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标题: 数学建模十大算法漫谈 [打印本页]
作者: 异一    时间: 2012-8-1 12:31
标题: 数学建模十大算法漫谈
数学建模十大算法漫谈6 z- x0 V* F% q3 E$ a; }

# U+ U5 Q5 l# u, V& f% Q作者:July  二零一一年一月二十九日
3 X3 E& y- a; U' U) A+ g% p本文参考：" S( k: i2 x+ d! j% O; `5 K
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
! q# O0 ^, u2 h8 Y, mII、 本BLOG内 经典算法研究系列
8 o+ d% |8 q% Z; L4 T, @5 UIII、维基百科
8 G8 N4 ?6 y4 P4 R" b, G------------------------------------------
0 F5 Z( |- A5 ]; [: l& `* _博主说明:1 j! p+ |4 X6 P% I5 c. K4 L
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。! X, {* [7 z, }
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
  r( X/ d  M6 o' r9 n3 R2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，3 \7 J$ }: W( Z3 N& ?5 ?  s7 ~
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
$ g! ~7 `* f/ M" C6 C: i  v毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。( d# a2 j( W% w9 b- O* Y
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。& }5 S2 H3 l- E6 X2 S
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。  N3 Y3 B$ ], q4 n9 D$ g# b
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。( b9 T+ n3 M. M/ f
谢谢。
/ D* z" D# f1 B8 d- R6 z1 D   n% D. s" N7 o( n: o. t: Z0 W
! _4 p! `. l# ]+ n
一、蒙特卡罗算法
2 x# Q/ i* }) q6 I( J( `' _1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis: j! F. g: ?- ]5 d) a8 i! [8 o
共同发明了，蒙特卡罗方法。. n. Z: |/ ]' `9 |! M' W
! m" w' b/ g) _1 }+ ^
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
6 c: ~; F; q- Z4 p: F& C1 hhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
3 u' K3 }9 y* k& v
5 L8 G# b5 @5 ?) F1 z- {蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
2 }4 z% E8 i& j: [8 ]的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方% A1 V0 {3 \3 ^* _- {
法。% l% A' K0 M6 Z5 M8 u
' c; t* w" B* a
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
! y9 j* [! E$ ]7 H0 y  D  d实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。( M7 `+ m% l# K$ f3 a, F
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：: t& Q) a, ], U$ ?+ Q
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法! t' z* v; Z6 W! g
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
0 z3 }- P, b, e2 A为问题的解。
# N& V, m9 s! p6 I$ B. e" B
/ `2 e& f) s! T* ]5 e/ D: \% u  Y' b有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：1 b: J. S' ^# A9 F, R1 K: G1 b& M. s
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程) l0 z$ N' @8 y2 c1 |2 k/ ]" s
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
4 e2 T& R" h9 c% S; a7 o7 Z后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
& H* s* v* a+ H  y9 ?9 U2 w，结果就越精确。+ ^7 N; `4 k0 f7 x8 ]
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。# D& c. m! e3 F
* G$ ?7 B- j! C1 A9 P/ f; i
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
. \4 f# |* I) E拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的( ^- T8 T  e! r- N8 c# ~8 ~1 ]
近似解。/ V, {+ s. a6 M2 E, i2 O" }

) Y* C& [; j* Z: m+ ]' e蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
  E# d' J" l0 G* C4 ?蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
: P7 b) G2 V7 NI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。 ; \. g5 K( l+ w" U: s2 T6 H
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。- U! r/ Z. J. p# b9 B8 R0 E
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。! F. v& Z7 s# G0 j3 Z
等等。  b/ p3 J  s2 ~1 R# \% t+ U
此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
# o! [2 N. K$ B2 ~, V
# o3 R5 L6 O1 J, a5 A4 [7 I; R0 k: L# A9 R: U; ]$ _7 @! q
二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
1 U! p; N+ R; f我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。& j) k# ?, X! ~; d2 x; ]4 y( I) K9 _
数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数$ r1 G& L# g7 b! r) W, k$ m) q* q
学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
3 V! `9 B9 p7 j) T2 x4 S8 v4 ]+ u) U- r吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。0 N1 Y$ [* z8 Q) ~1 s- M+ {

