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标题: 数学建模十大算法漫谈 [打印本页]
作者: 异一    时间: 2012-8-1 12:31
标题: 数学建模十大算法漫谈
数学建模十大算法漫谈
8 O6 h) l' Y8 T" D
& V4 v" X5 d  v- U6 c作者:July  二零一一年一月二十九日
7 r6 x( p- u, I4 J+ M# R本文参考：8 N2 W/ B* Y+ |- ?
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
  d- R0 w0 ?; E+ K; S7 dII、 本BLOG内 经典算法研究系列: f0 x% z7 e2 ~' m1 y* e
III、维基百科
; u3 r/ n1 u9 X------------------------------------------9 c4 }/ k3 w  j' R& `8 I# H. h
博主说明:
) b1 _$ e. [, }5 G$ j0 g4 n1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
( u+ i8 B0 H/ l0 N3 Q这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
6 r+ o- v3 s0 z$ c1 E. h- x2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
; Y- B$ p+ n7 g1 n5 C同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。3 c6 }# B8 Y3 }4 L/ r
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
! l' g0 T# I7 e: G: \0 ~且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。* W7 f' Q- t  y" b3 H/ |
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
) u% y/ Q0 g- |/ u若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。, Z" N) I/ }) H. Y+ k
谢谢。
9 d# v  A' e6 C1 W9 o 2 }& y/ w/ l8 J  v: x( Z
1 D# w  F8 G- E1 a9 T
一、蒙特卡罗算法& h8 Q* p$ e- g4 m2 S( M  d( m$ }7 Z
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis- x( C( R( l9 p! G
共同发明了，蒙特卡罗方法。
; q; Z6 c- j: @0 M' s; b3 `4 L2 ~4 ^, ?6 x0 V( _& j
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
( a' }% }3 l7 Z; fhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
; t; T" Z. g8 S  y . e% b! n1 }9 v( \2 P: m
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导4 U. Q6 q2 Q% q9 }9 m0 [9 \
的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方, H7 s( i( z5 {. d+ S
法。
8 q7 {0 r9 J% g& u 8 m. `2 k: h$ S0 i8 x, O
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真% p" X( [: d8 t+ E  g
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。) _4 ^# ?: E, Y! o4 s; U, T! S6 u3 B
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：8 |' r$ @/ X% |7 O3 d
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法  d2 N& b# d4 o; {. I
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
+ R" X) o: F+ o+ e! T为问题的解。* p# t% T) }- Z) Z
9 o2 y* Z0 Z- S8 y4 m- m
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
" D: Y, {9 r; d" S2 r0 H* c' b; W假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程) L/ D% j  P, e+ s
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然8 K. s) y9 K& `7 {; r& j
后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候5 g( ~7 T9 F# u
，结果就越精确。
$ D; F! @, n9 ~1 I5 G& U" \在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。& g( W1 j9 z$ j
2 K- v/ C5 @& i6 b: V6 h$ |
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模  ~3 J0 \; d( c" ?
拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的0 C5 t" r; U8 E, V4 j3 x* ^2 m) b
近似解。, n6 u4 W7 ~( ^) M' j$ F' t* N. J

) m6 d& e- i) V8 H1 Z$ K  J' W蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
# `1 c2 l" U9 V7 d蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下： - a5 M$ E- e: {# Y& n
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
' E* f' i: f( Q. N$ j6 a1 OII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。1 U; q- r/ S, u% p
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
3 S1 i' v3 s6 P/ T等等。  D- U" V: k: v, E0 s
此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
. g( R& h* ^8 K4 d3 \/ N2 p . V" K% r! F0 b$ o  l

