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标题: 数学建模十大算法漫谈 [打印本页]
作者: 异一    时间: 2012-8-1 12:31
标题: 数学建模十大算法漫谈
数学建模十大算法漫谈. P" s7 T5 e# m7 K, g9 r/ R
& B+ c& T2 z! h8 N
作者:July  二零一一年一月二十九日
6 r( a4 K4 F; \本文参考：
5 h3 L3 W0 V% sI、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]2 K. F: w2 Y* L
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
* T. E; }' }: DIII、维基百科
- _- }# x( L. E+ s------------------------------------------
0 b, |7 K$ f; J: Z/ z博主说明:
- s1 R: R& |# ~( b4 b/ A1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
( J+ d- |1 `3 A1 m9 v+ a& H这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
1 p. w: ]- C8 Z; s0 U; o' Z5 L/ J2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，! I( v; ^& l8 ^& b+ d
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。) ^8 q+ j  x- i$ m" h2 ?
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。# Q; J! {7 d% `- z
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。5 i0 X4 o% X; j5 I1 U4 X
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
  B+ K2 j( o: o6 u若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
2 l, o6 ^/ I3 B5 P谢谢。2 N# {, U% j6 x8 d
+ u% }0 h: Q7 c% N( ^; @
: X1 p, F. h( q& m( P% @
一、蒙特卡罗算法
, `: ^1 o8 ^4 c. l1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis% V, Y$ ~5 S6 \; x) e) X! H
共同发明了，蒙特卡罗方法。
9 q8 M5 {$ d- \! m# h# d% O3 V& C0 e% H: g; \# [
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
+ }! k* m+ H1 c1 y* ^0 {http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx2 B6 R# K8 F! \: F2 T

7 A; l1 o1 n0 O: i6 t4 @- n- W% ^% i蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
( J# _  [+ M2 z$ i3 \6 z7 H9 C的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
6 h# P. ?) I' W) k' ]+ i法。
& v* Z. V' ~$ [* i+ p( E  i) n7 P- l7 ?
6 c. }5 V( g+ `) G9 _2 A由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真! P" |/ w& j# m
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。0 z# ~% J4 r+ Q* f6 a. |
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：( i& [; f* b' E$ D
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法! ^$ o7 l: O  n7 S8 V1 Q
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作$ \: D, x( Q0 X" I- B
为问题的解。
% @; N8 m' k: ]$ {* C! V - k- {1 N" m5 N0 k. J
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：& U0 Y) W9 s& ^; \9 M! [1 G' X
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程. O3 m+ a: J; g: Z* A2 \" f$ m3 q
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然/ K$ w3 m1 }! X! T4 ]* V8 u
后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候/ N4 F2 ]* t7 T" s) C: T1 T; S
，结果就越精确。
9 ~! X& y; o. S3 L5 W在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。( m. q1 }! I1 s: z
) }+ _6 a  w% @4 G) I& [
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
5 S; U- @6 `: K5 B9 V" z拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
1 Y: u, X' \; q0 G1 c近似解。0 J' O: [* D& W) B8 H* f1 T" B# a
$ P* r. u. v0 T: W: c
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
9 i! W9 p" g- ^1 f蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
1 F$ R7 g& ?; }5 gI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
3 K+ |4 H/ h/ m+ u- Q& @II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。" R, M: M0 I* u
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
: t& e' p- O" A/ d) g- M等等。
8 N7 w6 }% X: c$ e, p* d9 Y此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
$ J6 h' S" m, x7 n0 U6 y ( v- i: r4 F+ ^" A1 t) {2 r$ T$ c

# R: Q7 I8 N# X: ~& o二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
8 |, i& ^7 P( W8 @# z5 i: o+ |4 w我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。+ K& p8 R0 R) e" w
数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
; I% b* U  Q9 b4 v( S: G' f学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
+ A! p9 \6 G# z, C吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。- T; j& y3 h  F
& W( C+ [: ^3 h
此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。5 w( ~& Q, c2 A6 N5 D/ S