% x7 O; Z' h9 T* ?! [此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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# }* l9 B+ p0 Q/ }/ j8 ]$ C
三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题" N( w6 B2 t: u1 Q8 `
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
' g0 P  Q& {* O* m# B& c/ I8 w、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式3 z% z0 v$ }- d  U9 Q# @2 }
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
  U  E; S: @! [( \4 M需要熟悉这两个软件。. O. y8 ]( t+ C/ L2 r
  ]/ e: M8 i- c( d  B) m( w
6 [3 j" ]+ P# S* x7 n) p
四、图论算法1 U3 K4 C7 ]' y! m5 l% j
这类问题算法有很多，
, `1 F- m8 K0 J' z包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。/ A- Y% I9 S& t8 V- C( n3 W

$ h, n+ d$ q* y) ~( I8 K关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。3 O5 Q" Y8 n1 q% D! q* }1 ^: v0 @
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
+ A! [- B8 }$ O$ P) [, @-----------2 [% ?- r5 q) R( t) j
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探% _2 p$ u% \5 K' K# u
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx2 [* R' S: f4 z8 v3 q( j
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。0 j+ R9 a  o' o& d

2 O+ Q5 b& }9 \: P: t; \% t5 K9 V# Q5 W& ?: T
五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
8 ~6 q. _* }7 W1 A$ L5 ^* t在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，$ |4 g* E3 a% J0 }$ P
此外 98 年 B 题体现了分治算法。, d. o. ]7 k" a; K

5 ?) F: I6 {  I  v/ S" G( y+ V这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，# I6 p; z, }3 t( H2 k. L& A0 _
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
/ L) z' Y, `* h  P  S1 C" b; m ) O  h7 y9 g; Z9 E4 M+ i
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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
% D6 W4 k3 Q0 s0 _3 N$ [! y这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。$ [7 K2 d8 R* E; M6 Y- z
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
, @/ y5 S$ h: [  C4 {5 F5 M  h以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
# _9 Y( I! f) ~* k2 E说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。 1 {' K  u3 _9 V0 ^8 e6 |. T1 k$ }' Z6 I
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。6 o2 E+ \* M1 Q; m! u

2 |4 ^- N3 w( u/ p另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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# V& ?$ t* ~( c经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
& L% m* ~* n0 Ehttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx/ D* A, I5 D: O. y
! h5 O1 L. s9 u. v0 S4 P6 u
其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
2 {0 e% m$ @9 o+ f" j1 c2 C- I " P/ t- @. n) s& q
0 H) ~# p  C# S9 F% G* q$ \/ N
七、网格算法和穷举法. ]3 J1 M# L5 N2 A2 ?7 D5 ]
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
7 ]" F7 [8 Y3 |; S9 j7 z比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
9 [# K/ E) q. U, K7 ?4 ~: a比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b8 L0 _7 }* F% @4 g
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。2 [4 D( \3 }9 R, r
% e  |% u; |* y$ E, U
在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较0 O, p5 E; D. K, o+ w4 S
快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
1 ^$ x# ~& l) g穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  + U2 k. A3 e9 v) }, n6 \
  J/ b8 j, ~* |4 n
3 K2 r$ o4 E$ r% I; j+ Q0 }8 c
八、一些连续离散化方法9 V6 U6 h# h4 `3 u3 u  s2 d
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
, |3 T" ~5 d* ^' Q! K9 k' h/ ?2 `中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
* |$ d* {* p! A" M+ z1 z' Q, n5 u% Y$ i, W; k
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。. O+ ~) E0 _# Q4 V5 b
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。 7 {% T7 w; \  J7 `: k& J& A. _
( l! N2 N4 S0 d4 d# v1 M- Q
& V. U1 V% l% R7 D: j+ m
九、数值分析算法6 o& ~: W7 U$ @9 g' g% C
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的9 \" r) ]9 j: ?6 }. H
算法。8 ]+ l; R3 F9 P8 ^3 E
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、0 Q, F- D% Z% }/ G9 @  @8 M
函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。8 a! D9 [$ ]8 z2 u. V0 s0 Q5 Q
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，0 a5 V, ]( K9 i" W
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
& T! Q' B9 r  d( {5 F' [# W5 q
7 Z% k" v2 r5 ]7 A! }/ g  K' p; K; G3 b; o) v% a6 Q' r3 o6 ]
十、图象处理算法
, |! g8 l) F( {8 l在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
7 H) f) H+ J8 a8 n$ n9 X% D5 R, Z  T计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
( T; Q, [% o, K& O因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。+ W; l* ^. I& K. j3 i3 y/ D( m

