" F+ m/ z* ?同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
& k; S; l. D( S/ ^+ \' A毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。: y" X* k/ K0 p: A* d
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。( K' Z+ Y" l6 H3 N1 p$ m1 N$ j4 Z0 O( g
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
, ^0 _2 S1 L, k若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
- k% H, w' S9 N3 [9 F: k* q谢谢。; [' u. n7 N1 H9 L! @& D
  I2 S3 n3 N$ U7 i) [7 @5 F
$ W  i9 P8 D9 z, l4 W% q! r- E2 O
一、蒙特卡罗算法% a" E! V4 M3 ]+ H3 h/ Q" J9 `
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis0 f" ^+ ^- L" `: I7 V# j
共同发明了，蒙特卡罗方法。
* k$ L& z6 F3 J# z" o7 h- d3 Y
( q; P; q; _& J. a' f) `此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
. g1 j1 X# F3 Q3 K4 }6 uhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx9 ^& U5 e6 x6 x' L& i' ]4 u/ i
+ O0 i3 a) |3 Y
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
/ g4 t+ e, O$ V- f$ f0 _7 M的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方) N8 R7 N  p- O" N, V5 X" y
法。3 m% U& n! E, h0 F- ]6 j

# u6 e+ O- \/ f. k  ^3 {0 h由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真; g5 A2 S6 n! y( i& \% n
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。: c1 p. s2 n4 S7 L, ]3 c
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
9 _" S& n5 t; K当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法% S7 }1 l! r. X7 D* \
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作! Y7 r0 ~5 S) _& x0 C
为问题的解。
' I4 L9 {6 @7 ?* i) T6 X. [3 I* G ' b0 h" B! w- w, U; i( a/ `# J
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：4 Q  `2 J$ p, ?9 I
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程1 i! S% E& J$ Z6 M
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
% o5 a! p. H) N# A. R8 D后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
% |7 B5 r: w- q! u. Q6 u8 f，结果就越精确。. i& S$ I  F4 G7 w$ k3 D4 F
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
: G' B7 l3 [* I$ R7 m( O
* P' o% K# U; w% L; Q) Z4 K蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模1 s$ }# m: c' \' x) J& Z6 P! y
拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的8 z" Y  l5 L5 e. a9 M$ T* r2 c
近似解。
9 Z/ _  I: W7 c8 W1 ?1 `
9 Z4 F. X4 k  H. s4 l蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而% s1 Z* r# P1 d4 Z) Z
蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下： , s- _  F, E& b9 v) q
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。 ; @8 R8 l  }  H; I
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
& X/ n$ O% U' V) JIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。% H) O/ x- Z5 ~9 m
等等。
9 ^  u- a$ k+ w7 i- `# H. S此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。. a# [/ b  i6 K4 R

. ?+ K, B1 |4 r6 D2 e% {* f$ z6 r. V# Z
二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法6 g* I! Z, C: @5 A( v3 _; v
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
& L. n6 {+ @! [/ `数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
$ f  n7 S: R, a2 t学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有! D8 O- e1 c3 v# ^+ Y, `/ t5 z* J
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。+ y9 v0 U* _/ @0 k" m5 r0 n5 f
. Z3 p; s3 T. W- t( G
此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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' q9 g2 D9 E8 z) y
三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题5 }; ^( G5 v( [5 _& W0 }+ J
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件. I7 k$ k! D1 n5 x: a! k: t* c
、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式% K* R9 ?8 Q, O9 n
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
  U. V5 x0 a6 m需要熟悉这两个软件。3 J3 U6 E$ Q$ F3 C0 h$ g: K& r
$ p+ T& ~/ I6 d8 `* n3 n, i

$ E  u3 T; [( A四、图论算法0 d) Q6 y0 |& a1 }! U# o
这类问题算法有很多，+ V1 e8 ~5 ?8 ]
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。$ X5 g9 j, [( C2 d9 l( V6 b

7 o/ d3 a. }" Y! _2 J关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
0 y5 m; }/ a4 _; w4 v同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，5 l0 r/ |9 b5 W; z' u
-----------1 |! O: m& m1 r0 ?' w% p
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探+ @+ W/ ?( v+ U' _7 K
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx, c% g$ X& v) v( _6 S( S6 i4 @! F; A
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
2 d6 t7 T$ [+ X 8 t: Z3 {2 i3 y, m# @. [1 c0 ^

4 Q0 G8 O  ]2 l# A0 u, [; [) g五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法# ]% @7 S  T/ m4 s  o% \7 L
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
6 ^( I+ w# h/ Y/ f6 Y" S此外 98 年 B 题体现了分治算法。
! [( I! Z$ @4 ^( T" C: v1 @9 ^: }
+ q2 x+ u! R! j/ @& ^* b这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，5 u2 X1 n$ P& G, y0 F
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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2 j# z) h" b- e, M
六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
& G, F( R- |5 r! u0 Z3 K9 \% \8 U2 J这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。/ T2 |8 l# @3 ^" K9 B$ _$ j2 d
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
# n: r3 L  ^  o! x, V4 k% G" R5 v以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，8 D" m# L3 u# @* n2 H+ s' O
说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。 ( i% b9 O8 G1 Z" q) A
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
2 N' r& A' O6 s8 N' Z- E% i " F( C5 Q/ V' @) L- T
另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。  `+ G4 _( |  r2 T9 {4 {! F
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, T& k# [$ H8 D5 W8 @) o经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
+ C6 z, \( [+ x  z/ N; m; khttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
2 T$ Q/ V( K$ V8 p 0 `( X: ^/ X: O9 ]7 y8 P$ Q
其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。! P& l$ m& |$ R% z& t+ d2 g3 Y3 \