0 }. z2 ]7 K5 U  ~8 ?8 v( b
# K& W6 W% a6 }$ W: ^三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题+ h2 r4 w( e- I: C
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
+ ?" T' g) g# L、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式* x9 M5 d: c) \! a  {- b
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还5 W2 e! E' X8 _4 y/ h: w
需要熟悉这两个软件。
- ~5 n' X. N4 y- ?* T
! u6 h7 z1 c  o* d. G" y- l
& k% |3 Y0 r: y5 V/ Y" E3 h' a四、图论算法/ F0 c  W1 \( D/ w
这类问题算法有很多，0 d' G$ X" ~3 D5 c: [
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
& `6 Q5 p0 y) E0 r! \, S0 Q, G $ Q! Q2 l, o) s( H. Y! S# {
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
2 P" i# s1 r7 d+ P# L同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，. r# s8 f" D, Q" Q% z5 n% K( z
-----------, B: l/ @; i" q8 D7 Q
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
. T- L8 o6 M. D; b* bhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
9 }1 @7 i& O2 t8 o- M3 ]. e更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
/ n' p2 |4 D( y& I* a+ l$ ~. h 6 s' \# B8 B5 s7 [7 {( c3 m
, w; @* \8 R, T8 E; ~
五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法% w+ n; B# ]9 ?" M, Z4 @
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
$ O7 A6 Y1 o( [4 u此外 98 年 B 题体现了分治算法。& P: F4 U$ g- |1 i4 D% A" a
9 q0 }; F7 u- ]) A% o# {
这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，' w+ H9 e4 H3 B6 W. M
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。2 f7 J% `6 s3 J+ S* n

5 }% p. R' H- m( u9 J8 F0 v0 O" |4 |3 |
六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 9 @: Z5 ^* Q1 t6 N/ t. N
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。4 a3 o6 C" F/ K( c
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
$ S* N3 x2 a* M$ B9 S  N# @3 x以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，! E$ M: U8 L7 P
说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
- l5 D& B- b! q1 \' T. S  r03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
$ G1 v. a) ?7 H$ q) u1 c $ M1 |: o1 |  l7 O. U4 ?
另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
' D+ h- i/ B+ W2 \9 F9 P3 F----------
- w6 Q( l0 N5 X; |  O经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
4 @+ z% R$ }9 n+ ~" v& Uhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx" ]+ d( H$ P9 ~7 v, J( ]$ n/ s  V
( ]+ w8 c% w3 I4 N  O% D  p) H
其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。. V7 m7 H; B& [/ `

! _3 ~' i' n  S$ c; ^2 B" W2 J2 k( r' C  }) |( t
七、网格算法和穷举法
3 E4 ]; _: o  o( @+ A( |网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
* c% h; O" r; B! B( I比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，/ Y) U4 O( R" t0 @
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b4 ]3 t( `" Y9 [) y; O& L8 h5 \
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
& U6 }; I$ K2 w1 [) P2 o9 N. ~
% \' i( c2 a+ i6 b% \& U  {在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
6 O$ J% N6 X5 P% U快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。# B! H  e0 V# V' p  K% j: v
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  3 ?6 K+ A$ E# ^; y- l- ~/ }

6 Y- M" ^- @7 w7 f" }
  G  F5 C, o' N4 s八、一些连续离散化方法' X3 G# H/ V" V5 e) ?. h6 q
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界& o, b. [+ x% ]# D7 o$ J9 J6 x
中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
+ t/ X2 k: t( s- o3 l! {2 M8 D- Y
9 P9 z& c( j8 Z& A& G  R这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
) _  G' |8 k- x: ^  Q事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。 2 Z1 z5 L+ }) a# n  g, y' d: P/ E

, k4 k- K+ ^+ e+ m
" ~6 F/ r$ O6 }, |$ a9 l九、数值分析算法. k7 u" M& j+ B& z, ]
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的1 A0 A9 b$ s- s0 C8 D& K: x% M
算法。
+ W0 ]; q7 H) @如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
3 J* h; `3 G$ f# V- {& q) c. R函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
8 c# W) [8 {2 i$ ]3 N这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
- o  \: L: F1 Q因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。% u' H4 s; K/ s5 W6 r0 Z# [5 }( J
. M( p  W4 Z) A) y- i% N6 S
1 o, K1 T, z# u8 \. a9 G7 I
十、图象处理算法
; G: D: s# _8 {+ B: H在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
; i3 W* q! }: J' ]. k计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
% l: J8 x' V6 i3 c' |  ^0 R/ b- w因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。# [" A* {; d* ^( B+ l
2 X/ c) D3 ~( ?
此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：, }6 s3 ~- ^! M# l( B7 i6 a
http://download.csdn.net/source/30073363 q! d9 M3 X9 u+ O, Z& j

