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标题: 数学建模十大算法漫谈 [打印本页]
作者: 异一    时间: 2012-8-1 12:31
标题: 数学建模十大算法漫谈
数学建模十大算法漫谈
8 @- ]3 q+ F" O7 U8 b- e/ a + v/ ?+ f+ t0 Y) L, t! \' Z% U
作者:July  二零一一年一月二十九日& ^1 v1 B& Q; T
本文参考：+ e: |& {- ~* I( K" x
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]( M$ K; G0 T1 G3 W' q: |6 V5 b
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
6 r, q4 F7 J" x: yIII、维基百科
0 t- v' T% Q& y) Y/ e9 A5 i------------------------------------------! M" b6 p- u$ U" ]& p: X9 L% e. v
博主说明:# N# X% B/ d* L1 i: B2 _
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。) t- |+ r, x- q  g
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
* I+ A6 b: {4 H1 b; ?2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
, Z: F" e- {  m* V" t8 ]2 W同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
; D. V% l! @5 R+ g( \+ I+ x毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。; [/ s6 o) C: |$ g
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。" N* z: _4 G* j$ s! @
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。# ?" n9 o: p. U' U$ S
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。4 l: [+ d$ K/ R
谢谢。0 S/ v9 D  p: p3 v* e7 n; @& e
5 c1 f" G8 L% ^3 X  ^; A
! Z2 `! w6 T+ F, P
一、蒙特卡罗算法
3 |+ h, N0 y4 y1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
% U3 m  e8 l+ e共同发明了，蒙特卡罗方法。: x4 _# Y) P* Y0 L' m, i8 N; e9 O

) \5 [: P9 T9 y# {此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：3 o" F" @$ ~5 V) `6 D* h: Y  I- ~
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
. f: }9 z9 f/ Y2 W9 @. K 6 X" _) Y; b. a( B
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导* s( L6 n4 v6 c) ?+ z7 S( \8 s
的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
: w5 Y+ m' L$ `( z4 }: X  D法。% y: u5 J* M9 ?1 T* ]) p
' r4 A1 q9 m; q# O5 A3 @0 c" I
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真, @/ x' }9 }/ Z& _4 i9 L# M
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
" I! b0 z2 P' w5 M2 {  v蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
0 ?0 J3 [, V9 C& C+ B当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法) ^2 ]2 C( o) N* u' r7 t- n
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作6 v+ c4 g$ d+ K: S) N# I. P! Q# @) v
为问题的解。# e* C" {$ F7 ^* ~% S+ v5 a
7 o7 J& v9 M( L/ O
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
% E! U2 k+ f0 ]- h' c假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程3 _0 o+ U' L8 e4 T: d
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
3 K7 Z: _6 Q6 |* k6 |后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候7 v: h( _; \8 m+ o8 X( g
，结果就越精确。9 k# i' c, d0 I+ v' @. Z
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
. B2 ~6 c2 ?/ |% Z! l
4 x: e- o& ~8 I' `; G) q4 d蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模6 z) g6 L( s2 ~) ?( f
拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
& F2 \6 o: h! F+ t+ L5 m: K: J" M近似解。+ C% a1 _( M- m  F+ ]9 n# U- \

5 t$ @3 t  p. F+ X+ l- ?蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
. A, Y3 Y( @9 v6 `蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
* d5 T4 x  H& G, r2 d$ eI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
: E& a, v9 I" J9 S1 v) o8 k$ q' I( RII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
8 W6 ~  J. A" P0 g) dIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。. H3 ^# H7 ~1 h+ F& @: N6 x6 M5 h
等等。, X' }- w2 V; G( L
此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。; |2 n, v9 k% |+ I

# G/ z' U; [# {' o* v/ J# r3 U- @/ h  P4 V- P( E  n6 \
二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
" m8 J" s- E# q7 H8 W7 o; [5 |我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
& G# P0 j1 O, X数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数' x) N; ~* A* R0 s/ j" _
学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
, R! E: m+ q! }/ z" }  x' S吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
6 u0 I& H9 I8 ]! X/ y  l. o% T5 U6 v$ L# ~ ( t5 @# N$ }. j. u- Y
此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
6 {4 M! {& L; @6 h+ q+ x7 X 8 y6 L1 a3 n0 B