  g9 r/ }7 k- l% @( u0 }
: ]: S9 J: Z' G# F4 C七、网格算法和穷举法
2 F1 u- [  L) N( X3 f4 ]网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。+ e* S6 C) e0 o+ x0 ~3 y
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，# X  Q+ J7 O/ }, S& \3 ?
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
( Z& X5 ~' f- ^3 [7 F+ H. Q, y那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
5 V3 r0 p, F2 e. \
2 ]# X) [% M" O1 s) }在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较* g$ L2 M& ], Y3 s; X
快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。( r8 K5 F, l0 z% e* z& e
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
0 P: T5 Y3 K1 z3 \% p% W ( |' v7 H9 z) _" \" ?2 E7 ?
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八、一些连续离散化方法
' {3 y9 ~. w4 y0 k大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
% F# T* v: E2 W! H+ J中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。' Q1 {( g: W1 ^$ e2 z9 h; m) K
6 @) q9 k! ~: x  F, G5 j! c
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。8 D, V# z9 E, P! I1 ~. L
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。 ' h  G' l6 m  P( j

1 v+ G( ~+ o$ d- j# z" H4 Y# L: w) ]1 H. r6 l! f
九、数值分析算法
, m# b8 F' {8 x4 b6 C! Q2 [数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
* L2 e' a) ~- a  B算法。- O: k) t+ l8 b/ w* m6 K5 x
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、: R( l- Q2 U$ ?# B! Q6 B
函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
" A: E" N6 f2 t% P5 T. _3 ~这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，5 I" z$ c: O- T3 ]0 |3 v
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
6 B8 |# l/ U+ Q
4 Z; _% o" T2 j* B8 j% H9 |- L) Q1 m+ E" X  e: ~( Z  L* Y: s+ p* f+ w
十、图象处理算法
* J/ b& b" b# X在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值1 E( ~, [5 g7 E$ o/ j" z' J
计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
8 F7 e9 _0 S0 w/ k2 X; o. V因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
4 J* w# H! M! [' ]
; o. x2 I2 i  p6 _, {8 W此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
# T- d3 n* Y, ^; Q! b: k& O# G3 xhttp://download.csdn.net/source/30073364 J' g% O' @9 m  T
- G2 S7 _6 A: x  X$ c+ l
本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
8 C% S3 q1 s/ F/ y日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。! n0 z: x# D+ V% S. f
完。
; ]) a; D2 q) W, m# k$ K
' y4 w: i5 u  }/ D
; [# o  m- N2 G: s2 r. z/ N作者声明：9 W# _1 b7 ~2 J, Q% x  B% s
本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
  B; E4 a8 a" e/ L转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 14:50
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
作者: 异一    时间: 2012-8-1 15:41
shicahju 发表于 2012-8-1 14:50
: v* q; l; Z1 j; D' _/ K别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
% \  r# A# s. n1 D+ p& e8 Z: Z
是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
. P8 |7 F) d5 g9 \要不然就删帖吧？话说我也不知道怎么删来着。
' d$ W# J. `2 l9 v* B9 C不过，好文就算别人说过我再说一遍，意义还是挺大的吧。1 I. N, M% ^' h; j
) l) r9 J  c4 `2 h/ k2 w+ _
最后，你今天“难过”啥呢？珍惜美好时光吧~~
" ?& k0 y" G5 A4 G+ k3 Y0 y据说笑会传染，多给你几个笑脸。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 16:03
异一 发表于 2012-8-1 15:41 % Z( {. k& G0 y
是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
+ M* Y& ?, Z: W$ k要不然就删帖吧？话说我也 ...
3 n$ @% ]* X" f" f7 D. y: c
~~~好吧  刚进来就看到了很多算法
作者: shaox    时间: 2012-8-1 18:56
太多了~~
作者: 沧海浮萍    时间: 2012-8-2 11:13
挺好的~~~觉得挺有用·
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:29
谢谢你
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:31
。。。。。。。。。。。
作者: 炎~黄    时间: 2012-8-10 18:28
我感觉挺好的......
作者: lingmo    时间: 2012-8-11 11:08
哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈
作者: qzwqzw    时间: 2012-8-11 16:07
正在学数学模型，看了这个，虽然还有很多不懂的，但是受益匪浅
作者: Teng_guanguan    时间: 2013-1-20 15:10
不错，很有用啊
作者: 取名字真麻烦    时间: 2013-1-20 18:18
本来就是这么十大算法，必然会重复的....
作者: xiaoyaosharenfa    时间: 2013-1-20 23:21
谢谢楼主了
作者: 鱼戳戳    时间: 2013-1-23 10:39
压力好大呀~~~怎样能较迅速的掌握呀？？？
作者: 541087864    时间: 2013-5-19 11:03
非常有用！！谢谢0 {( t8 _( n. X9 h& p2 q; ~/ D
作者: 1617886226    时间: 2013-5-19 22:51
说得好精辟，这才是真正的高手啊！不管是不是别人说过的，好东西拿出来分享是值得鼓励的，支持楼主！谢谢你！
作者: sdccumcm    时间: 2013-5-20 00:03
分享      
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: famacat    时间: 2013-7-25 15:57
作者: yufeiyang    时间: 2013-7-29 10:41
虽然早已经看过了，但是还是谢谢楼主的分享
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
。。。。。。。。。。。。
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
，，，，，，；
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
来了来了来了来了来了来了来了来了
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
长城长
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
的顶顶顶顶顶的顶顶顶顶顶顶顶顶顶顶
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
啊啊啊
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
还好还好还好还
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
好、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:47
，，，，，，
作者: jiajinshan110    时间: 2013-8-7 10:18
多多学习吧~！！！



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