0 \) q- M! Q5 L9 q) d; ^/ A& U本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，  Y+ M8 c$ `1 J" W$ M
日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
+ c( Z5 w7 m' v3 M$ z4 @% b4 K$ {完。
8 `7 M: T# C, _* G2 F- X: Z( ^
2 o: t7 R) G( A/ M1 A
8 H2 O* G8 q' H: x3 z0 z作者声明：& ~% M1 L( n! V, p1 x; z0 D( u8 l
本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，8 m2 i0 S& z6 L' f7 V! l& p1 W: |
转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 14:50
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
作者: 异一    时间: 2012-8-1 15:41
shicahju 发表于 2012-8-1 14:50
  T8 t  x1 r' n8 K% v别人都说过了 你再说一遍有意思吗？

  s4 }. c2 Q% M/ C3 ?是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~& ]: ~( h* k6 `4 c8 t/ ?: [
要不然就删帖吧？话说我也不知道怎么删来着。
; ^' L9 J5 N5 s8 m& M9 ?不过，好文就算别人说过我再说一遍，意义还是挺大的吧。  A$ r6 @6 H7 ^. C. h2 x
% L8 n- T+ F! ~1 N( s' ~- Y2 k
最后，你今天“难过”啥呢？珍惜美好时光吧~~
! y, |  a3 u' v( t4 n) C. b$ S" w据说笑会传染，多给你几个笑脸。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 16:03
异一 发表于 2012-8-1 15:41 3 m. u* P3 F* l8 @% Z3 H
是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~* _' `4 Q, ?# W2 c
要不然就删帖吧？话说我也 ...

4 b# w- `6 h! H3 [+ [~~~好吧  刚进来就看到了很多算法
作者: shaox    时间: 2012-8-1 18:56
太多了~~
作者: 沧海浮萍    时间: 2012-8-2 11:13
挺好的~~~觉得挺有用·
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:29
谢谢你
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:31
。。。。。。。。。。。
作者: 炎~黄    时间: 2012-8-10 18:28
我感觉挺好的......
作者: lingmo    时间: 2012-8-11 11:08
哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈
作者: qzwqzw    时间: 2012-8-11 16:07
正在学数学模型，看了这个，虽然还有很多不懂的，但是受益匪浅
作者: Teng_guanguan    时间: 2013-1-20 15:10
不错，很有用啊
作者: 取名字真麻烦    时间: 2013-1-20 18:18
本来就是这么十大算法，必然会重复的....
作者: xiaoyaosharenfa    时间: 2013-1-20 23:21
谢谢楼主了
作者: 鱼戳戳    时间: 2013-1-23 10:39
压力好大呀~~~怎样能较迅速的掌握呀？？？
作者: 541087864    时间: 2013-5-19 11:03
非常有用！！谢谢3 m) Q. m; b! @) r# B
作者: 1617886226    时间: 2013-5-19 22:51
说得好精辟，这才是真正的高手啊！不管是不是别人说过的，好东西拿出来分享是值得鼓励的，支持楼主！谢谢你！
作者: sdccumcm    时间: 2013-5-20 00:03
分享      
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: famacat    时间: 2013-7-25 15:57
作者: yufeiyang    时间: 2013-7-29 10:41
虽然早已经看过了，但是还是谢谢楼主的分享
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
。。。。。。。。。。。。
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
，，，，，，；
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
来了来了来了来了来了来了来了来了
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
长城长
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
的顶顶顶顶顶的顶顶顶顶顶顶顶顶顶顶
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
啊啊啊
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
还好还好还好还
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
好、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:47
，，，，，，
作者: jiajinshan110    时间: 2013-8-7 10:18
多多学习吧~！！！



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