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标题: 数学建模十大算法漫谈 [打印本页]
作者: 异一    时间: 2012-8-1 12:31
标题: 数学建模十大算法漫谈
数学建模十大算法漫谈  W/ D) F0 ^) C7 h' `: d
! [" t; U7 Q0 h" U- L) B
作者:July  二零一一年一月二十九日  P5 j4 h& l$ T
本文参考：8 F0 w, |/ M* H/ t
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]) u$ |/ n. N3 o) |
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
7 {: G7 [( B- pIII、维基百科3 Z$ d* b" Q8 B/ x
------------------------------------------
1 P. l. q0 Z3 O, W( _博主说明:
: K8 R- f" N. f; i9 l1 ~4 L8 R' o1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。( ]; f4 ~9 R) t# z+ B1 G  S- Y; @
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
% x' e$ q4 P2 d- _/ R9 {  Q2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
; J+ p  ]: W7 F5 p. r同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
5 ]. q* [$ ]3 N, A, ]5 m毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
' U. B6 u  m5 Z3 f且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
! p1 U$ G5 D- w: U  K3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。% n1 t1 T" P  e1 v& x5 Q
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。$ s3 c! a: }! `+ _
谢谢。. N; p+ ]$ r& M! E) e( R
+ T9 T" c4 Z  m

5 P: B' U8 M( z, q6 x一、蒙特卡罗算法
* H$ w" A' V, Q* S: r1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
9 [6 ?* f0 l' G6 e& z  J0 q: h" y共同发明了，蒙特卡罗方法。
% r9 H& R4 p$ z& g' w& C8 w: ?. k& Z% Q/ H5 j4 ^
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
2 E- K4 Y, Y! J( V$ w, n! v6 y9 lhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx* @  T1 @/ U; @. J6 c) j
# y8 G9 J9 q; C
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
+ n7 F) ?5 Q( S! u5 q& a. ~的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方7 F! l. M' ^$ k# F2 c4 Y
法。" X, z$ r4 x, L9 {7 ^- n/ N; M$ r  c
+ j3 f. `* w( o& B
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真  |" m; d9 P/ _" h/ t+ @3 V3 @
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
( G" @! b/ e: f+ V: X: L蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
6 A5 j) _' p1 q* O当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法" l1 b* `( l& o
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
8 G5 j4 _& a! o% F5 E# R4 Y为问题的解。  X7 i* m9 g* |7 ^: X/ G
. D( s; _! x( y
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
+ I, ]" S( j/ O6 `0 V假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
0 _4 L5 B- S" E3 ]+ j0 Q3 }度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
& @4 k; w1 i$ s9 Y后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候; n9 F' f! r. C5 s: i, e
，结果就越精确。* F2 d, U& i) }) f0 W& i2 J
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。, w2 K( g% J# M) ]+ N) h
" c. z8 S( }0 ~/ z: a! a+ y
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
2 ^& J( i4 B$ ]0 ?. N  U0 O拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
, ?9 h  p/ g( q* r5 o* G* h1 g近似解。
2 \5 T/ F1 [3 \0 H 6 S3 _  P! i0 Q/ V
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
. `& f" P- M% Z7 Z* u' S* d蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下： 9 t- F7 L* k0 O% }
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
6 j5 u$ v2 l. m( d- bII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。4 D: p0 R& r- N
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
% m* k, |  j) \等等。
0 P* X0 b$ U. |) s5 s6 J此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
3 m, u4 e" s/ n7 [4 D ' F- v: |. w+ J- f: C
$ A6 S5 Z: h: U* s1 F5 Y
二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法9 N5 G/ y$ E) @" Z5 F4 `
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
3 |! \6 y/ u: z) F# s% G数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
! S3 a9 x( C8 }$ ~( m+ _学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
5 r* n+ K9 I4 J' x3 ^吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。; G6 D7 \* J2 x# R! b
) r0 d# N* p0 b6 s* n
此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。1 `% `5 G4 V! l% v
  m$ e2 \6 q$ V/ B7 Q# l6 x" m" W. l
' G& a! X+ [: y6 `
三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题7 U5 m- o  {' _0 f( t5 [1 N& U
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件& o* W1 y, |7 \
、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式8 k+ u2 }' P2 z. _: T( H& |
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还; \* M: ]. v3 c( M! r! |7 H
需要熟悉这两个软件。& O6 w# Z  k4 O3 @- ^
# W% r2 a* I0 c

