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标题: 数学建模十大算法漫谈 [打印本页]
作者: 异一    时间: 2012-8-1 12:31
标题: 数学建模十大算法漫谈
数学建模十大算法漫谈. M# ^( C* _" ~: t/ m3 Z# b: J

& N+ u4 P' g" x) N6 Q; Z. n# W  v; a作者:July  二零一一年一月二十九日1 V* Y2 p4 ^% d
本文参考：
/ B" O) d( c) c; H5 I+ @. @" kI、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
7 L) J$ {1 }& U' V# v8 B- f" K" wII、 本BLOG内 经典算法研究系列$ u" J5 l) J7 S7 `; S  j  f
III、维基百科0 V4 J6 |0 t* p$ }; u5 @9 h6 p
------------------------------------------
! t* c, e0 o! V博主说明:/ [  j, _' k. A6 D
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
$ }6 H+ I  J9 c这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。. k6 f% E  @6 V  o- d% ~7 v
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
4 D$ F. r, ^% ]- \6 f$ o7 y同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
6 U3 u5 W4 z5 @8 e0 X毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
4 Q. D: x8 g8 t7 t. w. c" }. Y7 r1 |且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
9 ^! |2 A  I7 l& {% F3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
: [$ h( a9 w) w# i% v, w( a2 ^若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。9 |- \; {: s2 ~/ G* w
谢谢。+ p1 Y+ @  O6 H# i- ~* y7 f: D; r' E

# @' P4 F: {# {# N1 j) G2 Q8 p$ O
- d# V# i. Y) @- Q3 O6 K一、蒙特卡罗算法
( u4 L- a# h* Z6 b( C1 s) y1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis, n! W; V4 e# F& s- l: h& F
共同发明了，蒙特卡罗方法。$ m1 O0 L- W2 e/ G* P" s

1 d7 K$ d# I: B7 j8 x8 l此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：4 @! n+ P' N! g: h. T
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx( ~6 Y) x. M* Z- }% E
  ]  f# Y  f0 ]5 u
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导# f' o- F$ s$ b! C
的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
5 R& T2 K3 P, ?% M7 {! Z( d- j法。2 U; r# t# n" P  p9 v
/ F" C. S8 i  H/ k
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真9 H7 b7 _1 _, K6 y: F
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。4 A1 m3 t  i: H( x* L+ N
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：8 b3 v( A3 m6 ?4 y* {* i
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法* U! O. m1 W# a# {+ }! F: C" F5 J& N6 }
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
8 Z% f0 x  H) o) Q1 S! h为问题的解。- [; u+ r6 P9 p6 U: Y% U
- @! B3 V6 }- C: j' [
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：" r* C) D* E; |4 \
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
) l2 |2 H4 q% |, @' k& k4 `度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然) v8 h6 J9 r7 n! ?+ J  i, ^0 [, ^
后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候, \- _9 |  P) Z6 I/ C
，结果就越精确。
6 R7 h% a/ S* V9 W在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。$ p2 j8 P  E; m" N8 g" ?9 c" Q

& y( q( _7 Y# s4 w6 V" R& K蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
( X  E6 R: g: F$ q2 [4 t& u2 B2 A1 @拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的3 B. z) Q' {9 W+ ]' ]- t$ w# r" W
近似解。4 X* g( L) v: q1 [
8 h# T8 L' a7 Z4 w  w; m! V( A
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而" ]2 `& c8 w# n6 l# y  C: ~# @
蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下： * n6 h4 {- C( v  i# Q9 l
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
: b& |6 R) E9 _3 T4 EII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。5 V4 ]! V$ u6 ]9 J& {6 a
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。' T1 g& S; [: t+ x0 g
等等。6 N3 B& M* `4 Y; N( j6 Q
此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。1 W; I  _( F* Z' S

7 ~- A2 W7 N0 t: G# z
* y- a3 h. Y* i2 ]! c3 j8 U$ @' K二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
3 [# g$ Q: \/ j4 t1 U我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
# }+ X& m) Q7 ^7 c* c9 v# i) g数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
) V6 a) B; H1 J" E学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
9 M3 S4 W, [) E* X% T; G吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。9 e4 }! k5 }- k# s- S