/ R! Z" m6 {, j2 [# P# ^! H二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
9 Q* @2 i& G2 E0 `7 k我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。! f& r4 a- E0 M0 c1 c0 _/ b4 u3 V
数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数( V) I/ c  }* m. t7 E
学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有6 k# C& }& L8 x1 x4 |  p! |
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。, M, O4 W% f! v0 L( k- \- ~$ {
2 p0 U/ O& [+ X
此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
+ g% b) j# E& i4 |2 R   T) b# s% G2 h/ u1 x
& h  w6 U! ?, E% r, Q
三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题+ }1 c3 d% y2 z0 a  a$ a
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
1 r3 [) T/ Y! w$ f1 O$ X$ C3 b4 k、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
. W( ?9 G8 [9 ]完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还  u, U/ w* l. E; d- |
需要熟悉这两个软件。
9 F9 l. u7 z' w( A. u: n1 J 5 j/ N, L" e; g9 p" H
' K* c' Y, D  I- [! u! z
四、图论算法8 N% J2 y1 G  z& x4 c6 H
这类问题算法有很多，
2 E$ o& D/ _9 c6 s& i( E包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
9 m2 y  N' E/ t) I9 @: y
) I. _# A) q" {, G1 A* {关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。, ]# @; }' r" m  t+ T- X& r
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，* Q2 h( A9 [4 x: k0 f3 {6 U
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  x0 G! W3 Q& m% M. n( P# f1 [经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探, w$ ^0 g8 C' k! w9 ^; Q. v! t
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
! k- Q2 s: }7 {! a) c更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
8 Q7 v# `: Q" M! v: w( I ; ^  C7 l/ ]8 t! o7 q

! E1 a+ w% k: f; W3 w五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
0 U2 i( ]- b; }3 B$ ?  M5 }在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，+ L! N. M, d+ S9 }: ?0 g5 Q
此外 98 年 B 题体现了分治算法。9 o6 l- j8 h  e' c
, Y, _/ G# c1 |* G* q, v
这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
. s9 P! n5 ^7 T) l" `- t- G2 ]推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。8 t9 x* z  n- T7 _- Q$ v
' k2 e4 o5 d' t* i' B* X0 \
; t6 `; s1 p- I
六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
" x3 w! n) O  G- {+ E这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。) q0 m$ S9 P) j9 A& e- |  L+ ^
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可5 E! G* n8 }0 b, r! f- A2 A
以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，8 K' l- K3 y  j  E
说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
8 D# ]1 |! \- C$ f03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。; \1 _' t; {8 j- P, y& U# w7 n1 J7 @
0 }% s7 ~9 \1 Q: G$ D
另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。2 L. S4 `4 D3 e, `2 d  V: J
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. C0 q# {2 u2 N经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
5 s: w5 X( o! a7 T: `http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx& L, v1 T. |0 J5 A' f

& H# g7 K; a: j/ V7 Q其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
# V1 t* y3 D; b. \4 n
' [/ K# V0 r. Z1 T* G
8 x- C0 Y' ]4 [* p: W4 A1 q/ r七、网格算法和穷举法" E& {' z  Y' O  {; |
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。5 p/ S4 Z6 I- p. {
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，5 f. x! _! ?  O
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b$ P& o; C5 c2 Q/ W) {- `
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。. [( |4 z; C8 T1 g2 I# K3 I. t
0 L( G: T6 t) x9 c+ w
在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
' O$ |9 Z0 A; o3 o: X! `4 X快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
- E. \: M! \, H) G0 @* o穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
3 Y5 P" j9 ~) Z2 x, ~  _  h
; K+ |% I0 j6 f, I7 @+ ?' D2 u0 j5 \& \* ?
八、一些连续离散化方法) m" b9 {9 E- ^
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界+ h- F8 D/ T1 Q$ t+ L5 {0 b# ?
中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。8 B. k5 F8 W. Y- N! B/ c
; L# w1 D, t3 C* ^* E
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。' d2 h' c7 ]- |) W8 P# ~' ~% m
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。 ! m- h) X1 v, _: |( _
1 f3 ~& K7 h& d6 E* ~" }
: z) e, k% n* N( J& R: a% h
九、数值分析算法
3 a  w8 |) l/ |数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的; l/ I! O2 y+ g3 C4 [
算法。
8 H$ b  t7 f& l8 c7 q6 C& ^4 y如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、" @/ a+ u/ u, ^3 _6 a4 b
函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
# c0 p" ~! x% z这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
8 z3 Z! n; C: ?0 j' s8 f% u因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。. k; E2 Z* F& V, z
$ L& i& h! C  G" W  g" Y8 k; f