- s3 \7 r8 L* `2 U1 N9 @7 G$ _此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
: o" E) W1 K6 n. jhttp://download.csdn.net/source/3007336# l  l( @4 {4 O, a4 g* m# `

/ c3 s* r$ t% J6 D$ o本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
8 _/ x& k6 T0 w" m* O$ i  J1 i日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
/ {! g3 E6 g# W) @4 m完。5 C( N9 ^  N) R

% G4 j( P- t( E ' l! T9 ~$ W6 n6 x, V" y5 z& `& C9 c; W
作者声明：
" d8 ^$ N& j6 E: W# G1 l' J+ M  k+ X' ^本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
5 I. t" n4 M3 j' U# k转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 14:50
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
作者: 异一    时间: 2012-8-1 15:41
shicahju 发表于 2012-8-1 14:50
4 v. h2 y, q7 \# @. l6 D别人都说过了 你再说一遍有意思吗？

1 |  @& `7 k+ M& L; F, M' Z" C( l是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
9 D" L& z" ~+ Z$ o/ y要不然就删帖吧？话说我也不知道怎么删来着。
! F: `. f) w+ H7 e+ [, ^5 O不过，好文就算别人说过我再说一遍，意义还是挺大的吧。
. v* _9 c+ f0 h$ U/ Y3 c+ `( E+ c8 Y( E& A3 z" u5 H9 e
最后，你今天“难过”啥呢？珍惜美好时光吧~~
4 f7 e/ m+ y3 K5 Y3 ^9 o( H4 N据说笑会传染，多给你几个笑脸。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 16:03
异一 发表于 2012-8-1 15:41 6 v* H, k) a' P
是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
* j# L/ G1 ~* A要不然就删帖吧？话说我也 ...

! d, b" X" B0 B" ?2 v: v& v/ f~~~好吧  刚进来就看到了很多算法
作者: shaox    时间: 2012-8-1 18:56
太多了~~
作者: 沧海浮萍    时间: 2012-8-2 11:13
挺好的~~~觉得挺有用·
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:29
谢谢你
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:31
。。。。。。。。。。。
作者: 炎~黄    时间: 2012-8-10 18:28
我感觉挺好的......
作者: lingmo    时间: 2012-8-11 11:08
哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈
作者: qzwqzw    时间: 2012-8-11 16:07
正在学数学模型，看了这个，虽然还有很多不懂的，但是受益匪浅
作者: Teng_guanguan    时间: 2013-1-20 15:10
不错，很有用啊
作者: 取名字真麻烦    时间: 2013-1-20 18:18
本来就是这么十大算法，必然会重复的....
作者: xiaoyaosharenfa    时间: 2013-1-20 23:21
谢谢楼主了
作者: 鱼戳戳    时间: 2013-1-23 10:39
压力好大呀~~~怎样能较迅速的掌握呀？？？
作者: 541087864    时间: 2013-5-19 11:03
非常有用！！谢谢
7 G" B/ k! R+ z& k+ e& Y9 F4 U( z) o
作者: 1617886226    时间: 2013-5-19 22:51
说得好精辟，这才是真正的高手啊！不管是不是别人说过的，好东西拿出来分享是值得鼓励的，支持楼主！谢谢你！
作者: sdccumcm    时间: 2013-5-20 00:03
分享      
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: famacat    时间: 2013-7-25 15:57
作者: yufeiyang    时间: 2013-7-29 10:41
虽然早已经看过了，但是还是谢谢楼主的分享
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
。。。。。。。。。。。。
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
，，，，，，；
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
来了来了来了来了来了来了来了来了
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
长城长
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
的顶顶顶顶顶的顶顶顶顶顶顶顶顶顶顶
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
啊啊啊
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
还好还好还好还
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
好、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:47
，，，，，，
作者: jiajinshan110    时间: 2013-8-7 10:18
多多学习吧~！！！



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