8 r% V1 W  U( i四、图论算法% i% g2 P" a  G2 i
这类问题算法有很多，
' F7 H4 R+ R! j  Q9 j3 h包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
3 ^9 [4 A( w4 \0 v, V/ [! ]3 W : n3 {0 \0 y  \
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。1 p" y" u/ ~4 ~2 ]5 l* p. t( O
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，+ O! c$ t& u8 E, W6 B! {
-----------" ^6 K2 G; O) v; [. y9 \
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探/ R8 Q3 v0 y: A$ k1 u9 @' m$ Y7 e
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx. G" U: `6 }9 e$ t7 b
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
, T0 |: y2 w8 k2 M ) x7 f$ M2 {; h( h: O

4 u  Y. J# ~: L: O" O8 h五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
$ ]1 u9 r% y# K/ `; d2 l9 K! s1 B在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，; g, N# t" W9 @( X& B" q  G2 h9 j) H
此外 98 年 B 题体现了分治算法。* L# r6 ?' ^  F; N
- q8 I# s2 A; G9 @  {
这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
- p8 C3 R0 U7 G! s推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
7 q; ?+ P' d" |7 Z. y% n( K6 F
2 _# i4 g+ \1 v5 d+ i
6 Z6 A) e  z% Y2 y; @$ _六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 * z0 X1 q9 U% c8 O, u
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。; t% v9 r  ]  b
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可- }6 ~2 [* y$ s& E1 w6 d+ t1 a& Z3 }
以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
, `; [$ `9 R" _3 O! Z4 D% f说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。 : H" y6 M: b* L' g5 |
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。  }& P% P  k8 M3 ^9 E

6 n$ ]4 T, a3 s& s% x% D另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
/ N- J2 K* c5 G# {; j3 D+ P----------
1 r+ Q! |% _( Y- k- A" X2 a经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质. O. b  m: F5 c7 Z
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
! e8 m0 C" E2 q+ g
4 l1 Y, t/ ]& p' t1 R3 I其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。7 f# J5 N2 e- t) i: Z! l

1 g# M6 S7 \# J3 s. f4 M/ @+ `, x+ ]$ l- n" f9 I
七、网格算法和穷举法
  N) Y3 g( O/ I3 a网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。/ F5 ~9 ~* o8 t( G' S
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
. e+ w- ~( x( R0 |1 W9 Q比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
3 T; h1 ?; y% A& j4 c( \7 C+ A8 z那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。( \$ T0 I  v- e7 A* ^8 @
$ |( k" s2 N$ Q- ?4 [
在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较, Q* Q& |3 ~' c4 U
快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
* `3 T# h( X3 L7 L穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  2 X) q- Y- I  b! e. G8 w8 _" a
! R3 _6 U" J5 l  Z4 h9 L
: D! G+ n4 ^7 y  O- s0 x1 o
八、一些连续离散化方法1 g9 E. J. L7 x  `& n" s3 v" G
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
: H$ H! l' d* I) ]' C中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
$ a2 Q* Y9 E4 b+ T' \/ X
8 e" C, _. T8 l6 U  T1 ^1 `这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
7 J& a3 [* s% X1 e6 S/ M8 c事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
% l8 `0 f' u$ d  r
5 K. x9 H9 T6 l9 Y4 Y$ g' d0 s  g' w5 f% r5 T! M! p6 c
九、数值分析算法6 @9 V4 C8 D+ x, l
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
, u( ?7 h( q6 y/ S算法。
1 n( U8 X( q( t- {, n. o( a& V如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
" W0 f( L/ W' T) N4 a5 q- U" o6 P函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。7 P0 z  F7 X6 d: o  Z
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，% P$ F8 d& Q  P, d6 _! x
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
# j2 I3 B- k& R0 o 0 C4 H$ y4 E9 E1 |* p
7 w5 H1 V6 t' T* b3 g3 I4 E! ^* S
十、图象处理算法, O& Y, {/ a" a% _- ~
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
! z1 k7 r/ ?3 p$ ?; A! ?计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，5 Q% O5 u$ l$ r! L; c
因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。* j; F) p4 s! B" S0 Y3 \, k. n( s
" H  ~$ R7 a$ R. s2 x, u
此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：0 ?7 S: `' M- b, H. [
http://download.csdn.net/source/30073368 V% O# S7 M2 r6 J. c% c