9 l7 d: \1 E% w  F6 I) y此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
  c: ^! N; V5 i/ U$ ?6 d" Z, Z
% S, r" K' s1 j- _1 E3 _
& R1 B9 c9 K! I% E# H三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
5 W0 W$ _1 U! k- B  ?数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件3 _7 J' `/ p" v. `. u. D" f
、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
4 i+ x; E/ c1 v  a: p- \完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还$ ?- v; G0 |" f
需要熟悉这两个软件。  V5 [% p- \$ W

6 E( A& j8 u% m, K% N. K2 q
3 z7 h2 o- M6 X0 A! Q) @四、图论算法
! R% }; c4 I: S/ ]. }这类问题算法有很多，2 Q6 @$ f8 ^, d' K6 y
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。% g; K+ r% A9 S8 L9 }
. |( n, B( [" u# L4 Y
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
/ W* S5 F1 u* x' E2 R: k$ Q: f同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，6 N! d5 Q+ x+ K7 V6 [4 x
-----------! s. N5 Q- V7 s: G; A* S
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
8 x# P' d1 I. Qhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
* Q9 g! v& l! A0 i" m更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
' m% S4 t& C- ?2 j0 W6 G: @4 J# I+ K , n5 H- `. P& _/ ]9 n
: D$ N* Q) q, D/ v
五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法" O- o0 {  W' n7 _# c5 T
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
9 n$ L; x* D& T1 P! B: N此外 98 年 B 题体现了分治算法。
" E" g: y% N1 V7 K) ^: [0 x2 y( j
0 t8 a0 z) o( t4 O. ]: {8 R7 Q& L这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，4 F+ w4 s# j, H! b' Y
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。1 w7 ]/ u, v  K; m& J% h

0 o4 |/ K7 N4 ~( E* ?* D9 d& Q- p( ~" d6 z
六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 4 Z7 w/ A) \4 z
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
$ h! p* l2 F  L* K' i在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
% Z1 ^) V1 N/ l4 S/ Q; S( G# @以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，, M( a5 D) O) X" @: y& t) \
说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。 ( @% K- @' m- c, U6 v4 J" u6 C
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。: @2 F+ L$ g8 x$ X
6 j3 p" g! }8 g/ X
另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。. t  l2 G/ U4 f
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6 Z* C& k9 F" X5 [: |经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
- ]9 s6 Z: A! \  Ohttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx) i5 V+ C, u9 T

5 L$ E1 g+ y2 z4 z: ?# i* Y& a其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
/ [7 J6 h) {& z5 w
- c/ Z; s/ ?# X
/ C% C2 i4 Y& c( }2 \+ \6 e七、网格算法和穷举法
1 o& Z1 [$ }" o5 r网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
! G+ y- x2 V# W& }5 `7 w比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
+ i6 ~% l* p, d6 I; o8 g比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
4 ~9 f1 j5 T4 T( H那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。' X% t, f9 x+ [7 V' ~

4 Z% v! u% u+ W. G( w* \在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
1 V* {( G* J! |5 g- H快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
/ |% j1 t+ Q# t穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
% p9 d7 u, Q: x, b1 t' r
* Z6 c/ |0 f% H0 p
5 H1 ]& r8 L* s八、一些连续离散化方法% q$ [+ r* l: G$ c* z# W+ |9 i
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
, y5 R0 ?2 x1 Z; T$ ~5 i中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
- s7 F6 o# c3 C' p1 z+ O& N; y
+ h9 w8 @9 U9 ?+ s这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。7 b* G5 d% ^7 _: P  j
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
; P2 ?4 ]0 I% k' N7 {
0 o9 M% G: u2 Z' L1 O0 R
' p, }6 L4 U5 r/ L# C$ g9 W7 @九、数值分析算法6 W5 Y7 P7 y: M! E. u
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的) H0 Z2 ?) }  ^( T9 }+ c, O! y4 {
算法。
0 j" j3 A: f7 ?如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、9 X2 ^4 v- V# W; v
函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。' G/ n; C: ?; `4 |% g
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
3 X0 B' f& {0 r' e9 x6 [: ~- S因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
. q1 u1 e# n4 a  L
9 ^( P$ n5 I$ A+ j. L. b: X  q6 x+ c. |& q. }& p1 `
十、图象处理算法. o4 t4 `4 k  `. G
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值/ L* m& J+ s0 J4 \+ W
计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，" W- H! ^' `( D6 ^2 s
因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。: n4 C! d9 d8 ]4 T2 R( F$ ]
- Q' Y; C( |( x
此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：" r8 e6 s+ c8 W! b6 v# a; @- d; j# c
http://download.csdn.net/source/3007336/ S: F: q, g% d7 c! C  r4 R