6 L  ]2 i4 B/ o0 k& M十、图象处理算法! e8 E# m- k% r: N# C
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值- o  T. Y9 G3 _
计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
6 J8 B4 g6 h% R6 Z) \4 E  Q因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。% P" m  Q5 N: I" m  Z6 C# K. |/ k
1 L& m/ K4 Q) M# a
此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：( M, b; L! m5 ^' y- a
http://download.csdn.net/source/3007336
" N) M4 D5 F1 B9 d! G: _
6 Z6 c, E( [' h% {) ~) p, `* q0 j本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，9 y! |0 d( |! \) s
日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。% W! w; n7 X/ J7 K2 j- }. C- l# z
完。
5 }" y9 Z& O" \
# B9 Q+ q, W# e0 l( |3 E$ f1 T3 \
4 N! P: M$ X# a) @3 f5 d. ^* N作者声明：, o  S! [# [4 L. |$ L9 J% Q
本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
! J4 c3 I! x( f0 s$ @转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 14:50
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
作者: 异一    时间: 2012-8-1 15:41
shicahju 发表于 2012-8-1 14:50   g) a/ g  M. z' j5 T
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
. w9 M/ }2 {* M4 j0 {0 D: |% |
是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~( P$ L7 O5 q/ C/ J
要不然就删帖吧？话说我也不知道怎么删来着。. ~0 j8 \4 y" M& B! G
不过，好文就算别人说过我再说一遍，意义还是挺大的吧。# c2 E' ?) e1 H1 ?' u5 W( W
0 D7 h& ~6 J& G: _3 T5 s  P; h
最后，你今天“难过”啥呢？珍惜美好时光吧~~! P! k4 }- ^; w. n" M
据说笑会传染，多给你几个笑脸。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 16:03
异一 发表于 2012-8-1 15:41
3 c0 K6 U! {- H7 G4 C2 k$ A是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
, V- g* f& U' g% N% A要不然就删帖吧？话说我也 ...
1 ~& y8 I0 A) ]
~~~好吧  刚进来就看到了很多算法
作者: shaox    时间: 2012-8-1 18:56
太多了~~
作者: 沧海浮萍    时间: 2012-8-2 11:13
挺好的~~~觉得挺有用·
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:29
谢谢你
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:31
。。。。。。。。。。。
作者: 炎~黄    时间: 2012-8-10 18:28
我感觉挺好的......
作者: lingmo    时间: 2012-8-11 11:08
哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈
作者: qzwqzw    时间: 2012-8-11 16:07
正在学数学模型，看了这个，虽然还有很多不懂的，但是受益匪浅
作者: Teng_guanguan    时间: 2013-1-20 15:10
不错，很有用啊
作者: 取名字真麻烦    时间: 2013-1-20 18:18
本来就是这么十大算法，必然会重复的....
作者: xiaoyaosharenfa    时间: 2013-1-20 23:21
谢谢楼主了
作者: 鱼戳戳    时间: 2013-1-23 10:39
压力好大呀~~~怎样能较迅速的掌握呀？？？
作者: 541087864    时间: 2013-5-19 11:03
非常有用！！谢谢9 d; m; {2 E4 G$ j0 x
作者: 1617886226    时间: 2013-5-19 22:51
说得好精辟，这才是真正的高手啊！不管是不是别人说过的，好东西拿出来分享是值得鼓励的，支持楼主！谢谢你！
作者: sdccumcm    时间: 2013-5-20 00:03
分享      
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: famacat    时间: 2013-7-25 15:57
作者: yufeiyang    时间: 2013-7-29 10:41
虽然早已经看过了，但是还是谢谢楼主的分享
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
。。。。。。。。。。。。
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
，，，，，，；
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
来了来了来了来了来了来了来了来了
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
长城长
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
的顶顶顶顶顶的顶顶顶顶顶顶顶顶顶顶
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
啊啊啊
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
还好还好还好还
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
好、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:47
，，，，，，
作者: jiajinshan110    时间: 2013-8-7 10:18
多多学习吧~！！！



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