. L$ b/ _% [  o+ E# ?# p: j三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
$ J  ]; B1 \3 |7 _数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件1 W4 D/ ~& P& b9 @# u: v$ R0 `" B
、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
3 h) g3 x/ y) \$ y完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
" P# u# n& N3 V2 A; Z需要熟悉这两个软件。2 q  a6 A; v5 Y' J9 n# P4 O

9 H+ K( m/ e( F# z1 }
& A3 k% ~" G$ E) m7 Y四、图论算法
' y, x0 f1 h8 J这类问题算法有很多，4 |' A7 n0 R# e  A" |& Z# g
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。( k$ R* q6 g) w/ n

; A/ p9 k. E! |" J' F0 k2 U; J关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
# j9 y. f4 V9 L同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，3 T2 |) c3 A9 V* R0 T$ ~( A6 Q
-----------5 q7 \+ ?& q, q, a% j) A5 {! i5 r' `
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探& x) m  @7 ]" Q. C5 c2 z7 Y: l
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
) @% s- V7 C2 X8 H更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。4 u9 X' x; e/ G0 a9 _3 J

: ?9 [& U$ i- u, Z0 h
, v6 m% [" E# `8 S2 {五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法8 Z1 Z  b: ~; p# E' p& ]
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
$ N4 ~3 q% B: @- r此外 98 年 B 题体现了分治算法。
9 U3 o" J& s3 L0 g6 `1 a# f9 R8 U# @8 B4 S/ m% F
这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
$ p; J) {4 P; s/ \推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
5 D6 b2 {, O  p ) O0 C# [1 f: p% D. S

* V1 |3 m& p" S  e9 }) w: S六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
, a/ |3 z# X# ?. I2 m这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。$ _+ j. [6 z0 I( e% [
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
4 ^3 N- s$ ~/ r+ P以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
% i2 z' o; R( @! \- x, m& t/ z! [7 A说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
" |. ~- P3 Y; K03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
# E( b6 _* D7 Q( d# H) m1 E, m% m 6 f) a0 g0 K5 W/ }9 [# T
另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。" @' g4 u- U* z2 l; @
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( v! c$ T  {' q$ N: |0 m( o0 b) A经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质* f4 A. x  Q. H1 ~, Y: B* A. t
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
  J- M4 W1 F4 B2 R! O- a
" j# t2 _# L$ r1 f& ?0 A8 o其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。* {' h3 F+ O7 v6 q! }& K

' ?# ~' u% e& X1 _; d
: G  p1 Y5 D1 `" q七、网格算法和穷举法: B+ d! D6 V" W2 y/ Q$ w
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。5 d+ F1 |, i4 ]; X' U' p( n' b% s+ ?
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，: h! J; j) l* k
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b1 M( S+ {. a( R3 O
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。$ s+ i  V5 J: A$ y! x; j7 f9 B

7 r5 z1 V- Y' N' `在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较& J! z7 I1 q. j  m- O
快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
# Q. n. b/ H# U  y& X' q, k! G穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
2 a  B: u* P% k3 o' [1 ? 2 C0 Y) S" |( R! H

1 K4 o8 W8 Q- E3 f$ k; a八、一些连续离散化方法
+ _8 N% M; Z7 O5 F8 Z6 K, M大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界; T1 o/ j; c* ^
中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。7 T" a  B7 M# n2 I6 i" y: `
$ [; }& g" e$ n4 ?7 g& }" }$ b$ u
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
6 a5 K0 {: n, Q$ m# |& ?事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
3 ~$ y4 u1 K  }) J! X ) l( i: z& o/ b2 j3 ]- X( a
8 X% J. f2 ]" ]& E* s% y
九、数值分析算法
# g2 H' j  F( S' }8 A- H5 I数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的/ k, p8 O. ]" O4 b9 b: Z, Q4 @6 C2 ?3 s
算法。3 @# Y& C1 p. V+ v$ O7 J
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
- \. I9 I2 c5 k' `. l9 Z4 L, M& ]函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
% }* B- a& L7 C* \这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
, y7 L$ P2 g: _* J9 N) A. s- q* w0 X" ^& T因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
! }5 l7 {4 @2 W7 v
7 T: q, h- _! J8 G1 Q2 @* o8 W- b" a6 B6 \( [0 a4 U" ^
十、图象处理算法3 v) t5 j! }/ S
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
/ S+ O+ [- S5 g计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
4 e( K2 N6 L9 y) w  J' m( P" [因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。0 j  M' l5 f5 C$ w, R5 @
4 d$ o, }* N1 W3 x) `
此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
* n5 b! V* C2 U4 Shttp://download.csdn.net/source/3007336  I+ l3 J4 C1 W0 L