" E( q- P' `! ?% T' _: `" c本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
+ g0 U9 v0 E1 G" C- e# L  N日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。: ^! }+ ~, m) p1 s$ ?9 a+ p9 ]; [
完。. D  |6 l# i, D5 H9 u, r
$ x$ n; s8 t; Q

) f& S  p$ k/ d& {' g! c, ]作者声明：  n$ o! N* B0 v2 q* c/ n) M
本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，- p, _+ j) \# Q0 n
转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 14:50
别人都说过了 你再说一遍有意思吗？
作者: 异一    时间: 2012-8-1 15:41
shicahju 发表于 2012-8-1 14:50
" J4 N$ c, c" }+ Q( e别人都说过了 你再说一遍有意思吗？

: w4 Y. C1 f8 @8 |, v5 f( m( l2 k是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~; H, |  w2 D8 z& M
要不然就删帖吧？话说我也不知道怎么删来着。  u) U# g! {7 H8 t
不过，好文就算别人说过我再说一遍，意义还是挺大的吧。2 D2 E  {" r/ F, T! l9 N
: I9 j+ X2 {  d- X) c
最后，你今天“难过”啥呢？珍惜美好时光吧~~
/ e# v1 h! O9 @( V- E据说笑会传染，多给你几个笑脸。
作者: shicahju    时间: 2012-8-1 16:03
异一 发表于 2012-8-1 15:41
1 d; M) K0 Y( H1 a是吗？我发之前特意搜了下“数学建模十大算法漫谈”，没发现，所以才发的咯~~
: M6 w' A# T6 N% X要不然就删帖吧？话说我也 ...
% q2 A: j# f3 R  E6 e
~~~好吧  刚进来就看到了很多算法
作者: shaox    时间: 2012-8-1 18:56
太多了~~
作者: 沧海浮萍    时间: 2012-8-2 11:13
挺好的~~~觉得挺有用·
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:29
谢谢你
作者: 郑杰    时间: 2012-8-5 18:31
。。。。。。。。。。。
作者: 炎~黄    时间: 2012-8-10 18:28
我感觉挺好的......
作者: lingmo    时间: 2012-8-11 11:08
哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈
作者: qzwqzw    时间: 2012-8-11 16:07
正在学数学模型，看了这个，虽然还有很多不懂的，但是受益匪浅
作者: Teng_guanguan    时间: 2013-1-20 15:10
不错，很有用啊
作者: 取名字真麻烦    时间: 2013-1-20 18:18
本来就是这么十大算法，必然会重复的....
作者: xiaoyaosharenfa    时间: 2013-1-20 23:21
谢谢楼主了
作者: 鱼戳戳    时间: 2013-1-23 10:39
压力好大呀~~~怎样能较迅速的掌握呀？？？
作者: 541087864    时间: 2013-5-19 11:03
非常有用！！谢谢1 `& D8 U8 g3 g! V
作者: 1617886226    时间: 2013-5-19 22:51
说得好精辟，这才是真正的高手啊！不管是不是别人说过的，好东西拿出来分享是值得鼓励的，支持楼主！谢谢你！
作者: sdccumcm    时间: 2013-5-20 00:03
分享      
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: 无乐    时间: 2013-5-20 22:18
果断学习~！~！~！~！
作者: famacat    时间: 2013-7-25 15:57
作者: yufeiyang    时间: 2013-7-29 10:41
虽然早已经看过了，但是还是谢谢楼主的分享
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:44
。。。。。。。。。。。。
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
，，，，，，；
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
来了来了来了来了来了来了来了来了
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
长城长
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
的顶顶顶顶顶的顶顶顶顶顶顶顶顶顶顶
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:45
啊啊啊
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
还好还好还好还
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:46
好、、、、、、
作者: haoxufei    时间: 2013-7-30 22:47
，，，，，，
作者: jiajinshan110    时间: 2013-8-7 10:18
多多学习吧~！！！



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