! D$ K( Y  i; ?本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
9 B3 m3 u, D; ?5 `/ i% w- A! ?+ v, d日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。) G. B+ P7 O( k8 r6 U
完。' y; j2 r6 G2 H. |- V
! h9 \. a8 s( E# S# q! }
" t9 l2 v& r6 [4 I. [( z$ R
作者声明：
# b: @+ R* o4 Q2 V8 ?9 E' q本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，% B1 G- T( z7 A  T5 a- k; u
转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 14:50
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
作者: 异一    时间: 2012-8-1 15:41
shicahju 发表于 2012-8-1 14:50
) R# E- @: t/ ~: L8 m7 ^- T别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
1 h/ t0 ]3 a- j; `, I
是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
2 J* R  L) ]/ W% ]/ I, r要不然就删帖吧？话说我也不知道怎么删来着。, t- Y6 a  d+ b
不过，好文就算别人说过我再说一遍，意义还是挺大的吧。' e3 X- ?  Q9 S* ~$ p* ]' Y

9 N$ G. w8 V5 L$ @/ k5 L2 T最后，你今天“难过”啥呢？珍惜美好时光吧~~
: r. H: `( ?% S$ R8 s' K( U8 x据说笑会传染，多给你几个笑脸。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 16:03
异一 发表于 2012-8-1 15:41
& t5 s, V$ N0 P' w: ]是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~$ k  e( c0 j. A( m5 Z
要不然就删帖吧？话说我也 ...
& |- P4 \7 }3 Q" r
~~~好吧  刚进来就看到了很多算法
作者: shaox    时间: 2012-8-1 18:56
太多了~~
作者: 沧海浮萍    时间: 2012-8-2 11:13
挺好的~~~觉得挺有用·
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:29
谢谢你
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:31
。。。。。。。。。。。
作者: 炎~黄    时间: 2012-8-10 18:28
我感觉挺好的......
作者: lingmo    时间: 2012-8-11 11:08
哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈
作者: qzwqzw    时间: 2012-8-11 16:07
正在学数学模型，看了这个，虽然还有很多不懂的，但是受益匪浅
作者: Teng_guanguan    时间: 2013-1-20 15:10
不错，很有用啊
作者: 取名字真麻烦    时间: 2013-1-20 18:18
本来就是这么十大算法，必然会重复的....
作者: xiaoyaosharenfa    时间: 2013-1-20 23:21
谢谢楼主了
作者: 鱼戳戳    时间: 2013-1-23 10:39
压力好大呀~~~怎样能较迅速的掌握呀？？？
作者: 541087864    时间: 2013-5-19 11:03
非常有用！！谢谢
4 W* L# d1 n% f: c  n/ V
作者: 1617886226    时间: 2013-5-19 22:51
说得好精辟，这才是真正的高手啊！不管是不是别人说过的，好东西拿出来分享是值得鼓励的，支持楼主！谢谢你！
作者: sdccumcm    时间: 2013-5-20 00:03
分享      
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: famacat    时间: 2013-7-25 15:57
作者: yufeiyang    时间: 2013-7-29 10:41
虽然早已经看过了，但是还是谢谢楼主的分享
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
。。。。。。。。。。。。
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
，，，，，，；
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
来了来了来了来了来了来了来了来了
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
长城长
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
的顶顶顶顶顶的顶顶顶顶顶顶顶顶顶顶
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
啊啊啊
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
还好还好还好还
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
好、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:47
，，，，，，
作者: jiajinshan110    时间: 2013-8-7 10:18
多多学习吧~！！！



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