  ~7 N) k& [# ^7 K本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，- k: _, F; R+ @9 s" @% m* c! e
日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。  |8 B/ K) m4 w9 P. F5 U# o
完。
1 M. s( n: G+ k
9 n+ y+ j; J  w: }, K$ I( W ( |7 M2 Y1 |* A0 l
作者声明：
: O) l. _0 o2 r. x% u+ a, V! n: @本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
. U) f( ]8 m- `1 j$ M2 `# y转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 14:50
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
作者: 异一    时间: 2012-8-1 15:41
shicahju 发表于 2012-8-1 14:50 5 Z$ K2 o4 T  G( X/ W# s
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
! b. A: g$ Q% \& D, H
是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~" J# O  Y- C- m$ ~8 c3 G
要不然就删帖吧？话说我也不知道怎么删来着。
0 P$ U/ L% \" Z/ n. K不过，好文就算别人说过我再说一遍，意义还是挺大的吧。
. M4 g+ W; V; c2 q1 M
5 w2 s' F5 s8 I4 w; @$ [* Y; m: \最后，你今天“难过”啥呢？珍惜美好时光吧~~" ~5 v( }9 u: x
据说笑会传染，多给你几个笑脸。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 16:03
异一 发表于 2012-8-1 15:41 $ D5 F. E( s- P" D
是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~0 u0 V0 n& e# Z( M6 }0 _
要不然就删帖吧？话说我也 ...

# s, p/ r9 q3 u8 p( y~~~好吧  刚进来就看到了很多算法
作者: shaox    时间: 2012-8-1 18:56
太多了~~
作者: 沧海浮萍    时间: 2012-8-2 11:13
挺好的~~~觉得挺有用·
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:29
谢谢你
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:31
。。。。。。。。。。。
作者: 炎~黄    时间: 2012-8-10 18:28
我感觉挺好的......
作者: lingmo    时间: 2012-8-11 11:08
哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈
作者: qzwqzw    时间: 2012-8-11 16:07
正在学数学模型，看了这个，虽然还有很多不懂的，但是受益匪浅
作者: Teng_guanguan    时间: 2013-1-20 15:10
不错，很有用啊
作者: 取名字真麻烦    时间: 2013-1-20 18:18
本来就是这么十大算法，必然会重复的....
作者: xiaoyaosharenfa    时间: 2013-1-20 23:21
谢谢楼主了
作者: 鱼戳戳    时间: 2013-1-23 10:39
压力好大呀~~~怎样能较迅速的掌握呀？？？
作者: 541087864    时间: 2013-5-19 11:03
非常有用！！谢谢0 Z: Y2 \( T5 O3 G8 l
作者: 1617886226    时间: 2013-5-19 22:51
说得好精辟，这才是真正的高手啊！不管是不是别人说过的，好东西拿出来分享是值得鼓励的，支持楼主！谢谢你！
作者: sdccumcm    时间: 2013-5-20 00:03
分享      
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: famacat    时间: 2013-7-25 15:57
作者: yufeiyang    时间: 2013-7-29 10:41
虽然早已经看过了，但是还是谢谢楼主的分享
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
。。。。。。。。。。。。
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
，，，，，，；
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
来了来了来了来了来了来了来了来了
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
长城长
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
的顶顶顶顶顶的顶顶顶顶顶顶顶顶顶顶
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
啊啊啊
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
还好还好还好还
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
好、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:47
，，，，，，
作者: jiajinshan110    时间: 2013-8-7 10:18
多多学习吧~！！！



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